重难点专训03 截面、翻折问题八大考法（专项训练）（上海专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 以“三把钥匙”和“变与不变”为核心方法，系统构建截面与翻折问题的解题体系，通过分层题型实现从基础到综合的逻辑递进，培养空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |截面问题|4题型（含形状判断、面积计算等）|连接法、平行线法、延长交线法；三步转化框架|从作图到定性定量，逐步提升复杂度| |翻折问题|4题型（含位置关系、空间角等）|变与不变分析；轨迹圆法、定义法、建系法|从静态关系到动态范围，结合空间角与体积综合|

重难点专训03 截面、翻折问题 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 3 题型1 截面形状的判断 3 题型2 截面面积的计算 4 题型3 截面与最值 4 题型4 截面与体积的综合 5 题型5 翻折后的位置关系判断 6 题型6 翻折后的空间角 7 题型7 截面与翻折中的范围问题 9 题型8 截面与翻折中的综合问题 10 重难专题分层过关练 13 巩固过关 13 创新提升 17 解题方法及技巧提炼 一、截面问题 作截面的三把钥匙 方法 适用情境 操作要领 连接法 截面过同一面内的两点 直接连线,得到截面在该面上的交线 平行线法 截面内某线与另一线平行(如) 过已知点作平行线,与相邻棱相交 延长交线法 截面与某棱无直接交点 把面内直线延长,与相邻面相交,“追交点”逐步推进 口诀:三点定面、遇平作平、延长追点。(“遇平作平”:两平行平面同时被第三平面所截时,交线平行。) 统一处理框架:三步转化 ① 作图:用三把钥匙确定截面与各棱的交点,画出截面(或局部); ② 定性:判断截面形状——三角形、四边形、五边形、六边形等,优先考察相等、平行、垂直关系; ③ 定量:把截面放到平面图形中,用勾股定理、余弦定理、等面积法求边长、周长、面积;涉及分体积时,用“底面积×高”或等体积法。 二、翻折问题 “变与不变”分析 类别 保持不变 发生变化 长度 同一平面内的线段长(翻折三角形各边、折痕长) 跨折痕两点的距离(如) 角度 同一平面内的角(如) 二面角、线面角、异面直线所成角 垂直 折痕与折线的垂直关系(如恒成立) 与折痕外元素的位置关系 位置 折痕及其所在直线、未翻折部分 翻折点位置、在底面内的射影位置 核心结论:翻折前垂直于折痕的线段,翻折后仍垂直于折痕——这是翻折题所有垂直证明的“源头”。 破解翻折的三条路径 1. 轨迹圆法:翻折点始终在“过垂足、垂直于折痕的圆”上运动,圆半径等于翻折前到折痕的距离;把空间量写成二面角的函数。 2. 定义法(几何法):在折痕上取点(通常取垂足),分别在两个半平面内作折痕的垂线,得二面角的平面角,把空间问题转化为解三角形。 3. 建系法(向量法):以折痕方向与两条“垂线”方向为轴建系,用坐标表示翻折后各点,求空间角、距离、体积。 翻折最值问题的核心 把目标量写成二面角的函数(常含),利用三角函数有界性求最值;体积最值的临界位置常是“两面垂直”()。 题型通法及变式提升 题型1 截面形状的判断 1．已知正方体，棱的中点为，棱的中点为，棱的中点为，过作该正方体的截面，则该截面的形状为（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 2.如图，正方体的棱长为1，P为的中点，Q为线段上的动点，过点A、P、Q的平面截该正方体所得的截面记为S，给出下列四个结论： ①当时，S为四边形； ②当时，S为等腰梯形； ③当时，S的面积为； ④当时，S与的交点R满足.以上结论正确的个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，已知正方体的棱长为，若为棱的中点，过三点作正方体的截面，则截面的周长为（    ） A． B． C． D． 4.已知正方体的棱长为2，点在线段上（不含端点），点在线段上，且，若平面截正方体所得的截面为五边形，则线段长的取值范围为________． 题型2 截面面积的计算 5.已知球的表面积为，用一个平面截球，使得截面与球心的距离是．则截面的面积为____________． 6．已知球的半径为5，球心到平面的距离为4，则球被平面截得的截面面积为________． 7.已知球的体积为，高为1的圆锥内接于球O，经过圆锥顶点的平面截球和圆锥所得的截面面积分别为，若，则_________ 8.正方体的棱长为是棱的中点，则平面截该正方体所得的截面面积为______. 题型3 截面与最值 9.已知圆锥的母线长为4，过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为8，则该圆锥底面半径的取值集合为（    ） A． B． C． D． 10.如图，圆锥的底面直径和高均是，过上一点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则该圆柱体积的最大值为________． 11.如图，在棱长为2的正方体中，点在截面上（含边界），则线段的最小值等于___________. 12.若圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，则过这个圆锥顶点的截面中，最大截面面积等于__________. 13.如图，经过边长为1的正方体的三个项点的平面截正方体得到一个正三角形，将这个截面上方部分去掉，得到一个七面体，则这个七面体内部能容纳的最大的球半径是______． 题型4 截面与体积的综合 14.已知正四棱柱中，与的交点为，与的交点为，连接，点为的中点．过点且与直线平行的平面截这个正四棱柱所得截面面积的最小值和最大值分别为1和，则正四棱柱的体积为______． 15．（2026·上海·三模）如图是一种“四脚帐篷”的示意图，其中半圆和半圆的直径均为2.6米，平面和平面均垂直于平面，用任意平行于帐篷底面的平面截帐篷，假设所得截面均为正方形，则该帐篷围成几何体的体积为__________立方米．（精确到0.1立方米） 16.如图，已知圆锥的底面半径，经过旋转轴的截面是等边三角形，点半圆弧的中点，点为母线的中点. (1)求此圆锥的表面积与体积； (2)求直线与底面圆所成角的大小. 题型5 翻折后的位置关系判断 17．（2025·上海长宁·二模）如图，等腰直角三角形ABC中，，点E是边AC的中点，点D是边BC上一点（不与C重合），将三角形DCE沿DE逆时针翻折，点C的对应点是，连接，设为二面角大小，．在翻折过程中，下列说法当中不正确的是（   ） A．存在点D和，使得 B．存在点D和，使得 C．存在点D和，使得 D．存在点D和，使得 18．（24-25高三上·上海·期中）如图，将正方形沿对角线折成直二面角，则对于翻折后的几何图形，下列结论不正确的是（  ） A． B．与平面所成角为60° C．为等边三角形 D．二面角的平面角的正切值是 19．如图①，在梯形中，，，，将沿边翻折至，使得，如图②，过点作一平面与垂直，分别交于点．    (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离． 题型6 翻折后的空间角 20.兴趣小组在折纸活动中将矩形纸片沿着对角线翻折至二面角的大小为处（如下图）.    (1)若纸片是正方形，请证明：； (2)若与平面所成角为，请求出的近似值（精确到0.01）. 21．（2025·上海松江·二模）已知梯形中，，为上的一点且，，，将沿翻折使得二面角的平面角为，连接、，为棱的中点. (1)求证：平面； (2)当时，求直线和平面所成角的大小. 22．（2026·上海金山·二模）已知长方形中，，点、分别为边、的中点（如图1）．若将长方形沿着边翻折，得到二面角（如图2）．已知二面角的大小为． (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的大小．（结果用反三角表示） 题型7 截面与翻折中的范围问题 23.在正方体中，，，分别为，，的中点，棱长为.    (1)请在图一作出过，，三点的平面截正方体所得的截面（保留作图痕迹）. (2)计算截面的周长. (3)任作平面与对角线垂直，使平面与正方体的每个面都有公共点，这样得到一个截面多边形，求该截面多边形的周长和面积的取值范围. 24.如图1，在矩形中，，，是边的中点，将沿顺时针方向翻折，使点到达点的位置，且点不在平面上，连接、． (1)求证：； (2)若平面平面，求二面角的大小； (3)如图2，设为的中点，求在整个翻折过程中线段长的取值范围． 25.如图1，在中，，，是线段上一点，且⊥，将沿着翻折至，得到如图2所示的三棱锥，记二面角的大小为；    (1)求的长度； (2)当时，求直线与平面所成角的正切值； (3)当时，在翻折的过程中： ①求点的运动轨迹的长度； ②求线段长的取值范围. 题型8 截面与翻折中综合问题 26.如图所示的空间直角坐标系A-xyz中，所有坐标均为整数的点称为整点；已知正方体的棱长为a，点P满足，其中，； (1)若，且直线与平面所成角大小为，求点P的轨迹长度； (2)若，，求正方体经过点的截面面积S的取值范围； (3)若，求三棱锥内（不包括表面边界）整点的个数. 27.已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，，，PA⊥平面ABCD，且，M是棱PB上的动点．      (1)求证：CD⊥平面PAD； (2)若，求点M到平面ABCD的距离； (3)当M是PB中点时，设平面ADM与棱PC交于点N，求的值及截面ADNM的面积． 28.如图，等腰直角三角形中，，． (1)点是边的中点，点是边上一点（不与重合），将三角形沿逆时针翻折，点的对应点是，设二面角的大小为； ①若点是边的中点，，求四棱锥的体积； ②是否存在点和，使得，若存在，请指出点的位置和的大小，若不存在，请说明理由； (2)四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，空间中取一点，使得、、、四点可组成“鳖臑”，且该四面体的体积为，求的长（直接写出答案即可）． 29.如图，在平行四边形中，，，，沿将翻折至的位置，使得平面平面是线段所在直线上的动点（与点不重合），是的中点． (1)证明：直线与是异面直线； (2)证明：平面； (3)求点到平面距离的最大值． 30.已知梯形中，为上的一点且，将沿翻折使得二面角的平面角为，连接，F为棱的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)当时，求直线和平面所成角的大小． 重难专题分层过关练 巩固过关 1.球的两个平行截面面积分别为和，球心到这两个截面的距离之差等于1，则球的直径为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．M，N分别为菱形ABCD的边BC，CD的中点，将菱形沿对角线AC折起，使点D不在平面ABC内，则在翻折过程中，对于下列两个命题：①直线MN恒与平面ABD平行；②异面直线AC与MN恒垂直．以下判断正确的是（    ） A．①为真命题，②为真命题； B．①为真命题，②为假命题； C．①为假命题，②为真命题； D．①为假命题，②为假命题； 3.已知正四棱锥的棱长都相等，侧棱、的中点分别为、，则截面与底面所成的二面角的正弦值是__. 4．已知过圆柱的轴的平面与圆柱形成的截面面积为16，当截面上两点距离的最大值最小时，圆柱的底面积为__________. 5．如图，有一边长为2cm的正方形，分别为、的中点.按图中的虚线翻折，使得三点重合，制成一个三棱锥，并得到以下四个结论： ①三棱锥的表面积为；           ②三棱锥的体积为； ③三棱锥的外接球表面积为；    ④三棱锥的内切球半径为. 则以上结论中，正确结论是______________ . （请填写序号） 6．如图，在矩形中，，，和交于点，将沿直线翻折，则以下命题中，真命题的序号有________．（写出所有真命题的序号） ①存在，在翻折过程中存在某个位置，使得； ②存在，在翻折过程中存在某个位置，使得； ③存在，在翻折过程中存在某个位置，使得平面； ④存在，在翻折过程中存在某个位置，使得平面. 7.如图，在边长为4的正方体中，为中点，为中点，过、、作与正方体的截面为，则截面面积是________．    8.在平面直角坐标系中，双曲线的左、右顶点分别为，，直线是的一条渐近线，将坐标平面以直线为轴翻折，使得二面角为，则翻折后线段的长度为________. 9.如图所示，为平行六面体（六个面均为平行四边形的棱柱），点E、F分别在棱、上，满足，（为实数）．若平面截所得截面是一个五边形，则的取值范围是________． 10.如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，且，，，点E、F分别为棱、的中点． (1)若，线段中点为，且，求证：； (2)若，请作出四棱锥过点B、E、F三点的截面，并求出截面的周长． 11.中国历史悠久，积累了许多房屋建筑的经验．房梁为柱体，或取整根树干而制为圆柱形状，或作适当裁剪而制为长方体形状，例如图1所示． 材质确定的梁的承重能力取决于截面形状，现代工程科学常用抗弯截面系数W来刻画梁的承重能力．对于两个截面积相同的梁，称W较大的梁的截面形状更好．三种不同截面形状的梁的抗弯截面系数公式，如表所列． 圆形截面 正方形截面 矩形截面 条件 r为圆半径 a为正方形边长 h为矩形的长，b为矩形的宽，h＞b 抗弯截面系数 (1)宋朝学者李诫在《营造法式》中提出了矩形截面的梁的截面长宽之比应定为3:2的观点．考虑梁取材于圆柱形的树木，设矩形截面的外接圆的直径为常数D，如图2所示，当h:b＝3:2时，求其抗弯截面系数； (2)假设如表中的三种梁的截面面积相等，请问哪一种梁的截面形状最好？并说明理由． 12．如图1，在等腰梯形中，，，，为的中点.将沿翻折，得到四棱锥（如图2）.    (1)若的中点为，点在棱上，且平面，求的长度； (2)若四棱锥的体积等于2，求二面角的大小. 13．已知矩形的长为2，宽为1.（如图所示）    (1)若E为DC的中点，将矩形沿BE折起，使得平面平面，分别求到AB和AD的距离. (2)在矩形ABCD中，点M是AD的中点、点N是AB的三等分点（靠近A点）.沿折痕MN将翻折成，使平面平面.又点G，H分别在线段NB，CD上，若沿折痕GH将四边形向上翻折，使C与重合，求线段NG的长. 创新提升 1.过正四面体的顶点作一个形状为等腰三角形的截面，使得截面与底面所成角为75°，这样的截面共可作出（   ）个. A．6 B．12 C．15 D．18 2.如图：棱长为2的正方体的内切球为球O，E、F分别是棱AB和棱的中点，G在棱BC上移动，则下列命题正确的个数是（    ） ①存在点G，使OD垂直于平面；②对于任意点G，OA平行于平面EFG；③直线被球О截得的弦长为；④过直线EF的平面截球О所得的所有截面圆中，半径最小的圆的面积为. A．0 B．1 C．2 D．3 3.用一个平面去截一个底面半径为的圆柱，得到的几何体如图所示，其截面边界为椭圆.该椭圆上所有点中离底面最近的点为，其距离为，最远的点为，其距离为，且点和点在底面的投影分别为点和点.已知点是椭圆上的一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4.已知直棱柱的高为，底面三角形的三边长分别为．过三条侧棱中点的截面把三棱柱分成两个完全相同的三棱柱，然后用这两个三棱柱拼成一个三棱柱或者四棱柱，计算后发现表面积都比原来三棱柱的表面积小，那么正数的取值范围是________. 5.如图，棱长为2的正方体中，点E、F分别为、的中点，有下列四个结论： ①； ②直线与平面所成角的正切值为3； ③平面； ④平面截正方体的截面周长为. 其中，正确结论的序号有__________. 6.已知正四面体中，，、，…，在线段上，且，过点（、、…、）作平行于直线、的平面，截面面积为，则所有截面积之和为__________.    7.如图，正方体的棱长为1，为的中点，为线段上的动点，过点，，的平面截该正方体所得截面记为，则下列命题正确的是 _____（写出所有正确命题的编号）    ①当时，为等腰梯形. ②当时，与的交点满足. ③当时，为四边形. ④当时，的面积为. 8.如图所示，已知圆锥的底面半径，经过旋转轴AO的截面是等边三角形SAB，点Q为半圆弧 的中点，点P为母线SA的中点. (1)求此圆锥的表面积； (2)求异面直线PQ与SO所成角的大小； (3)一只蚂蚁从Q点沿着圆锥的侧表面爬至P点，请计算该蚂蚁行程的最小值(精确到0.01m) 9.在正方体中，M、N、P分别为的中点，棱长为．    (1)请在图中作出过M，N，P三点的平面截正方体所得的截面（保留作图痕迹）． (2)计算截面的周长． (3)任作平面与对角线垂直，使平面与正方体的每个面都有公共点，这样得到一个截面多边形，求该截面多边形的周长． 10.如图，在四边形中，，，，，，为的中点，点在上，．将四边形沿翻折至四边形，使得二面角的大小为． (1)证明：平面； (2)已知， （ⅰ）求与平面所成角的大小； （ⅱ）求多面体的体积． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专训03 截面、翻折问题 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 3 题型1 截面形状的判断 3 题型2 截面面积的计算 7 题型3 截面与最值 9 题型4 截面与体积的综合 13 题型5 翻折后的位置关系判断 15 题型6 翻折后的空间角 19 题型7 截面与翻折中的范围问题 23 题型8 截面与翻折中的综合问题 28 重难专题分层过关练 37 巩固过关 37 创新提升 49 解题方法及技巧提炼 一、截面问题 作截面的三把钥匙 方法 适用情境 操作要领 连接法 截面过同一面内的两点 直接连线,得到截面在该面上的交线 平行线法 截面内某线与另一线平行(如) 过已知点作平行线,与相邻棱相交 延长交线法 截面与某棱无直接交点 把面内直线延长,与相邻面相交,“追交点”逐步推进 口诀:三点定面、遇平作平、延长追点。(“遇平作平”:两平行平面同时被第三平面所截时,交线平行。) 统一处理框架:三步转化 ① 作图:用三把钥匙确定截面与各棱的交点,画出截面(或局部); ② 定性:判断截面形状——三角形、四边形、五边形、六边形等,优先考察相等、平行、垂直关系; ③ 定量:把截面放到平面图形中,用勾股定理、余弦定理、等面积法求边长、周长、面积;涉及分体积时,用“底面积×高”或等体积法。 二、翻折问题 “变与不变”分析 类别 保持不变 发生变化 长度 同一平面内的线段长(翻折三角形各边、折痕长) 跨折痕两点的距离(如) 角度 同一平面内的角(如) 二面角、线面角、异面直线所成角 垂直 折痕与折线的垂直关系(如恒成立) 与折痕外元素的位置关系 位置 折痕及其所在直线、未翻折部分 翻折点位置、在底面内的射影位置 核心结论:翻折前垂直于折痕的线段,翻折后仍垂直于折痕——这是翻折题所有垂直证明的“源头”。 破解翻折的三条路径 1. 轨迹圆法:翻折点始终在“过垂足、垂直于折痕的圆”上运动,圆半径等于翻折前到折痕的距离;把空间量写成二面角的函数。 2. 定义法(几何法):在折痕上取点(通常取垂足),分别在两个半平面内作折痕的垂线,得二面角的平面角,把空间问题转化为解三角形。 3. 建系法(向量法):以折痕方向与两条“垂线”方向为轴建系,用坐标表示翻折后各点,求空间角、距离、体积。 翻折最值问题的核心 把目标量写成二面角的函数(常含),利用三角函数有界性求最值;体积最值的临界位置常是“两面垂直”()。 题型通法及变式提升 题型1 截面形状的判断 1．已知正方体，棱的中点为，棱的中点为，棱的中点为，过作该正方体的截面，则该截面的形状为（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】C 【详解】 延长，交的延长线于点，延长，交的延长线于点， 连接，交于，连接，交于， 连接，. 则五边形即为过与该正方体的截面. 故选：C. 2.如图，正方体的棱长为1，P为的中点，Q为线段上的动点，过点A、P、Q的平面截该正方体所得的截面记为S，给出下列四个结论： ①当时，S为四边形； ②当时，S为等腰梯形； ③当时，S的面积为； ④当时，S与的交点R满足.以上结论正确的个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】①当时，如图（1），是四边形，故①正确； ②当时，如图（2），是等腰梯形，故②正确； ③当时，如图（3），此时截面为菱形，两条对角线的长分别为 所以，③正确. ④当时，如下图，延长至，使，连接交于，连接交于，连接，则，由，可得，所以，故④正确； 故选：D 3．如图，已知正方体的棱长为，若为棱的中点，过三点作正方体的截面，则截面的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，取的中点，连接，则， 则在正方体中，， 所以四边形是平行四边形，所以， 又，所以， 则四边形即为过A，C，K三点的截面， 因为正方体的棱长为， 所以，， ， 则其周长为. 4.已知正方体的棱长为2，点在线段上（不含端点），点在线段上，且，若平面截正方体所得的截面为五边形，则线段长的取值范围为________． 【答案】 【详解】找平面截正方体所得的截面为四边形的临界位置. 当平面与平面交于直线时，如图①所示，截面为四边形； 当平面与平面交于直线时，如图②所示，截面为五边形，对比图①，此时点更靠近点. 在图①中，因为平面平面 平面平面，平面平面， 所以. 在正方体中，， 所以. 又因为 所以，. 所以当时，截面为四边形；当时，截面为五边形. 故所求的线段的取值范围为. 题型2 截面面积的计算 5.已知球的表面积为，用一个平面截球，使得截面与球心的距离是．则截面的面积为____________． 【答案】 【详解】解：设球的半径为，由球的表面积为得，解得， 所以，截面圆的半径满足， 所以，截面的面积为. 故答案为： 6．已知球的半径为5，球心到平面的距离为4，则球被平面截得的截面面积为________． 【答案】 【详解】    设截面圆的半径为，球的半径为，球心到平面的距离为， 则， 即 可得， 所以截面面积为， 故答案为：. 7.已知球的体积为，高为1的圆锥内接于球O，经过圆锥顶点的平面截球和圆锥所得的截面面积分别为，若，则_________ 【答案】 【详解】设球O半径为R，由，得， 平面截球O所得截面小圆半径，由，得， 因此，球心O到平面的距离， 而球心O在圆锥的轴上，则圆锥的轴与平面所成的角为， 因圆锥的高为1，则球心O到圆锥底面圆的距离为， 于是得圆锥底面圆半径， 令平面截圆锥所得截面为等腰，线段为圆锥底面圆的弦， 点C为弦中点，如图，由题意，， 则，，， 所以. 故答案为：. 8.正方体的棱长为是棱的中点，则平面截该正方体所得的截面面积为______. 【答案】 【详解】如图所示，    设为的中点，连接，设为的中点，连接， 由且，得是平行四边形，则且， 又且，得且，则共面， 故平面截该正方体所得的截面为. 又正方体的棱长为， 所以， 故的面积为. 故答案为： 题型3 截面与最值 9.已知圆锥的母线长为4，过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为8，则该圆锥底面半径的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 如图，是圆锥的轴截面，设圆锥的底面圆半径为. 若,所得截面面积最大值为,则,故不符合题意； 若，此时所得截面面积得最大值为，符合题意， 此时有，解得，又，则. 故选：D. 10.如图，圆锥的底面直径和高均是，过上一点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则该圆柱体积的最大值为________． 【答案】 【详解】设圆柱的底面半径为，高为，则由相似可得，可得， 令，结合，则， 圆柱的体积， 则，其中， 当时，；当时，. 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取最大值，即. 故答案为：． 11.如图，在棱长为2的正方体中，点在截面上（含边界），则线段的最小值等于___________. 【答案】 【详解】如图， 连接交截面于，由底面，底面, 可得， 又在正方形中，，， 则平面，平面, 则， 同理可得，， 则平面，此时线段最小， 由棱长为2，可得等边三角形的边长为， ， ∵， ∴，解得， 故答案为：. 12.若圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，则过这个圆锥顶点的截面中，最大截面面积等于__________. 【答案】 【详解】依题意，圆锥底面圆周长为，该圆锥底面圆半径，而圆锥母线， 该圆锥轴的高，其轴截面顶角为，， ，，因此该圆锥轴截面是锐角三角形，是经过顶点的截面中的最大截面， 所以最大截面面积等于. 故答案为： 13.如图，经过边长为1的正方体的三个项点的平面截正方体得到一个正三角形，将这个截面上方部分去掉，得到一个七面体，则这个七面体内部能容纳的最大的球半径是______． 【答案】 【详解】如图，七面体为正方体截去三棱锥的图形， 由正方体的结构特征可得这个七面体内部能容纳的球最大时， 该球与三个正方形面和等边三角形面相切，且球心在体对角线上， 如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 则， 设球心， 故， 设平面的法向量为， 则有，可取， 则球心到平面的距离为， 因为球与三个正方形面和等边三角形面相切， 所以，解得， 所以这个七面体内部能容纳的最大的球半径是. 故答案为：. 题型4 截面与体积的综合 14.已知正四棱柱中，与的交点为，与的交点为，连接，点为的中点．过点且与直线平行的平面截这个正四棱柱所得截面面积的最小值和最大值分别为1和，则正四棱柱的体积为______． 【答案】3 【详解】设正四棱柱的底面边长为，高为，如图， 当截面平行于平面时，截面面积最小， 当截面为平面时，截面面积最大， 因为过点且与直线平行的平面截该正四棱柱所得截面面积的最小值和最大值分别为1和， 所以，解得，于是正四棱柱的体积为． 故答案为：3 15．（2026·上海·三模）如图是一种“四脚帐篷”的示意图，其中半圆和半圆的直径均为2.6米，平面和平面均垂直于平面，用任意平行于帐篷底面的平面截帐篷，假设所得截面均为正方形，则该帐篷围成几何体的体积为__________立方米．（精确到0.1立方米） 【答案】 【详解】设截面与底面的距离为，在帐篷中的截面为，设底面中心为， 截面中心为，则，， 所以，所以截面的面积为. 设截面截正四棱柱得四边形为，截正四棱锥得四边形为， 底面中心与截面中心之间的距离为， 在正四棱柱中，底面正方形边长为，高为，， 所以，所以，为等腰直角三角形， 所以，所以四边形边长为，所以四边形面积为， 所以图2中阴影部分的面积为，与截面面积相等， 由祖暅原理知帐篷体积为正四棱柱的体积减去正四棱锥的体积， 即. 所以帐篷围成几何体的体积为（立方米）. 16.如图，已知圆锥的底面半径，经过旋转轴的截面是等边三角形，点半圆弧的中点，点为母线的中点. (1)求此圆锥的表面积与体积； (2)求直线与底面圆所成角的大小. 【详解】（1）因为圆锥的底面半径，经过旋转轴的截面是等边三角形， 解得， 所以圆锥的表面积， 体积. （2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则， 由题意可得底面圆，设底面圆的法向量为，， 设直线与底面圆所成角为， 则， 所以. 题型5 翻折后的位置关系判断 17．（2025·上海长宁·二模）如图，等腰直角三角形ABC中，，点E是边AC的中点，点D是边BC上一点（不与C重合），将三角形DCE沿DE逆时针翻折，点C的对应点是，连接，设为二面角大小，．在翻折过程中，下列说法当中不正确的是（   ） A．存在点D和，使得 B．存在点D和，使得 C．存在点D和，使得 D．存在点D和，使得 【答案】B 【详解】对于AD，取为中点，，则，而， 故，故在几何体中，， 而，故为二面角的平面角，故， 故，而平面， 故平面，而平面，故，故A成立. 因，，平面， 故平面，而平面，故，故D成立. 对于C，过作，为垂足，取，同理可证平面， 而平面，故，故C成立. 对于B，过作平面，垂足为， 因为平面，故， 若，因为平面， 故平面，而平面，故， 而，故在上， 因为，平面，故平面， 而平面，故，故，但， 矛盾，故不成立即B不成立， 故选：B. 18．（24-25高三上·上海·期中）如图，将正方形沿对角线折成直二面角，则对于翻折后的几何图形，下列结论不正确的是（  ） A． B．与平面所成角为60° C．为等边三角形 D．二面角的平面角的正切值是 【答案】B 【详解】 如图，在左图中，连接,交点为,则易得. 对于A，翻折后图中，, 因平面，故得平面， 又平面,故得，即A正确； 对于B，因二面角是直二面角，平面平面, , 则平面,则与平面所成角即, 因,则，故B错误； 对于C，设正方形的边长为2，则,则, 即为等边三角形，故C正确； 对于D，如图，取的中点，连接，由B项，已得平面， 因平面，则，又，,则， 因平面，故平面, 因平面,则,即为二面角的平面角. 设正方形的边长为2，则, ， 故二面角的平面角的正切值是，即D正确. 故选：B. 19．如图①，在梯形中，，，，将沿边翻折至，使得，如图②，过点作一平面与垂直，分别交于点．    (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离． 【详解】(1)证明：如图①，，，，， ，，          如图②，∵，，，，， ，且，平面， 平面，又平面，， 平面，且平面， ，又，且平面， 平面． （2）          方法一：过点作，垂足为，由（1）知平面， 而平面， ， 且，平面，平面， 则垂线段的长度即为点到平面的距离． 在中，，，， ， ， 由已知得，则， 由（1）知，，， 即点到平面的距离为． 方法二：求点到平面的距离，即求点到平面的距离， 由（1）知平面，平面，， 在直角三角形中，，，， 由等面积得，， 即，， 平面，且平面，， 由（1）知，∽，， 则在直角三角形中，， 设点到平面的距离为， 在三棱锥中，由等体积得，， 即 ， ， 即点到平面的距离为． 题型6 翻折后的空间角 20.兴趣小组在折纸活动中将矩形纸片沿着对角线翻折至二面角的大小为处（如下图）.    (1)若纸片是正方形，请证明：； (2)若与平面所成角为，请求出的近似值（精确到0.01）. 【详解】(1)连接，取的中点为，连接，    由矩形是正方形，则易知，， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以. （2）在平面中，过作，垂足为，连接，    设，由矩形的性质，易知，，由题意可得， 由，即平面平面，且平面平面， ，平面，则平面， 因为平面，所以，由与平面的夹角为，则， 设，在中，，， 在中，，， 在中，， 易知，，， 在中，由余弦定理可得， 在中，由余弦定理可得， 由，则化简可得， 令，则，分解因式可得， 由，则，即，解得， 所以，即的近似值为. 21．（2025·上海松江·二模）已知梯形中，，为上的一点且，，，将沿翻折使得二面角的平面角为，连接、，为棱的中点. (1)求证：平面； (2)当时，求直线和平面所成角的大小. 【详解】(1)取的中点，连接、， 因为点为棱的中点，且，所以且， ，平面，平面， 所以平面，同理可得平面.                                                 因为平面，平面，且， 所以平面平面.                                                             因为平面，所以平面. （2）过点作于点，连接， 因为，，，平面， 因为平面，所以， 因为平面，平面，且， 所以平面.                                                                     所以就是直线和平面所成角. 由题意得：二面角的平面角为， 由（1）易得， 在中，由，，得， 取中点为，连接， 因为分别为的中点， 所以，且，又， 所以四边形为平行四边形，所以， 在中，由，，得，则. 在中，由，得， 即得直线和平面所成角为. 22．（2026·上海金山·二模）已知长方形中，，点、分别为边、的中点（如图1）．若将长方形沿着边翻折，得到二面角（如图2）．已知二面角的大小为． (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的大小．（结果用反三角表示） 【详解】(1)因为长方形中， ，折叠过程中，， 又 平面， 平面，故平面， 同理可得平面， 又，平面，所以平面平面； （2）因为长方形中，点、分别为边、的中点， 故，二面角的平面角为，即， 又，所以，为等边三角形， 同理可得为等边三角形， 取的中点，连接，则⊥， 又⊥平面， 平面，故⊥， 因为 ，平面，故⊥平面， 故直线与平面所成角为， ，，故，由勾股定理得， 则， 直线与平面所成角的大小为. 题型7 截面与翻折中的范围问题 23.在正方体中，，，分别为，，的中点，棱长为.    (1)请在图一作出过，，三点的平面截正方体所得的截面（保留作图痕迹）. (2)计算截面的周长. (3)任作平面与对角线垂直，使平面与正方体的每个面都有公共点，这样得到一个截面多边形，求该截面多边形的周长和面积的取值范围. 【详解】（1）画直线与线段的延长线分别交于点，连接分别交于， 连接，则五边形为截面. （2）由分别为的中点，得，而， 则，由，得，， ，同理，而， 所以截面的周长. （3）在正方体中，连接，， 由平面，平面，得， 又，平面，则平面， 又平面，于是，同理，而， 则平面，又平面，则平面平面， 令平面与平面，而平面平面，则， 同理得平面与正方体其他各面的交线都与所在正方形的对角线平行， 令，则，， ，同理， 所以该截面多边形的周长.    由截面与正方体各面的交线平行于所在正方形的对角线， 得不论六边形如何平行移动，它的每个内角都是，且相邻边长的和为， 边长为的菱形中，，在上分别取点， 使，过作的平行线交分别于， 则六边形的每个内角都是，任意相邻相邻边长的和为，   ，六边形的面积 ， ，，， 所以截面多边形面积的取值范围是. 24.如图1，在矩形中，，，是边的中点，将沿顺时针方向翻折，使点到达点的位置，且点不在平面上，连接、． (1)求证：； (2)若平面平面，求二面角的大小； (3)如图2，设为的中点，求在整个翻折过程中线段长的取值范围． 【详解】(1)由题意可知，， 取线段的中点，连接，则， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以； （2）连接， 因为，则由勾股定理可知， 因为平面平面，平面，平面平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为平面，所以平面， 又平面，所以， 则是二面角的平面角， 因为，所以， 又，所以由勾股定理知，，则， 则二面角的大小为. （3）取线段的中点，连接， 因为，所以四边形是平行四边形，所以， 因为，则由等角定理可知，， 因为， 则， 则在整个翻折过程中线段长的取值范围为. 25.如图1，在中，，，是线段上一点，且⊥，将沿着翻折至，得到如图2所示的三棱锥，记二面角的大小为；    (1)求的长度； (2)当时，求直线与平面所成角的正切值； (3)当时，在翻折的过程中： ①求点的运动轨迹的长度； ②求线段长的取值范围. 【详解】（1），，⊥， 故； （2）当时，平面⊥平面，交线为， 过点作⊥交的延长线于点，连接， 由于平面，故⊥平面，则即为在平面上的投影， 所以即为直线与平面的所成角， 其中平面，故⊥， 由于，故，， 由勾股定理得，， 直线与平面所成角的正切值为；    （3）①当时， 在翻折的过程中，点的运动轨迹为以为圆心，为半径的圆弧， 其中圆心角为，故点的运动轨迹的长度为； ②如图，当时，记点在平面上的投影为，连接， 则⊥，又⊥，故即为二面角的平面角， 故，则，， 过点作⊥，并交于点，则， 则， ， ， 因为，所以，， 故. 题型8 截面与翻折中综合问题 26.如图所示的空间直角坐标系A-xyz中，所有坐标均为整数的点称为整点；已知正方体的棱长为a，点P满足，其中，； (1)若，且直线与平面所成角大小为，求点P的轨迹长度； (2)若，，求正方体经过点的截面面积S的取值范围； (3)若，求三棱锥内（不包括表面边界）整点的个数. 【详解】（1）连接, 因为平面，为在平面上的射影， 所以直线与平面所成角的平面角为， 由已知, 则，故P点轨迹为以为圆心，1为半径的圆在正方形内的部分， 所以点P的轨迹长度为， （2）在正方体中，以A为坐标原点，以为轴建立空间直角坐标系， 因为， 所以，， 因为，， 所以，即， 所以点在上运动，则, 过点作，交与点，连接， 因为平面平面， 平面平面，平面平面， 所以，又， 所以在正方体中经过点的截面为平行四边形（如图）， 则， 所以，， 故点P到的距离为 , 因为，故当取0或1时，d取到最大值， 此时截面面积的最大值为, 当时，d取到最小值，此时截面面积的最小值为， 即当时，在正方体中经过点的截面面积的取值范围为， （3）如图：过轴上的点，，，，， ，，作三棱锥平行于底面的截面， 则三棱锥内（不包括表面边界）整点一定位于各截面内， 截面内的整点个数为， 截面内的整点个数为， 截面内的整点有，个数为， 截面内的整点有，个数为， 截面内的整点有，个数为， 截面内的整点有， ，个数为， 截面内的整点有 ，个数为， 所以三棱锥内（不包括表面边界）整点个数为， 27.已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，，，PA⊥平面ABCD，且，M是棱PB上的动点．      (1)求证：CD⊥平面PAD； (2)若，求点M到平面ABCD的距离； (3)当M是PB中点时，设平面ADM与棱PC交于点N，求的值及截面ADNM的面积． 【详解】(1)因为，所以，又，所以， 因为平面ABCD，平面ABCD，所以，又， 平面PAD，所以平面PAD， （2）根据勾股定理，，则， 过M作AB的垂线，垂足为H，则MH和PA平行， 因为平面ABCD，所以平面ABCD， 即MH为所求距离，， 因为平面ABCD，平面ABCD，所以，， 所以， 因为，所以， ，所以， 即，解得：. （3）解：作点F满足，则A，D，F，M四点共面， 作AB的中点E，则， 所以， 所以四边形MFCE是平行四边形，则，又， 所以，即P，A，C，F四点共面，平面ADFM∩平面， 则PC与平面ADM的交点必定在AF上， 所以AF与PC的交点即为PC与平面ADM的交点N， 所以，所以， 由（1）知， 所以，又，且AB，PA⊂平面PAB，， 所以AD⊥平面PAB，平面PAB， 所以，所以四边形ADFM是矩形， ，， 所以四边形ADFM的面积， 所以四边形ADNM的面积为． 28.如图，等腰直角三角形中，，． (1)点是边的中点，点是边上一点（不与重合），将三角形沿逆时针翻折，点的对应点是，设二面角的大小为； ①若点是边的中点，，求四棱锥的体积； ②是否存在点和，使得，若存在，请指出点的位置和的大小，若不存在，请说明理由； (2)四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，空间中取一点，使得、、、四点可组成“鳖臑”，且该四面体的体积为，求的长（直接写出答案即可）． 【详解】（1）①若点是边的中点，， 易知，四边形为直角梯形，且底面， ，则四边形的面积， 四棱锥的体积为； ②假设存在点和，使得， 又，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 在直角中是斜边，但，显然不成立， 所以不存在点和，使得； （2）易知， 由“鳖臑”的定义可知都是直角三角形， 则该四面体必有一条棱垂直于一面， ①若底面，此时，符合定义， ， ；②若底面，此时，符合定义， ， ；③若底面，此时， 所以，要符合定义需直角以为斜边， 显然，故假设不成立， ； ④若底面，此时，符合定义， ，设， 解得， ； ⑤若底面，此时，符合定义， 同④可知要符合题意需， ； 综上所述：可能取值. 29.如图，在平行四边形中，，，，沿将翻折至的位置，使得平面平面是线段所在直线上的动点（与点不重合），是的中点． (1)证明：直线与是异面直线； (2)证明：平面； (3)求点到平面距离的最大值． 【详解】(1)因为平面、平面、平面、直线， 由异面直线判定定理，直线与是异面直线． (2)由题意得，，，， 所以．所以． 又因为平面平面、平面平面、平面， 所以平面． （3）如图，以点为原点，分别以、、的方向为、、的方向，建立空间直角坐标系． 可得点的坐标，，，设，． ，，． 设平面，．，，． 则点到平面距离． 所以当时，． 30.已知梯形中，为上的一点且，将沿翻折使得二面角的平面角为，连接，F为棱的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)当时，求直线和平面所成角的大小． 【详解】(1)如图所示： 取PE的中点G，连接， 因为F为棱的中点，则， 因为在梯形中，，所以， 又，所以， 所以四边形是平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面； (2)在梯形中，因为， 所以将沿翻折后，， 又，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面； （3）由（2）知， 所以为二面角的平面角， 过点F作，因为平面平面， 又平面，平面平面， 所以平面， 所以是直线和平面所成的角， 因为，所以， 在中，， 由（1）知四边形是平行四边形， 所以， 在中，， 则， 所以直线和平面所成的角为. 重难专题分层过关练 巩固过关 1.球的两个平行截面面积分别为和，球心到这两个截面的距离之差等于1，则球的直径为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【详解】令球心到较近的截面距离为，则到另一个截面距离为，且球的半径为， 易知较近的截面圆面积为，另一个截面圆面积为， 所以较近的截面圆半径为，另一个截面圆半径为， 由截面圆半径与球体半径、球心与截面距离关系知：， 所以，故，则球的直径为6. 故选：D 2．M，N分别为菱形ABCD的边BC，CD的中点，将菱形沿对角线AC折起，使点D不在平面ABC内，则在翻折过程中，对于下列两个命题：①直线MN恒与平面ABD平行；②异面直线AC与MN恒垂直．以下判断正确的是（    ） A．①为真命题，②为真命题； B．①为真命题，②为假命题； C．①为假命题，②为真命题； D．①为假命题，②为假命题； 【答案】A 【详解】因为M，N分别为菱形ABCD的边BC，CD的中点，所以， 因为平面ABD，平面ABD，所以①直线MN恒与平面ABD平行正确； 如图，取中点，则（菱形对角线垂直）， 又，且两直线在平面内，所以平面， 因为平面，所以， 因为，所以，所以②正确； 故选：． 3.已知正四棱锥的棱长都相等，侧棱、的中点分别为、，则截面与底面所成的二面角的正弦值是__. 【答案】 【详解】如图，正四棱锥中，为正方形的两对角线的交点， 则面. 因为侧棱、的中点分别为、，所以为的中位线，所以. 设交于，则. 因为面，所以. 又，，平面，平面，所以平面. 过作直线，则,所以面，面，所以为面与底面的交线. 因为为正方形，所以，所以. 由正四棱锥的对称性可得：.而为的中点，所以. 所以为所求二面角的平面角. 又，，所以 所以. 所以截面与底面所成的二面角的正弦值是. 故答案为：. 4．已知过圆柱的轴的平面与圆柱形成的截面面积为16，当截面上两点距离的最大值最小时，圆柱的底面积为__________. 【答案】 【详解】如图，设圆柱的底面半径为，高为，      由圆柱的性质得过圆柱的轴的平面与圆柱形成的截面是矩形， 因为截面面积为16，所以，解得， 而截面上两点距离的最大值是矩形的对角线长度，设长度为， 由勾股定理得， 由基本不等式可得， 当且仅当时取等，此时解得， 可得圆柱的底面积为. 故答案为： 5．如图，有一边长为2cm的正方形，分别为、的中点.按图中的虚线翻折，使得三点重合，制成一个三棱锥，并得到以下四个结论： ①三棱锥的表面积为；           ②三棱锥的体积为； ③三棱锥的外接球表面积为；    ④三棱锥的内切球半径为. 则以上结论中，正确结论是______________ . （请填写序号） 【答案】①②③ 【详解】根据题意可知，三棱锥的表面积与正方形的面积相等为，即①正确； 设三点重合于点，则制成三棱锥如下图所示： 易知， 根据几何关系可知，所以平面 所以三棱锥的体积，即②正确； 由可知，三棱锥的外接球与以为棱构造的长方体的外接球相同， 设三棱锥的外接球半径为，则满足 所以，其表面积为，故③正确； 设三棱锥的内切球半径为，由①知三棱锥的表面积为 利用等体积法可知，得， 所以三棱锥的内切球半径为，即④错误； 故答案为：①②③ 6．如图，在矩形中，，，和交于点，将沿直线翻折，则以下命题中，真命题的序号有________．（写出所有真命题的序号） ①存在，在翻折过程中存在某个位置，使得； ②存在，在翻折过程中存在某个位置，使得； ③存在，在翻折过程中存在某个位置，使得平面； ④存在，在翻折过程中存在某个位置，使得平面. 【答案】①②③； 【详解】当时，所以此时矩形为正方形，则， 将沿直线翻折，若使得面面，由平面， 面面，所以面，又面，所以，故①正确； 当时，由，且，面， 所以面，又面，所以，故②正确； 在矩形中，，所以将沿直线翻折时， 总有，取，当将沿直线翻折到时， 有，即，且，平面， 此时满足平面，故③正确； 若平面，又平面，则， 所以在中，为斜边，这与相矛盾，故④不正确． 故答案为：①②③． 7.如图，在边长为4的正方体中，为中点，为中点，过、、作与正方体的截面为，则截面面积是________．    【答案】18 【详解】连接，， 因为且，所以四边形为平行四边形，所以. 又因为为中点，为中点， 所以，所以即四点共面，而平面是过、、的截面，且三点、、不共线， 所以四边形为截面图形，且截面为等腰梯形，由棱长为4， ，过点作于点， 所以， 所以截面的面积为.    8.在平面直角坐标系中，双曲线的左、右顶点分别为，，直线是的一条渐近线，将坐标平面以直线为轴翻折，使得二面角为，则翻折后线段的长度为________. 【答案】 【详解】如图： 因为，直线：，即， 过作，垂足为，则， 所以. 过作，垂足为，根据双曲线的对称性，可知，， 所以. 将坐标平面以直线为轴翻折，使得二面角为，如图： 则， 所以. 9.如图所示，为平行六面体（六个面均为平行四边形的棱柱），点E、F分别在棱、上，满足，（为实数）．若平面截所得截面是一个五边形，则的取值范围是________． 【答案】 【详解】设平面与直线的交点为， 由于平面截所得截面是一个五边形， 则点在线段的延长线上， 在平行六面体中，平面平面， 因为平面，所以平面， 又平面，平面平面，则，同理可得， 所以四边形为平行四边形， 则， ， 由于点在线段的延长线上，则，即， 又点F在棱上，则，且时，点F与点重合，此时截面为四边形，不满足题意， 因此，则的取值范围是. 10.如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，且，，，点E、F分别为棱、的中点． (1)若，线段中点为，且，求证：； (2)若，请作出四棱锥过点B、E、F三点的截面，并求出截面的周长． 【详解】（1） 因为，故， 又，，由直角梯形可得必定相交， 且平面，所以平面， 而平面，故. 由结合可得， 而平面，故平面， 而平面，故. （2）取线段的中点，连接， 因为，且，所以四边形为平行四边形， 所以，又分别为线段中点，所以， 所以，则梯形为四棱锥过点的截面， 则，，， 在中，，， 所以，则， 所以截面周长为. 11.中国历史悠久，积累了许多房屋建筑的经验．房梁为柱体，或取整根树干而制为圆柱形状，或作适当裁剪而制为长方体形状，例如图1所示． 材质确定的梁的承重能力取决于截面形状，现代工程科学常用抗弯截面系数W来刻画梁的承重能力．对于两个截面积相同的梁，称W较大的梁的截面形状更好．三种不同截面形状的梁的抗弯截面系数公式，如表所列． 圆形截面 正方形截面 矩形截面 条件 r为圆半径 a为正方形边长 h为矩形的长，b为矩形的宽，h＞b 抗弯截面系数 (1)宋朝学者李诫在《营造法式》中提出了矩形截面的梁的截面长宽之比应定为3:2的观点．考虑梁取材于圆柱形的树木，设矩形截面的外接圆的直径为常数D，如图2所示，当h:b＝3:2时，求其抗弯截面系数； (2)假设如表中的三种梁的截面面积相等，请问哪一种梁的截面形状最好？并说明理由． 【详解】（1）矩形截面外接圆直径为D，由勾股定理，矩形长h、宽b满足 ， 因，设, 代入 ，得，即，解得（舍负根）， 因此，，，因矩形抗弯截面系数公式为， 将b、h代入，可得 ， 综上，当时，矩形截面抗弯截面系数为； (2)矩形截面的梁的截面形状最好，理由： 假设截面面积均为正常数S，则，，，因， ，又因为，所以，即， 综上， ，故矩形截面的梁的截面形状最好． 12．如图1，在等腰梯形中，，，，为的中点.将沿翻折，得到四棱锥（如图2）.    (1)若的中点为，点在棱上，且平面，求的长度； (2)若四棱锥的体积等于2，求二面角的大小. 【详解】（1）取的中点,连接, 因为分别为的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面； 因为平面，，平面， 所以平面平面； 因为平面平面,平面平面, 所以，即为的中点，所以. （2）由图1可知，等腰梯形的高为，所以四边形的面积为； 因为四棱锥的体积等于2，所以四棱锥的高等于， 因为三角形的高为，所以平面平面； 取的中点,连接, 由图1可知，均为等边三角形，所以,，且; 因为,所以平面， 因为平面，所以； 由图1可知，所以是二面角的平面角， 因为平面平面，平面平面，， 所以平面，所以为直角三角形； 在中，，所以，即二面角为.    13．已知矩形的长为2，宽为1.（如图所示）    (1)若E为DC的中点，将矩形沿BE折起，使得平面平面，分别求到AB和AD的距离. (2)在矩形ABCD中，点M是AD的中点、点N是AB的三等分点（靠近A点）.沿折痕MN将翻折成，使平面平面.又点G，H分别在线段NB，CD上，若沿折痕GH将四边形向上翻折，使C与重合，求线段NG的长. 【详解】（1）取中点，过作，垂足分别为，连接，    由，得，而平面平面，平面平面， 平面，则平面，又平面，即有， 又平面，于是平面，而平面， 从而，即长是点到直线的距离，同理长是点到直线的距离， 显然，四边形是矩形，， 又，因此， ， 所以到AB和AD的距离分别为. （2）作于，于，连接，如图，    在中，，则，， ，于是， ，， 设，则，，， 翻折后，平面平面，平面平面，平面， 则平面，而平面，于是， ，由点C与重合，得， 因此，整理得，解得， 所以线段NG的长为. 创新提升 1.过正四面体的顶点作一个形状为等腰三角形的截面，使得截面与底面所成角为75°，这样的截面共可作出（   ）个. A．6 B．12 C．15 D．18 【答案】D 【详解】不妨设正四面体的棱长为，正的中心为，则正四面体的高为， 在中，以为圆心，以为半径画圆，则所求截面与平面的交线为该圆的切线， 下面分三种情况进行讨论： （1）切线与的任意一边平行，此时能作出个截面； （2）切线（点在边上，点在边上）且 ，此时易证≌， 所以，则截面为等腰三角形，这样的截面有个； （3）过点作的切线，与交于点，由≌有，对应为等腰三角形，这样的截面有个， 综上，满足条件的截面共有18个， 故选：D. 2.如图：棱长为2的正方体的内切球为球O，E、F分别是棱AB和棱的中点，G在棱BC上移动，则下列命题正确的个数是（    ） ①存在点G，使OD垂直于平面；②对于任意点G，OA平行于平面EFG；③直线被球О截得的弦长为；④过直线EF的平面截球О所得的所有截面圆中，半径最小的圆的面积为. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】当为中点时，， ， 平面，平面， 平面平面，平面，，同理，，平面, 所以平面，即平面，故①正确； 当与重合时，在平面上，在平面外，故②不正确； 如图，点是线段的中点，由对称性可知， 由勾股定理可知易知， 球心到距离为， 则被球截得的弦长为 故③正确； 当垂直于过的平面，此时截面圆的面积最小，此时圆的半径就是， 面积为，故④正确. 故选：D. 3.用一个平面去截一个底面半径为的圆柱，得到的几何体如图所示，其截面边界为椭圆.该椭圆上所有点中离底面最近的点为，其距离为，最远的点为，其距离为，且点和点在底面的投影分别为点和点.已知点是椭圆上的一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】作在底面的投影，，， 则，且，建立空间坐标系如图， 则， 设，则， ， ，则，， 在底面圆上，则， 则， 当时，， 故选：D. 4.已知直棱柱的高为，底面三角形的三边长分别为．过三条侧棱中点的截面把三棱柱分成两个完全相同的三棱柱，然后用这两个三棱柱拼成一个三棱柱或者四棱柱，计算后发现表面积都比原来三棱柱的表面积小，那么正数的取值范围是________. 【答案】 【详解】由题知，原三棱柱是直三棱柱，设底面是以为直角顶点的直角三角形，且，，， 设棱、、的中点分别为、、. 原三棱柱的全面积（）. 由题意，将原三棱柱分为两个完全相同的三棱柱，记为直三棱柱和直三棱柱，如图所示： 当拼成一个三棱柱时，有两种情况，如图①和②： 图①的全面积（）， 图②的全面积（）， 当拼成一个四棱柱时，有四种情况，如图③、④、⑤、⑥： 图③的全面积（）， 图④的全面积（）， 图⑤的全面积（）， 图⑥的全面积（）， 由上得，两个三棱柱拼成一个新的三棱柱或四棱柱的全面积最大是（）， 则（），解得：， 故a的取值范围是. 故答案为：. 5.如图，棱长为2的正方体中，点E、F分别为、的中点，有下列四个结论： ①； ②直线与平面所成角的正切值为3； ③平面； ④平面截正方体的截面周长为. 其中，正确结论的序号有__________. 【答案】①② 【详解】以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 所以，那么. 所以，①正确； 因为正方体，所以平面, 因为平面,所以， 因为平面， 所以平面，即是平面的一个法向量， 又，设直线与平面所成角为， 则. 所以，所以，所以②正确； 因为正方体，所以平面， 因为平面，所以. 因为平面， 平面，即是平面的一个法向量， 因为，所以， 所以与平面的法向量不垂直，所以与平面不平行，所以③错误； 取靠近点的四等分点，易证. 四点共面，所以即为平面截正方体的截面， 所以截面周长为，所以④错误. 故答案为：①②. 6.已知正四面体中，，、，…，在线段上，且，过点（、、…、）作平行于直线、的平面，截面面积为，则所有截面积之和为__________.    【答案】 【详解】过作平行于的平面分别交，，于，，，如图， 因为平面，且平面平面，所以， 同理,，，故四边形为平行四边形． 过作，可得为的中点，连接，可得， 而，平面，可得平面， 平面，则． 故,则四边形为矩形． 又为靠近的第个等分点， 故． 故． ， 由于， 故 ， 故答案为：    7.如图，正方体的棱长为1，为的中点，为线段上的动点，过点，，的平面截该正方体所得截面记为，则下列命题正确的是 _____（写出所有正确命题的编号）    ①当时，为等腰梯形. ②当时，与的交点满足. ③当时，为四边形. ④当时，的面积为. 【答案】①②④ 【详解】①如图当时，即为中点，此时可得， ， 故可得截面为等腰梯形，故①正确；    ②当时，如图， 延长至，使，连接交于，连接交于， 连接，可证，由， 可得，故可得，故②正确；    ③由②可知当时，只需点上移即可， 此时的截面形状仍然上图所示的，显然为五边形，故③错误； ④当时，与重合，取的中点，连接， 可证，且， 可知截面为为菱形，故其面积为，故④正确．    故答案为：①②④ 8.如图所示，已知圆锥的底面半径，经过旋转轴AO的截面是等边三角形SAB，点Q为半圆弧 的中点，点P为母线SA的中点. (1)求此圆锥的表面积； (2)求异面直线PQ与SO所成角的大小； (3)一只蚂蚁从Q点沿着圆锥的侧表面爬至P点，请计算该蚂蚁行程的最小值(精确到0.01m) 【详解】（1）因为 ， 所以，则 ， 所以圆锥的体积为 ，表面积为 . （2）建立如图所示空间直角坐标系， 则 ， ， 所以 设异面直线 与 所成角为 ， 则 所以异面直线 与所成角为 . （3）将该圆锥的侧面夹在母线的部分展开，如图连接， 因为， 所以中，由余弦定理可得 所以 . 9.在正方体中，M、N、P分别为的中点，棱长为．    (1)请在图中作出过M，N，P三点的平面截正方体所得的截面（保留作图痕迹）． (2)计算截面的周长． (3)任作平面与对角线垂直，使平面与正方体的每个面都有公共点，这样得到一个截面多边形，求该截面多边形的周长． 【详解】（1）画直线与线段的延长线分别交于点，连接分别交于， 连接，则五边形为截面.    （2）由分别为的中点，得，而， 则，由，得，， ，同理，而， 所以截面的周长. （3）在正方体中，连接，， 由平面，平面，得， 又，平面，则平面， 又平面，于是，同理，而， 则平面，又平面，则平面平面， 令平面平面，而平面平面，则， 同理得平面与正方体其他各面的交线都与所在正方形的对角线平行， 令，则，， ，同理， 所以该截面多边形的周长.    10.如图，在四边形中，，，，，，为的中点，点在上，．将四边形沿翻折至四边形，使得二面角的大小为． (1)证明：平面； (2)已知， （ⅰ）求与平面所成角的大小； （ⅱ）求多面体的体积． 【详解】(1)由题意知，因为，， 所以是平行四边形，所以，故， 又因为平面，平面，所以平面； 同理由，可得平面， 又、是平面内的两条相交直线， 所以平面平面； 又平面，所以平面． （2）（ⅰ）由题意知，平面平面，且交线为， 又平面，所以平面， 所以是与平面所成角． 在中，，，所以， 故与平面所成角的大小为． （ⅱ）． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $