精品解析：广东深圳市宝安中学（集团）石岩外国语学校2025-2026学年高一下学期期中教学质量监测数学试题

2025-2026学年第二学期中段教学质量监测 高一 数学 2026.4 注意事项： 1．在答题卡指定区域作答，否则一律无效． 2．本试卷共4页，19小题，满分为150分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷 选择题 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数（其中为虚数单位），则的虚部是（ ） A. B. C. D. 2. 已知是等边三角形，边长为4，则（ ） A. B. 8 C. D. 3. 已知圆锥的底面半径为，侧面展开图的圆心角为，则圆锥的表面积是（ ） A. B. C. D. 4. 已知单位向量满足，则（ ） A. B. 2 C. D. 1 5. 在，若，且，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 6. 对于直线m、n和平面α，下面命题中的真命题是 A. 如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n∥α B. 如果m⊂α，n与α相交，那么m、n是异面直线 C. 如果m⊂α，n∥α，m、n共面，那么m∥n D. 如果m∥α，n∥α，m、n共面，那么m∥n 7. 海洋洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得，，，，则A、B两点的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 若一个正四棱台的高为，上下底面的边长分别为和的正方形，则该台体的外接球的表面积（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共40分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知复数，，则（ ） A. 的共轭复数的虚部为 B. C. 为纯虚数 D. 在复平面内，复数所对应的点位于第一象限 10. 在中，角所对的边分别为，如下命题正确的是（ ）. A. 若，，，则的面积为. B. 若，则为钝角. C. 若为锐角三角形，则. D. 若，，且有两解，则b的取值范围是. 11. 如图，正方体的棱长为1，，，分别为，，的中点，则下列说法正确的有（ ） A. 三棱锥的体积为 B. 直线与平面平行 C. 平面截正方体所得的截面面积为 D. 点与点到平面的距离相等 第Ⅱ卷 非选择题 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若复数，则______． 13. 如图，一个水平放置的的斜二测直观图是，若，则的周长为__________. 14. 已知正六边形的边长为4，圆的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为2，圆的直径，点在正六边形的边上运动，则的最小值为________. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知向量、满足，. （1）求与的夹角； （2）求； （3）求向量在向量上的投影向量的坐标． 16. 在中，，. （1）求； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积． 条件①：；条件②：； 条件③：.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 17. 如图所示，在四棱锥中，平面，，E是PD的中点. （1）求证：； （2）求证：平面； （3）若M是线段上一动点，则线段上是否存在点N，使平面？说明理由. 18. 在中，内角A、B、C对应的边分别是a、b、c，且. （1）求角A的大小； （2）若，，求a； （3）若为锐角三角形，，求的取值范围. 19. 现有一几何体由上，下两部分组成，上部是正四棱锥，下部是正四棱柱（如图所示），且正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍． （1）求该几何体的表面积； （2）若分别为棱的中点，求四面体的体积； （3）若分别是线段上的动点，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期中段教学质量监测 高一 数学 2026.4 注意事项： 1．在答题卡指定区域作答，否则一律无效． 2．本试卷共4页，19小题，满分为150分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷 选择题 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数（其中为虚数单位），则的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的乘法化简复数，利用复数的概念可得结果. 【详解】因为，则的虚部是， 故选：C. 2. 已知是等边三角形，边长为4，则（ ） A. B. 8 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的数量积的定义求解即可. 【详解】因为是等边三角形，边长为4， 所以. 故选：A. 3. 已知圆锥的底面半径为，侧面展开图的圆心角为，则圆锥的表面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由扇形弧长公式求圆锥的母线长，再由表面积公式圆锥的表面积. 【详解】圆锥的底面半径为，侧面展开图的弧长为， 又侧面展开图的圆心角为，得圆锥母线长， 则圆锥的表面积. 故选：D. 4. 已知单位向量满足，则（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量垂直的条件结合向量数量积的运算律求出，然后再利用模长公式即可求解. 【详解】由题意可知， 所以. 5. 在，若，且，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理以及两角差的正弦公式逆用可得，再由可得，可得出结论. 【详解】因为，由正弦定理可得，则， ．所以， 又因为，所以， 又，可得，故的形状是等腰直角三角形. 故选：C 6. 对于直线m、n和平面α，下面命题中的真命题是 A. 如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n∥α B. 如果m⊂α，n与α相交，那么m、n是异面直线 C. 如果m⊂α，n∥α，m、n共面，那么m∥n D. 如果m∥α，n∥α，m、n共面，那么m∥n 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：对于A．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，则n∥α或n与α相交，故A错；对于B．如果m⊂α，n与α相交，则m，n是相交或异面直线，故B错；对于C．如果m⊂α，n∥α，m、n共面，由线面平行的性质定理，可得m∥n，故C对；对于D．如果m∥α，n∥α，m，n共面，则m∥n或m，n相交，故D错 考点：空间线面平行垂直的判定与性质 7. 海洋洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得，，，，则A、B两点的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意在中利用正弦定理得，在中可得，从而在中利用余弦定理即可得解. 【详解】如图，在中，，， ，所以， 由正弦定理得，解得， 在中，，， ， 所以，故， 所以在中，由余弦定理得 ， 则，即A，B两点间的距离为． 故选：D. 8. 若一个正四棱台的高为，上下底面的边长分别为和的正方形，则该台体的外接球的表面积（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件作图，利用求得，即可求出外接球半径，求出外接球表面积. 【详解】根据条件，作出正四棱台如图所示， 则其外接球球心在直线上， ，，， 所以，， 由，设， 可得， 解得，故， 所以外接球半径即， 所以其外接球表面积为. 故选：A 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共40分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知复数，，则（ ） A. 的共轭复数的虚部为 B. C. 为纯虚数 D. 在复平面内，复数所对应的点位于第一象限 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用复数的相关概念、模长公式、几何意义、运算法则一一分析选项即可. 【详解】易知， 对于A，易知，其虚部为，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，为纯虚数，故C正确； 对于D，，对应的点为位于第四象限， 故D错误. 故选：ABC 10. 在中，角所对的边分别为，如下命题正确的是（ ）. A. 若，，，则的面积为. B. 若，则为钝角. C. 若为锐角三角形，则. D. 若，，且有两解，则b的取值范围是. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据正弦定理和余弦定理边角互化判断A、B，利用锐角三角形角的关系结合诱导公式判断C，结合图象，根据边角的关系与解的数量判断D. 【详解】A.在中，若，，， 则由正弦定理得，解得， 因为，所以或，故或， 所以的面积或，故A错误. B.在中，若，则， 因为，所以为钝角，故B正确. C.因为是锐角三角形，所以，故， 因为，所以， 又因为在上单调递增，所以，故C正确. D.如图所示， 若有两解，则，解得，故D正确. 故选：ACD. 11. 如图，正方体的棱长为1，，，分别为，，的中点，则下列说法正确的有（ ） A. 三棱锥的体积为 B. 直线与平面平行 C. 平面截正方体所得的截面面积为 D. 点与点到平面的距离相等 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，换底根据体积公式求解；对于B，由面面平行证明线面平行；对于C，作，得到截面，根据梯形面积公式求解；对于D，先证明不是的中点，可得点和点到平面的距离不相等. 【详解】对于A，， 三棱锥的体积为，A错误； 对于B，取中点，连接， 因为，，分别为，，中点， 所以，， 可得平面，平面，， 可得平面平面， 因为平面，所以平面，故B正确； 对于C，连接，，因为，为，的中点， 所以，所以平面截正方体的截面为，， 故C正确； 对于D，连接交于点，延长交的延长线于点， 因为，为，的中点， 所以，， 又，所以， 为的三等分点，不是的中点， 所以点和点到平面的距离不相等，故D错． 第Ⅱ卷 非选择题 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若复数，则______． 【答案】 【解析】 【详解】， 所以． 13. 如图，一个水平放置的的斜二测直观图是，若，则的周长为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定的直观图，利用斜二测画法确定的特征，进而求出的周长. 【详解】依题意，在中，是边的中点，，， 因此，所以的周长为， 故答案为： 14. 已知正六边形的边长为4，圆的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为2，圆的直径，点在正六边形的边上运动，则的最小值为________. 【答案】8 【解析】 【分析】将转化为，进而转化为研究最小值问题，利用正六边形的几何性质求解即可. 【详解】 如图所示，由正六边形的几何性质可知，均是边长为4的等边三角形， ， 又,， 当点P位于正六边形各边的中点时，取最小值， 如图为中点，连接，则, 此时， 即的最小值为 8． 故答案为：8． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知向量、满足，. （1）求与的夹角； （2）求； （3）求向量在向量上的投影向量的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用平面向量数量积的坐标运算可求出与的夹角； （2）求出向量的坐标，利用平面向量的模长公式可求得的值； （3）利用投影向量的定义结合平面向量数量积的坐标运算可求出向量在向量上的投影向量的坐标. 【小问1详解】 因为向量、满足，，则，，， 所以，， 因为，故，即与的夹角为. 【小问2详解】 因为，故. 【小问3详解】 向量在向量上的投影向量为. 16. 在中，，. （1）求； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积． 条件①：；条件②：； 条件③：.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1） （2）选条件①：不存在； 选条件②：当时，. 当时，. 选条件③：. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，即可求出，从而得解； （2）若选择①，利用正弦定理推出不存在；若选择②，利用余弦定理求出，再由面积公式计算可得；若选择③，首先求出，利用正弦定理求出，再由两角和的正弦公式求出，最后由面积公式计算可得. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理，得. 因为在中，，所以. 所以. 因为，所以. 【小问2详解】 选条件①：， 则，即，解得， 故无解，所以不存在； 选条件②：， 由余弦定理，得. 解得或. 当时，. 当时，. 条件③：， 因为，所以为钝角，所以. 由，得. 因为 ， 所以. 17. 如图所示，在四棱锥中，平面，，E是PD的中点. （1）求证：； （2）求证：平面； （3）若M是线段上一动点，则线段上是否存在点N，使平面？说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）存在，证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的性质定理即可证明； （2）由中位线、线面平行的性质可得四边形为平行四边形，再根据线面平行的判定即可证明； （3）根据线面、面面平行的性质定理和判断定理即可判断存在性. 【小问1详解】 在四棱锥中，平面，平面，平面， 平面平面，所以； 【小问2详解】 如下图，取为中点，连接，由E是PD的中点， 所以且，由（1）知，又， 所以且，所以四边形为平行四边形，故， 而平面，平面，则平面. 【小问3详解】 取中点N，连接，， 因为E，N分别为，的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 线段存在点N，使得平面，理由如下： 由（2）知：平面，又，平面，平面， 所以平面平面，又M是上的动点，平面， 所以平面，所以线段存在点N，使得平面. 18. 在中，内角A、B、C对应的边分别是a、b、c，且. （1）求角A的大小； （2）若，，求a； （3）若为锐角三角形，，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结合正弦定理和诱导公式，化简求值即可； （2）通过三角形的面积公式求出边长，再利用余弦定理求解即可； （3）通过正弦定理，将边用角表示，然后结合三角形中角的关系，将问题表示为单一变量角的函数，再结合锐角三角形，确定角的取值范围，再利用正弦函数求取值范围即可. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得，即， 因为在中，，所以， 又，所以. 【小问2详解】 因为，，，所以，解得. 由余弦定理得. 【小问3详解】 因为，， 结合正弦定理，得，所以，. 在中，, 所以. 因为为锐角三角形，所以，所以， 则，所以， 所以. 19. 现有一几何体由上，下两部分组成，上部是正四棱锥，下部是正四棱柱（如图所示），且正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍． （1）求该几何体的表面积； （2）若分别为棱的中点，求四面体的体积； （3）若分别是线段上的动点，求的最小值． 【答案】（1） （2）96 （3） 【解析】 【分析】（1）连接，则，求得，得到，且，结合棱锥的侧面积公式和正方形的面积公式，即可求解； （2）解法1：根据题意，得到三棱锥为底面边长为，侧棱长正三棱锥， 解法2：作于点，于点，结合割补法，利用棱柱和棱锥的体积公式，即可求解； 解法3：利用体积转换法，化简，结合锥体的体积公式，即可求解. （3）将长方形， 和 展开在一个平面，设，求得的值，得到当四点共线时，最短，结合余弦定理，即可求解. 【小问1详解】 连接，则，因为，所以， 所以正方形中，可得， 又因为，在中，， 故四棱锥的侧面积为， 又由正方体5个面的面积为， 所以多面体的表面积为． 【小问2详解】 解法1：在直角中，可得，则， 又由，同理可得：， 所以三棱锥为底面边长为，侧棱长为正三棱锥， 如图所示，过点作底面的高，垂足为， 因为底面是正三角形，故是正三角形的重心，可得, 所以，即三棱锥的高为， 所以． 解法2：如图所示，作于点，于点． 则， 其中， 所以． 解法3：转换法，由 , 所以四面体的体积为. 【小问3详解】 如图所示，将长方形， 和 展开在一个平面， 可得， 设， ，所以， 所以，， ， 当四点共线时，最短， 所以， 所以的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $