江苏省江阴高级中学2025-2026学年高三上学期第一次阶段性测试数学试题

2025-2026学年度高三第一学期第一次阶段性测试 数 学 命题：万凌霞 审核：谢姚平 1、 单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上. 1. 已知集合，，则( ) A． B． C． D． 2．设复数的共轭复数为，则( ) A． B． C． D． 3. 已知，下列命题中正确的是( ) A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．已知函数，则以下最不可能是其图象的是( ) A． B． C． D． 5. 记，为实数，设甲：；乙：，则甲是乙的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6. 设，，，则的最小值为( ) A． B． C． D．3 7．利用诱导公式可以将任意角的三角函数值转化为0°～90°之间的三角函数值，右表是部分5°的奇数倍锐角的正切值（用字母代替），则( ) 5° 15° 25° 35° m n p q A． B． C． D． 8．在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的取值范围为( ) A． B． C． D． 2、 多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，请把答案填涂在答题卡相应位置上. 9．已知平面直角坐标系中，坐标原点为，则( ) A．若，则 B．若，则 C．不可能为单位向量 D．若，则 10．如图是函数的部分图象，则下列结论正确的是( ) A． B．的图象关于中心对称 C．的图象向左平移个单位长度后为奇函数 D．在上单调递增 11．已知是函数的极大值点，则( ) A．函数的极小值为0 B．若，则 C．若，则有3个相异的零点 D．若（其中），则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 12. 函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则 . 13. 已知，则等于 . 14．若不等式对恒成立，则 . 四、解答题：本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知在中，是边的中点，是边上的点，且．记． (1)用，表示向量； (2)若，且，求的大小． 16. 已知函数. (1)若的定义域为，求实数的取值范围； (2)已知，其中，当时，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围. 17．已知． (1)求函数的最小正周期及单调递增区间； (2)设，若函数和在有相同的最大值，求的取值范围． 18. 在中，，且边上的中线长为1. (1)若，求的面积； (2)若，求的长. 19. 已知函数． (1)求曲线在点处的切线； (2)当时，讨论函数的单调性； (3)当时，若对任意的，恒成立，求的取值范围． 高三数学 第 页 共 4 页1 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年度高三第一学期第一次阶段性测试 数 学 命题：万凌霞 审核：谢姚平 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上。 1.已知集合A={x3<x<,B={x2≤3}，则AUB=(). A.[-5, B.[-5,5] c.（-3,5 D.（-,V3 【答案】C 【分析】先化简集合B，再利用并集的定义运算 【详解】因B={x≤3}={V5≤x≤B,A={x3<x<, 则4UB={x-3<x≤VB=(-3B] 故选：C 2.设复数z=4-3i的共轭复数为：，则z.z=() A.-25 B.10 C.13 D.25 【答案】D 【分析】先求出z,再根据复数的乘法计算即可. 【详解】由z=4-3i可得三=4+3i,则z·z=(4-3i)(4+3i)=16-9i2-16+9=25. 故选gD. 3.已知a,b∈R,下列命题中正确的是() A.若ab=1,则a+b≥2 B.若a>b,则tana-tanb>0 C.若a>b,则h(a-b)>0 D.若a>b>0,则a+2>b+1 6 a 【答案】D 【分析】利用特殊值判断A、B、C,根据函数的单调性判断D. 【详解】对于A:当a=-2,b三2，满足b=1,但是a+b=-)<2,放A错误 对干B:当：=，受满是&，但是团a-amb=团-团号5<0，故B错误： 对于Cg若a=1,b=0,满足a-b>0,但是h(a-b)=0,故C错误： 对于D:因为y=x与y=-1在(0，+)上单调递增， 高三数学第1页 共4页 所以y=x-1在(0，+o)上单调递增， 1 若a>b>0,则a-二>b- a 名所以a+片b+口故D正疏 1 1 故选：D 4.已知函数f(x)=x.lnx(a∈R),则以下最不可能是其图象的是() B 【答案】A 【分析】当a=1时，f(x)=xx,求导确定函数的单调性、最值即可判断B:当a=-I时，才s)=血，求导确 定函数的单调性、最值即可判断C；当a=0时，f(x)=lhx,根据对数函数的性质即可判断C;a≠0时，求f(x) 确定函数的极值点即可判断A. 【详解】已知函数f(x)=x.hr(a∈R), 当a-1时，f-=xh,则f(y)-1+l,令f包)-1+=0得- 所以当xe0目时，(x<0,函数（单调道减，当e+时，f()>0,函影(）单酒递增， 1 且x→0，f(x)→0f)=0,x+o,f(x)→+o,则选项B是函数f(x)=x.l血r的部分图像； 当a=-1时，fe)-g,则了)-1，令)=0得xe, 所以当xe(0,e)时，f'(x)>0,函数f(x)单调递增，当xe(e,+o)时，f'(x)<0,函数f(x)单调递减， 且x→0，f四→攻f0=0x→2)→心则选项C是函数f()-的部分图像， 当a=0时，f(x)=hx,则f(x)在(0，+o)上单调递增，且f(1)=0,选项D是f(x)=hr的部分图像， 对于A选项，显然a≠0， “了()=(xlnr)=公1nx+=x(a-lmr+),令f"()=0得x=e,所以一定有极值点，故A选项不符合 高三数学第2页共4页 故选：A 5.记x,y为实数，设甲：y>x>0;乙：x-coy<y-cosx,则甲是乙的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】构造函数f(x)=x+cosr，求导，根据函数的单调性可得充分性，进而根据∫(x)<f(y)可得必要性. 【详解】令函数f(x)=x+cosx,求导得f'(x)=1-six≥0，故f(x)在R上单调递增， 由y>x>0,得∫(y)>f(x),即x-coSy<y-cosx,即充分性成立： 由x-coSV<y-cosx,得x+C0Sr<y+C0S',即f(x)<f(y),可得y>x,故必要性不成立， 综上可知，甲是乙的充分不必要条件。 故选：A. 6.设x>0,y>0, 1+2y=2,则x+1的最小值为( 3 A. B.2W5 C. D.3 【答案】C 【详解】因为x>0,y>0,+2y=2, y 2 y x 当且仅当2w三上，即w=，此时x大 2，y=2-V2时取等号. 故选：C 7.利用诱导公式可以将任意角的三角函数值转化为0°~90°之间的三角函数值，右表是部分5°的奇数倍锐角的正切 值（用字母代替），则cos2210°=() C 15o 25° 35° tan o 2p A. B. 1-p 1-4 D.1-m2 1+p2 1+p2 C.1+q 1+m2 【答案】B 【分析】利用诱导公式cos2210°=cos50°，再利用二倍角公式，接着齐次化转化为正切可求 高三数学第3页共4页 【详解】cos2210°=c0s(6×360°+50)=c0s50°=c0s225°-sin225° cos225°-sin225°1-tan225°1-p2 cos225°+sin225°1+tan225°1+p2 故选B. 8.在锐角△4BC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bsi B+C-5asi血4+C),则号的取值范围为（） 2 24 25 34 35 A. 53 B.53 C 53 D 53 【答案】D 【分析】根据三角形内角和与诱导公式将已知条件转化为边角的三角函数关系，利用正弦定理由边化角，使用二倍 角公式进行恒等变换以及利用同角的三角函数关系求出∠A的三角函数值，再利用正弦定理和同角的三角函数关系 根据∠B的范围求出结果 【详解】由2 beinB+C=5 asin+C)每2bsim无，A-5 asin B,即2bos2-V5 asin B,即 2 2 2 2m8cos子5m4sin8,又0<B<分，故snB>0, 2 2cos5sinA=25sim 4 cos4, 2 2 29 因为0<4<气所以s血号5， 3 3改m2得4o4市 4 3 因为c=sinC_sin(4+B)_5cosB+sinB 5 4 3, b sin B sin B sin B 5tan B 5 因为0<B< 行0<x-(4+B)号所以牙-A<B 2 2 故tanB>tan 13 所以m,所以后-（》 故选D 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，请把答案填涂在答题卡相应位置上」 9.已知平面直角坐标系中，坐标原点为O,A(1,-2),B(,-1),则() 1 A.若OA⊥OB,则m=2 B.若OA∥OB,则=。 2 C.A正不可能为单位向量 D.若m=-1,则20A-OB=3√2 【答案】BD 【知识点】零向量与单位向量、坐标计算向量的模、由向量共线（平行）求参数、向量垂直的坐标表示 【分析】利用向量共线的坐标形式判断A,利用向量垂直的坐标形式判断B,由特例判断C，由向量模的坐标公式 计算后判断D. 高三数学第4页共4页 【详解】若OA⊥OB,则1×m+(-2)(-1)=0，解得m=-2，A错误： 若OAO5,则1x(-)-(2)×m=01x(--(2×m=0,解得m-克，B正确： 由题设AB=(-1,1),当l=1时，|AB=1,AB是单位向量，C错误： 若m=-1,则20A-OB=(3,-3),12OA-OB1=3V2,D正确， 故选：BD. 10.如图是函数()-2cos(@r+@>0,-受<9<0的高分图象，则下列结论正确的是() A.fx)=2c-3) B.f(x)的图象关于 贺)中心对称 C.f(:)的图象向左平移2”个单位长度后为奇函数 D.f(x)在(-1,2)上单调递增 【答案】AD 【详解】对于A,由/0=1得casp方由子0<0得0-骨 )0得co+0,故晋a+小子ac2, 化简得ω=- 3(k∈Z), 由图可知该函数的周期了=合分4，故00 2解得o=。 所以-2o》故A正确： 对于B,由f 3π 2 =2cos亚≠0，得3亚，0不是函数的对称中心，故B错误： 12 (2 对于C,J四的图象向左子移经个单位度后得到适数：）2 为偶函数， 的图象，此时fx+3 故C错误， 对于D,由-1长<2，可得行分行1子由子行1号行：得屬数f在(-12)上单调递增 3 故D正确： 高三数学第5页共4页 故选：AD. 11.已知x=-1是函数f(x)=(x2+ae2的极大值点，则() A.函数f(x)的极小值为0 B.若-1<x<0,则f(x3)>f(x) C.若0<m<是，则y=(y)-m有3个相异的零点 D.若f(s)=f(x)(其中x2>x1>-1),则x+x2<0 【答案】ACD 【分析】根据题意，求得a=0,得到f(x)=xe2“,求得f'(x)=2x(x+1)e2,得出函数f(x)的单调性与极值（点）， 可判定A正确：当-1<x<0时，得到-1<x<x3<0,结合函数∫()的单调性，可判定B错误：作出函数f(x)的 图象，结合图象，可得判定C正确：根据题意，转化为证明f(:)<∫(-x),构造g(x)=∫(x)-∫(-x),利用导数 求得函数g(x)的单调性，结合函数g(x)的单调性，即可求解. 【详解】对于A中，由函数f(x)=(x2+a)e2，可得f'(x)=2(x2+x+a)e2, 因为x=-1是f(x)的极大值点，所以f(-1)=0,解得a=0, 所以f(x)=xe2x,可得f'(x)=2x(x+1)e2x, 当x<-1时，∫'(x)>0,f(x)单调递增：当-1<x<0时，f'(x)<0,f(x)单调递减： 当x>0时，f'(x)>0,f(x)单调递增， 所以函数∫(x)的极大值点为-1，极小值点为0，所以A正确： 对于B中，当-1<x<0时，x-x3=x(1-x2)<0,则-1<x<x3<0, 因为f(x)在区间(-1，O)上单调递减，所以f(x)<f(x),所以B错误： 对于C中，由f(x)≥0，且当x→-0时，f(x)→0，当x→+0时，f(x)→+o, 可得∫(x)的图象，如图所示， 高三数学第6页共4页 YA 0 当0<m<是时，=f0-m有3个相异季点，所以C正确： 对于D中，因为-1<x<0<2,要证x+x2<0,只需证明x2<-x, 由f(x)在(0，+o)上单调递增，需证明f(x2)<f(-x), 即当-1<x<0时，证明f(:)<f(-x), 构造函数g(x)=f(x)-∫(-x)(其中-1<x<0), 则g(x)=f(x)+f(-x)=(2x2+2x)e2+(2x2-2x)e2x=2x(e2x-e2x）+2x2(e2+e2）, 当-1<x<0时，8'(x)>0,则g(x)在(-1,0)上单调递增。 所以g(x)=f(x)-f(-x)<g(0)=0,即当-1<x<0时，f(s)<f(-x), 所以f()<f(-x),所以七<-x,+x<0,所以D正确. 故选：ACD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上 12.函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)=2-5x+a,则f(a= 【分析】由f(0)=0求得a=-1,再由f(-1)=-f(1)即可求解. 【详解】由题意可得f(0)=1+a=0,解得a=-1, 则f(四=f(-1)=-f1)=-(2-5-)=4 18为0号Ae传}景用e等于 【分析】由条件结合同角关系可求cos,cosB，再由两角差余弦公式求结论. 【带解】因为mu=片0a子所以sa马。 2 因为s=号B爱小所以ca0=言 所以cos(a-P)=+=55）12-5W3+1212-s/3 2113213 26 26 高三数学第7页 共4页 14.若不等式(x2-m+b)cos+s0对x1叫恒成立，则a+b= 6 【答案】-号 【分析】先分析当[1叫时，函数y=c0π+的对称轴，零点及函数值的变化情况，再分析二次函数 6 y=x2-ax+b的单调性与对称轴，结合不等式恒成立可得关于a,b的方程，求解即可。 【详解1当：时，高=6瓜君副的对轴为=零点为行，专 1 2 6 且当x1到时<0，当（时，0，当防，y0, 1， 函数=-a+b在(上单减，在侣 上单调递增，且对称轴为x一， 所以要使不等式(x-ax+b)cosπ+ 6 ≤0恒成立， 于是， 1 6’ 故答案为：一9 四、解答题：本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或 演算步骤， 15.已知在A4BC中，M是边BC的中点，N是边AB上的点，且AN=2NB.记AB=a,AC=五. (1)用a,b表示向量MN; a洁1a,且4M1CW,求RC的大木 【分析】(1)根据平面向量基本定理结合已知条件求解即可： (2用ā，万表示出AM,C,再由AM1c,得M.CN=0化简结合1a-y611可求得结果 【详解】(1)因为在AABC中，M是边BC的中点，N是边AB上的点，且AN=2NB, 所似：成号丽-目+}c名-号c: --5分 61 2 6 2 )AM-1a+ib,CN-AN-ac-2a-b, -7分 2 因为AM⊥CN,所以AM⊥C,即AM.C=0, 高三数学第8页 共4页 改a+五-列-o, 化简得：名a6-8-0, -10分 6 因为月=5月，所以。-多五，代入上式得a6-0, 2 所以AB⊥AC,即∠BAC= -13分 16.己知函数f()=log2r2-m+3a. (1)若f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围： (2)已知g(x)=m.3+5-2,其中心0，当-4时，若对任意的x1∈[1,2+2V⑥]，总存在x2∈[0,2]，使fx1)=2)成 立，求实数的取值范围 【详解】(1)依题意，函数f()=log2r2-+3a)的定义域为R, 设y2-+3a,可得△=2-12K0,解得0<K12, 故a的取值范围是(0,12).- -5分 (2)若-4，则fx=log2(x2-4x+12), 因为yx2-4x+12=(x-2)2+8,其开口向上，对称轴为×=2， 所以当x∈[1,2+2W同时，y的最小值为8， 当x=2+2W6时，y取得最大值为(2+2√6-2)2+8=32， 且y=log2x在定义域内单调递增， 可得fx)在[1,2+2√同上的最小值为1og28=3,最大值为log232=5, 即函数fx)的值域是[3,5]. -9分 因为对任意的x1∈[1,2+2W可，总存在x2∈[0,2]，使fx1)厂g(x)成立， 所以fx)的值域是g(8)的值域的子集. -11分 因为m>0时，g(x)m3+5-2m在[0,2]上单调递增， 所以g(s)∈[5-m,5+7m],则5-m≤3<5≤5+7m,解得m22: 所以，实数m的取值范围2，+o). -15分 17.已知f(x)=sir(sir+V5cosx）. (1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间： 回设ae.老函数)=f和y=f+a)在0 有相同的最大值，求a的取值范围. 【答案】(1)最小正周期为兀， k:若+，keZ 高三数学第9页 共4页 a引g 【分折】（①根热三角恒等变换的化简计第可得）=n2x-君引片，利用？西和整体代换法计第即可求解。 2π 2)根据正弦函数的图象与性质求出∫(y)在0，上的最大值，进而得f(x+a)在0，及 2 上的最大值，建立关于a 2 的方程，得a=km+亚x,即可求解」 3 【详解】(1)f(x)=sinr(sinx+V5cosx)= 1-c0s2x+ 2、 ------3分 2 6 所以西数/的最小正酒期为了一骨于-又 -4分 由2m-子s2x-名≤x+7keZ, 6 海-君≤r≤+号keZ, 所以()的单调通增区间为红名血+司，e乙。 7分 66 所以-四在0上的最大值为 9分 则-+om2x2a在 上的最大值也是 2 由2(+a)-君2+号，keZ,a=m+子x,keZ, -11分 6 6 又ae[0,l,所以0≤as或2≤a≤π. 6 -14分 3 综上，a的取值范围为0，厂5 ,兀 -15分 36 18.在△ABC中，AC=√3AB,且BC边上的中线AD长为1. (1)若BC=2AB,求△ABC的面积： (2)若∠ABC=2∠DAC,求BC的长. 【容案19 2)2 【分析】(D由题可得4C=Vc,BC=2上，利用勾股定理可判断aABC是直角三角形，且∠ABC-又BC边上中 线AD=1，运算可得解： C2)方法，设∠ABC=2,∠DAC=8∠AD8=a,在△ABD,△ADC中，分别由正弦定理两式可得a=V5 cose 高三数学第10页共4页