25.3 实际问题与一元二次方程(二)面积与动点问题 同步练习 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 练习聚焦一元二次方程解决面积与动点问题，分层明确（基础70%、中等20%、拔高10%），从单一面积模型到动态几何应用，强化建模与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|长方形、直角三角形等单一图形面积列方程|直接应用公式，情境简单，巩固方程建模基础| |中等|方程与几何性质综合（如等腰三角形边长）|需检验解的合理性，培养推理意识| |拔高|动点动态几何问题|结合运动过程列方程，发展动态思维与创新意识|

课时训练 11　25.3 实际问题与一元二次方程（二）面积与动点问题 （满分 100 分　建议用时 25 分钟　难度配比：基础 70 分／中等 20 分／拔高 10 分） 姓名______________　　班级______________　　学号______________　　得分______________ 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1.（基础） 用一条长 40 cm 的绳子围成一个面积为 75 cm² 的长方形。设长为 x cm，则可列方程为（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 2.（基础） 一个直角三角形两条直角边的和为 7，面积为 6。设一条直角边为 x，则可列方程为（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 3.（基础） 在一块长 30 m、宽 20 m 的长方形空地中央建一个花坛，四周留宽度相同的道路。若花坛面积为 336 m²，设道路宽为 x m，则可列方程为（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 4.（基础） 一个正方形的面积为 64 cm²，则它的边长为（　　） A. 8 cm　　B. cm　　C. 16 cm　　D. 4 cm 5.（基础） 从一块正方形木板上锯掉一个宽为 2 m 的长方形木条（木条的长等于正方形边长），剩下部分的面积是 48 m²。设原正方形边长为 x m，则可列方程为（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 6.（基础） 一个矩形的长比宽多 3 cm，面积为 40 cm²。设宽为 x cm，则可列方程为（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 7.（基础） 在一块长 20 m、宽 15 m 的长方形绿地中开辟一条宽度相同的十字形道路，若剩余绿地面积为 234 m²，设道路宽为 x m，则可列方程为（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 8.（基础） 等腰三角形的底边长为 6，腰长为 5，则底边上的高为（　　） A. 4　　B. 3　　C. 　　D. 5 9.（中等） 已知一个等腰三角形的两边长分别是方程 的两根，则该等腰三角形的周长为（　　） A. 12　　B. 9　　C. 12 或 9　　D. 无法确定 10.（拔高） 如图，在 中，， cm， cm。点 P 从 A 沿 AB 向 B 以 1 的速度移动，点 Q 从 B 沿 BC 向 C 以 2 的速度移动。若 P、Q 同时出发，则经过多少秒后 的面积为 8 cm²（　　） A. 2 s　　B. 4 s　　C. 2 s 或 4 s　　D. 3 s 二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分） 11.（基础） 一个长方形周长为 20 cm，面积为 24 cm²。设长为 x cm，则可列方程为 ________________。 12.（基础） 一个直角三角形的斜边为 13，一条直角边为 5，则另一条直角边为 ________________。 13.（基础） 在一张长 12 cm、宽 8 cm 的纸片四角各剪去一个边长为 x cm 的小正方形，折成一个无盖长方体盒子，则盒子底面的长为 ________ cm，宽为 ________ cm。 14.（基础） 两个连续奇数的积为 195，设较小的奇数为 x，则可列方程为 ________________。 15.（中等） 用 22 m 长的篱笆靠墙（墙长 11 m）围成一个长方形菜园（靠墙一边不围）。若菜园面积为 60 m²，则菜园靠墙一边的长为 ________ m。 三、解答题（共5小题，共50分） 16.（基础·10分） 一个直角三角形两条直角边的和为 14 cm，面积为 24 cm²，求这个直角三角形斜边的长。 17.（基础·10分） 学校要建一个面积为 150 m² 的长方形自行车棚，一边利用已有的一道长 18 m 的围墙，其余三边用铁栅栏围成，铁栅栏总长为 35 m。求车棚的长和宽（长边靠墙）。 18.（基础·10分） 要在一块长 32 m、宽 20 m 的长方形空地上修建两条同样宽且互相垂直的道路（一条横向、一条纵向），剩余部分建成草坪。若要使草坪面积为 540 m²，求道路的宽。 19.（中等·13分） 如图，在矩形 ABCD 中， cm， cm。点 P 沿 AB 边从点 A 向点 B 以 2 的速度移动，点 Q 沿 DA 边从点 D 向点 A 以 1 的速度移动。如果 P、Q 同时出发，用 t（s）表示移动时间（）。 （1）当 t 为何值时， 的面积等于 8 cm²？（2） 的面积能等于 20 cm² 吗？请说明理由。 20.（拔高·7分） 如图，在 中，， cm， cm。点 P 从点 A 开始沿 AB 边向点 B 以 1 的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 2 的速度移动。如果 P、Q 分别从 A、B 同时出发，那么几秒后 P、Q 之间的距离等于 cm？ 课时训练 11　参考答案与解析 25.3 实际问题与一元二次方程（二）面积与动点问题 一、选择题 1. A　【解析】周长为 40，则长+宽=20，宽为 (20-x)，故 。 2. A　【解析】另一直角边为 (7-x)，直角三角形面积 = 两直角边乘积的一半。 3. A　【解析】四周留路，花坛的长和宽各减少 2x。 4. A　【解析】边长取正值，，。 5. A　【解析】剩下部分是一个长为 x、宽为 (x-2) 的长方形。 6. A　【解析】宽 x，长 (x+3)，面积 。 7. A　【解析】用"平移法"：把两条道路分别平移到边上去，剩余绿地恰好拼成长为 (20-x)、宽为 (15-x) 的长方形。 8. A　【解析】由勾股定理，高 = 。 9. A　【解析】方程两根为 2 和 5。若三边为 2、2、5，则 2+2<5，不能构成三角形；若三边为 5、5、2，周长为 12。 10. C　【解析】设 t 秒后，则 cm， cm。面积 =，得 ，， 或 。当 时 、，点 Q 恰好到达点 C，符合题意。 二、填空题 11. 　【解析】长+宽=10。 12. 12　【解析】。 13. 12-2x；8-2x　【解析】两端各剪去 x。 14. 　【解析】连续奇数相差 2。 15. 10　【解析】设靠墙一边为 x m，则另两边各 m，，即 ，， 或 12；因墙长 11 m， 舍去，故 。 三、解答题 16.（10分） 设两条直角边分别为 a cm、b cm，则 ，，即 。（3分） 由勾股定理，斜边 c 满足 。（4分） 所以 ，（取正值）。（2分） 答：这个直角三角形斜边的长为 10 cm。（1分） 17.（10分） 设车棚靠墙一边的长为 x m，则另两边各为 m。（2分） 列方程：，即 。（4分） ，，。（2分） 因为围墙长只有 18 m，所以 不合题意，舍去，。（1分） 此时宽为 （m）。（1分）答：车棚长为 15 m，宽为 10 m。 18.（10分） 设道路宽为 x m。（1分）用平移法，草坪可拼成长为 (32-x) m、宽为 (20-x) m 的长方形。（3分） 列方程：。（2分） 整理得 ，。（2分） ，（超过空地宽度，不合题意，舍去）。（1分）答：道路的宽为 2 m。（1分） 19.（13分） （1）t 秒后， cm， cm。（2分） 的面积 = = = t(6-t)。（2分） 由 得 ，，，。（2分） 又 ，两解都符合。答：2 s 或 4 s 时， 的面积等于 8 cm²。（1分） （2）不能。若 ，则 。（3分） ，方程无实数根，（2分）故 的面积不可能等于 20 cm²。（1分） 20.（7分） 设 t 秒后 P、Q 之间的距离为 cm。（1分） 此时 cm， cm。（1分） 在 中，由勾股定理：。（2分） 即 ，（1分）整理得 ，即 ，。（1分） 检验： 时 、，，且 未超出运动范围，符合题意。（1分）答：1 s 后。 学科网（北京）股份有限公司 $