立体几何 专项训练-2027届高三数学一轮复习

立体几何（解析版） ①体积与表面积 　　【选择题】 ★★　安庆市2026届高三二模 · 第7题 1. 三棱锥的底面为边长为1的等边三角形，三个侧面三角形中至少有两个为等腰直角三角形，则该三棱锥的体积不可能为（ ） A. B. C. D. 策略　设三棱锥 ，底面 为边长 的等边三角形，按"侧面中直角的顶点位置"分类讨论。 情形①：设 、 均以 为直角顶点。由等腰直角三角形得 ，且 、，而 ，故 平面 ，即 的长就是三棱锥的高。 ，选项 A 可取得。 情形②：设 、 均以 为直角顶点。此时 ，同理 ，即 ，点 落在底面中心 的正上方。 底面等边三角形的外接圆半径 ，故 ，，选项 C 可取得。 情形③：设 以 为直角顶点、 以 为直角顶点，则 ，，。以 为原点、 为 轴正方向、平面 为 平面建立空间直角坐标系，则 ，，。 设 ，由 、 得 ；再由 得 ，即 ；于是 ，。 故 ，选项 B 可取得。 三种情形的体积依次为 、、，均可取得，故不可能为 。 情形①： 平面 ， 情形②： 在底面中心正上方， 情形③：混合型， 答　选 D。 ★★　南京市、盐城市2026届高三下学期一模 · 第5题 2. 已知圆锥的轴截面是直角三角形，且该圆锥的顶点和底面的圆周都在球的球面上，则该圆锥与球的体积之比为（ ） A. B. C. D. 策略　由轴截面为直角三角形确定圆锥的 与 的关系，再由"顶点与底面圆周同在一个球面上"确定球心位置。 设圆锥底面半径为 ，高为 ，母线长为 。轴截面是等腰直角三角形，故斜边为 ，由勾股定理 ，得 ；又等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半，故 。 球心 必在圆锥的轴上（球心到轴截面两端点距离相等）。设球心到底面的距离为 ，则 ；又球心到顶点的距离为 ，也等于 ，故 。 结合 得 ，即 ，说明球心恰为底面圆心，。 于是 。 轴截面与外接球 答　选 B。 ★★　石家庄市2026届普通高等学校毕业年级教学质量检测（二） · 第6题 3. 已知正四棱台上、下底面的边长分别是2，8，体积为，则其表面积为（ ） A. 148 B. C. 168 D. 80 策略　先由体积公式求高，再由"斜高、高、上下底边长之差的一半"构成的直角三角形求斜高。 正四棱台上底面积 ，下底面积 ，，故 。由 得 。 过一条侧棱所在位置作轴截面可得：斜高 、高 与上下底边长之差的一半构成直角三角形，故 。 ，故 。 正四棱台与斜高 答　选 A。 ★★　开封市2026届高三第一次质量检测 · 第6题 4. “方斗”是中国古代盛米的一种重要容器，其形状是一个上大下小的正四棱台．如图所示，在一个盛满米的“方斗”容器中，，若从中取出米后，米的高度下降一半，则剩余的米的质量为（ ） A. B. 48kg C. 57kg D. 策略　米面始终是平行于底面的截面，其边长随高度线性变化。 设方斗总高为 。米面从大底面（边长 ）下落到高的一半处，该处截面边长由 线性过渡到 ，故取 。 装满时（整个棱台）。 剩余米（下方高 的棱台）。 取出的米 ，故米的密度对应的质量比为 。 剩余米的质量为 （）。 方斗剖面 答　选 A。 ★★　泉州市2026届高三质量检测（二） · 第5题 5. 已知正三棱台的高为，则该棱台的侧面积为（ ） A. B. C. 18 D. 策略　把侧面等腰梯形的高（斜高）归到直角三角形中求解。 由 得下底边长 ，上底边长 。正三角形边心距为 ，故上下底边心距之差 。 斜高 。 侧面是上底 、下底 、高为 的等腰梯形，故 。 侧面梯形与斜高 答　选 B。 ★★★　南昌市2026届高三年级四月检测 · 第7题 6. 若圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，则过圆锥顶点的截面中，截面面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 策略　由展开图求母线与底面半径，再讨论过顶点截面的顶角范围。 展开图扇形半径等于母线长，故 ；扇形弧长等于底面周长，故 ，得 ，圆锥的高 。 过顶点的截面是腰长为 的等腰三角形。设其顶角为 ，则截面面积 ，当 时取最大值 。 该顶角能否取到 ？设截面与底面圆交于弦 ，由 得 ，故 可以取到，最大面积为 。 （注意：轴截面是弦最长时的情形，其面积为 ，并非最大值。） 过顶点截面与轴截面 答　选 D。 ★★★　湘潭市2026届高三二模 · 第8题 7. 在正四棱台中，，且，记能将正四棱台罩住的半球的最小半径为，正四棱台外接球的半径为，则（ ） A. B. 1 C. D. 策略　先由棱长求出上下底面的外接圆半径与高，再分别处理"罩住的半球"与"外接球"。 由 得下底边长 、上底边长 ，故下底外接圆半径 ，上底外接圆半径 。 由侧棱长 及 得 ，。 （1）求 ：上底面四个顶点在以 为半径的圆上，故罩住这些顶点的半球半径不小于 ；取以上底面所在平面为半球底面、开口向下、半径 的半球，则四个上底顶点恰在其底面圆周上，而四个下底顶点到球心的距离为 ，故该半球能罩住整个棱台，。 （2）求 ：设外接球球心在轴上且到底面的距离为 ，由球心到下底顶点与到上底顶点距离相等得 ，解得 ，。 故 。 图一：罩住棱台的半球（） 图二：外接球（） 答　选 D。 ★★　泉州市2026届高中毕业班质量检测（一） · 第10题 8. 如图所示的花灯的轮廓是正六棱柱，其棱长均相等，且所有棱长的总和为36，则（ ） A. 平面 B. 平面 C. 直线到平面的距离等于 D. 平面与平面的夹角的余弦值等于 策略　先由棱长之和求棱长，再建立空间直角坐标系，用向量法逐项验证。 正六棱柱有 条棱，由 得棱长 。取底面中心 为原点，底面六边形的外接圆半径为 （正六边形外接圆半径等于边长），得上底面各顶点坐标：、、、、、；下底面对应点为 等。 A：。取平面 内两向量 、，其法向量 ，由 知 与平面平行（或在其内）；又 ，故 平面 ，A 正确。 B：。平面 的法向量 。若 平面 ，则 应与 共线，但 ，矛盾，B 错误。 C：平面 的法向量 。 满足 ，故直线 与平面 平行，所求距离等于点 到该平面的距离：，C 正确。 D：平面 的法向量 。两平面夹角的余弦值 ，D 正确。 正六棱柱及关键线 答　选 ACD。 ★★★　邵阳市2026届高三上学期第一次联考 · 第11题 9. 已知圆台的上、下底面的面积分别为和，则下列结论正确的是（ ） A. 若圆台存在内切球，则内切球的体积为 B. 若圆台的母线与下底面所成的角为，则圆台的外接球的表面积为 C. 若圆台的外接球的体积为，则圆台的表面积为 D. 若圆台的外接球的体积为，则圆台的体积为或 　　【填空题】 策略　由面积得 、，故 。内切球存在 当且仅当 ；外接球问题用"球心在轴上、两个底面圆的点到球心等距"列方程，注意可能出现两个高度解。 由 、 得下底半径 、上底半径 ，。 A：圆台存在内切球的条件是母线长等于两底半径之和，即 。此时高 ，内切球半径 ，体积 ，A 正确。 B：母线与下底面所成角为 时 。设外接球球心到底面的距离为 ，由 解得 ，，表面积 ，B 错误。 C：由 得 。设下底面到球心的距离为 ，则 ，：取 得 ，取 得 ，两种高度都满足。 当 时母线 ，表面积 ；但当 时 ，表面积为 。表面积不是定值，C 错误。 D：圆台体积 。由 C 知 或 ，故 或 ，D 正确。 左：存在内切球（，）；右：外接球 时 或 （图中画 的一支） 答　选 AD。 ★★　开封市豫东名校联考2026届高三二模 · 第13题 10. 在正三棱台中，，侧棱与平面所成角为，则该棱台的体积为___________． 策略　正三棱台的高由"侧棱与底面所成角"确定：侧棱在底面上的投影等于上下底外接圆半径之差，再用直角三角形求高，最后套棱台体积公式。 设下底边长 ，上底边长 。正三角形外接圆半径 与边长 满足 ，故下底外接圆半径 ，上底 。 正三棱台中，侧棱 在底面上的投影长为 。设高为 ，由侧棱与底面所成角为 得 ，故 。 下底面积 ，上底面积 ，且 。 所以 。 正三棱台：侧棱在底面上的投影等于上下底外接圆半径之差 答　 ★★　黄石市2026届高三3月模拟 · 第13题 11. 已知一个圆柱和一个圆锥的底面半径相等，高相等，侧面积相等，若圆锥的体积为，则圆柱的底面半径为__________. 策略　"底面半径相等、高相等"设出 ，由侧面积相等列出 与 的关系，再由圆锥体积定出 。 设圆柱、圆锥的底面半径均为 ，高均为 ，则圆锥母线 。 由侧面积相等：，约去 得 ，两边平方：，即 ，。 由圆锥体积为 ：，即 。代入 得 ，，。 所以 。 底面半径与高相同：圆柱侧面积 ，圆锥侧面积 （） 答　圆柱的底面半径为 ★★★　江门市2026届高考模拟考试 · 第14题 12. 已知一个圆锥底面半径为3，侧面积为.若在该圆锥内能放入一个可以任意方向自由旋转的正方体（圆锥表面厚度忽略不计），则该正方体体积的最大值为___________. 策略　"可以任意方向自由旋转"是关键：正方体转到任何姿态都要留在圆锥内，这等价于正方体的外接球整个含于圆锥的内切球（正方体外接球半径 ，圆锥内切球半径由轴截面求出）。 设圆锥底面半径为 、母线为 、高为 。由侧面积 与 得 ，故 。 圆锥的轴截面是底为 、两腰为 的等边三角形，其内切圆半径 ，即圆锥内切球的半径为 。 正方体可绕自身中心任意转动，说明它转到任意姿态都落在圆锥内部。而正方体所有姿态的并集恰是其外接球（半径 ），故只需该外接球含于圆锥内切球：。 解得 ，即棱长最大为 ，此时正方体体积 。 轴截面为边长 6 的等边三角形：内切球半径 ；正方体外接球半径 则 答　最大体积为 ★★　九江市2026届高三第二次高考模拟统一考试 · 第16题 13. 如图，在圆台中，上、下底面半径分别为和，高为，轴截面为四边形，在下底上，，为中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 策略　以 为原点建系（、、 两两垂直）：(1) 证 与平面 的法向量平行（直线垂直于平面 当且仅当 方向向量平行于法向量）；(2) 用两平面法向量求夹角余弦。 上底半径 、下底半径 、高 。取 为原点， 为 轴正方向， 为 轴正方向， 为 轴正方向（由 知这两条半径互相垂直）。 则 、、、、、， 为 的中点，故 。 （1）。平面 内 、，取法向量 。 因为 ，即 与平面 的法向量共线，所以 平面 。（也可直接验证：直线 与平面的交点恰为 。） （2）平面 中，、，法向量 。 两平面夹角的余弦值 。 圆台轴截面与建系：、、 两两垂直， 为 中点 答　（1）证明见上；（2） 　②外接球与内切球 　　【选择题】 ★★　合肥市2026届高三第二次教学质量检测 · 第6题 1. 已知圆柱的轴截面是周长为24的矩形，其上下底面的圆周都在同一球面上，当圆柱的侧面积最大时，该球的体积为（ ） A. B. C. D. 策略　由轴截面周长定 ，用二次函数求侧面积最大时的 ；再由"上下底面圆周都在球面上"得球心在两底面中心连线中点，用勾股定理求球半径。 设圆柱底面半径为 、高为 。轴截面是长为 、宽为 的矩形，周长 ，即 ，。 侧面积 ，当 时取最大值，此时 。 圆柱的上、下底面圆周都在同一球面上，由对称性知球心在两底面中心连线的中点，球半径 满足 。 故球体积 。 球心在两底面中心连线的中点： 答　选 C。 ★★　海安高级中学等校2026届高三阶段性学情测试 · 第5题 2. 一个正六棱锥的高为，底面边长为，则它的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 策略　正六棱锥的底面是正六边形，其外接圆半径等于边长；球心在棱锥的高所在直线上，用 列方程求球半径。 正六棱锥底面为正六边形，边长 ，故底面外接圆半径 ；棱锥的高 。 设外接球半径为 。球心在高所在直线上（到底面各顶点距离相等），设球心到底面的距离为 ，则 ，又球心到顶点的距离为 。 由 得 ，，，故 。 外接球表面积 。 球心在高线上：，解得 答　选 A。 ★★　上饶市2026届高三第二次高考模拟考试 · 第3题 3. 已知某圆锥底面半径为，高为，则该圆锥的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 策略　圆锥外接球的球心一定落在圆锥的高所在直线上，用"球心到底面圆周上各点的距离等于到顶点的距离"列方程，也可直接用 。 底面半径 ，高 。设球心 到底面的距离为 ，球半径为 ，则 在高上，且 到顶点的距离也是 ，即 。 由 与 得 ，故 ，。 于是 ，外接球表面积 。 轴截面：球心 在高线上， 定出 答　选 D，外接球表面积为 ★★　温州市普通高中2026届高三第二次适应性考试 · 第7题 4. 已知圆台的上下底面的半径分别为1和3，圆台的侧面积为，若圆台内接于球，则球的半径为（ ） A. B. C. D. 策略　先用侧面积求出母线，再求圆台的高；圆台外接球的球心在两底面圆心连线上，由"两个底面圆周上的点到球心等距"列方程。 侧面积 ，得母线 。 高 。 设球心 到下底面中心的距离为 ，则下底面圆周到 的距离与上底面圆周到 的距离都等于球半径 ，即 。 展开得 ，即 ，。 故 ，。 轴截面：球心在两底面圆心连线上，由 定出 答　选 C，球 的半径为 ★★　十堰市2026届高三上学期元月调研 · 第7题 5. 已知正四面体各条棱的中点都在球的表面上，则球的表面积与该正四面体的表面积之比为（ ） A. B. C. D. 策略　正四面体六条棱的中点恰构成一个正八面体，其外接球半径由该八面体的棱长（等于原四面体棱长的一半）确定，再与正四面体表面积作比。 设正四面体棱长为 。其六条棱的中点两两相连，所成几何体是棱长为 的正八面体（每个顶点处 4 条棱，形状对称）。 棱长为 的正八面体，其外接球球心即八面体的中心，球半径 （因中心到每个顶点的距离为 ）。 故球 的半径 ，表面积 。 正四面体表面积 ，所以 。 答　 ★★★　马鞍山市2026届高三第二次教学质量监测 · 第8题 6. 已知三棱锥中，棱，，两两垂直，且长度都为．以为球心，4为半径的球与三棱锥的表面相交所得到的曲线长度为（ ） A. B. C. D. 策略　球面与多面体的交线，是球面与各个面所在平面的交圆被该面截下的一段弧，四个面都要算，逐面求出弧长再相加。 由 、、 两两垂直且长都为 ，知 是这三条两两垂直的棱的公共端点，球心为 、半径为 4。 面 ：球心 就在这个面内，交线是以 为圆心、4 为半径的圆在直角三角形 内的一段弧。圆与 交于点 ，由 得 ；圆与 交于点 ，。由 得 ，又 得 ，故这段弧的圆心角为 ，弧长 。 面 与面 完全对称，截得的弧长同样是 。 面 ： 也在这个面内，交线是以 为圆心、4 为半径的圆。 中 ，是边长为 的正三角形， 到 的距离为 ，说明半径 4 的圆在 内部整段都落在该面上；，故弧长为 。 面 ：由 、 得 平面 ，球心 到该面的距离为 ，交圆半径为 ，圆心为该面内的 。 是以 为直角顶点的等腰直角三角形，半径为 2 的圆完全落在直角内，取四分之一圆，弧长 。 曲线总长 。 四个面各截出一段弧：面 、 各为圆心角 的弧，面 为圆心角 的弧，面 为四分之一圆 答　选 D，曲线长度为 ★★★　新余市2026届高三下学期第二次模拟考试 · 第8题 7. 已知某圆台上下底面半径分别为2.5和6，母线长为7，则该圆台内能放入最大球的表面积为（ ） A. B. C. D. 策略　先判断内切球是否存在：轴截面梯形有内切圆的条件是两底之和等于两腰之和。若不存在，最大球要同时受两底面与侧面的限制，在轴截面内求最值。 高 。 轴截面是下底 12、上底 5、两腰都是 7 的等腰梯形。存在与两底面、侧面都相切的内切球，要求两底之和等于两腰之和，即 ，但 ，所以内切球不存在。 设球心到锥顶（两条母线延长线的交点）的距离为 。半顶角 满足 ，即 ，于是球与侧面不重叠要求 ；球不越出上、下底面要求 、。 求 的最大值：由 得 ；由 得 ，此时 ，而 ，侧面不构成限制。故最大球半径 ，它与上、下底面都相切。 表面积 。 轴截面：最大球与上、下底面都相切，半径 ，与两腰之间留有空隙（内切球不存在） 答　选 A，最大球的表面积为 ★★★　鹤壁市2026届高三上学期一模 · 第7题 8. 一个圆锥的底面直径为2，体积为，若该圆锥能够被整体放入一个球内，则该球的表面积的最小值为（　　） A. B. C. D. 策略　球能装下整个圆锥时表面积最小，即求圆锥的最小外接球；球心在高所在直线上，先由体积求出高。 底面半径 ，由 得 。 球心在高上，设它到底面的距离为 ，则球心到底面圆周的距离与到顶点的距离都等于球半径 ，即 。 解得 ，，，。此时球心到底面圆周的距离为 ，底面圆盘整个被球包含，故它就是最小外接球。 表面积 。 轴截面：球心 在高线上，由 得 答　选 C，球表面积的最小值为 ★★　洛阳市豫西北联盟2026届高三第二次质量检测 · 第13题 9. 已知某圆台的上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面的半径分别为3和5，则该圆台的侧面积为_____. 策略　两底面圆周都在同一个球面上 则 球心在轴线上，用"两底面圆的点到球心等距"分别定出两个底面的位置，再求高与母线。 球直径 ，故球半径 。设下底面圆、上底面圆所在平面与球心的距离分别为 、（同侧）。 下底面半径 ：由 得 ，即下底面圆恰为球的大圆，球心在下底面内。 上底面半径 ：由 得 。故圆台的高 。 母线 ，侧面积 。 圆台内接于直径 10 的球：下底（半径 5）恰为球的大圆，上底（半径 3）距球心 4 答　 ★★　濮阳市2026届高三第一次模拟 · 第14题 10. 如图，在矩形中，，，，分别是和的中点，若是矩形内一点（含边界），满足，且，则的最小值为__________. 策略　把 与 联立，先确定动点 的轨迹，再把数量积化成 的二次函数求最值。 建立坐标系：，，，，则 ，。 。因为 ，所以 总在直线 上。 又由 得 ， 在矩形内（含边界）即 ，故 的轨迹是线段 （）。 ，，所以 。 在 处取最小值 ，且 ，故 的最小值为 ，此时 。 、 是 、 的中点；条件把动点 限制在水平线段 上 答　 的最小值为 ★★★　石家庄市2026届普通高等学校毕业年级教学质量检测（二） · 第14题 11. 在母线与底面所成角为的圆锥内放入三个半径为1的球，这三个球两两相切，且均与圆锥的底面和侧面都相切，则圆锥的底面半径为_____；若再放入一个半径为的小球，使得它与三个小球均相切，且与圆锥的侧面相切，则_____． 策略　母线与底面成 ，说明轴截面是等边三角形、半顶角为 ；三个球的球心在底面上方 1 处构成正三角形，用"球心到侧面的距离等于半径"定出底面半径；再加入的小球球心必在轴线上。 设底面半径为 、高为 。母线与底面成 ，故轴截面为等边三角形，。 三个球的球心都在底面上方 1 处，两两相切说明三个球心构成边长为 2 的正三角形，它们到轴线的距离 。 每个球都与侧面相切：在过轴线与一个球心的轴截面内，母线方程为 ，球心 到它的距离为 ，得 ，故 。 设小球半径为 、球心在轴上、高度为 。与侧面相切给出 ，即 ；与三个球都相切给出 。 代入得 ，整理得 ，解得 。 若取 ，则 ，球心落在底面之下，不合题意，故 。 左：轴截面，球心到母线的距离等于球的半径；右：俯视时三个球心成正三角形，边长 2，小球心在中心 答　圆锥的底面半径为 ；小球半径 ★★　南师附中等九校2026届高三下学期一模联考 · 第15题 12. 如图，已知是圆锥的轴截面，，. （1）求圆锥的外接球的表面积； （2）若为弧的中点，求二面角的正切值. 策略　轴截面给出底面半径与高，球心在高线上列方程求外接球；二面角用坐标法算两个半平面的法向量夹角，再换成正切值。 轴截面 中 ，，故底面半径 ，高 。 (1) 设外接球半径为 ，球心在直线 上、到底面中心 的距离为 ，则 ，又球心到顶点 的距离也是 ，即 。 由 得 ，，。 所以外接球表面积 。 (2) 以 为原点， 方向为 轴、 方向为 轴建系：，，，。面 就是 ，法向量 。 ，，取面 的法向量 ，。设二面角 为 ，则 ，，。 左：轴截面与外接球，球心在 上；右： 为弧 的中点，二面角 以 为棱 答　(1) 圆锥 的外接球表面积为 ；(2) 二面角 的正切值为 　③空间位置关系与动点轨迹 　　【选择题】 ★★　萍乡市2026届高三上学期一模考试 · 第6题 1. 在棱长为2的正方体中，为的中点，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 策略　建系后把点到直线的距离写成 ，只要算出两个向量的积的模。 以 为原点， 为 轴，棱长 2，则 ，； 是 的中点，即 。 ，；，。 ，其模为 。 故 。检验： 在 上的投影长为 ，，一致。 是 到直线 的垂足； 在上底面内， 答　选 D（）。 ★★　萍乡市2025-2026学年高三二模考试 · 第6题 2. 在正四面体中，点在棱上，点在棱上，若平面，且，，则三棱锥与正四面体的体积之比为（ ） A. B. C. D. 策略　由线面平行先证 定出棱长；再把三棱锥 换成以 为顶点、 为底，而 都在平面 内，体积之比就化为面积之比。 平面 与平面 的交线是 ，又 、 且 平面 ，所以 ，。 设正四面体棱长为 ，则 ，，由 得 ，于是 ，。 到平面 的距离就是正四面体的高 。， ，所以 。 ，，故两者体积之比为 。 分别是 上距 为 的点，； 以 为底、 为顶点 答　选 D（）。 ★★　赣州市2025-2026学年高三下学期摸底考试 · 第8题 3. 在长方体中，，点在四边形内（含边界）移动，且满足，则点到直线距离最小值为（ ） A B. C. D. 策略　先定出四边形 所在平面，把 化成 的轨迹方程，再把点到直线 的距离写成 的函数求最小值。 以 为原点， 为 轴，，：，，，，。 四边形 所在平面为 ，设 ，其中 ，。 ，，，故 。 由 解得 ，即 ，再由 得 。 此时 ，，，。 ，于是 。当 时 最小为 ，。 在平面 内的轨迹是抛物线弧（，）， 是 到直线 的垂足 答　选 D（）。 ★★★　江门市2026届高考模拟考试 · 第7题 4. 已知正方体棱长为，点是正方形内（含边界）的一个动点，且满足，则点的轨迹长为（ ） A. B. C. D. 策略　建系后 化为底面内的二次方程，动点轨迹是一段圆弧，再求弧长。 以 为原点， 为 轴，棱长 ：，。 设 ，，，则 ，即 。 故轨迹是正方形 内以 为圆心、半径 的四分之一圆弧；因 ，整段弧连同端点都在正方形内。 弧长 。 时 到 的距离恒为 ，轨迹是底面内的四分之一圆弧 答　选 C（）。 ★★　苏州实验中学等六校2026届高三第二次模拟考试 · 第10题 5. 如图，在长方体中，，点是棱上的动点（不含端点），过点作长方体的截面，并将长方体分成上下两部分，体积分别为，则（ ） A. 截面是平行四边形 B. 若，则 C. 存在点，使得截面为长方形 D. 截面的面积存在最小值 策略　建系写出过 的截面，先证对边平行且相等，再逐项验证体积比、长方形与面积最值。 以 为原点， 为 轴，，：，，，；设 ，。 A：平面 与棱 交于 ，截面为四边形 。，，故截面恒为平行四边形，A 正确。 B： 与 的中点是长方体的中心 ，该点又在平面 上，过中心的截面把长方体平分，，不等于 ，B 错误。 C：（），邻边不垂直，截面不可能是长方形，C 错误。 D：，当 时取最小值 ，D 正确。 过 的截面是平行四边形 （图中取面积最小的位置，此时 ） 答　选 AD。 ★★　萍乡市2025-2026学年高三二模考试 · 第11题 6. 在棱长为2的正方体中，点满足，其中，则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时，平面 C. 当时，平面截正方体所得截面面积为 D. 若直线与直线所成角为，则点的轨迹为抛物线 策略　 说明 在平面 内，写出 的坐标后逐项判断。 建系：，，，，，，则 ，且 恒在平面 内。 A： 时 ，，，两者数量积恒为 ， 与 不垂直，A 错误。 B： 时 ，；平面 即 ，法向量取 ，，又 平面 ，故 平面 ，B 正确。 C： 时 ，代入知它在平面 （即 ）上；该平面只把顶点 单独截去，截面就是正三角形 ，边长 ，面积 ，C 正确。 D：，，由夹角为 得 ，化简得 ，在平面 内是一条抛物线（把 换成平面内参数即为二次关系），D 正确。 阴影为平面 ，粗线是 在其中的抛物线轨迹， 给出定方向 答　选 BCD。 ★★　唐山市2026年普通高等学校招生统一考试第二次模拟演练 · 第10题 7. 在四棱锥中，平面， ，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，直线平面PAB B. 当时，直线CE与PB所成角为 C. 当时，直线CE与平面PAD所成角为 D. 当时，三棱锥的外接球表面积为 策略　 底面，直接建系；把 用 表示后逐项算线面平行、线线角、线面角与外接球表面积。 由 、 知底面 是直角梯形。取 ，，，，。 由 得 。 A：取 ，，，其 分量为 ；平面 就是 ，而 平面 ，故 平面 ，A 正确。 B：，；，，则 ，B 错误。 C：取 ，，，；平面 即 ，法向量为 ，设线面角为 ，则 ，，C 正确。 D： 时 。 中 ，，故 ，外心为 的中点 ；球心 由 得 ，，即 就是 ，，表面积 ，D 正确。 底面 为直角梯形， 底面， 在 上（图中取 为 中点） 答　选 ACD。 ★★　张家口市2026届高三下学期一模 · 第10题 8. 如图，已知正四棱锥中，底面边长为2，高为1，则下列说法正确的是（ ） A. 直线与直线所成角的余弦值为 B. 直线与平面所成角的正弦值为 C. 该正四棱锥的外接球的表面积为 D. 若平面与平面所成的角为，平面与平面所成的角为，则 策略　正四棱锥以底面中心为原点建系，逐项算线线角、线面角、二面角；外接球用球心在轴上、到各顶点等距求半径。 设底面中心为 ，以两条对角线为 轴、高所在直线为 轴：，，，，。 A：，；，，故 ，而 恰是它的正弦值，A 错误。 B：，平面 的法向量可取 ，则 ，B 正确。 C：设球心为 ，由 得 ，解得 ，，表面积 ，C 正确。 D：平面 的法向量可分别取 ，，，于是 ，，，D 错误。 底面边长 、高 的正四棱锥， 为底面中心，外接球球心在直线 上 答　选 BC。 ★★　邢台市名校协作体2026届高三上学期模拟考试（一模） · 第10题 9. 如图，在棱长为2的正方体中，为线段上的动点，为的中点，则（ ） A. B. 直线与所成角的最大值为 C. 过点作该正方体的截面，则截面的面积为 D. 三棱锥外接球半径的取值范围为 策略　以 为原点，、、 为 、、 轴建系，设 ，。 ，，数量积 ，故 恒成立，A 项正确。 沿 轴，，所成角余弦为 ， 时最小为 ，此时角为 ，大于 ，B 项错误。 截面所在平面为 ，它与 交于 ，截面是梯形 ，两底 、 平行，距离为 ，面积 ，C 项正确。 外接圆圆心为 中点 、半径 ，设球心 ，由到 与到 距离相等得 ，即 ，，D 项正确。 截面为梯形 （、 是 、 中点）， 在对角线 上运动 答　ACD ★★　金华十校2026届高三下学期4月模拟考试 · 第10题 10. 在棱长为3的正方体中，点E在棱上且，点F在正方形内运动（含边界），若平面，则（ ） A. 点F的运动轨迹为线段 B. 的最小值为 C. 存在点F，使得 D. 过F，D，B，C四点的球的表面积最小值为 策略　以 为原点建系，棱长 3，平面 过 、、，法向量取 ，方程为 。 由 得 ，；设 ，则 ，由 得 ，，轨迹是上底面内的线段 ，A 项正确。 取 ，，， 时最小为 ，故 最小为 ，B 项正确。 若 ，由 、 得 ，，与 矛盾，C 项错误。 、、 在底面，外接圆圆心是 中点 、半径 ，设球心 ，由到 与到 距离相等得 ， 的最小值为 ，D 项正确。 在棱 上， 在上底面内的轨迹为线段 （过 平行于平面 的平面与上底面的交线） 答　ABD ★★★　安庆市2026届高三二模 · 第10题 11. 在棱长为1的正方体中，点是正方形内（含边界）一动点，若点到平面的距离为，则（ ） A. 点的轨迹长度等于 B. 平面 C. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为 D. 异面直线与，所成角的余弦值的最小值为 策略　以 为原点建系，棱长 1，平面 过 、、，法向量 ，方程为 。 设 ，点面距离 ，由 得 ，，轨迹是底面内线段，长为 ，A 项正确。 ，与法向量数量积为 ，故 与平面不平行，B 项错误。 ，，分母在 时最小，最大值为 ，C 项正确。 方向为 轴方向，， 时最小为 ，D 项正确。 在底面内的轨迹为线段 ，即与平面 平行且距离为 的平面与底面的交线 答　ACD ★★★　滁州市2026届高三第二次教学质量监测 · 第11题 12. 正方体的棱长为2，点在平面内（含边界），且点到点的距离与到平面的距离相等，点为线段中点，则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 恰有两个点，使得直线平面 C. 的最小值为 D. 若与平面所成角的正弦值为，则到平面的距离为 策略　棱长 2， 在平面 内，设 ，平面 即 ，条件化为 。 平方得 ，，轨迹是侧面内的抛物线弧，且 。 、、 共面于 ， 面积为 ， 到该平面距离恒为 ，故三棱锥 体积恒为 ，A 项正确。 平面 为 ，，由 得 ，代入 得 ，在 内只有 一个解，B 项错误。 ，令 ，则 ， 时最小为 ，C 项正确。 与平面 所成角满足 ，由 得 ，令 ，由 解得 ，即 到平面 的距离为 ，D 项正确。 在侧面 内的轨迹是抛物线弧（到点 与到平面 距离相等） 答　ACD ★★★　岳阳市2026届高三教学质量监测（二） · 第11题 13. 如图，在棱长为1的正方体 中，点为中点，动点满足 则（ ） A. 若点到直线和的距离相等，则点的轨迹为抛物线的一部分 B. 存在这样的点使EP⊥平面 C. 若点与点重合，则三棱锥的外接球半径为 D. 若与的夹角为，为线段上的动点，则的最小值为 策略　由 得 ， 在上底面内；以 为原点建系， 是 中点，即 。 是 、 的直线， 是 、 的直线，到两者距离相等即 ，化简得 ，是抛物线（焦点 、准线 ）的一段，A 项正确。 ，平面 为 ，法向量 ；垂直需 ，即 超出 ，不存在这样的点，B 项错误。 时，、，故球心在过 、、 三点外心且垂直于平面 的直线上，解得球心为 ，，C 项正确。 由 与 成 得 ；取 、，取 ，此时 恰在 正下方，，小于 ，D 项错误。 在上底面内的轨迹是抛物线的一段（到点 与到直线 距离相等） 答　AC ★★　沧州市第一中学等校2026届普通高中高三总复习质量监测 · 第14题 14. 如图，在长方体中，，，M为的中点，过点B作平面与平面平行，则平面与底面的交线l的长度为_________；若P为l上的动点，则动直线AP与的夹角的正切值的取值范围是_________． 策略　以 为原点，、、 为 、、 轴建系，则 、、， 是 中点即 。 平面 的法向量 ，平面 过 且同法向量，方程为 。 令 得 ，在平面 内的交线端点是 与 ，所以 。 设 在 上，则 ，； 沿 轴，，所成角正切 。 它在 处取最小值 ，在 处取最大值 ，故取值范围为 。 过 且平行于平面 的平面 与平面 的交线 （过 与 中点） 答　； ★★★　江门市2026届高考适应性测试 · 第14题 15. 正三棱柱的棱长均为，，分别是棱，的中点，过点，，的平面分别交直线，于点，，则三棱柱与三棱锥公共部分的体积为______． 策略　正三棱柱棱长均 2，取 、、，则 、。 平面 的方程为 ：代入 、、 均成立。 在直线 上取 代入得 ，故 ；在直线 上取 代入得 ，故 。 用平行于底面的平面去截：高度 处三棱锥 的截面是三角形 ，其中 在 上， 在直线 上，面积为 。 当 时 落在 点之外，截面超出底面的部分是以 、、 为顶点的三角形，面积为 。 公共部分体积 。 过 、、 的截面（浅灰）与直线 、 的延长线交于 、 答　 　④空间角（线线角、线面角、二面角） 　　【选择题】 ★★　苏北七市2026届高三第二次调研测试 · 第8题 1. 已知二面角的大小为，且为内异于的任意一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 　　【多选题】 策略　设 为原点、 为 轴，半平面 为 的上半平面， 由 绕 旋转 得到。 ，取 ； 在 内， 的方向可取 ，。 ，由柯西不等式其最大值为 ，在 时取到。 取最大值时 取最小值，故最小值为 。 二面角 中 与任意方向的 ， 到 的垂足为 答　D ★★　苏锡常镇四市2026届高三下学期教学情况调研（一） · 第11题 2. 已知异面直线，四点不共面，是线段的中点，，则（ ） A. 当时， B. 当时，直线所成角为 C. 点到直线的距离为 D. 三棱锥的体积的最大值为3 策略　 是异面直线 、 的公垂线，以 为原点、 为 轴、 为 轴建系，则 ， 是过 且沿 轴方向的直线。 设 、，由 得 ，即 。 当 时 、，，A 项正确；此时 ，与 夹角的余弦为 ，所成角为 ，B 项正确。 ，到直线 （ 轴）的距离为 ，C 项正确。 ，最大值为 而不是 ，D 项错误。 异面直线 、 与它们的公垂线 ，、， 为 中点 答　ABC ★★★　梅州市2026届高三下学期3月总复习质检 · 第11题 3. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面，，，、分别为棱、上的动点，设，，则（ ） A. 当时，存，使得平面 B. 当时，存在，使得 C. 当，且与相交时， D. 三棱锥的外接球在底面上的截痕长为 　　【填空题】 策略　取 、、、，由 平面 且 得 ，于是 、。 平面 的法向量取 ； 时 ，，由 得 ，A 项正确。 时 、，由 得 ，不在 内，B 项错误。 时 ，令 与 所在直线相交，由 解得 、、，C 项正确。 、、 在平面 内且 ，外接球球心为 ，，它到底面 的距离为 ，截圆半径为 ，圆心是 中点。 底面是 的梯形，该圆上有四分之三的弧落在底面之外（分别越过 、、 三条边），只有四分之一在底面内，截痕长为 ，D 项错误。 球在底面上的截痕只是底面内的一段四分之一圆弧（圆心 为 中点，半径 ） 答　AC ★★　南京市、盐城市2026届高三下学期一模 · 第12题 4. 在直三棱柱中，已知，，则异面直线与所成角的余弦值为________． 策略　以 为原点、 为 轴建系，由 、 得 ，又 ，。 ，，。 所成角余弦为 。 也可平移：，在 中 、、，由余弦定理得 。 直三棱柱中的异面直线 与 答　 ★★　蚌埠市2026届高三第一次教学质量检查考试 · 第17题 5. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，为的中点，为棱上一点． （1）当时，求证：平面； （2）已知平面平面，当二面角的大小为时，求． 策略　底面是 的菱形，取 为原点、 方向为 轴，则 、、， 为 中点即 。 (1) 取 中点 。在 中 且 ；而 且 ，所以 且 ，四边形 是平行四边形，从而 。 又 平面 ， 平面 ，故 平面 。 (2) 使 为等边三角形， 为 中点，故 且 ；又平面 平面 ，交线为 ，所以 平面 。 以 为原点，、、 为 、、 轴建系：、、、，设 ，则 。 二面角 的棱为 （ 轴），平面 就是 ，半平面 在垂直于棱的平面内的方向为 ，于是 ，解得 （ 舍去）。 底面菱形中 为 中点， 在棱 上，浅灰三角形是平面 答　(1) 取 中点 ， 为平行四边形得 ，故 平面 ；(2) ★★　赣州市2025-2026学年高三下学期摸底考试 · 第17题 6. 如图，在三棱锥中，平面，且为的中点. （1）求二面角的余弦值； （2）若，在线段上各取一点，设，若平面平面，求的值. 策略　 平面 、底面为直角三角形，建系最省力；(1) 用垂直于棱 的底面截出二面角的平面角，(2) 由 先定出 ，再令两平面的法向量垂直。 设 沿 轴、 沿 轴，由 、 取 、； 是 中点，故 ，。 (1) 底面得 、，故 就是二面角 的平面角，。 (2) 底面给出 、，故 ；又 ， 为正三角形，，，取 。 由 得 、，且 ；平面 的法向量 ，平面 的法向量 。 由 得 ，解得 ，在 内。 是底面的高， 为 中点，、 分别在 、 上且 答　(1) ；(2) 。 ★★　石家庄市2026届普通高中学校毕业年级教学质量检测（一） · 第16题 7. 如图，在四棱锥中，是正三角形，四边形是菱形，，，点是棱上的一点. （1）若为棱的中点，求证：平面； （2）若平面平面，是否存在点，使得点到平面的距离为.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 策略　 为正三角形且平面 平面 ，说明 在 中点的正上方，建系后点面距离是 位置的一次式。 由菱形 、、 得 ，取 、、、。 边长为 8， 中点 ，平面 平面 使 底面，，取 。 (1) 为 中点时 ，，平面 的法向量 ，数量积为 ，且 不在平面 内，故 平面 。 (2) 设 ，，则 ；平面 的法向量取 ， 到平面 的距离为 。 令 得 ，此时点 在线段 内部，故 。 平面 平面 时 落在 中点的正上方， 是棱 上的点 答　(1) 平面 ；(2) 存在这样的点 ，。 ★★　邢台市名校协作体2026届高三上学期模拟考试（一模） · 第17题 8. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，. （1）证明：平面平面. （2）求平面与平面 所成锐二面角的余弦值. （3）在棱上(不含端点)是否存在点，使得平面?若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由. 策略　 底面，底面由 、、 唯一确定，先把底面各边算出来再建系。 设 、、，由 、 得 ；由 得 ，故 ，。 (1) 平面 得 ，又 ，而 ，故 平面 ； 平面 ，所以平面 平面 。 (2) 底面，取 ；平面 的法向量 可取 ，平面 的法向量为 ，所成锐二面角的余弦为 。 (3) 设 ，，则 ，；平面 的法向量 。 由 平面 得 ，即 ，；此时 不在平面 内，所以存在，。 底面 ， 且 ， 在棱 上 答　(1) 平面 平面 ；(2) ；(3) 存在，。 ★★　濮阳市2026年高三第二次模拟考试 · 第17题 9. 如图，在四棱锥中，底面四边形ABCD是正方形，底面ABCD，是线段PC的中点，在线段PB上，． （1）求证：平面BDE； （2）求证：平面DEF （3）在线段PB之间（不含端点），EG与PA所成的角为，求平面DEF与平面DEG夹角的余弦值． 策略　 底面、、底面是正方形，以 为原点建系；(1)(2) 用中位线与线面垂直判定，(3) 先由异面直线所成角定出 ，再求两平面法向量的夹角。 取 、、、、，由 为 中点得 。 (1) 连 交 于 ， 是 中点， 是 中点，故 ； 平面 ， 平面 ，所以 平面 。 (2) 底面得 ，又 ，故 平面 ，； 中 且 为斜边中点，得 ，于是 平面 ，，结合 得 平面 。 (3) 设 ，由 解得 ；设 ，，，由 解得 （ 与端点重合，舍去），即 。 平面 的法向量取 ，平面 的法向量取 ，故两平面夹角的余弦为 。 底面是正方形， 底面， 为 中点，、 都在棱 上且 答　(1) 平面 ；(2) 平面 ；(3) 。 ★★　衡阳市2026届高三下学期第二次联考 · 第17题 10. 如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，，E是CD的中点，AC与BE相交于点H，点F在侧棱PD上，． （1）证明：平面； （2）当时，求点P到平面的距离； （3）若，当直线PC与平面所成的角最大时，求实数的值． 策略　 矩形底面，以 为原点建系；(1) 证 与 、 都垂直，(2) 求点 到平面 的距离，(3) 把线面角的正弦化成 的函数再求最值。 由 、 得 、，取 、、、、。 (1) 为 中点，，；、，，，故 平面 。 (2) 由 与 相交得 ； 时 ，平面 的法向量取 ，，于是 到平面 的距离为 。 (3) 给出 ；平面 的法向量取 ，，得 ，平方后 。 在 上增大时 减小，分母减小， 增大，故 时直线 与平面 所成角最大。 矩形 ， 为 中点， 是 与 的交点， 在棱 上 答　(1) 平面 ；(2) ；(3) 。 ★★★　汕头市2026年普通高考第二次模拟考试 · 第17题 11. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，其中，，点E、F分别为棱PD、AD的中点. （1）求证：平面平面ABCD； （2）请作出四棱锥过B、E、F三点的截面，并求出截面图形周长； （3）过B、E、F三点的平面上是否存在动点，使其到点的距离为3？若存在，求点在运动过程中所围成的图形的面积；若不存在，请说明理由. 策略　先由梯形各边定出 ，再由 与 定出 的位置；(2) 平面与各侧面的交线围成截面四边形，(3) 问题即截面与球面 的交圆面积。 直角梯形中 、、、、，取 、、、，此时 。 (1) ，又 ，，故 平面 ； 平面 ，所以平面 平面 。 边长为 4 且 ，解得 ；、 为 、 中点，故 、。 (2) 平面 与 交于 ，截面为四边形 ：，，，所以周长是 。 (3) 平面 的法向量取 ，，点 到该平面的距离 ，故这样的动点 存在。 的轨迹是平面 上以 的射影为圆心的圆，，面积 。 过 、、 三点的截面是四边形 （ 为 中点）， 在截面上满足 的轨迹是圆 答　(1) 平面 平面 ；(2) 截面为四边形 ，周长为 ；(3) 存在，面积是 。 ★★★　莆田市2026届高三上学期1月质量检测 · 第17题 12. 如图，四棱锥的底面是边长为4的正方形，是正三角形，，三棱锥的体积是四棱锥体积的． （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 　　【多选题】 策略　正方形底面与正三角形侧面先给出 到 中点的联系，体积条件用来确定 到正方形所在平面的距离；(2) 建系求线面角。 取 、、、，正方形边长为 4。 为正三角形， 在 的中垂面上，设 ，有 ；由 设 ， 给出 ，两式相减得 。 平面 的方程为 ， 到它的距离为 ，故 ；又 。 由 得 ，与 联立得 、，即 ， 在 中点 的正上方。 (1) ，，，故 平面 ； 平面 ，所以平面 平面 。 (2) 由图取 、，，；平面 的法向量取 ，，。 是正三角形且 在 中点的正上方，， 答　(1) 平面 平面 ；(2) 。 ★★　邯郸市2026届高三第一次模拟检测 · 第11题 1. 如图1，在长方形中，是边上一点，且．将沿着翻折至，连接，得到如图2所示的四棱锥，则下列结论正确的是（ ） A. 四棱锥体积的最大值为 B. 当平面平面时，三棱锥的外接球的表面积为 C. 在翻折的过程中，与始终不垂直 D. 若，则 策略　翻折中 到 、 的距离不变， 在以 为轴的圆弧上运动，设折起角为 把每个选项化成 的函数。 长方形 、、，底面 的面积为 ；、， 到直线 的距离恒为 ，到平面 的距离最大为 ，故 ，A 项正确。 取 、、、，则 。 B 项：平面 平面 时 ，； 中 ，球心为 、 中垂面的交点，得球心 ，，表面积 ，正确。 C 项：，取 时数量积为 ，即 可以发生，故 与 始终不垂直错误。 D 项： 满足 时，，与 无关，，正确。 左图是长方形 （ 在 上且 ），右图是 沿 翻折后得到的四棱锥 答　ABD ★★★　衡阳市2026届高三下学期第二次联考 · 第11题 2. 如图，在矩形ABCD中，，E为BC的中点，将沿AE向上翻折到，连接PC，PD，在翻折过程中，下列说法正确的是（ ） A. 若平面平面ABCD，则 B. 四棱锥的体积最大值为 C. 点P从点B翻折到AD中点的过程中，PD的中点F形成的轨迹长度为 D. 三棱锥的外接球表面积的最小值为 　　【填空题】 策略　、、 为 中点， 是等腰直角三角形， 绕 翻折，设折起角 写出 的坐标再逐项判断。 取 、、、、； 到直线 的距离恒为 ，垂足为 ，故 ，。 A 项：平面 平面 时 ，，，，数量积为 ，所以 ，正确。 B 项：底面 的面积为 ， 到底面的距离最大为 ，故 的最大值为 ，不等于 ，错误。 C 项： 中点 ， 在半径为 的定圆上走过半圈，轨迹长为 ，错误。 D 项：、，， 的外接圆圆心为 中点 、半径为 ；球心设为 ，由 得 ，，表面积最小为 ，正确。 左图是矩形 （ 为 中点），右图是 沿 上翻折后的四棱锥 ，虚线弧为 的轨迹 答　AD ★★　随州市2026届高三六校联考（一模） · 第13题 3. 点是直线上一点，是直线的一个方向向量，则点到直线的距离是______． 　　【解答题】 策略　直线过定点 、方向向量已知，用直角三角形"斜边平方减去投影平方"求点到直线的距离。 ，，。 在方向向量上的投影为 。 距离 。 答　。 ★★　江门市2026届高考适应性测试 · 第15题 4. 如图，在四棱锥中，正三角形所在平面与矩形所在平面垂直． （2）若，且，，求与平面所成角的正弦值． 策略　正三角形 所在平面与矩形底面垂直， 落在 中点的正上方，建系后用线面角公式。 取 、、、；由 知 为 中点，。 边长为 4， 中点 ；平面 平面 使 底面，，取 。 ，；平面 中 、，法向量取 ，模为 。 所成角 满足 。 正三角形 所在平面垂直于矩形 所在平面， 是 中点 答　。 ★★　苏锡常镇四市2026届高三下学期教学情况调研（一） · 第17题 5. 把一副三角板按如图所示的方式拼接，其中，．将沿翻折至，使得二面角为直二面角． （1）证明：平面； （2）若在同一个球面上，求该球的半径； （3）求平面与平面所成角的余弦值． 策略　两块三角板共用边 ， 使高线过 中点，直二面角把 定在 中点的正上方；证得 平面 后， 就是外接球的直径。 、 给出 ；、 给出 ，。 (1) 中 ，，故 ；二面角 为直二面角且 ，故 平面 ，。 由 、、 得 平面 。 (2) 由 平面 得 ，即 ；又 ，、 都在以 为直径的球面上， 共球，半径 。 (3) 以 为原点、 沿 轴、平面 为 面，取 、、、。 平面 的法向量为 ，平面 的法向量 可取 ，模为 ，故两平面所成角的余弦为 。 左图是两块三角板的拼接，右图是 沿 翻折后的四面体 ， 是公共外接球的直径 答　(1) 平面 ；(2) ；(3) 。 ★★　上饶市2026届高三上学期第一次高考模拟考试 · 第16题 6. 在平面四边形中，，将沿翻折至，满足． （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 策略　先把平面四边形 的各边角算清，再用“ 垂直于平面 ”推出面面垂直；求二面角时以 为原点建系。 由 、 得 、，；又 ，故 ，，。 (1) 沿 翻折不改变长度，故 、；由 得 ，又 ，而 ，所以 平面 。 而 平面 ，所以平面 平面 。 (2) 取 、 为 、 轴， 轴垂直平面 ，则 、、。由 平面 知 ，解 、 得 、，即 。 平面 的法向量 ，平面 的法向量 ，。 左：平面四边形 与折痕 ；右：翻折后的三棱锥， 平面 答　(1) 平面 平面 ；(2) 。 ★★★　佛山市2025-2026学年普通高中教学质量检测（二） · 第17题 7. 如图，在三棱锥中，与均为等边三角形，. （1）证明：； （2）若点M到平面的距离为1，求平面与平面夹角的余弦值. 策略　两个等边三角形给出 、，(1) 取 中点找线面垂直；(2) 用点 到底面的距离反解出棱长，再建系求角。 (1) 取 中点 。 中 ，故 ； 中 ，故 ；，所以 平面 ，而 平面 ，故 。 (2) 设 ，则 ，由 、 均为边长 的等边三角形得 、，故 ；记 ，由 得 ，即 。 又 平面 ，故平面 平面 ，交线为 ，因此 到平面 的距离为 ，即 ；与上式相除得 ，，，，。 以 为原点， 为 轴、平面 为 平面，取 、、、。 平面 的法向量 ，平面 的法向量 ，。 取 中点 ，则 平面 ，， 到底面的距离 答　(1) ；(2) 。 ★★★　郑州市2026届高三上学期第一次质量预测 · 第17题 8. 如图，在矩形中，，，，分别是，的中点，点，分别是对角线，上的动点（不包括端点），且，将四边形沿翻折，使平面平面. （1）求证：平面； （2）求线段的长（用表示）； （3）当线段的长最小时，求平面与平面夹角的余弦值. 策略　、 是矩形两条长边的中点，翻折后 与 都是正方形且互相垂直，把两个正方形放进同一个直角坐标系，、 的坐标只含 。 由矩形 中 、 及 、 为 、 的中点，得 、 都是边长为 的正方形，。 取 、 为 、 轴，平面 为 ；由平面 平面 取 、、、、、。 (1) ，，，则 、，故 、；，所以 平面 。 (2) 由 及 得 、，故 ，。 (3) 由 知 时 最小，此时 、，平面 的法向量 ，平面 的法向量 ，。 左：展开的矩形与折痕 ；右：翻折后两正方形互相垂直，、 在对角线上且 答　(1) 平面 ；(2) ；(3) 。 　⑥平行与垂直的证明 　　【选择题】 ★★　保定市2026届高三第一次模拟考试 · 第5题 1. 已知是两条不同直线，，是两个不同的平面，且，，∥，∥，则“与为异面直线”是 “∥”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 　　【解答题】 策略　两个方向各推一遍：先由“异面”出发看能否得到面面平行，再用反例检验“面面平行”能否得到异面。 充分性：若 与 相交于直线 ，由 、 知 与 无公共点，故 ；同理由 、 得 ，于是 ，与 、 异面矛盾。所以 、 异面能推出 。 必要性：取 ，在 内取直线 、在 内取与 平行的直线 ，则 、 自动给出 、，四个条件全满足，但 不是异面直线。 所以“ 与 为异面直线”能推出“”，反之不能；既不是必要条件（B、C 错），也不是既不充分也不必要条件（D 错）。 答　选 A（充分不必要条件）。 ★★　淄博市2025-2026学年高三下学期模拟考试 · 第17题 2. 如图，四棱锥中，平面，，，. （1）求证：； （2）若为的重心， （i）求与平面所成角的正弦值； （ii）若交平面于，求的值. 策略　 说明 ，配合 底面即得 平面 ；建系后重心、线面角、比值一并算清。 由 、、 得 ，故 ；又 平面 得 ，而 ，所以 平面 ； 平面 ，故 。 取 为原点，、、 为 、、 轴，得 、、；由 、 得 。 (2) 为 的重心，，，。 (i) 平面 的法向量 ，，。 (ii) 由 与 得平面 的方程 ；直线 上的点可写成 ，代入得 ，，即 。 底面 且 ， 是 的重心，直线 交平面 于 答　(1) ；(2)(i) ；(ii) 。 ★★　广州市2026届高三毕业生一模 · 第16题 3. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2菱形，，平面，点是棱的中点． （1）求证：； （2）若点到平面的距离为，求平面与平面夹角的余弦值． 策略　底面菱形由两个正三角形拼成，(1) 取 中点构造垂线；(2) 先用点 到平面 的距离定出 ，再求两平面的夹角。 由 、 得 是边长为 的正三角形，从而 ，又 ， 也是正三角形。 (1) 取 中点 ，则 ；由 平面 得 ，而 、 分别是 、 的中点，故 ，；，所以 平面 ， 平面 ，故 。 (2) 取 、 为 轴、平面 为 面，则 、、、。 平面 的法向量为 ，故 到平面 的距离为 ，解得 ，即 。 平面 即 ，法向量 ；平面 的法向量取 ，。 底面菱形由两个正三角形拼成， 为 中点、 为 中点， 平面 答　(1) ；(2) 。 ★★　苏北四市2026届高三年级第一次调研测试 · 第16题 4. 如图，在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，为的中点，，，. （1）证明：； （2）若点在棱上，二面角的正切值为，求点到平面的距离. 策略　 说明 ，于是 恰是 的外心；先证 底面，再用二面角的正切把 的位置定死。 中由余弦定理 ，故 ，，斜边 的中点 就是外心，。 (1) 是边长为 的正三角形， 为 中点，故 ，；在 中 ，所以 ； 与 是平面 内两条相交直线，故 平面 ，从而 。 (2) 取 为原点，、 为 、 轴， 轴垂直平面 ，得 、、。设 。 用一个垂直于 的平面去截这两个半平面，截得的两条射线所成角就是二面角 的平面角 ，由 与 得 ；由 得 ，化简得 ，解得 （另一根 超出线段 ）。 平面 的法向量取 ，，故 到平面 的距离为 。 、 使 ， 为外心且 平面 ， 在棱 上 答　(1) ；(2) 。 ★★　苏州实验中学等六校2026届高三第二次模拟考试 · 第17题 5. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，. （1）证明：平面平面； （2）若直线与平面所成的角为，求线段的长； （3）是否存在线段上一点，使得到点的距离都相等？说明理由. 策略　 底面给出线面垂直，底面由 、、 唯一确定；(2) 用线面角为 解出 ；(3) 把“四点等距”化成两个距离等式检验。 (1) 由 平面 得 ，又 ，，故 平面 ； 平面 ，所以平面 平面 。 (2) 设 ，则 、。取 、、，由 、 得 、。 ，平面 的法向量 ，于是 ，化简得 ，解得 （ 使 ，舍去），即 。 (3) 设 ，则 。由 底面、 得 ，即 到 、 的距离恒相等。 若还要求 ，设 ，在 中 、，由 得 ，即 。 此时 ，矛盾，故线段 上不存在这样的点 。 底面，， 由 、 定出， 为线段 上的动点 答　(1) 平面 平面 ；(2) ；(3) 不存在。理由： 到 、 的距离恒相等，而 只给出 ，此时 。 ★★　唐山市2026届高三第一次模拟演练 · 第15题 6. 如图，在三棱锥中，，，D是的中点. （1）证明：平面平面； （2）若，三棱锥的体积为，求直线与平面所成角的正弦值. 策略　 与 都以 为边、 为中点， 平面 是一步到位的桥梁；(2) 先用体积定出点 到底面的距离。 (1) 中 ， 为 中点，故 ，，；又 ，，所以 平面 ； 平面 ，故平面 平面 。 (2) 由 平面 得 ，结合 、 得 ，。 设 到平面 的距离为 ，由 得 ；平面 平面 且交线为 ，故 就是 到直线 的距离 ，于是 ，，即 ；又 而 ，所以 平面 ，取 、、、、。 则 ，；平面 的法向量 ，，故 。 为 中点， 平面 ，且 平面 答　(1) 平面 平面 ；(2) 。 ★★　开封市2026届高三第二次质量检测 · 第17题 7. 如图，在三棱锥中，点E，F分别在棱，上，平面，平面． （1）证明：； （2）记直线与平面所成的角为，平面与平面的夹角为，证明：为定值； （3）若，E为线段的中点，设平面与平面的交线为l，Q为l上的点，求点B到平面的距离的最大值． 策略　 平面 把 锁成竖直方向， 平面 迫使 、 把两条棱分成同一比例；(3) 中两平面的交线 也由此定出。 (1) 由 平面 得 、。设 、，由 平面 得 ，由此可推出 ；由 得 ，代入 得 。 于是 ，从而 ；由 平面 得 平面 ，而 平面 ，故 。 (2) 平面 说明 就是平面 的法向量，所以 等于 与平面 的法向量的夹角（取其锐角），而 与这个夹角互余，故 为定值。 (3) 由 平面 得 ，而 ，故 ，再由 得 ，即 ，；又 、 分别是 、 的中点，故 ，。 取 、、、，此时 ；平面 的方程为 ，平面 为 ，交线 即 轴，设 。 平面 的法向量 ，，；当 时 取最小值 ，此时 到平面 的距离 取最大值 。 平面 ，、 把 、 分成同一比例，平面 与平面 的交线 过点 ， 在 上 答　(1) ；(2) ，为定值；(3) 。 ★★　泉州市2026届高三质量检测（二） · 第17题 8. 如图，已知在四棱锥中，，，，． （1）证明：平面； （2）证明：； （3）若直线与平面所成角为，点在平面内的正投影是点，求四棱锥的体积． 策略　先由 、 定出直角梯形底面，(2) 用两对相等的线段把 化为“同在垂直平分面上”；(3) 用 定出 的高后再算投影点 。 由 、 得 。取 、、，由 得 ，底面 是直角梯形。 (1) 因为 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 。 (2) 由 知 在线段 的垂直平分面上，由 知 也在该平面上，因此直线 在该平面内，。 (3) 设 ，由 得 ，由 得 ；由 与平面 成 得 ，联立解得 ，，即 。 平面 的法向量 ，，故 在平面 内的正投影 ，它到平面 的距离为 。 底面直角梯形面积 ，故四棱锥 的体积 。 底面为直角梯形， 使 ， 是 在平面 内的正投影 答　(1) 平面 ；(2) ；(3) 。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 立体几何 ①体积与表面积 　　【选择题】 ★★　安庆市2026届高三二模 · 第7题 1. 三棱锥的底面为边长为1的等边三角形，三个侧面三角形中至少有两个为等腰直角三角形，则该三棱锥的体积不可能为（ ） A. B. C. D. ★★　南京市、盐城市2026届高三下学期一模 · 第5题 2. 已知圆锥的轴截面是直角三角形，且该圆锥的顶点和底面的圆周都在球的球面上，则该圆锥与球的体积之比为（ ） A. B. C. D. ★★　石家庄市2026届普通高等学校毕业年级教学质量检测（二） · 第6题 3. 已知正四棱台上、下底面的边长分别是2，8，体积为，则其表面积为（ ） A. 148 B. C. 168 D. 80 ★★　开封市2026届高三第一次质量检测 · 第6题 4. “方斗”是中国古代盛米的一种重要容器，其形状是一个上大下小的正四棱台．如图所示，在一个盛满米的“方斗”容器中，，若从中取出米后，米的高度下降一半，则剩余的米的质量为（ ） A. B. 48kg C. 57kg D. ★★　泉州市2026届高三质量检测（二） · 第5题 5. 已知正三棱台的高为，则该棱台的侧面积为（ ） A. B. C. 18 D. ★★★　南昌市2026届高三年级四月检测 · 第7题 6. 若圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，则过圆锥顶点的截面中，截面面积的最大值为（ ） A. B. C. D. ★★★　湘潭市2026届高三二模 · 第8题 7. 在正四棱台中，，且，记能将正四棱台罩住的半球的最小半径为，正四棱台外接球的半径为，则（ ） A. B. 1 C. D. ★★　泉州市2026届高中毕业班质量检测（一） · 第10题 8. 如图所示的花灯的轮廓是正六棱柱，其棱长均相等，且所有棱长的总和为36，则（ ） A. 平面 B. 平面 C. 直线到平面的距离等于 D. 平面与平面的夹角的余弦值等于 ★★★　邵阳市2026届高三上学期第一次联考 · 第11题 9. 已知圆台的上、下底面的面积分别为和，则下列结论正确的是（ ） A. 若圆台存在内切球，则内切球的体积为 B. 若圆台的母线与下底面所成的角为，则圆台的外接球的表面积为 C. 若圆台的外接球的体积为，则圆台的表面积为 D. 若圆台的外接球的体积为，则圆台的体积为或 　　【填空题】 ★★　开封市豫东名校联考2026届高三二模 · 第13题 10. 在正三棱台中，，侧棱与平面所成角为，则该棱台的体积为___________． ★★　黄石市2026届高三3月模拟 · 第13题 11. 已知一个圆柱和一个圆锥的底面半径相等，高相等，侧面积相等，若圆锥的体积为，则圆柱的底面半径为__________. ★★★　江门市2026届高考模拟考试 · 第14题 12. 已知一个圆锥底面半径为3，侧面积为.若在该圆锥内能放入一个可以任意方向自由旋转的正方体（圆锥表面厚度忽略不计），则该正方体体积的最大值为___________. ★★　九江市2026届高三第二次高考模拟统一考试 · 第16题 13. 如图，在圆台中，上、下底面半径分别为和，高为，轴截面为四边形，在下底上，，为中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 　②外接球与内切球 　　【选择题】 ★★　合肥市2026届高三第二次教学质量检测 · 第6题 1. 已知圆柱的轴截面是周长为24的矩形，其上下底面的圆周都在同一球面上，当圆柱的侧面积最大时，该球的体积为（ ） A. B. C. D. ★★　海安高级中学等校2026届高三阶段性学情测试 · 第5题 2. 一个正六棱锥的高为，底面边长为，则它的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. ★★　上饶市2026届高三第二次高考模拟考试 · 第3题 3. 已知某圆锥底面半径为，高为，则该圆锥的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. ★★　温州市普通高中2026届高三第二次适应性考试 · 第7题 4. 已知圆台的上下底面的半径分别为1和3，圆台的侧面积为，若圆台内接于球，则球的半径为（ ） A. B. C. D. ★★　十堰市2026届高三上学期元月调研 · 第7题 5. 已知正四面体各条棱的中点都在球的表面上，则球的表面积与该正四面体的表面积之比为（ ） A. B. C. D. ★★★　马鞍山市2026届高三第二次教学质量监测 · 第8题 6. 已知三棱锥中，棱，，两两垂直，且长度都为．以为球心，4为半径的球与三棱锥的表面相交所得到的曲线长度为（ ） A. B. C. D. ★★★　新余市2026届高三下学期第二次模拟考试 · 第8题 7. 已知某圆台上下底面半径分别为2.5和6，母线长为7，则该圆台内能放入最大球的表面积为（ ） A. B. C. D. ★★★　鹤壁市2026届高三上学期一模 · 第7题 8. 一个圆锥的底面直径为2，体积为，若该圆锥能够被整体放入一个球内，则该球的表面积的最小值为（　　） A. B. C. D. ★★　洛阳市豫西北联盟2026届高三第二次质量检测 · 第13题 9. 已知某圆台的上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面的半径分别为3和5，则该圆台的侧面积为_____. ★★　濮阳市2026届高三第一次模拟 · 第14题 10. 如图，在矩形中，，，，分别是和的中点，若是矩形内一点（含边界），满足，且，则的最小值为__________. ★★★　石家庄市2026届普通高等学校毕业年级教学质量检测（二） · 第14题 11. 在母线与底面所成角为的圆锥内放入三个半径为1的球，这三个球两两相切，且均与圆锥的底面和侧面都相切，则圆锥的底面半径为_____；若再放入一个半径为的小球，使得它与三个小球均相切，且与圆锥的侧面相切，则_____． ★★　南师附中等九校2026届高三下学期一模联考 · 第15题 12. 如图，已知是圆锥的轴截面，，. （1）求圆锥的外接球的表面积； （2）若为弧的中点，求二面角的正切值. 　③空间位置关系与动点轨迹 　　【选择题】 ★★　萍乡市2026届高三上学期一模考试 · 第6题 1. 在棱长为2的正方体中，为的中点，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. ★★　萍乡市2025-2026学年高三二模考试 · 第6题 2. 在正四面体中，点在棱上，点在棱上，若平面，且，，则三棱锥与正四面体的体积之比为（ ） A. B. C. D. ★★　赣州市2025-2026学年高三下学期摸底考试 · 第8题 3. 在长方体中，，点在四边形内（含边界）移动，且满足，则点到直线距离最小值为（ ） A B. C. D. ★★★　江门市2026届高考模拟考试 · 第7题 4. 已知正方体棱长为，点是正方形内（含边界）的一个动点，且满足，则点的轨迹长为（ ） A. B. C. D. ★★　苏州实验中学等六校2026届高三第二次模拟考试 · 第10题 5. 如图，在长方体中，，点是棱上的动点（不含端点），过点作长方体的截面，并将长方体分成上下两部分，体积分别为，则（ ） A. 截面是平行四边形 B. 若，则 C. 存在点，使得截面为长方形 D. 截面的面积存在最小值 ★★　萍乡市2025-2026学年高三二模考试 · 第11题 6. 在棱长为2的正方体中，点满足，其中，则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时，平面 C. 当时，平面截正方体所得截面面积为 D. 若直线与直线所成角为，则点的轨迹为抛物线 ★★　唐山市2026年普通高等学校招生统一考试第二次模拟演练 · 第10题 7. 在四棱锥中，平面， ，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，直线平面PAB B. 当时，直线CE与PB所成角为 C. 当时，直线CE与平面PAD所成角为 D. 当时，三棱锥的外接球表面积为 ★★　张家口市2026届高三下学期一模 · 第10题 8. 如图，已知正四棱锥中，底面边长为2，高为1，则下列说法正确的是（ ） A. 直线与直线所成角的余弦值为 B. 直线与平面所成角的正弦值为 C. 该正四棱锥的外接球的表面积为 D. 若平面与平面所成的角为，平面与平面所成的角为，则 ★★　邢台市名校协作体2026届高三上学期模拟考试（一模） · 第10题 9. 如图，在棱长为2的正方体中，为线段上的动点，为的中点，则（ ） A. B. 直线与所成角的最大值为 C. 过点作该正方体的截面，则截面的面积为 D. 三棱锥外接球半径的取值范围为 ★★　金华十校2026届高三下学期4月模拟考试 · 第10题 10. 在棱长为3的正方体中，点E在棱上且，点F在正方形内运动（含边界），若平面，则（ ） A. 点F的运动轨迹为线段 B. 的最小值为 C. 存在点F，使得 D. 过F，D，B，C四点的球的表面积最小值为 ★★★　安庆市2026届高三二模 · 第10题 11. 在棱长为1的正方体中，点是正方形内（含边界）一动点，若点到平面的距离为，则（ ） A. 点的轨迹长度等于 B. 平面 C. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为 D. 异面直线与，所成角的余弦值的最小值为 ★★★　滁州市2026届高三第二次教学质量监测 · 第11题 12. 正方体的棱长为2，点在平面内（含边界），且点到点的距离与到平面的距离相等，点为线段中点，则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 恰有两个点，使得直线平面 C. 的最小值为 D. 若与平面所成角的正弦值为，则到平面的距离为 ★★★　岳阳市2026届高三教学质量监测（二） · 第11题 13. 如图，在棱长为1的正方体 中，点为中点，动点满足 则（ ） A. 若点到直线和的距离相等，则点的轨迹为抛物线的一部分 B. 存在这样的点使EP⊥平面 C. 若点与点重合，则三棱锥的外接球半径为 D. 若与的夹角为，为线段上的动点，则的最小值为 ★★　沧州市第一中学等校2026届普通高中高三总复习质量监测 · 第14题 14. 如图，在长方体中，，，M为的中点，过点B作平面与平面平行，则平面与底面的交线l的长度为_________；若P为l上的动点，则动直线AP与的夹角的正切值的取值范围是_________． ★★★　江门市2026届高考适应性测试 · 第14题 15. 正三棱柱的棱长均为，，分别是棱，的中点，过点，，的平面分别交直线，于点，，则三棱柱与三棱锥公共部分的体积为______． 　④空间角（线线角、线面角、二面角） 　　【选择题】 ★★　苏北七市2026届高三第二次调研测试 · 第8题 1. 已知二面角的大小为，且为内异于的任意一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 　　【多选题】 ★★　苏锡常镇四市2026届高三下学期教学情况调研（一） · 第11题 2. 已知异面直线，四点不共面，是线段的中点，，则（ ） A. 当时， B. 当时，直线所成角为 C. 点到直线的距离为 D. 三棱锥的体积的最大值为3 ★★★　梅州市2026届高三下学期3月总复习质检 · 第11题 3. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面，，，、分别为棱、上的动点，设，，则（ ） A. 当时，存，使得平面 B. 当时，存在，使得 C. 当，且与相交时， D. 三棱锥的外接球在底面上的截痕长为 　　【填空题】 ★★　南京市、盐城市2026届高三下学期一模 · 第12题 4. 在直三棱柱中，已知，，则异面直线与所成角的余弦值为________． ★★　蚌埠市2026届高三第一次教学质量检查考试 · 第17题 5. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，为的中点，为棱上一点． （1）当时，求证：平面； （2）已知平面平面，当二面角的大小为时，求． ★★　赣州市2025-2026学年高三下学期摸底考试 · 第17题 6. 如图，在三棱锥中，平面，且为的中点. （1）求二面角的余弦值； （2）若，在线段上各取一点，设，若平面平面，求的值. ★★　石家庄市2026届普通高中学校毕业年级教学质量检测（一） · 第16题 7. 如图，在四棱锥中，是正三角形，四边形是菱形，，，点是棱上的一点. （1）若为棱的中点，求证：平面； （2）若平面平面，是否存在点，使得点到平面的距离为.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. ★★　邢台市名校协作体2026届高三上学期模拟考试（一模） · 第17题 8. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，. （1）证明：平面平面. （2）求平面与平面 所成锐二面角的余弦值. （3）在棱上(不含端点)是否存在点，使得平面?若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由. ★★　濮阳市2026年高三第二次模拟考试 · 第17题 9. 如图，在四棱锥中，底面四边形ABCD是正方形，底面ABCD，是线段PC的中点，在线段PB上，． （1）求证：平面BDE； （2）求证：平面DEF （3）在线段PB之间（不含端点），EG与PA所成的角为，求平面DEF与平面DEG夹角的余弦值． ★★　衡阳市2026届高三下学期第二次联考 · 第17题 10. 如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，，E是CD的中点，AC与BE相交于点H，点F在侧棱PD上，． （1）证明：平面； （2）当时，求点P到平面的距离； （3）若，当直线PC与平面所成的角最大时，求实数的值． ★★★　汕头市2026年普通高考第二次模拟考试 · 第17题 11. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，其中，，点E、F分别为棱PD、AD的中点. （1）求证：平面平面ABCD； （2）请作出四棱锥过B、E、F三点的截面，并求出截面图形周长； （3）过B、E、F三点的平面上是否存在动点，使其到点的距离为3？若存在，求点在运动过程中所围成的图形的面积；若不存在，请说明理由. ★★★　莆田市2026届高三上学期1月质量检测 · 第17题 12. 如图，四棱锥的底面是边长为4的正方形，是正三角形，，三棱锥的体积是四棱锥体积的． （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 　　【多选题】 ★★　邯郸市2026届高三第一次模拟检测 · 第11题 1. 如图1，在长方形中，是边上一点，且．将沿着翻折至，连接，得到如图2所示的四棱锥，则下列结论正确的是（ ） A. 四棱锥体积的最大值为 B. 当平面平面时，三棱锥的外接球的表面积为 C. 在翻折的过程中，与始终不垂直 D. 若，则 ★★★　衡阳市2026届高三下学期第二次联考 · 第11题 2. 如图，在矩形ABCD中，，E为BC的中点，将沿AE向上翻折到，连接PC，PD，在翻折过程中，下列说法正确的是（ ） A. 若平面平面ABCD，则 B. 四棱锥的体积最大值为 C. 点P从点B翻折到AD中点的过程中，PD的中点F形成的轨迹长度为 D. 三棱锥的外接球表面积的最小值为 　　【填空题】 ★★　随州市2026届高三六校联考（一模） · 第13题 3. 点是直线上一点，是直线的一个方向向量，则点到直线的距离是______． 　　【解答题】 ★★　江门市2026届高考适应性测试 · 第15题 4. 如图，在四棱锥中，正三角形所在平面与矩形所在平面垂直． （2）若，且，，求与平面所成角的正弦值． ★★　苏锡常镇四市2026届高三下学期教学情况调研（一） · 第17题 5. 把一副三角板按如图所示的方式拼接，其中，．将沿翻折至，使得二面角为直二面角． （1）证明：平面； （2）若在同一个球面上，求该球的半径； （3）求平面与平面所成角的余弦值． ★★　上饶市2026届高三上学期第一次高考模拟考试 · 第16题 6. 在平面四边形中，，将沿翻折至，满足． （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值． ★★★　佛山市2025-2026学年普通高中教学质量检测（二） · 第17题 7. 如图，在三棱锥中，与均为等边三角形，. （1）证明：； （2）若点M到平面的距离为1，求平面与平面夹角的余弦值. ★★★　郑州市2026届高三上学期第一次质量预测 · 第17题 8. 如图，在矩形中，，，，分别是，的中点，点，分别是对角线，上的动点（不包括端点），且，将四边形沿翻折，使平面平面. （1）求证：平面； （2）求线段的长（用表示）； （3）当线段的长最小时，求平面与平面夹角的余弦值. 　⑥平行与垂直的证明 　　【选择题】 ★★　保定市2026届高三第一次模拟考试 · 第5题 1. 已知是两条不同直线，，是两个不同的平面，且，，∥，∥，则“与为异面直线”是 “∥”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 　　【解答题】 ★★　淄博市2025-2026学年高三下学期模拟考试 · 第17题 2. 如图，四棱锥中，平面，，，. （1）求证：； （2）若为的重心， （i）求与平面所成角的正弦值； （ii）若交平面于，求的值. ★★　广州市2026届高三毕业生一模 · 第16题 3. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2菱形，，平面，点是棱的中点． （1）求证：； （2）若点到平面的距离为，求平面与平面夹角的余弦值． ★★　苏北四市2026届高三年级第一次调研测试 · 第16题 4. 如图，在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，为的中点，，，. （1）证明：； （2）若点在棱上，二面角的正切值为，求点到平面的距离. ★★　苏州实验中学等六校2026届高三第二次模拟考试 · 第17题 5. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，. （1）证明：平面平面； （2）若直线与平面所成的角为，求线段的长； （3）是否存在线段上一点，使得到点的距离都相等？说明理由. ★★　唐山市2026届高三第一次模拟演练 · 第15题 6. 如图，在三棱锥中，，，D是的中点. （1）证明：平面平面； （2）若，三棱锥的体积为，求直线与平面所成角的正弦值. ★★　开封市2026届高三第二次质量检测 · 第17题 7. 如图，在三棱锥中，点E，F分别在棱，上，平面，平面． （1）证明：； （2）记直线与平面所成的角为，平面与平面的夹角为，证明：为定值； （3）若，E为线段的中点，设平面与平面的交线为l，Q为l上的点，求点B到平面的距离的最大值． ★★　泉州市2026届高三质量检测（二） · 第17题 8. 如图，已知在四棱锥中，，，，． （1）证明：平面； （2）证明：； （3）若直线与平面所成角为，点在平面内的正投影是点，求四棱锥的体积． 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $