第二章直线和圆的方程暑假单元测试-2026年新高二上学期数学暑假衔接进阶讲义（人教A版2019）

该高中数学单元复习讲义通过知识框架图系统梳理直线和圆的方程知识体系，涵盖直线方程形式、圆的标准与一般方程、直线与圆位置关系等核心内容，突出斜率公式、圆的方程特征、位置关系判定等重难点，呈现知识内在逻辑联系。 讲义亮点在于分层练习设计，从基础单选（如直线平行条件判断）、多选（如圆的方程辨析）到综合解答题（如第19题“伴随点”新定义探究），培养数学思维的推理能力和数学语言的模型观念。基础题巩固知识，创新题提升探究能力，助力学生自主复习，支持教师精准分层教学。

第二章直线和圆的方程暑假单元测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知a是实数，则“”是“方程表示圆”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知直线：，：，若，则实数的值为（     ） A．0 B．1 C．0或1 D．1或2 3．直线：与：相交，则交点是（    ） A． B． C． D． 4．已知 ，则以线段为直径的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 5．若圆与直线相交于，且，则实数的值为（     ） A． B．3 C．或3 D．1或3 6．已知点，点，点M满足，则线段长的最大值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．已知圆和两点，若圆C上存在点P，使得，则a的最小值为（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 8．已知平面内的两个动点连线的中点在圆上，是直线上的一个动点，且，则的最小值为（    ） A．9 B．7 C．-3 D．-1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法中正确的是（    ） A．若两条直线互相平行，那么它们的斜率相等 B．的圆心为，半径为 C．方程能表示平面内的任何直线 D．若直线不经过第二象限，则的取值范围是 10．已知四边形的四个顶点是，，，，则（   ） A．直线的斜率为4 B．直线的倾斜角为 C．线段的中点坐标为 D．四边形是平行四边形 11．已知曲线E的轨迹方程为，其中，不同时为0，则（   ） A．曲线E关于直线对称 B．曲线E围成的图形面积为 C．若点在曲线E上，则 D．若圆能覆盖曲线E，则的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．平行直线与之间的距离为__________. 13．已知圆，直线.设为圆上的一动点，则到直线的最大距离为____. 14．已知实数a、b满足方程的点，则的取值范围是______ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知直线l经过点；（直线要求化成一般式） (1)若直线的斜率为，求直线l的方程； (2)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程. 16．（15分） 如图所示，已知为正方形的中心，且直线的方程为． (1)求点G到直线的距离； (2)求正方形外接圆的标准方程． 17．（15分） 已知直线：，圆：. (1)求证：直线过定点； (2)若直线与圆交于，两点，求弦长的取值范围，并求取到最值时对应的值. 18．（17分） 已知直线与圆相交于两点，且. (1)若直线过点，求直线的方程； (2)①若线段的中点为点，求点的轨迹方程； ②过点作直线与曲线交于两点，若点的坐标为，直线的斜率分别为，求证：为定值. 19．（17分） 定义：M是圆C上一动点，N是圆C外一点，记的最大值为m，的最小值为n，若，则称N为圆C的“伴随点”；若G同时是圆E和圆F的“伴随点”，则称G为圆“”的“共生点”．已知圆，P为圆A的“伴随点”． (1)求点P所在曲线的方程； (2)已知圆，P，Q均为圆“”的“共生点”． （i）求直线的方程； （ii）若圆H是以线段为直径的圆，过点且斜率不为0的直线l与圆H交于J、K两点，是否存在x轴上的定点，使得为定值？若存在，求出所有这样的W点坐标；若不存在，请说明理由． 第2页，共4页 第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章直线和圆的方程暑假单元测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知a是实数，则“”是“方程表示圆”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】方程配方得， 若方程表示圆，则，解得， 则“”是“方程表示圆”的充分不必要条件. 2．已知直线：，：，若，则实数的值为（     ） A．0 B．1 C．0或1 D．1或2 【答案】C 【解析】已知直线：，：，若， 则有， 化简方程得：， 解得或，C正确. 3．直线：与：相交，则交点是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】联立，解得，即l1与l2的交点坐标为． 4．已知 ，则以线段为直径的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】圆的圆心是，半径是． 故圆的方程为． 5．若圆与直线相交于，且，则实数的值为（     ） A． B．3 C．或3 D．1或3 【答案】C 【解析】由题可知，圆心为，半径为， 过圆心作，垂足为，又，则， 所以在中，，则， 即圆心到直线的距离， 解得或. 6．已知点，点，点M满足，则线段长的最大值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】由题可知，点M的轨迹是以为圆心，半径的圆. 则， 所以. 7．已知圆和两点，若圆C上存在点P，使得，则a的最小值为（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【解析】由，可得点P在以线段为直径的圆上，其方程为上， 又点P在圆C上，所以两圆有公共点， 因为圆的圆心为原点O，半径为a，圆C的圆心为，半径为2， 所以，因， 故得， 解得，所以a的最小值为3. 8．已知平面内的两个动点连线的中点在圆上，是直线上的一个动点，且，则的最小值为（    ） A．9 B．7 C．-3 D．-1 【答案】D 【解析】取的中点，则. 圆心到的距离为，此时取得最小值，且最小值为3， 取得最小值，且最小值为.故的最小值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法中正确的是（    ） A．若两条直线互相平行，那么它们的斜率相等 B．的圆心为，半径为 C．方程能表示平面内的任何直线 D．若直线不经过第二象限，则的取值范围是 【答案】BCD 【解析】若两条直线互相平行，当它们垂直于轴时，斜率不存在，故A错误； 由可得，即圆心为，半径为，故B正确； 方程能表示平面内的任何直线，故C正确； 若直线不经过第二象限，则， 解得，故D正确. 故选：BCD 10．已知四边形的四个顶点是，，，，则（   ） A．直线的斜率为4 B．直线的倾斜角为 C．线段的中点坐标为 D．四边形是平行四边形 【答案】AC 【解析】A选项，直线的斜率为，A正确； B选项，直线的斜率为，故直线的倾斜角不为，B错误； C选项，线段的中点坐标为，C正确； D选项，，显然，故与不平行， 故四边形不是平行四边形，D错误. 故选：AC 11．已知曲线E的轨迹方程为，其中，不同时为0，则（   ） A．曲线E关于直线对称 B．曲线E围成的图形面积为 C．若点在曲线E上，则 D．若圆能覆盖曲线E，则的最小值为 【答案】ABC 【解析】1、曲线E上任意点满足：， 该点关于的对称点也满足：， 即由曲线E上任意点关于直线的对称点仍在曲线E上，故选项A正确； 2、因为点在曲线E上，点，点也都在曲线E上，则曲线E关于x轴，y轴对称， 当时，曲线E的方程为， 曲线E表示以点为圆心，为半径的圆在直线上方的半圆（含端点）， 因此，曲线E是四个顶点为的正方形各边为直径向正方形外作半圆围成，如图， 所以曲线E围成的图形的面积是，故选项B正确； 3、若点在曲线E上，则，所以， 所以，故选项C正确； 4、曲线E上的点到原点距离最大值为， 圆能覆盖曲线E，则，故选项D不正确． 故选：ABC． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．平行直线与之间的距离为__________. 【答案】 【解析】. 13．已知圆，直线.设为圆上的一动点，则到直线的最大距离为____. 【答案】 【解析】圆心，半径为， 直线过定点， 圆心到直线的最大距离， 所以到直线的最大距离为. 14．已知实数a、b满足方程的点，则的取值范围是______ 【答案】 【解析】由条件可知，，则点在以为圆心，半径为1的圆上， 表示圆上的点与定点连线的斜率， 如图，设过点的直线为， 当直线与圆有交点时，圆心到直线的距离，解得， 所以的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知直线l经过点；（直线要求化成一般式） (1)若直线的斜率为，求直线l的方程； (2)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程. 【解析】（1）因为直线的斜率为，经过点， 所以直线方程为，即. （2）当在两坐标轴上的截距均为0时，设直线方程为 因为直线过点，所以，即， 此时方程为，即； 当在两坐标轴上的截距不为0时，可设方程为， 则，得， 故此时方程为； 综上可知，直线的方程为或. 16．（15分） 如图所示，已知为正方形的中心，且直线的方程为． (1)求点G到直线的距离； (2)求正方形外接圆的标准方程． 【解析】（1）由题意可知到的距离为； （2）由上可知该正方形的边长为，所以, 由正方形的性质可知其外接圆圆心为其中心G，半径为， 所以其外接圆标准方程为：. 17．（15分） 已知直线：，圆：. (1)求证：直线过定点； (2)若直线与圆交于，两点，求弦长的取值范围，并求取到最值时对应的值. 【解析】（1）直线；可化为， 令，求得，直线过定点. （2）圆：， 可知圆心为，半径为. 直线：的斜率为， 记定点为，，点在圆内， 当直线过圆心时，弦长最长， 由，此时，弦长的最大值为 当直线时，弦长最短， 此时，，弦长最小值为， 故弦长的取值范围为， 时弦长最大，时弦长最小. 18．（17分） 已知直线与圆相交于两点，且. (1)若直线过点，求直线的方程； (2)①若线段的中点为点，求点的轨迹方程； ②过点作直线与曲线交于两点，若点的坐标为，直线的斜率分别为，求证：为定值. 【解析】（1）由题意可知：圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 若直线的斜率不存在，即直线，满足题意； 若直线的斜率存在，设直线，即， 则，解得， 所以直线； 综上所述：直线的方程为或. （2）①若线段的中点为，由可得，即， 所以点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆， 所以点的轨迹方程； ②因为过点作直线与曲线交于两点，所以直线的斜率必存在， 设直线的方程为，即，点 联立方程，消去可得， 则，解得， 由韦达定理可得， 则 ， 所以为定值. 19．（17分） 定义：M是圆C上一动点，N是圆C外一点，记的最大值为m，的最小值为n，若，则称N为圆C的“伴随点”；若G同时是圆E和圆F的“伴随点”，则称G为圆“”的“共生点”．已知圆，P为圆A的“伴随点”． (1)求点P所在曲线的方程； (2)已知圆，P，Q均为圆“”的“共生点”． （i）求直线的方程； （ii）若圆H是以线段为直径的圆，过点且斜率不为0的直线l与圆H交于J、K两点，是否存在x轴上的定点，使得为定值？若存在，求出所有这样的W点坐标；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）易知圆的圆心为，半径为, 因为点为圆的“伴随点”，所以， 可得， 因此点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 故点所在曲线的方程为. （2）（i）易知圆的圆心为，半径为， 因为点为圆的“伴随点”，所以， 可得， 因此点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 所以点所在曲线的方程为； 可得点为圆与圆的交点； 因为P，Q均为圆“”的“共生点”， 所以直线的方程即为圆与圆的公共弦所在直线， 两圆方程相减可得， 因此直线的方程为. （ii）存在点为或或时，取定值，理由如下： 易知直线与圆和圆的交点为； 因此线段的中点为，且，因此圆H的方程为； 依题意直线的斜率存在，设其方程为，,如下图： 联立，整理可得， 易知,； 此时 , 令，解得或或 易知时,取定值为4，时,取定值为12， 当时,取定值为3； 综上可知，存在x轴上的定点，使得为定值， 当点的坐标为时，取定值为4； 当点的坐标为时，取定值为12； 当点的坐标为时，取定值为3； 第2页，共13页 第1页，共13页 学科网（北京）股份有限公司 $