精品解析：广东深圳南方科技大学附属中学2025-2026学年高一年级下学期期中考试数学试卷

南科大附中2025年春季学期高一年级期中考试 数学 （本试卷共5页，满分150分，考试用时120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场和座位号填写在答题卡上.将条形码粘贴在答题卡左上角“条形码粘贴处”. 2.作答时，务必将来答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效. 3.考试结束后，请将试卷妥善保管，答题卡统一交回. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，， 所以， 所以. 2. 设，为两个平面，则的充要条件是（ ） A. 内有无数条直线与平行 B. 内有两条相交直线与平行 C. ,平行于同一条直线 D. ,垂直于同一平面 【答案】B 【解析】 【分析】利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断． 【详解】由面面平行的判定定理知：内两条相交直线都与平行是的充分条件， 由面面平行性质定理知，若，则内任意一条直线都与平行， 所以内两条相交直线都与平行是的必要条件． 【点睛】面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断，如：“若，则”此类的错误． 3. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【详解】由于， 所以复数在复平面内对应的点为，位于第一象限． 4. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由图象知函数的定义域排除选项A、D，再根据不成立排除选项C，即可得正确选项. 【详解】因为函数的定义域为，函数的定义域为， 函数与的定义域均为. 由图知的定义域为，排除选项A、D， 对于，当时，，不符合图象，所以排除选项C. 故选：B. 5. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用两个向量夹角相等则其余弦值相等的性质，结合向量点积公式、模长公式列方程求解参数. 【详解】由，，，得. 因为，且向量夹角的取值范围为， 所以， 因为，， 所以，化简得， 即，化简得， 解得. 6. 在中，，其面积为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，利用三角形面积公式求出，再由余弦定理求出，进而可求出外接圆半径，再边化角，即可求解. 【详解】因为面积为，则， 又，所以，解得，由余弦定理得， 解得，所以的外接圆半径为， 则. 7. 已知分别为的边上的中线，设，,则＝（ ） A. ＋ B. ＋ C. D. ＋ 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的线性运算即可联立方程求解. 【详解】分别为的边上的中线, 则, , 由于，，所以, 故解得 故选：B 8. 《九章算术·商功》：“斜解立方，得两壍堵.斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.合两鳖臑三而一，验之棊，其形露矣.”即将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图所示为鳖臑，平面，，，分别在棱，上，且，，若，，则三棱锥外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过线面垂直的判定与性质证明  平面 ，进而证得 ，结合  可知  为三棱锥  外接球的直径，求出  后即可求解. 【详解】因为平面，平面，所以. 又，，平面 ，所以平面 . 因为 平面 ，所以 . 又，， 平面 ， 所以 平面 . 因为  平面 ，所以. 又，， 平面 ，所以 平面 . 因为平面，所以，即. 又，即，所以点均在以为直径的球面上，即为三棱锥外接球的直径. 在中，， 设三棱锥外接球的半径为，则，即， 所以外接球的体积. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，则函数（ ） A. 最小正周期为 B. 图像关于直线对称 C. 在区间上单调递增 D. 图像关于点中心对称 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意求得函数的解析式为，结合三角函数的图象与性质，逐项判断即可． 【详解】由题意，向量， 可得， 所以， 故的最小正周期为，所以A正确； 令，解得， 显然不满足上式，所以B错误； 由，可得， 由于函数在单调递增，故在此区间上单调递增，所以C正确； 令，解得， 令，可得，故函数的图象关于点对称，所以D正确． 10. 设为复数，且，下列命题中不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则的实部与的虚部互为相反数 C. 若为纯虚数，则为实数 D. 若，则在复平面内对应的点不可能在同一象限 【答案】AC 【解析】 【详解】对于A，取，显然，且，但，所以A选项当选， 对于B，设，则，得到， 所以的实部与的虚部互为相反数，故B不选， 对于C，取，则为纯虚数，但不为实数，所以C选项当选， 对于D，设，，则， 所以，若在复平面内对应的点在同一象限，则同号，同号， 则，矛盾， 所以在复平面内对应的点不可能在同一象限，故D不选. 11. 正方体的棱长为分别为的中点.则（ ） A. 正方体体积是三棱锥体积的12倍 B. 直线与平面平行 C. 平面截正方体所得的截面面积为 D. 三棱锥与三棱锥的体积之比为 【答案】BCD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法及棱锥体积公式逐一判断各选项． 【详解】以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系． 则． 因为分别为的中点， 所以． 选项A：正方体体积． 三棱锥的体积． 因为，， 所以． 正方体体积是三棱锥体积的倍，故A错误； 选项B：． 设平面的法向量为， 则，取，得． 又， 所以，即． 又平面，所以直线平面，故B正确； 选项C：由坐标可得，，．  为等腰三角形，底边上的高． 所以截面面积，故C正确； 选项D：． ， 底面在平面（即平面）上． 在平面中， （此处坐标为）， ． 点到平面的距离为， 所以． 所以体积之比为，故D正确． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，满足，向量在上的投影向量为，则___________． 【答案】2 【解析】 【分析】首先利用投影向量的定义求出，再利用数量积的定义求出即可. 【详解】由已知向量在上的投影向量为，则， 又因为即，所以. 所以 故答案为：2 13. 如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为1公里，母线长为4公里，是母线一点，且公里，为了发展旅游业，要建设一条最短的从绕山一周到的观光铁路，则这段铁路的长度为__________公里. 【答案】5 【解析】 【分析】根据题意，设该圆锥展开图的圆心角为，由圆锥的结构特征求出的值，作出圆锥的侧面展开图，利用勾股定理计算可得答案． 【详解】根据题意，设该圆锥展开图的圆心角为， 该圆锥中，底面半径为1公里，母线长为4公里，则有，变形可得， 如图为该圆锥的展开图， 有，，则， 故， 即符合题意最短的铁路的长度为5． 故答案为：5． 14. 设，用表示不超过的最大整数，称为取整函数.例如：，，.已知函数，则_________；的值域为_________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据诱导公式计算对应的正弦、余弦值，结合取整函数定义求函数值即可；再根据正弦、余弦函数的取值范围分类讨论，求出所有可能的函数值即可得到值域. 【详解】由三角函数诱导公式得： ，. 因为，根据取整函数定义得， 因此. 对任意，，. ① 当时，，此时，，此时； 同理当，时，； ② 当且时，，，此时； ③ 当且时，，，此时； 同理，当且、且、且时，对应取整结果为和，此时； ④ 当且时，，，此时. 综上，的所有可能取值为，即值域为. 四、解答题：本题共3小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在直三棱柱中，所有棱长均为4，D是AB的中点． （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：连接交于， 在直三棱柱中，所有棱长均为4， 因此四边形是正方形，所以是的中点，而D是AB的中点， 因此有，而平面，平面， 所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于，利用三角形中位线定理，结合线面平行的判定定理进行证明即可； （2）根据（1）的结论，结合异面直线所成角定理、直棱柱的性质、余弦定理、同角的三角函数关系式进行求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知：， 因此异面直线与所成角为（或其补角）， 因为是正方形，所以， 在直三棱柱中，所有棱长均为4， 因此四边形是正方形，因此有， 在直三棱柱中，侧棱垂直于底面，因此也就垂直底面中任何直线， 因此有， 由余弦定理可知：， 因此. 16. 已知向量不共线，向量. （1）若，求的值； （2）若为相互垂直的单位向量，且，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量平行关系列出等式结合平面向量基本定理求参； （2）应用两个向量垂直得出数量积为0，再应用向量的模求出向量的平方计算求参即可. 【小问1详解】 因为，所以. 因为，所以. 因为，所以存在实数，使得， 则，解得. 【小问2详解】 因为，所以， 因为，所以， 即. 因为为相互垂直的单位向量，所以， 则，即. 17. 中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC. （1）求A； （2）若BC=3，求周长的最大值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理角化边，配凑出的形式，进而求得； （2）方法一：利用余弦定理可得到，利用基本不等式可求得的最大值，进而得到结果. 【详解】（1）由正弦定理可得：， ， ，. （2）[方法一]【最优解】：余弦+不等式 由余弦定理得：， 即. （当且仅当时取等号）， ， 解得：（当且仅当时取等号）， 周长，周长的最大值为. [方法二]：正弦化角（通性通法） 设，则，根据正弦定理可知，所以，当且仅当，即时，等号成立．此时周长的最大值为． [方法三]：余弦与三角换元结合 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．由余弦定理得，即．令，得，易知当时，， 所以周长的最大值为． 【整体点评】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题； 方法一：求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值. 方法二采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围进行求解最值，如果三角形是锐角三角形或有限制条件的，则采用此法解决. 方法三巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦函数求最值问题. 18. 已知函数是偶函数，. （1）求实数的值； （2）当时，求函数的零点； （3）若的最小值为2，求实数的值. 【答案】（1） （2） （或） （3） 【解析】 【小问1详解】 已知是定义域为的偶函数，因此对任意，恒成立. 化简得，，代入等式得，  移项整理得对任意恒成立. 由于不恒为，因此，即. 【小问2详解】 当时，，由（1）知，令，得，  设，由指数函数性质得，方程转化为， 因式分解得，解得或，因舍去， 即，解得，即函数零点为. 【小问3详解】 由（1）知，由基本不等式得， 当且仅当，即时取等号，因此的取值范围为. 令，则，此时，该二次函数开口向上，对称轴为， 分情况讨论，当，即时，在上单调递增， 最小值为，令，解得，符合的条件； 当，即时，在处取得最小值，最小值为， 令，方程无实根，该情况无解. 综上，实数的值为. 19. 如图，在平行四边形中，为与的交点，且，平面. （1）证明：平面平面； （2）若，，三棱锥的体积为，求该三棱锥的表面积. 【答案】（1）证明：因为平面，平面， 所以. 因为，， 所以平面. 因为平面, 所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据题干信息，可证明，结合已知，可证明平面， 根据面面垂直的判定定理即可证明平面平面. （2）设菱形的边长为x，用x分别表示和的长度，利用勾股定理表示出的长度，利用三棱锥的体积为，列方程可解出x的值，分别算出四个面：、、、的面积，计算面积和即得表面积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为四边形是平行四边形，， 所以四边形是菱形， 设， 因为，所以， 由余弦定理得，， 所以，， 因为平面，平面， 所以， 则是直角三角形. 因为，G为中点， 所以， 则， ， 即， 解得，即，，，, 在三个直角三角形，，中， 由勾股定理得，三条斜边， 在等腰三角形中，过点E作于点F， 则， 所以. , ， 所以三棱锥的表面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南科大附中2025年春季学期高一年级期中考试 数学 （本试卷共5页，满分150分，考试用时120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场和座位号填写在答题卡上.将条形码粘贴在答题卡左上角“条形码粘贴处”. 2.作答时，务必将来答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效. 3.考试结束后，请将试卷妥善保管，答题卡统一交回. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，为两个平面，则的充要条件是（ ） A. 内有无数条直线与平行 B. 内有两条相交直线与平行 C. ,平行于同一条直线 D. ,垂直于同一平面 3. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. 5 D. 6. 在中，，其面积为，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知分别为的边上的中线，设，,则＝（ ） A. ＋ B. ＋ C. D. ＋ 8. 《九章算术·商功》：“斜解立方，得两壍堵.斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.合两鳖臑三而一，验之棊，其形露矣.”即将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图所示为鳖臑，平面，，，分别在棱，上，且，，若，，则三棱锥外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，则函数（ ） A. 最小正周期为 B. 图像关于直线对称 C. 在区间上单调递增 D. 图像关于点中心对称 10. 设为复数，且，下列命题中不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则的实部与的虚部互为相反数 C. 若为纯虚数，则为实数 D. 若，则在复平面内对应的点不可能在同一象限 11. 正方体的棱长为分别为的中点.则（ ） A. 正方体体积是三棱锥体积的12倍 B. 直线与平面平行 C. 平面截正方体所得的截面面积为 D. 三棱锥与三棱锥的体积之比为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，满足，向量在上的投影向量为，则___________． 13. 如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为1公里，母线长为4公里，是母线一点，且公里，为了发展旅游业，要建设一条最短的从绕山一周到的观光铁路，则这段铁路的长度为__________公里. 14. 设，用表示不超过的最大整数，称为取整函数.例如：，，.已知函数，则_________；的值域为_________. 四、解答题：本题共3小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在直三棱柱中，所有棱长均为4，D是AB的中点． （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成角的正弦值． 16. 已知向量不共线，向量. （1）若，求的值； （2）若为相互垂直的单位向量，且，求的值. 17. 中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC. （1）求A； （2）若BC=3，求周长的最大值. 18. 已知函数是偶函数，. （1）求实数的值； （2）当时，求函数的零点； （3）若的最小值为2，求实数的值. 19. 如图，在平行四边形中，为与的交点，且，平面. （1）证明：平面平面； （2）若，，三棱锥的体积为，求该三棱锥的表面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $