1.4.1.2 空间中直线、平面的平行 同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦空间线面平行判定与性质，通过基础概念辨析、空间向量运算到综合几何证明的三阶设计，强化直观想象与逻辑推理，适配新授课分层巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|线面平行判定、法向量性质|单选1-4直接应用定义，填空12-13强化坐标运算，夯实概念理解| |能力提升|复杂几何体线面关系、参数问题|单选5-8结合正方体/长方体动态动点，多选9-11辨析易混结论，培养空间观念| |综合应用|平行证明与存在性探究|解答题15-19以阳马、四棱锥为背景，融合向量法与几何法，发展数学建模与推理能力|

1.4.1.2 空间中直线、平面的平行 同步练 2026-2027学年上学期高中数学人教A版选择性必修第一册 一、单选题 1．已知平面的一个法向量为，若直线满足，且，则（    ） A． B． C．直线与平面相交 D．直线与平面的位置关系不确定 2．如图所示，在正方体中，棱长为a，M，N分别为和AC上的点，，则MN与平面的位置关系是（    ） A．相交 B．平行 C．垂直 D．MN在平面内 3．《九章算术》是我国古代数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，在阳马中，平面，底面是正方形，，E，F分别为，的中点，，，若平面，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．已知是直线的方向向量，是平面的法向量.若，则（    ） A．7 B． C． D． 5．如图，在长方体中，E，F，P分别是，，BD的中点，且，，Q是平面内一点，若，则（    ） A． B． C． D． 6．如图， 平面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F分别为PD，PB的中点，点G在线段AP上，AC与BD交于点O，，若平面，则（    ） A． B． C． D．1 7．已知棱长为的正方体中，点P满足，其中，．当平面时，的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 8．如图，正方形的棱长为分别是的中点，是四边形内一动点，，若直线与平面没有公共点，则线段的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知空间中两条不同的直线，两个不同的平面,则下列说法中错误的是（　） A．若直线的一个方向向量为,直线的一个方向向量为,则∥ B．若直线的方向向量为,平面的法向量为,则∥ C．若平面的法向量分别为,,则∥ D．若平面经过三个点）, ,,向量是平面的一个法向量，则 10．下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（ ） A．两条不重合直线，的方向向量分别是，，则 B．两个不同的平面，的法向量分别是，，则 C．直线的方向向量，平面的法向量是，则 D．直线的方向向量，平面的法向量是，则 11．如图，在正方体中，为底面的中心，E，F分别为，的中点，P点满足，则（    ） A．平面 B．平面 C． D．P，G，E，F四点共面 三、填空题 12．如图，平面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F分别为PD，PB的中点，点G在线段AP上，AC与BD交于点O，，若平面EFC，则_________. 13．在空间直角坐标系中，已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则实数k的值为__________. 14．在长方体中，，，，是的中点，点满足，当平面时，的值为_____. 四、解答题 15．如图所示，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，为的中点，，求证：．    16．在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，，是棱的中点．试用向量的方法证明：平面平面．    17．如图，在长方体中，，，. (1)求证：平面平面. (2)线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由. 18．如图所示，四棱锥S－ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点． (1)若P为侧棱SD上的中点，证明SB平面PAC． (2)若SD⊥平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE平面PAC？若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由． 19．如图， 在长方体中，.    (1)求平面的法向量. (2)线段中点为点，求证平面. 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B C B A C C D BCD AB 题号 11 答案 ABD 1．A 直接利用向量垂直的充要条件求出结果． 由于平面的一个法向量为，若直线满足， 故，由于且，故， 可知A正确，且BCD错误. 故选：A. 2．B 以点为坐标原点，分别以所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出平面的一个法向量，利用向量数量积的坐标运算可得线面平行． 以点为坐标原点，分别以所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，则， 又因为平面，则为平面的一个法向量， 可得，可知， 且平面，所以MN与平面的位置关系是平行. 故选：B. 3．C 以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，根据法向量的求法可求得平面的法向量，由可求得结果． 以为坐标原点，正方向为，，轴，可建立如图所示空间直角坐标系， 设，则,0,,0,,,,,, ， 所以，，，， 设平面的法向量， 则，令，得，，所以； 由可得是的中点，， 由可得， 所以， 因为平面，所以，解得． 故选：C 4．B 由线面位置关系和空间直线方向向量与平面法向量的定义可解. 由题意，若，则，所以，即，解得. 故选：B. 5．A 建立直角坐标系，求出相应点的坐标，设, 根据平行，可求得的坐标，进一步求出来结果. 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，． 因为平面，所以可设，则， 由于，所以，，解得，， 所以，. 故选：A 6．C 如图所示，以为坐标原点， 的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，求得平面EFC的一个法向量为，设，得，根据平面EFC，即可求解. 如图所示，以为坐标原点， 的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系， 由题意可得 ,， 则, 所以， 设平面EFC的法向量为， 则，解得， 令，则， 所以平面EFC的一个法向量为. 因为平面EFC，则， 设，则，所以， 解得，所以，即. 故选：C 7．C 根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量结合线面平行求出的关系，再借助二次函数求出向量模的最小值作答. 在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，    则， ，于是， 即有，向量是平面的一个法向量， ，则，而， 于是，因为平面，则， 即，化简得，即， 因此，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 故选：C 8．D 以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，设，由空间向量法求出点轨迹方程，然后再由向量的模的坐标表示求得模，再化为关于的函数，结合函数知识得最小值． 建立如图所示的空间直角坐标系，则， ，. 设平面的法向量为， 则，即 令，可得. 设，则. 因为直线与平面没有公共点，所以平面，则， 所以，即. 当时，取得最小值，最小值为 故选：D 9．BCD A选项根据直线方向向量平行则两直线平行即可判断；B选项根据直线方向向量与平面的法向量垂直则线面垂直即可判断；C选项根据两平面的法向量平行即可判断两平面平行；D选项结合法向量的概念，列出方程组，求出即可判断. 对于A，，则∥，∴∥，故A中说法正确; 对于B，，则⊥∴，l∥或⊂，故B中说法错误; 对于C，若，则，得，此方程组无解,∴∥不成立,故C中说法错误; 对于D，，，∵是平面的法向量，∴，解得，∴，故D中说法错误. 故选：BCD. 10．AB 运用空间线线平行，线面平行，线面垂直，面面垂直的向量证明方法，结合向量平行垂直的坐标结论，逐个判断即可. 对A，两条不重合直线，的方向向量分别是，，则，所以，A正确； 对B，两个不同的平面，的法向量分别是，， 则，所以，B正确； 对C，直线的方向向量，平面的法向量是， 则，所以或，C错误； 对D，直线的方向向量，平面的法向量是，则，所以，D错误． 故选：AB 11．ABD 建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算判断ABC；求出点坐标，再推导出判断D. 在正方体中，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 令，则，， 则，，，， 设平面的法向量，则，令，得， 对于A，，且平面，则平面，A正确； 对于B，，平面，则平面，B正确； 对于C，，，，， 则，C错误； 对于D，由，得， 即，则，，即， 因此，即四点共面，D正确. 故选：ABD. 12． 建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据求解即可. 如图所示，以A为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系， 由题意可得， 则， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，则得一个法向量为. 因为平面，则， 设，则，所以， 解得，所以，即. 故答案为： 13．1 根据空间向量平行的坐标表示求解. 解： ， ， 存在实数使得 ，解得 故答案为： 14． 建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量的方法即可求解. 根据已知条件，建立如图所示： 以为坐标原点，、、分别为、、轴的空间直角坐标系， ，，，，， ，， ， ， 设平面的一个法向量， ，，则， 令，有，，所以， 平面，则，即， 解得. 故答案为： 15．证明: 证法一：由题意知，直线两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 所以， 所以，又，故． 证法二：由题意可得 ， 又，所以． 证法一：以为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､轴建立空间直角坐标系，求出的坐标，利用空间向量共线的坐标表示可得答案； 证法二：由空间向量的线性表示可得答案. 略.   16．因为，，是棱的中点， 所以，所以为正三角形． 因为为等腰梯形，，， 所以． 取的中点，连接，则，所以． 以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，    则，，，，，， 所以，，，， 所以，，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为，平面，平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面. 先根据直棱柱及建立空间直角坐标系由向量关系得出线线平行，再应用面面平行判定定理得证． 略 17．(1)证明：以D为原点，DA，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 则，，，. 设平面的法向量为， 则. 取，则，，所以平面的一个法向量为. 设平面的法向量为， 则. 取，则，，所以平面的一个法向量为. 因为，即，所以平面平面. (2)存在，P为线段的中点 （1）根据题意，以D为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面与平面的法向量，由法向量平行，即可证明面面平行； （2）由空间向量的坐标运算，由与平面的法向量垂直，代入计算，即可求解. （1）略； （2）设线段上存在点P使得平面，. 由（1）得，，平面的一个法向量为， 所以. 所以，解得. 所以当P为线段的中点时，平面. 18．(1) 如图所示： 连接BD与AC交于点O，连接OP， 因为四边形ABCD是正方形， 所以O为中点，又P为侧棱SD上的中点， 所以， 又平面PAC，平面PAC， 所以平面PAC； (2)存在，. （1）连接BD与AC交于点O，连接OP，易得O为中点，又P为侧棱SD上的中点，得到，利用线面平行的判定定理证明； （2）以O为原点，以OB，OC，OS分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设侧棱SC上存在一点E，使得BE平面PAC，且，由SD⊥平面PAC，得到是平面PAC的一个法向量，然后根据BE平面PAC，由求解. （1）略 （2）建立如图所示空间直角坐标系： 设侧棱SC上存在一点E，使得BE平面PAC，且， 设正方形ABCD的边长为1， 则， 所以， 则， 因为SD⊥平面PAC， 所以是平面PAC的一个法向量， 若BE平面PAC，则， 解得， 所以侧棱SC上存在一点E，使得BE平面PAC，且. 19．(1) (2) 证明：，则， 故， 因为， 所以， 又平面， 所以平面. （1）以点为原点建立空间直角坐标系，根据法向量与平面垂直即可求出法向量； （2）证明直线的方向向量与平面的法向量垂直即可得证. （1）如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 则， 故， 设平面的法向量为， 则有，令，则， 所以， 所以平面的法向量为； （2）略 学科网（北京）股份有限公司 $