25.3.1 第1课时 面积、数字问题 分层同步练习 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 分层清晰，梯度合理，通过基础巩固、情境提升到综合应用的路径，强化一元二次方程建模能力，培养几何直观与运算能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组基础练|单一面积、数字问题|选择填空直接建模，如矩形小路面积方程，夯实概念应用| |B组提升练|复杂情境与动点问题|含参数与分类讨论，如三矩形羊圈、Rt△动点面积，提升推理意识| |C组综合练|跨知识综合应用|新定义“共生数”与动态几何，如矩形动点距离计算，发展模型观念|

九年级数学（人教版）第二十五章 一元二次方程 25.3　实际问题与一元二次方程 第1课时　面积、数字问题 A组 基础练 1.如图，某小区改造修建一个长32 m、宽18 m的矩形小花园，并在花园内修建一条水平、两条竖直的宽度相同的小路，余下部分进行绿化(图中阴影部分).设小路宽为x m，若绿化面积为448 m2，则可列方程为( )  A.32×18－32x－18x＝448 B.32×18－64x－18x＝448 C.(32－x)(18－2x)＝448 D.(32－2x)(18－x)＝448 2.小慧在某年某月的月历中按图1所示方式圈出9个数(如图2)，发现这9个数中最大的数与最小的数的乘积是260，则这9个数中，中间的数e是( ) 　　　　　 图1 图2 A.17 B.18 C.19 D.20 3.若两个数是方程x2－5x＋6＝0的两个根，则分别以这两个数作为十位数与个位数，组成的最大两位数是( ) A.16 B.61 C.23 D.32 4.某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30 m的篱笆围成.已知墙长为18 m(如图所示)，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x m.若苗圃园的面积为72 m2，则x的值为( ) A.15 B.12 C.10 D.8 5.若两个数的和为7，积为12，则这两个数分别是 和 . 6.如图是一个长为30 m、宽为20 m的长方形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草，如图所示.要使种植花草的面积为532 m2，则小道的宽度应为 m.  7.两个相邻偶数的平方和是52，这两个相邻偶数中较大的数是多少？ 8.软笔书法承载着中华五千年的灿烂文化，如图①是李叔叔的软笔作品，是长180 cm，宽90 cm 的矩形.为了美观，李叔叔装裱此作品，将作品四周裱上边衬（上、下边衬宽度相等，左、右边衬宽度也相等），装裱后的作品如图②，左右边衬的宽度是上下边衬的2倍，面积变成原作品的1.21倍，求上下边衬的宽度是多少？ B组 提升练 9.如图，用一段77 m长的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的矩形羊圈，每个矩形羊圈都有一扇1 m宽的门，墙的最大可用长度为30 m.如果羊圈的总面积为300 m2，那么边AB的长为( )  A.5 m B.10 m C.15 m D.20 m 10.为了节省材料，某农场水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边，用总长为120 m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块长方形区域，且这三块长方形区域的面积都为225 m2，则图中区域①长方形的长a为 　 　m.  11.如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝30 cm，BC＝21 cm.动点P从点C出发，沿CA方向运动；动点Q同时从点B出发，沿BC方向运动.如果点P，Q的运动速度均为1 cm/s，那么当运动　 s时，△PCQ的面积为55 cm2. 12.五个连续整数，前三个数的平方和等于后两个数的平方和，则这五个整数分别是 . 13.园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃ABCD .苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为14 m），另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并在如图所示的两处各留2 m 宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长为32 m，设苗圃ABCD的一边CD的长为x m . （1）BC的长为__________m（包含门宽，用含x 的代数式表示）； （2）若苗圃ABCD的面积为96 m2，求x 的值； （3）苗圃ABCD的面积是否可以达到109 m2 ，请说明理由. C组 综合练 14.已知在长方形纸片ABCD中，AB=6，AD=5，现将两张边长分别为a和b 的正方形纸片按图①、图②两种方式放置（图①、图②中两张正方形纸片中均有部分重叠）, 长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图①中阴影部分的面积为S1，图②中阴影部分的面积为S2. （1）若S2−S1=3，则b= ； （2）在上述条件下，在边长为a 的大正方形纸片的左上角摆放一张边长为b 的小正方形纸片，如图③，若S1=8，则图③中阴影部分的面积S3= . 15.对于任意一个四位数，若千位上的数字与个位上的数字之积是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数为“共生数”. 例如：四位数2 156，因为2×6＝2×(1＋5)， 所以2 156是“共生数”. 有一个四位数为“共生数”，它的千位上的数字与个位上的数字相等，百位上的数字比千位上的数字大3，十位上的数字比个位上数字的一半小1，则这个“共生数”的个位数字是多少？ 16.如图，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，AD＝2 cm，点P以2 cm/s的速度从点A出发沿折线A－B－C向点C运动，同时点Q以1 cm/s的速度从点C出发向点D运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也停止运动. (1)经过多长时间，四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的？ (2)两个动点在运动过程中是否存在某一时刻，使得点P与点Q之间的距离为 cm？若存在，求运动所需的时间；若不存在，请说明理由. 参考答案 A组 基础练 1.D 2.B 3.D 4.B 5.3 4 6.1 7.解：这两个相邻偶数中较大的数是6或－4. 8.解：设上下边衬的宽度是x cm ，则左右边衬的宽度是2x cm， 依题意得(180+2×2x)(90+2x)=1.21×180×90， 则(90+2x)2=9 801，解得x1=4.5，x2=−94.5（不合题意，舍去）. 故此作品上下边衬的宽度是4.5 cm . B组 提升练 9.C 10.30 11.10或11 12.10，11，12，13，14或－2，－1，0，1，2 13.解：（1）(36−3x) （2）根据题意得x(36−3x)=96 ， 即−3x2+36x−96=0，x2−12x+32=0，(x−4)(x−8)=0， 解得x1=4，x2=8 . ∵ 当x=4时，36−3x=36−12=24>14， 当x=8时，36−3x=36−24=12<14， ∴x=4不符合题意，舍去，x=8 . （3）不可以达到109 m2.理由如下： 若可以达到109 m2，则x(36−3x)=109，化简得3x2−36x+109=0. ∵Δ=(−36)2−4×3×109=−12<0，∴ 方程x(36−3x)=109 无解. ∴ 苗圃ABCD的面积不可以达到109 m2 . C组 综合练 14.（1）3 （2） 15.解：这个“共生数”的个位数字是4. 16.解：(1)经过 s，四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的. (2)存在. 设两个动点运动t s时，点P与点Q之间的距离为 cm. ①当0＜t≤3时，过点Q作QE⊥AB于点E， 则PE2＋QE2＝PQ2，即(6－2t－t)2＋4＝5，解得t＝或t＝. ②当3＜t≤4时，有PC2＋QC2＝PQ2， 即(8－2t)2＋t2＝5，整理，得5t2－32t＋59＝0. ∵Δ＝(－32)2－4×5×59＝－156＜0，∴此方程无解. 综上所述，当运动 s或 s时，点P与点Q之间的距离为 cm. 学科网（北京）股份有限公司 $