25.3实际问题与一元二次方程---第4课时 商品销售问题和动点运动问题 同步练习 2026‑2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程的商品销售与动点运动问题，通过基础巩固、中档应用、提升拓展三层设计，实现从单一建模到综合探究的知识进阶，培养抽象能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|商品销售/动点运动基础列方程|如选择1-3直接建立利润与销量关系，填空11-12聚焦单一降价情境，强化建模规范| |中档|多情境应用与分类讨论|如选择4涉及涨价/降价双情境，填空14-15需考虑动点运动范围，提升推理意识| |提升|动态几何与实际问题综合|如解答22结合等腰三角形分类讨论，解答21探究等边三角形运动中的面积关系，发展空间观念与创新意识|

第二十五章 一元二次方程 25.3实际问题与一元二次方程 第4课时 商品销售问题和动点运动问题 1、 选择题 1．某种服装平均每天可销售20件，每件盈利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要盈利1600元，每件降价多少元？设每件降价x元，则可列方程为（　　） A．（44+x）（20+5x）＝1600 B．（44﹣x）（20+5x）＝1600 C．（44﹣x）（20﹣5x）＝1600 D．（44﹣10x）（20+5x）＝1600 【答案】B． 【分析】关系式为：每件服装的盈利×（原来的销售量+增加的销售量）＝1600，为了减少库存，计算得到降价多的数量即可． 【详解】解：设每件服装应降价x元，根据题意，得： （44﹣x）（20+5x）＝1600 故选：B． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，得到现在的销售量是解决本题的难点；根据每天盈利得到相应的等量关系是解决本题的关键． 2．某商场销售一款T恤，进价为每件40元，当售价为每件60元时，平均每周可卖出200件，为扩大销售，增加利润，商场准备降价销售．经市场调查发现，每件每降价1元，平均每周可多卖出8件，若要使每周销售该款T恤获利8450元，设每件降低x元，则可列方程为（　　） A．（60﹣x）（200+8x）＝8450 B．（20﹣x）（200+x）＝8450 C．（40﹣x）（200+8x）＝8450 D．（20﹣x）（200+8x）＝8450 【答案】D． 【分析】当每件降低x元时，每件的销售利润为（20﹣x）元，平均每周可售出（200+8x）件，利用每周销售该款T恤获得的总利润＝每件的销售利润×每周的销售量，可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：当每件降低x元时，每件的销售利润为60﹣x﹣40＝（20﹣x）元，平均每周可售出（200+8x）件， 根据题意得：（20﹣x）（200+8x）＝8450． 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 3．某种服装，平均每天可以销售20件，每件盈利44元．在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件每降价1元，则每天可多售出5件．如果每天要盈利1600元，则每件应降价（ ）元． A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B． 【分析】设每件降价x元，则每件盈利（44﹣x）元，平均每天可销售（20+5x）件，利用总利润＝每件的销售利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【详解】解：设每件降价x元，则每件盈利（44﹣x）元，平均每天可销售（20+5x）件， 依题意得：（44﹣x）（20+5x）＝1600， 整理得：x2﹣40x+144＝0， 解得：x1＝4，x2＝36（不符合题意，舍去）， ∴每件应降价4元． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 4．某商店经销一种销售成本为20元/个的商品，当售价为每个30元时，每月可售出1000个，根据市场分析，每涨价1元，每月要少售出100个；每降价1元，则每月多售出100个．当该商品的售价定为（    ）元/个时，月利润为9600元 A．32 B．28 C．32或36 D．32或28 【答案】D 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用题，审清题意、正确列出一元二次方程是解题的关键． 设销售价应定为每件x元，然后根据题意列一元二次方程求解即可． 【详解】解：设销售价应定为每件x元， 当涨价时：由题意可得：， 整理得：， 解得：或（舍去）， 所以该商品的售价定为32元/个时，月利润为9600元； 当降价时：由题意可得：， 整理得：， 解得：（舍去）或， 所以该商品的售价定为28元/个时，月利润为9600元； 综上所述，当该商品的售价定为32或28元/个时，月利润为9600元． 故选D． 5．某商店将进货价为8元/件的商品按10元/件售出，每天可售200件．通过调查发现，该商品若每件涨0.5元，其销量就减少10件．售价为（    ）元时，每天的利润可得到700元． A．13 B．15 C．13或15 D．10 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键．设涨价t元，根据每天的利润=单件利润×销售量列出方程求解即可； 【详解】解：设涨价t元， 根据题意，得：， ∴， 即， 解得：，， ∴（元）或（元）, 即售价为13或15元时，每天的利润可得到700元． 故选：C． 6．如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝7cm，BC＝3cm，点P以1cm/s的速度从点A开始沿边AB向点B移动，点Q以2cm/s的速度从点B开始沿边BC向点C移动，且点P，Q分别从点A，B同时出发，若有一点到达目的地，则另一点同时停止运动．要使P，Q两点之间的距离等于，则需要经过（　　） A． B．2s C． D．或2s 【答案】A． 【分析】设经过x s，P、Q之间的距离等于，先用含x的代数式分别表示BP和BQ的长度，进一步利用勾股定理建立方程求得答案即可． 【详解】解：设x s后P、Q之间的距离等于， 由题意得，AP＝x cm，BQ＝2x cm， ∴BP＝AB﹣AP＝（7﹣x）cm， ∵BP2+BQ2＝PQ2， ∴， 解得，，x2＝2， 当x2＝2时，BQ＝2x＝4＞BC，不合题意，舍去， ∴， ∴需要经过． 故选：A． 【点睛】本题主要考查勾股定理以及一元二次方程的应用．根据勾股定理列出方程是解题的关键． 7．在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，动点P从点A沿线段AB向点B移动，一动点Q从点B沿线段BC向点C移动，两点同时开始移动，点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，当Q到达点C时两点同时停止运动．若使△PBQ的面积为5cm2，则点P运动的时间是（　　） A．1s B．4s C．5s或1s D．4s或1s 【分析】设点P运动的时间为ts，则BP＝（6﹣t）cm，BQ＝2tcm，利用三角形的面积计算公式，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出t的值，再结合当Q到达点C时两点同时停止运动，即可得出点P运动的时间． 【解答】解：设点P运动的时间为ts，则BP＝（6﹣t）cm，BQ＝2tcm， 依题意得：（6﹣t）×2t＝5， 整理得：t2﹣6t+5＝0， 解得：t1＝1，t2＝5， ∵当Q到达点C时两点同时停止运动， ∴2t≤8， ∴t≤4， ∴t＝1． 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 8．如图，在中，，，，点从点出发，以的速度沿边向点匀速运动，同时另一点从点出发，以的速度沿射线匀速运动，当的面积为时，运动时间为（   ） A．5s B．20s C．5s或20s D．5s或10s 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的应用，三角形的面积公式等知识，解题的关键是把问题转化为方程，属于基础题，中考常考题型． 根据三角形的面积公式列出方程即可解决问题． 【详解】解：设运动时间为t秒，则有，， ， ， ， 解得或5， 或时，的面积为． 故选：C． 9．如图，在等腰中，，，动点P从点A出发沿向点B移动，作，，当的面积为面积的一半时，点P移动的路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设AP＝xcm，则PB＝（8−x）cm，求出∠A＝45°，∠APR＝90°，得到PR＝PA＝xcm，然后根据▱PQCR的面积为△ABC面积的一半列方程求解即可． 【详解】解：设AP＝xcm，则PB＝（8−x）cm， ∵∠B＝90°，AB＝BC＝8cm， ∴∠A＝45°， ∵PRBC， ∴∠APR＝90°， ∴PR＝PA＝xcm， ∵▱PQCR的面积为△ABC面积的一半， ∴， 解得：， ∴点P移动的路程为4cm． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，一元二次方程的应用，根据几何图形的性质得出方程是解题的关键． 10．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，点P从点A开始，沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果点P，Q同时出发，当一个点到达目的地时，所有运动停止．若四边形APQC的面积为9cm2，则点P运动的时间是（　　） A．3s B．3s或5s C．4s D．5s 【答案】A． 【分析】利用时间＝路程÷速度，可求出点P的运动时间不超过3s，当运动时间为ts时，BQ＝2tcm，BP＝（8﹣t）cm，根据四边形APQC的面积为9cm2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：∵8÷1＝8（s），6÷2＝3（s）， ∴点P的运动时间不超过3s． 当运动时间为ts时，AP＝tcm，BQ＝2tcm，BP＝（8﹣t）cm， 根据题意得：8×62t（8﹣t）＝9， 整理得：t2﹣8t+15＝0， 解得：t1＝3，t2＝5（不符合题意，舍去）， ∴点P运动的时间是3s． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 2、 填空题 11．某商品进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克．后经市场调查发现，单价每降低1元，平均每天的销售量可增加10千克．商家销售这种商品若想要平均每天获利2240元，且销售量尽可能大，则每千克这种商品应定价为 元． 【答案】 【分析】设定价为x元，利用销售量×每千克的利润元列出方程求解即可. 本题主要考查了一元二次方程的应用，关键是弄懂题意，找出题目中的等量关系，表示出销售量和每千克的利润，再列出方程． 【详解】解：设定价为x元.根据题意可得， 解之得：， ∵销售量尽可能大 ∴， 故答案为： 12．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取降价措施．经调查发现：如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．若商场想平均每天盈利1200元，每件衬衫应降价 元 【答案】20 【分析】设每件衬衫应降价x元,则每件衬衫盈利(40﹣x)元,销售量为(20+2x)件，再根据总盈利为1200元列出方程求解即可解答. 【详解】设每件衬衫应降价x元．根据题意，得． 整理，得， 解得． 要扩大销售，减少库存， 应舍去， ． 故每件衬衫应降价20元． 13．某商店从厂家以每件18元的价格购进一批商品．该商品可以自行定价．据市场调查，该商品的售价与销售量的关系是：若每件售价a元，则可卖出（320﹣10a）件，但物价部门限定每件商品加价不能超过进货价的25%，如果商店计划要获利400元．则每件商品的售价应定为 元 【答案】． 【分析】利用商店销售该商品获得的利润＝每件的销售利润×销售数量，即可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出a的值，再结合物价部门限定每件商品加价不能超过进货价的25%，即可确定每件商品的售价． 【详解】解：依题意得：（a﹣18）（320﹣10a）＝400， 整理得：a2﹣50a+616＝0， 解得：a1＝22，a2＝28． 又∵物价部门限定每件商品加价不能超过进货价的25%， ∴售价不能超过18×（1+25%）＝22.5（元）． ∴a＝22． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 14．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝30cm，BC＝25cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动，速度是2cm/s；同时，动点Q从点B出发，沿BC方向运动，速度是1cm/s，则经过 　 s后，P，Q两点之间相距25cm． 【答案】10． 【分析】设x秒后P、Q两点相距25cm，用x表示出CP、CQ，根据勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：设x秒后P、Q两点相距25cm， 则CP＝2xcm，CQ＝（25﹣x）cm， 由题意得，（2x）2+（25﹣x）2＝252， 解得，x1＝10，x2＝0（舍去）， 则10秒后P、Q两点相距25cm． 故答案为：10． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 15．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝5cm，点E从A点出发，沿射线AB运动，速度为2cm/s，点F从点C出发，沿线段CA运动，速度为1cm/s，连接EF．E、F两点同时出发，当点F到达点A时，点E也停止运动，请问经过 　 　 s后，△AEF的面积恰为12cm2． 【答案】4或6． 【分析】过E作EH⊥AC于H，设运动时间为t s，根据△AEF的面积恰为12cm2，得t（10﹣t）＝12，即可解得答案． 【解答】解：过E作EH⊥AC于H，如图： 设运动时间为t s， ∵Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝5cm， ∴AC＝2BC＝10cm， 根据题意得：AE＝2t cm，CF＝t cm， ∴AF＝（10﹣t）cm，EHAE＝t cm， ∵△AEF的面积恰为12cm2， ∴t（10﹣t）＝12， 解得t＝4或t＝6， ∴经过4s或6s后，△AEF的面积恰为12cm2． 故答案为：4或6． 【点评】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，用含t的代数式表示相关线段的长度． 16．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝5cm，AD＝3cm，G为边AB上一点，GB＝1cm，动点E、F同时从点D出发，点F沿射线DG﹣GB﹣BC运动到点C时停止，点E沿DC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/s，若E、F同时运动ts时，△DEF的面积为5cm2，则t的值为 　 ． 【答案】或7． 【分析】分三种情况：①点F在DG上；②点F在BG上；③点F在BC上；根据等量关系：△DEF的面积为5cm2，列出方程求解即可． 【详解】解：在Rt△ADG中，DG5， ①点F在DG上，依题意有 tt＝5， 解得t＝±（负值舍去）； ②点F在BG上，依题意有 5×3≠5， 此种情况不存在， ③点F在BC上，依题意有 5×[3﹣（t﹣6）]＝5， 解得t＝7． 答：t的值为或7． 故答案为：或7． 【点睛】考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．注意分类思想的运用． 是本题的解题关键． 3、 解答题 17．电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个． (1)求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率． (2)为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 【答案】(1)日平均增长率为 (2)每个玩偶降价元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设日平均增长率为，根据题意，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设每个玩偶降价元，根据当日总利润可达到 5940 元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设日平均增长率为， 由题意得：， 解得：（舍）， 答：日平均增长率为； （2）解：设每个玩偶降价元， 由题意得：， 解得：（舍）， 答：每个玩偶降价2元． 18．第九届亚冬会于2025年2月7日至2月14日在我国冰城哈尔滨胜利召开．徽章作为亚冬会第一批特许商品早于2024年2月4日开售，并深受大家的喜爱．某商店以每枚45元的价格购进某款亚冬会徽章，以每枚68元的价格出售，经统计，2024年2月份的销售量为256枚，2024年4月份的销售量为400枚． (1)求该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率； (2)从5月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，已知徽章每降价1元，月销售量就会增加20枚，当该款徽章降价多少元时，5月销售利润达8400元？ 【答案】(1) (2)元 【分析】（1）设该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率为x，根据题干条件列出一元二次方程，取符合题意的值即可； （2）设该款徽章降价元，根据5月销售利润达8400元，列出一元二次方程，取符合题意的值即可． 【详解】（1）设该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率为x， 根据题意，可得， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率为． （2）设该款徽章降价元，则每枚的利润为元，月销售量为枚， 根据题意，可得， 整理得， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：当该款徽章降价8元时，5月销售利润达8400元． 19．某文具店新进一批体育中考专用排球，每个排球的进价为40元，原计划以每个60元的价格销售，为更好地满足学生的需求，现决定降价销售，已知这种排球销售量y（个）与每个排球降价x（元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示： （1）求y与x之间的函数关系式； （2）在这次排球销售中，该文具店获利1760元，这种排球每个的实际售价多少元？ 【答案】（1）y＝10x+100； （2）48元． 【分析】（1）根据图象上点的坐标，利用待定系数法，即可求出y与x之间的函数关系式； （2）利用总利润＝每个排球的销售利润×销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再将其符合题意的值代入（60﹣x）中，即可求出结论． 【详解】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0）， 将（1，110），（3，130）代入y＝kx+b得：， 解得：， ∴y与x之间的函数关系式为y＝10x+100； （2）根据题意得：（60﹣x﹣40）（10x+100）＝1760， 整理得：x2﹣10x﹣24＝0， 解得：x1＝12，x2＝﹣2（不符合题意，舍去）， ∴60﹣x＝60﹣12＝48． 答：这种排球每个的实际售价是48元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）利用待定系数法，求出y与x之间的函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 20．如图A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B点为止，点Q以2cm/s的速度向D点移动，当点P到达B点时点Q随之停止运动． （1）AP＝　 　，BP＝　 　，CQ＝　 　，DQ＝　 　（用含t的代数式表示）； （2）t为多少时，四边形PBCQ的面积为33cm2； （3）t为多少时，点P和点Q的距离为10cm． 【答案】（1）3tcm；（16﹣3t）cm；2tcm；（16﹣2t）cm． （2）t＝5. （3）或． 【分析】（1）当运动时间为ts时，根据点P，Q的运动方向及运动速度，即可用含t的代数式表示出各线段的长度； （2）利用梯形的面积计算公式，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出t的值； （3）过点Q作QE⊥AB于点E，则PE＝|16﹣5t|，利用勾股定理，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：（1）当运动时间为ts时，AP＝3tcm，BP＝（16﹣3t）cm，CQ＝2tcm，DQ＝（16﹣2t）cm． 故答案为：3tcm；（16﹣3t）cm；2tcm；（16﹣2t）cm． （2）依题意得：[（16﹣3t）+2t]×6＝33， 整理得：16﹣t＝11， 解得：t＝5. 答：当t为5时，四边形PBCQ的面积为33cm2． （3）过点Q作QE⊥AB于点E，则PE＝|（16﹣3t）﹣2t|＝|16﹣5t|，如图所示． 依题意得：|16﹣5t|2+62＝102， 即（16﹣5t）2＝82， 解得：t1，t2． 答：当t为或时，点P和点Q的距离为10cm． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次方程的应用、列代数式以及勾股定理，解题的关键是：（1）根据各线段之间的关系，用含t的代数式表示出各线段的长度；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 21．如图，是边长为6cm的等边三角形，动点，同时从，两点出发，分别沿，匀速移动，它们的速度都是2，当点到达点时，，两点都停止运动，设点的运动时间为，解答下列问题： (1)当为何值时，是以为直角的直角三角形？ (2)是否存在，使四边形的面积是面积的？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)1 (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）当时，利用直角三角形的性质建立方程，解方程即可得； （2）假设存在某一时刻，使四边形的面积是面积的，从而可得，过点作于点，利用直角三角形的性质和勾股定理可得，再利用三角形的面积公式建立方程，然后利用一元二次方程根的判别式进行分析即可得出答案． 【详解】（1）由题意得：， ， 为等边三角形， ， 当点到达点时，， 则， ∵， ， ，即， 解得，符合题意； （2）不存在，使四边形的面积是面积的，理由如下： 假设存在某一时刻，使四边形的面积是面积的， 由（1）得：， ， 如图，过点作于点， ， ， ， 整理得：， 此方程根的判别式为，方程无解， 所以假设不成立， 即不存在，使四边形的面积是面积的． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理、一元二次方程的应用等知识点，正确建立关于时间的方程是解题关键． 22．如图，在中，，，，点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿向点B匀速运动，同时点Q从点B出发以每秒2cm的速度沿向点C匀速运动，到达点C后返回点B，当有一点停止运动时，另一点也停止运动，设运动时间为秒． (1)当时，直接写出P，Q两点间的距离． (2)是否存在，使得是等腰三角形，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． (3)是否存在，使得的面积等于，若存在，请求出的值：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)或； (3)或． 【分析】（1）求出，，再利用勾股定理即可求出； （2）因为，所以当是等腰三角形时，只有，表示出，当时，；当时，；当时，；利用，即可求出t的值； （3）由（2）可知：，当时，；当时，；当时，；利用，解关于t的方程即可． 【详解】（1）解：当时，由题意可知：，， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴是等腰三角形时，只有， 由题意可知：， ∵Q从点B出发以每秒2cm的速度沿向点C匀速运动，到达点C后返回点B，当有一点停止运动时，另一点也停止运动， ∴当时，；当时，；当时，； ∵ ∴，解得：，故不符合题意； ，解得：，符合题意； ，解得：，符合题意； 综上所述：或； （3）解：假设存在t使得的面积等于， 由（2）可知：，当时，；当时，；当时，； ∴当时，；解得：或（舍去） 当时，，解得：或（舍去）； 当时，，因为，故无解， 综上所述，当或时的面积等于． 【点睛】本题考查动点问题，等腰三角形的定义，勾股定理，一元二次方程的几何应用，解题的关键是理解题意，结合图形表示出的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十五章 一元二次方程 25.3实际问题与一元二次方程 第4课时 商品销售问题和动点运动问题 1、 选择题 1．某种服装平均每天可销售20件，每件盈利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要盈利1600元，每件降价多少元？设每件降价x元，则可列方程为（　　） A．（44+x）（20+5x）＝1600 B．（44﹣x）（20+5x）＝1600 C．（44﹣x）（20﹣5x）＝1600 D．（44﹣10x）（20+5x）＝1600 2．某商场销售一款T恤，进价为每件40元，当售价为每件60元时，平均每周可卖出200件，为扩大销售，增加利润，商场准备降价销售．经市场调查发现，每件每降价1元，平均每周可多卖出8件，若要使每周销售该款T恤获利8450元，设每件降低x元，则可列方程为（　　） A．（60﹣x）（200+8x）＝8450 B．（20﹣x）（200+x）＝8450 C．（40﹣x）（200+8x）＝8450 D．（20﹣x）（200+8x）＝8450 3．某种服装，平均每天可以销售20件，每件盈利44元．在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件每降价1元，则每天可多售出5件．如果每天要盈利1600元，则每件应降价（ ）元． A．2 B．4 C．6 D．8 4．某商店经销一种销售成本为20元/个的商品，当售价为每个30元时，每月可售出1000个，根据市场分析，每涨价1元，每月要少售出100个；每降价1元，则每月多售出100个．当该商品的售价定为（    ）元/个时，月利润为9600元 A．32 B．28 C．32或36 D．32或28 5．某商店将进货价为8元/件的商品按10元/件售出，每天可售200件．通过调查发现，该商品若每件涨0.5元，其销量就减少10件．售价为（    ）元时，每天的利润可得到700元． A．13 B．15 C．13或15 D．10 6．如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝7cm，BC＝3cm，点P以1cm/s的速度从点A开始沿边AB向点B移动，点Q以2cm/s的速度从点B开始沿边BC向点C移动，且点P，Q分别从点A，B同时出发，若有一点到达目的地，则另一点同时停止运动．要使P，Q两点之间的距离等于，则需要经过（　　） A． B．2s C． D．或2s 7．在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，动点P从点A沿线段AB向点B移动，一动点Q从点B沿线段BC向点C移动，两点同时开始移动，点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，当Q到达点C时两点同时停止运动．若使△PBQ的面积为5cm2，则点P运动的时间是（　　） A．1s B．4s C．5s或1s D．4s或1s 8．如图，在中，，，，点从点出发，以的速度沿边向点匀速运动，同时另一点从点出发，以的速度沿射线匀速运动，当的面积为时，运动时间为（   ） A．5s B．20s C．5s或20s D．5s或10s 9．如图，在等腰中，，，动点P从点A出发沿向点B移动，作，，当的面积为面积的一半时，点P移动的路程为（    ） A． B． C． D． 10．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，点P从点A开始，沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果点P，Q同时出发，当一个点到达目的地时，所有运动停止．若四边形APQC的面积为9cm2，则点P运动的时间是（　　） A．3s B．3s或5s C．4s D．5s 2、 填空题 11．某商品进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克．后经市场调查发现，单价每降低1元，平均每天的销售量可增加10千克．商家销售这种商品若想要平均每天获利2240元，且销售量尽可能大，则每千克这种商品应定价为 元． 12．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取降价措施．经调查发现：如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．若商场想平均每天盈利1200元，每件衬衫应降价 元 13．某商店从厂家以每件18元的价格购进一批商品．该商品可以自行定价．据市场调查，该商品的售价与销售量的关系是：若每件售价a元，则可卖出（320﹣10a）件，但物价部门限定每件商品加价不能超过进货价的25%，如果商店计划要获利400元．则每件商品的售价应定为 元 14．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝30cm，BC＝25cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动，速度是2cm/s；同时，动点Q从点B出发，沿BC方向运动，速度是1cm/s，则经过 　 s后，P，Q两点之间相距25cm． 15．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝5cm，点E从A点出发，沿射线AB运动，速度为2cm/s，点F从点C出发，沿线段CA运动，速度为1cm/s，连接EF．E、F两点同时出发，当点F到达点A时，点E也停止运动，请问经过 　 　 s后，△AEF的面积恰为12cm2． 16．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝5cm，AD＝3cm，G为边AB上一点，GB＝1cm，动点E、F同时从点D出发，点F沿射线DG﹣GB﹣BC运动到点C时停止，点E沿DC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/s，若E、F同时运动ts时，△DEF的面积为5cm2，则t的值为 　 ． 3、 解答题 17．电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个． (1)求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率． (2)为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 18．第九届亚冬会于2025年2月7日至2月14日在我国冰城哈尔滨胜利召开．徽章作为亚冬会第一批特许商品早于2024年2月4日开售，并深受大家的喜爱．某商店以每枚45元的价格购进某款亚冬会徽章，以每枚68元的价格出售，经统计，2024年2月份的销售量为256枚，2024年4月份的销售量为400枚． (1)求该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率； (2)从5月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，已知徽章每降价1元，月销售量就会增加20枚，当该款徽章降价多少元时，5月销售利润达8400元？ 19．某文具店新进一批体育中考专用排球，每个排球的进价为40元，原计划以每个60元的价格销售，为更好地满足学生的需求，现决定降价销售，已知这种排球销售量y（个）与每个排球降价x（元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示： （1）求y与x之间的函数关系式； （2）在这次排球销售中，该文具店获利1760元，这种排球每个的实际售价多少元？ 20．如图A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B点为止，点Q以2cm/s的速度向D点移动，当点P到达B点时点Q随之停止运动． （1）AP＝　 　，BP＝　 　，CQ＝　 　，DQ＝　 　（用含t的代数式表示）； （2）t为多少时，四边形PBCQ的面积为33cm2； （3）t为多少时，点P和点Q的距离为10cm． 21．如图，是边长为6cm的等边三角形，动点，同时从，两点出发，分别沿，匀速移动，它们的速度都是2，当点到达点时，，两点都停止运动，设点的运动时间为，解答下列问题： (1)当为何值时，是以为直角的直角三角形？ (2)是否存在，使四边形的面积是面积的？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 22．如图，在中，，，，点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿向点B匀速运动，同时点Q从点B出发以每秒2cm的速度沿向点C匀速运动，到达点C后返回点B，当有一点停止运动时，另一点也停止运动，设运动时间为秒． (1)当时，直接写出P，Q两点间的距离． (2)是否存在，使得是等腰三角形，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． (3)是否存在，使得的面积等于，若存在，请求出的值：若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $