专题08勾股定理及逆定理精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年浙教版八年级数学上册

本初中数学讲义聚焦勾股定理及逆定理核心知识点，通过面积法推导勾股定理建立直角三角形三边数量关系（形→数），借助逆定理由边长关系判定直角三角形（数→形），衔接后续立体图形计算与解直角三角形，构建完整知识支架。 资料以数形结合思想为核心，设计15类分层题型（含赵爽弦图验证、折叠问题等），通过常见错误辨析强化推理能力，结合醉汉拿竹竿等实例培养模型意识与应用意识，课中辅助教师高效教学，课后助力学生查漏补缺，提升数学思维与解决问题能力。

专题08勾股定理及逆定理精讲学案 核心立意 本节运用面积法推导勾股定理，建立直角三角形三边之间的数量关系；借助勾股定理的逆定理，通过边长关系判定直角三角形。二者体现“形→数”与“数→形”的互逆思想，是数形结合思想的典型载体。学生需要分清定理与逆定理的推理方向，规范代数运算与几何证明的书写格式，为后续立体图形计算、解直角三角形等内容做好铺垫。 勾股定理 ① 如果直角三角形两条直角边长为a、b，斜边长为 c，那么a2+b2=c2 。 ② 适用前提：三角形必须是直角三角形。 ③ 几何语言：在 RtABC 中， C=90，则 AC2+BC2=AB2。 ④ 常用变形：   c=​​；b= ⑤ 关键约束：c 是最长边，是直角的对边。 ⑥ 注意：公式只能用于求边长的平方；边长必须取算术平方根，舍去负根。 勾股定理的验证（面积法） ① 基本思路：用两种不同的方法表示同一个图形的总面积。 ② 利用面积相等建立等式，通过代数化简推导出 a2+b2=c2。 ③ 常见模型：赵爽弦图、毕达哥拉斯拼图。 ④ 面积法是重要的几何证明方法，不可以用来判定直角三角形。 勾股定理的逆定理 ① 如果 ABC 的三边长 a,b,c 满足a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形，最长边 c 所对的角为直角。 ② 几何语言：在 ABC 中，若 AC2+BC2=AB2，则 C=90。 ③ 功能：不用测量角度，仅通过三边长度判定直角三角形。 ④ 操作步骤：先找出最长边，再验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方。 勾股数 ① 定义：能够满足 a2+b2=c2的三个正整数叫作一组勾股数。 ② 必备条件：同时满足两点——是正整数；符合平方关系式。 ③ 常见勾股数：(3,4,5)，(5,12,13)，(7,24,25)，(8,15,17)。 ④ 性质：一组勾股数同时乘同一个正整数，得到的新数组仍然是勾股数。 ⑤ 注意：小数、分数即使满足等式，也不是勾股数。 勾股定理与逆定理的应用 ① 几何计算：已知直角三角形的两边，求第三边的长度。 ② 几何判定：已知三角形三边长，判断是否为直角三角形，并确定直角的位置。 ③ 实际问题：将实际情境抽象成直角三角形，识别直角、直角边、斜边，代入公式求解。 ④ 网格问题：利用网格的水平、竖直线段构造直角三角形，计算斜线段的长度。 重点辨析 ① 勾股定理：已知图形是直角三角形，推出三边平方关系（由形到数）；可用于求边长。   勾股定理的逆定理：已知三边平方关系，推出图形是直角三角形（由数到形）；可用于判定直角。二者不可混用。 ② 运用逆定理时，必须先确定最长边。如果随意选取两条边计算平方和，很容易得到错误结论。 ③ 勾股定理只适用于直角三角形。锐角三角形：两条短边的平方和 > 最长边的平方；钝角三角形：两条短边的平方和 < 最长边的平方。 ④ 勾股数必须是正整数。例如 1.5,2,2.5，虽然满足 1.52+22=2.52，但不是勾股数。 ⑤ 面积法只能用来证明勾股定理成立，它不是判定直角三角形的依据。 ⑥ 当题目没有给出图形时，直角的位置是不确定的，需要分类讨论哪一条边是斜边。 ① 不区分斜边与直角边，直接把边长代入公式，误将较短边当作斜边 c。 ② 开平方运算时，保留正负解；忽略线段长度只能取正数。 ③ 使用逆定理时，跳过“寻找最长边”这一步，随意配对边长进行平方运算。 ④ 混淆定理与逆定理：已知是直角三角形，不去求边长，反而验证三边关系；已知三边长，直接套用勾股定理求边长，不判定直角。 ⑤ 忽略勾股数“正整数”的要求，把小数、分数当成勾股数。 ⑥ 在锐角或钝角三角形中，错误套用 a2+b2=c2。 ⑦ 无图题不进行分类讨论，漏掉某一条边作为斜边的可能性。 ⑧ 解决实际问题时，不能抽象出直角三角形，忽略隐藏的垂直条件。 ⑨ 平方、开方运算出现计算错误。 题型 考察方向 难度 题型一 用勾股定理解三角形 ★★ 题型二 勾股树（数）问题 ★★ 题型三 以直角三角形三边为边长的图形面积 ★★★ 题型四 勾股定理与网格问题 ★★★ 题型五 勾股定理与折叠问题 ★★★★ 题型六 利用勾股定理求两条线段的平方和（差） ★★★ 题型七 利用勾股定理证明线段平方关系 ★★★★ 题型八 勾股定理的证明方法 ★★★ 题型九 以弦图为背景的计算题 ★★★★ 题型十 用勾股定理构造图形解决问题 ★★★★ 题型十一 勾股定理与无理数 ★★★ 题型十二 判断三边能否构成直角三角形 ★★ 题型十三 在网格中判断直角三角形 ★★★ 题型十四 利用勾股定理的逆定理求解 ★★★ 题型十五 勾股定理逆定理的实际应用 ★★★ 拔高题 9题 星级说明：★★中档；★★★提升；★★★★拔高 题型一：用勾股定理解三角形 解题思路：① 确认三角形为直角三角形。② 区分直角边与斜边。③ 将边长代入关系式 a2+b2=c2。④ 选用合适的变形公式计算未知边的平方。⑤ 取算术平方根得到边长，舍去负根。 1．已知一个直角三角形的两边长分别为12和13，则第三边长的平方是（     ） A．25 B．5 C．313 D．25或313 【答案】D 【分析】未明确已知边是直角边还是斜边，需分情况讨论，避免漏解． 【详解】解：由直角三角形两边长为12和13，未明确两条边是直角边还是斜边，分两种情况讨论： ①当12和13均为直角边时，第三边为斜边，由勾股定理得，第三边长的平方为； ②当13为斜边，12为直角边时，第三边为另一条直角边，由勾股定理得，第三边长的平方为； ∴第三边长的平方是25或313． 2．一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿、竖拿都进不去，横着比门框宽5尺，竖着比门框高3尺，沿门对角线斜拿着竿，正好进屋，你知道竹竿长有多少？若设竹竿长为x尺，根据题意可列方程为________ 【答案】 【分析】设竹竿长为x尺，则门框宽为尺，门框高为尺，根据勾股定理即可得到答案． 【详解】解：设竹竿长为x尺，则门框宽为尺，门框高为尺， 根据题意，得． 3．如图，点，分别在的边，上，，垂足为点，，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，，则，，用勾股定理解和，联立得出，再用勾股定理解即可． 【详解】解：设，，则，， ， ， 在中，， ，即， 在中，， ，即， 得：，即， 在中，． 题型二：勾股树（数）问题 解题思路：① 验证三个数是否均为正整数。② 确定其中的最大数。③ 计算两条较小数的平方和，与最大数的平方作比较。④ 同时满足“正整数”和“平方相等”两个条件，才是勾股数。⑤ 一组勾股数同乘同一个正整数，所得数组仍为勾股数。 4．有一个边长为1的正方形，以它的一条边为斜边，向外作一个直角三角形，再分别以直角三角形的两条直角边为边，向外各作一个正方形，称为第一次“生长”；如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和是______． 【答案】2026 【分析】本题考查了勾股定理规律问题．根据题意可得每“生长”一次，面积和增加1，据此即可求得“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和． 【详解】解：如图， 由题意得：， 由勾股定理得：， 则“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得：“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形面积和为3， “生长”了3次后形成的图形中所有正方形的面积和为4， …… “生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和是2026． 故答案为：2026． 5．有一个边长为1的正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上长出两个小正方形，其中，三个正方形的三条边围成的三角形是直角三角形，再经过1次这样的“生长”后，变成了如图1所示的图形．如果照此规律继续“生长”下去，它将变成如图2所示的“枝繁叶茂的勾股树”，请你算出“生长”了2027次后形成的图形中所有正方形的面积和是_______． 【答案】2028 【分析】根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可．本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么． 【详解】解：如图，由题意得，正方形A的面积为1， ∵三个正方形的三条边围成的三角形是直角三角形， ∴由勾股定理得，正方形B的面积正方形C的面积， ∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， ∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， ……， ∴“生长”了2027次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2028． 6．如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形．已知正方形A，B，C，D的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E的面积为（     ） A．40 B．45 C．47 D．50 【答案】C 【详解】解：如图， 由题意得，， ． 题型三：以直角三角形三边为边长的图形面积 解题思路：① 设直角三角形三边长为 a,b,c，其中 c 为斜边。② 用 a,b,c 分别表示三个图形的面积。③ 由 a2+b2=c2，推导出三个图形的面积关系。④ 代入已知面积，完成计算或证明。 7．以直角三角形的三边为边分别向外作正方形，三个正方形的面积如图所示，则为（  ） A．6 B．4 C．2 D．8 【答案】A 【分析】根据正方形的面积计算，，再根据勾股定理计算即可求解． 【详解】解：如图， 由题意得：，，， ， 的值为6， 8．如图，图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，正方形A、D、E的面积依次是7、3、12，则正方形B的面积是______． 【答案】 【分析】根据勾股定理并结合图形可得，，代入计算即可得出结果． 【详解】解：∵图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形， ∴，， ∵正方形A、D、E的面积依次是7、3、12， ∴，， ∴， ∴． 9．如图，在中，，以，，为边向外作正方形、正方形、正方形，它们的面积分别记为，，，点N在直线上，连接，．若，则的面积为（     ） A．3 B． C．5 D．7 【答案】B 【分析】根据勾股定理得出，根据正方形的性质得出，根据，求出， 根据三角形面积公式求出． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵正方形、正方形、正方形的面积分别记为，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∵正方形中，，， ∴． 题型四：勾股定理与网格问题 解题思路：① 将待求线段看作网格内某直角三角形的斜边。② 数出水平、竖直方向的格长，得到两条直角边。③ 运用勾股定理求出线段长或线段长的平方。④ 如需判定直角，求出三边的平方，利用逆定理验证。 10．如图，在的正方形网格（每个小正方形的边长都是）中，标记格点（网格线的交点），，，，则下列线段中，长度为的是（   ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】A 【分析】利用勾股定理分别计算各线段的长即可得解． 【详解】解：由图可知，， ， ， ， 长度为的是线段． 11．如图，和的顶点都是网格线交点，那么________ ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握网格型问题的计算方法是关键．连接，构造等腰直角三角形，利用勾股定理和逆定理得，，由，可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 由勾股定理得，，，， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 12．如图，网格中小正方形的边长均为1，点都在格点上，以点为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点，连接，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，圆的半径性质.由题意可得，然后在中通过勾股定理求出，最后根据计算即可． 【详解】解：由图可知，网格小正方形边长为，则，，，， ∵以点为圆心，为半径画弧，交于点， ∴， 在中，由勾股定理得： ， 即， ∴， ∴． 题型五：勾股定理与折叠问题 解题思路：① 根据折叠的性质，标记相等的线段与相等的角。② 设未知线段的长度为 x，用含 x 的代数式表示出直角三角形的三边。③ 在确定的直角三角形中列出勾股方程。④ 解方程求出未知量。⑤ 检验解是否符合图形的长度约束。 13．如图，在长方形中，，将此长方形沿折叠，使点与点重合，则的长度为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，解题的关键是理解，先表示出，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：∵长方形沿折叠，使点D与点B重合， ， ， 在长方形中，， ，即， 解得：， 故选：A． 14．如图，在中，，，，点D在上，将 沿直线翻折后，点的对称点恰好落在上，则线段的长为______． 【答案】5 【分析】先根据勾股定理，求得，接着利用折叠可得，，，最后在中利用勾股定理求得答案． 【详解】解：， ∴， ∴由翻折得，，， ∴，，， ∴， v即， 解得． 15．如图，将直角三角形纸片沿折叠，使点落在延长线上的点处．若，，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C．6 D．9 【答案】D 【分析】此题考查了折叠的性质，勾股定理．由勾股定理求出，设，则，根据求出x得到的长，利用三角形面积公式求出答案． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠得，， 设，则， 在中，，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴图中阴影部分的面积是， 故选：D． 题型六：利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 解题思路：① 观察两条线段，判断能否作为直角三角形的斜边。② 通过作垂线构造直角三角形。③ 分别写出两条线段的勾股平方表达式。④ 将两个表达式相加或者相减。⑤ 消去公共项，化简得到结果。 16．如图，已知在中，，分别以为直径作半圆，面积分别记为则等于_______________________． 【答案】 【分析】先由勾股定理可得： 再利用，然后整体代入求解即可. 【详解】解： ， 故答案为： 【点睛】本题考查的是半圆的面积的计算，勾股定理的应用，掌握利用勾股定理的知识计算图形的面积是解题的关键. 17．如图，在中，，，于点D，E为上任意一点，则______． 【答案】231 【分析】该题考查了勾股定理，在 、、、中，由勾股定理得出，再代入求解即可． 【详解】证明：在 中，由勾股定理，得①， 在 中，由勾股定理，得②， 得． 在 中，由勾股定理，得③， 在 中，由勾股定理，得④， 得， 所以， ∵，， ∴． 故答案为：231． 18．如图，点是等腰直角斜边上一点（不与点、重合），，则等于（） A．1 B．2 C．4 D．不能确定 【答案】C 【分析】取斜边中点，得，设，则，由勾股定理得代入变形求解即可． 【详解】解：取斜边中点， ∵是等腰直角三角形， 则，且， 设，则， 在中，由勾股定理：， 则， 即：， 故． 题型七：利用勾股定理证明线段平方关系 解题思路：① 把待证的线段作为直角三角形的斜边。② 添加垂线等辅助线，构造出包含目标线段的直角三角形。③ 对每一条目标线段写出对应的勾股关系式。④ 通过等量代换消去中间变量。⑤ 整理等式，得到需要证明的平方关系。 19．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，点E为对角线BD上任意一点，连接AE、CE． 若AB=5，BC=3，则AE2-CE2等于(    ) A．7 B．9 C．16 D．25 【答案】C 【分析】连接AC，与BD交于点O，根据题意可得，在与中，利用勾股定理可得，在与中，继续利用勾股定理可得，求解即可得． 【详解】解：如图所示：连接AC，与BD交于点O， ∵对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】题目主要考查勾股定理的应用，理解题意，熟练运用勾股定理是解题关键． 20．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则________________．    【答案】17 【分析】根据垂直的定义和勾股定理解答即可； 【详解】解：∵， 由勾股定理得， 故答案为：17． 【点睛】本题考查的是垂直的定义，勾股定理的应用，正确理解“垂美”四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键． 21．对角线互相垂直的四边形叫“垂美”四边形，已知四边形为“垂美”四边形，对角线、交于点，若，，则等于（    ） A．12 B．16 C．20 D．28 【答案】C 【分析】根据垂直的定义和勾股定理解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 由勾股定理得，， ， ∴． ∵，， ∴． 题型八：勾股定理的证明方法 解题思路：① 用两种不同的方式表示同一个组合图形的总面积。② 分别展开两个面积表达式。③ 令两个面积相等，建立等式。④ 通过去括号、合并同类项化简。⑤ 推导出关系式 a2+b2=c2。 22．如图，由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，则4 个直角三角形面积+小正方形面积=大正方形面积， 即__________+____________=_______________，化简得： ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的证明方法，先求出小正方形的边长，再根据4 个直角三角形面积+小正方形面积=大正方形面积解答即可． 【详解】解：由图可知，小正方形的边长为， ∵4 个直角三角形面积+小正方形面积=大正方形面积， ∴， ∴． 故答案为：，，． 23．你认为以下四种图形能用来证明勾股定理的图形有______．（填序号） 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的证明，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据图①可以得到，然后化简即可；根据图②，无法确定、、的关系．由图可得，，然后化简即可；由图可得，，然后化简即可． 【详解】解：由图①可得， ， 化简，得：， 故图①可以证明勾股定理； 根据图②中的条件，无法证明勾股定理； 由图可得，， 化简，得：， 故图可以证明勾股定理； 由图可得，， 化简，得：， 故图可以证明勾股定理； 故答案为：． 24．利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示图形，通过该图形可以验证（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的证明．用两种不同的方式表示大正方形的面积，可得等式，整理可得：． 【详解】解：大正方形的面积可以表示为， 大正方形的面积还可以表示为， 可得：， 整理可得：． 故选：C ． 题型九：以弦图为背景的计算题 解题思路：① 分清弦图中大正方形、小正方形、四个全等直角三角形的边长关系。② 设直角三角形的两条直角边长为 a,b。③ 用 a,b 表示各个图形的边长或面积。④ 根据已知条件列出方程或者方程组。⑤ 联立求解，得到线段长度或者面积。 25．如图是2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽，它由4个相同的直角三角形拼成，已知直角三角形的两条直角边长分别为3和4，则大正方形和小正方形的面积比是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理及正方形的面积公式． 根据勾股定理可得大正方形的边长，再根据和差关系得到小正方形的边长，根据正方形的面积公式可得大正方形和小正方形的面积，进一步即可求解． 【详解】解：由勾股定理可知大正方形的边长为 则大正方形的面积为：； ∵小正方形的边长为：， ∴小正方形的面积为：； 则大正方形和小正方形的面积比是． 故选：D． 26．如图，是4个全等的直角三角形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积是81，小正方形的面积是25，若用表示直角三角形的两条直角边，请观察图案，求______． 【答案】28 【分析】根据“大正方形面积个全等直角三角形面积小正方形面积”结合直角三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：题中图形是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案， ∵大正方形面积为81，小正方形面积为25， ∴， ∴． 27．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上“生长”出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图所示的形状图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”．则“生长”了3次后形成的图形中所有正方形的面积和是（     ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】根据勾股定理和正方形的面积公式，知“生长”1次后，以直角三角形两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，即所有正方形的面积和是；“生长”2次后，所有的正方形的面积和是即可． 【详解】解：设直角三角形的三条边分别是a，b，c．根据勾股定理，得，即． ∴“生长”了3次后形成的图形中所有正方形的面积为； ∵，， 所以“生长”了2次后形成的图形中所有正方形的面积和是 ． 同理：“生长”了3次后形成的图形中所有正方形的面积和是4． 题型十：用勾股定理构造图形解决问题 解题思路：① 根据题意作垂线，构造直角三角形。② 标注出所有可确定的线段长度。③ 找出图中存在的等量关系。④ 建立含有未知量的勾股方程。⑤ 求解方程，并验证结果的实际意义。 28．如图，要在门上方的墙上点处装一个由传感器控制的灯，点离地面，任何东西只要移至该灯及内范围，灯就自动发光．已知小军身高，若他走到处灯刚好发光，则他离墙的水平距离是（   ） A． B． C． D．2m 【答案】B 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意作出图形，正确构造直角三角形、根据勾股定理计算即可． 【详解】解：当人走到点的位置，头顶与点距离是时，灯刚好自动发光， 作于，    则， 在中，， 答：身高的学生要走到离墙的地方灯刚好发光． 故选：B． 29．如图，以的三边为直径，分别向外作半圆，构成的两个月牙形面积分别为、，的面积，若，，则的值为______． 【答案】8 【分析】本题考查了勾股定理、圆的面积，熟记圆的面积公式，利用等面积法得出等量关系是解答的关键． 根据勾股定理和圆的面积公式即可求得的值． 【详解】解：设的三边分别为，则， 观察图形可得：， 即， ， ， ， 故答案为：8． 30．公园里一根长方体石柱如图所示，若一只蚂蚁以的速度从点爬到点，最快需要多长时间（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分两种情况：①当把长方体沿正面和上面（或后面和下面）进行展开时，②当沿长方体的正面和右面（或后面和左面）进行展开时，利用勾股定理求出最短路径，进而可求出最快爬行的时间． 【详解】解：①当把长方体沿正面和上面（或后面和下面）进行展开时： 蚂蚁以的速度从点爬到点需要； ②当沿长方体的正面和右面（或后面和左面）进行展开时： ， 蚂蚁以的速度从点爬到点需要； ∵， ∴最快需要． 题型十一：勾股定理与无理数 解题思路：① 构造两条直角边为整数的直角三角形。② 利用勾股定理算出斜边的长度，得到无理数。③ 以原点为圆心、斜边长为半径作弧，与数轴相交。④ 注意数轴上存在左右两个交点。 31．我们知道“实数与数轴上的点是一一对应的”．张华同学作了如下操作：以单位长度为边长画一个正方形（如图），以数字所在点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴的正半轴交于点A，则点A表示的实数为______． 【答案】 【分析】利用勾股定理求出正方形对角线的长，确定圆的半径，再根据圆心位置和点的方向确定点表示的数即可． 【详解】解： 正方形的边长为1， 对角线长， 圆心表示的数为，半径为，且点在圆心的右侧， 点表示的实数为，即． 32．如图，为数轴原点，在数轴上找出表示的点，过点作直线垂直于；在上取点，使；以原点为圆心，长为半径作弧，弧与数轴负半轴相交于点，则点表示的实数是__________． 【答案】 【分析】首先根据勾股定理得出，进而得到，根据点所在的位置，进而得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点在数轴负半轴， ∴点表示的实数是． 33．如图，在数轴上，点A、B表示的数分别为0、2，于点B，且．连接，在上截取，以点A为圆心，的长为半径画弧，交线段于点E，则点E表示的实数是（     ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】先根据勾股定理求出的长，再结合求出的长，最后根据圆的半径相等得出的长，从而确定点表示的数． 【详解】解：由题意可知，点表示，点表示， ∴， ∵，， ∴在中，， ∵， ∴， ∵以点为圆心，的长为半径画弧，交线段于点， ∴， ∵点表示的数为，且点在点的右侧， ∴点表示的实数是． 题型十二：判断三边能否构成直角三角形 解题思路：① 将三边长从小到大排序，确定最长边。② 计算两条较短边长的平方和。③ 计算最长边长的平方。④ 比较两个数值；若相等，则为直角三角形；若不等，则不是。 34．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（     ） A．2，3，4 B．3，3，6 C．6，8，10 D．5，7，9 【答案】C 【分析】验证每组数中两较短边的平方和是否等于最长边的平方，判断能否构成直角三角形． 【详解】解：A选项，∵，∴不能构成直角三角形； B选项，∵，∴不能构成三角形，∴不能构成直角三角形； C选项，∵，∴能构成直角三角形； D选项，∵，∴不能构成直角三角形． 35．如图，在中，是的中线．若，，，则______． 【答案】 【分析】先通过勾股定理逆定理得出，又是的中线，则，然后通过三角形内角和定理，等边对等角即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴． 36．已知中，，，分别是，，的对边，则下列条件中不能判断是直角三角形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角形内角和定理和勾股定理的逆定理，逐一判断各选项即可． 【详解】解：对于A选项，∵，三角形内角和为， ∴， ∴是直角三角形，A不符合题意； 对于B选项，∵， ∴，由勾股定理逆定理得是直角三角形，B不符合题意； 对于C选项，∵， ∴， 又∵， ∴，即， ∴是直角三角形，C不符合题意； 对于D选项，∵， ∴设，，（）， ∴，， ∴，不满足勾股定理逆定理，不是直角三角形，D符合题意． 题型十三：在网格中判断直角三角形 解题思路：① 借助网格，求出三角形三边长度的平方。② 将三边的平方从小到大排序。③ 验证两个较小平方的和是否等于最大的平方。④ 若相等，则该三角形为直角三角形。 37．如图，在正方形网格中有两条直线与，则的度数为__________． 【答案】/45度 【分析】本题考查了在网格中判断直角三角形，利用勾股定理及其逆定理得是直角三角形，，进而可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键． 【详解】解：由勾股定理得： ，，， ，， 是直角三角形，， ， 故答案为：． 38．如图是的网格，每个小正方形的边长为1，A、B、C、D是小正方形的顶点，则的值为_______． 【答案】/45度 【分析】本题考查了格点作图，等腰三角形的判定和性质，勾股定理与网格．取格点，得到，利用勾股定理及其逆定理求得是等腰直角三角形，据此即可求解． 【详解】解：取格点，连接，，如图， 由网格的性质，知， ∴， ∵，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 39．如图，在的正方形网格中，点，，，，均在格点（小正方形的顶点）上，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助网格判断图形中直线、角、三角形之间的关系．过点作，可知与不平行；根据在中，，由网格可知，不成立；借助网格可知，因为不是直角三角形，所以不成立；借助网格可知，所以可知，利用勾股定理的逆定理可知是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可知． 【详解】解：A选项：如下图所示，， 与不平行， 故A选项错误； B选项：在中，， ， 不成立， 故B选项错误； C选项：如下图所示，， 不是直角三角形， 不成立， 不成立， 故C选项错误； D选项：如下图所示，， ， 由网格可知，，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 故D选项正确； 故选：D． 题型十四：利用勾股定理的逆定理求解 解题思路：① 根据题干条件，用含参数的式子表示三角形的三边长。② 确定三边中的最长边。③ 令两条较短边的平方和等于最长边的平方。④ 建立方程，求出参数的值。⑤ 将参数代回，验证三边可以构成三角形。 40．在中，的对边分别是a，b，c，且 则（   ） A． B． C． D．不是直角三角形 【答案】A 【分析】本题主要考查勾股定理逆定理的运用，理解题意，掌握勾股定理的逆定理的计算是关键． 将给定等式变形后，应用勾股定理的逆定理判断直角． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 由勾股定理的逆定理， 表示边所对的角为直角，即 ， 故选：A． 41．如图，的三边分别为，将沿折叠，使落在上，折痕的长为___________． 【答案】/ 【分析】根据勾股定理的逆定理，即，判断出是直角三角形，设折叠后点与上的点重合．在中，根据勾股定理即可得到一个关于的方程，解方程即可求解． 【详解】解：， ， 是直角三角形． 设折叠后点与上的点重合，如图， 设，则，，，， ， 在中，， 解得， ． 42．如图，三个正方形的面积分别为，，，则分别以它们的一边为边围成的三角形中，的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理的逆定理，得出围成的三角形为直角三角形，根据三角形内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：如图， 三个正方形的面积分别为，，， ，即， 为直角三角形， ， ． 题型十五：勾股定理逆定理的实际应用 解题思路：① 将实际场景抽象为三角形几何模型。② 提取三条边的长度。③ 确定最长边。④ 验证较短两边的平方和是否等于最长边的平方。⑤ 根据判定结论，回答实际问题。 43．如图，某港口位于南北方向的海岸线上．甲，乙两舰艇同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲舰艇每小时航行16海里，乙舰艇每小时航行12海里．它们离开港口1.5小时后分别位于点P，Q处，且相距30海里．已知甲舰艇沿北偏东方向航行，则乙舰艇的航行方向是_______________． 【答案】南偏东 【分析】此题主要考查了勾股定理的逆定理的应用．直接得出海里，海里，海里，利用勾股定理逆定理以及方向角得出答案． 【详解】解：由题意可得：海里，海里，海里， ∵， ∴是直角三角形， ∴， ∵甲舰艇沿北偏东方向航行， ∴， ∴乙舰艇的航行方向是南偏东． 故答案为：南偏东． 44．一辆汽车从点出发沿正东方向行驶到达点，然后转向行驶到达点，最后从点沿方向直接回到出发点．如果汽车从出发到返回共行驶了，那么的方向是（   ） A．正东或正西 B．正南 C．正北 D．正南或正北 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理逆定理，根据题意，得到，根据汽车从出发到返回共行驶了，得到，勾股定理逆定理，求出为直角三角形，且，即可得出结论． 【详解】解：由题意，得：， ∵汽车从出发到返回共行驶了， ∴， ∴， ∴为直角三角形，且， ∵汽车从点出发沿正东方向行驶到达点， ∴的方向是正南或正北方向； 故选D． 45．如图，有一四边形空地，，，，，，则四边形的面积为__________． 【答案】 【分析】连接，先根据勾股定理求出的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出的形状，最后利用三角形的面积公式求解即可． 本题考查的是勾股定理、勾股定理的逆定理及三角形的面积，根据勾股定理的逆定理判断出的形状是解答此题的关键． 【详解】解：如图，连接． ， ， ． ， 为直角三角形，， ． 解答题 1．图1、图2、图3均为网格，每个小正方形的边长为1．请在三幅图中各画出一个顶点均在格点上的直角三角形，且满足对应边长要求． (1)在图1中，画出的直角三角形三边长，仅有一条边长是无理数，另外两条边长均是有理数； (2)在图2中，画出的直角三角形三边长，仅有两条边长是无理数，另外一条边长是有理数； (3)在图3中，画出的直角三角形三边长都是无理数． 【答案】(1)解：如图所示，图中三角形即为所求； （答案不唯一）； (2)解：如图所示，图中三角形即为所求； （答案不唯一）； (3)解：如图所示，图中三角形即为所求； （答案不唯一）． 【分析】（1）根据有理数与无理数的定义进行作图即可； （2）根据有理数与无理数的定义进行作图即可； （3）根据无理数的定义进行作图即可． 【详解】（1）解：∵， ∴为有理数，为无理数，且， ∴是直角三角形，符合题意； （2）解：∵， ∴为无理数，为有理数，且， ∴是直角三角形，符合题意； （3）解：∵， ∴都为无理数，且， ∴是直角三角形，符合题意． 2．第14届数学教育大会会标如图1所示，会标中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形． (1)请用图2验证勾股定理：； (2)如果满足等式的是三个正整数，我们称为勾股数．已知是正整数且．证明是勾股数； (3)我校社团计划在学校菜园上种青菜，使之构成如图2所示的“弦图”，已知这四个直角三角形的三边是勾股数，最短的边长为12米，种青菜要求：仅在三角形边上种青菜，每个三角形顶点处都种1棵青菜，各边上相邻两棵青菜之间的距离均为1米，那么这块菜园最少需要种植___________棵青菜．（直接写出结果，不必说明理由）． 【答案】(1) 解：∵大正方形的面积为， 或 ， ∴； (2) 证明：∵是正整数且， ∴均为正整数 ∵，，， ∴， ∴，，是勾股数； (3)140 【分析】本题考查了勾股定理，勾股数、以弦图为背景的计算题，完全平方公式，等面积法等知识点，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （）用两种方法求正方形面积即可求证； （）分别求出，，，则有，从而求证； （）由是正整数且，则要使勾股数最小则有，，得出最小勾股数为，，，又最短的边长为米，则直角三角形三边为米，米，米，所以这块菜园最少种植青菜（棵），从而求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）∵是正整数且， ∴要使勾股数最小则有，， ∴最小勾股数为，，， ∵最短的边长为米， ∴直角三角形三边为米，米，米， 则这块菜园最少种植青菜（棵）， 答：这块菜园最少需要种植棵青菜． 3．如图，是的边上的高．分别以线段，，，为边向外作正方形，正方形的面积分别为，，，．请写出关于，，，的等式． 【答案】 【分析】对和利用勾股定理，分别表示出，即可得出结果. 【详解】解：∵是的边上的高， ∴， 在和中， 由勾股定理，得， 由题意，， ∴. 4．如图，一张三角形纸片，，，．将纸片沿直线折叠，使点与重合，求的长． 【答案】的长为 【分析】由折叠可知，在中，运用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：由折叠可知， 设，则， 在中，，， 由勾股定理得：， ， 解得， 即的长为． 5．如图，在中，． (1)求证：； (2)当，，时，求的值． 【答案】(1) 证明： ， 在和中，根据勾股定理得， ，， ， 移项得：． 故． (2)； 【分析】本题考查了勾股定理和平方差公式的相关证明和计算及解二元一次方程组，熟练掌握和运用勾股定理是解决问题的关键． （1）在和中，分别运用勾股定理可得，，利用边相等，联立两式移项即得证． （2）根据第一问的结论，可求出的值，利用平方差公式，结合，可求得，而，由此可求得、，由勾股定理即可求出． 【详解】（1）略 （2）解： ，， ， ， ，即， ， ，解得， ， ． 6．“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形赵爽为中国古代以形证数形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范． (1)如图1，某同学制作了一个“赵爽弦图”纸板，设．可以验证出：．若大正方形的边长为，小正方形的边长为，求． (2)如图2，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点、，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ (3)已知在中，，求的面积． 【答案】(1) (2)新路比原路少千米 (3) 【分析】本题主要考查了勾股定理的弦图、勾股定理的应用等知识点，灵活运用勾股定理成为解题的关键． （1）根据勾股定理，完全平方公式变形得出即可求解； （2）设千米，则千米，然后运用勾股定理列方程可得，即千米，然后根据线段的和差即可解答； （3）作，垂足为H，设，，然后运用勾股定理列方程求得，即；再运用勾股定理求得，然后根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：依题意，， ， ， ． （2）解：设千米， 千米， 在中，根据勾股定理得：， ，解得，即千米， （千米）． 答：新路比原路少千米． （3）解：如图：作，垂足为H， 设， ， ，，，， ∴在中，，在中，， ，即，解得：， ， ， ． 7．按要求解答下列各题： (1)问题再现：数学探究课时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题．如，“求代数式的最小值”，小明同学发现可看作两直角边分别为和2的直角三角形斜边长，可看作是两直角边分别为和3的直角三角形的斜边长．于是构造出如图所示，将问题转化为求线段的长．求的最小值 (2)类比迁移：已知，均为正数，且，求的最小值 【答案】(1)13； (2)17． 【分析】（1）利用给出的图形，标上必要的字母，可以推出，，根据两点之间线段最短，可得的最小值为的长，再利用勾股定理求出的长即可； （2）过点B作交AC延长线于点F，根据，，，，可推出的值最小，需的值最小，即当，，三点共线时，的值最小，最小值为，先证明四边形为长方形，再运用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图， 在中， 由勾股定理，可得， 在中， 由勾股定理，可得， ∵， ∴的最小值为的长， 在中， 由勾股定理，可得， ∴的最小值是13； （2）解：过点B作交延长线于点F，如图， ∵，，，， ∴在中，； 在中，， ∴， ∴当A，D，B三点共线时，的值最小，最小值为的长， ∵，，， ∴四边形为长方形， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值为17． 8．我们知道，实数和数轴上的点是一一对应的，因此，实数都可以在数轴上找到相应的位置． (1)如图①，一个直角三角形的直角边落在数轴上，点与数轴原点重合，，，，以为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的实数是 ； (2)在图②中，作出实数所在的位置．（保留必要的作图痕迹） 【答案】(1) (2)如图，点表示的实数为． 构造直角如图所示，直角边落在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，，则，， 由勾股定理得， 以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则， ∴点表示的实数为． 【分析】（1）根据勾股定理求出，得到，即可解答； （2）以实数为圆心，半径长作弧与数轴的交点即为表示的实数为，通过构造直角三角形得到半径长即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 由作图，可知， ∵点与数轴原点重合， ∴点表示的实数是； （2）略 9．如图，一架无人机悬停在空中点处，点与地面上点之间的距离米，点与地面上点（点，处于同一水平面上）的距离米，且米． (1)求的度数； (2)现这架无人机沿所在直线向下飞行至点处，连接，当点恰好在边的垂直平分线上时，求这架无人机向下飞行的距离的长． 【答案】(1) (2)这架无人机向下飞行的距离的长为米 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理即可解答； （2）设米，在中，利用勾股定理列方程即可求解． 【详解】（1）解：，， ， 是直角三角形，． （2）解：设米， ∵点恰好在边的垂直平分线上， ∴米，米，                         在中，， ，                                 解得， 答：这架无人机向下飞行的距离的长为米． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08勾股定理及逆定理精讲学案 核心立意 本节运用面积法推导勾股定理，建立直角三角形三边之间的数量关系；借助勾股定理的逆定理，通过边长关系判定直角三角形。二者体现“形→数”与“数→形”的互逆思想，是数形结合思想的典型载体。学生需要分清定理与逆定理的推理方向，规范代数运算与几何证明的书写格式，为后续立体图形计算、解直角三角形等内容做好铺垫。 勾股定理 ① 如果直角三角形两条直角边长为a、b，斜边长为 c，那么a2+b2=c2 。 ② 适用前提：三角形必须是直角三角形。 ③ 几何语言：在 RtABC 中， C=90，则 AC2+BC2=AB2。 ④ 常用变形：   c=​​；b= ⑤ 关键约束：c 是最长边，是直角的对边。 ⑥ 注意：公式只能用于求边长的平方；边长必须取算术平方根，舍去负根。 勾股定理的验证（面积法） ① 基本思路：用两种不同的方法表示同一个图形的总面积。 ② 利用面积相等建立等式，通过代数化简推导出 a2+b2=c2。 ③ 常见模型：赵爽弦图、毕达哥拉斯拼图。 ④ 面积法是重要的几何证明方法，不可以用来判定直角三角形。 勾股定理的逆定理 ① 如果 ABC 的三边长 a,b,c 满足a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形，最长边 c 所对的角为直角。 ② 几何语言：在 ABC 中，若 AC2+BC2=AB2，则 C=90。 ③ 功能：不用测量角度，仅通过三边长度判定直角三角形。 ④ 操作步骤：先找出最长边，再验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方。 勾股数 ① 定义：能够满足 a2+b2=c2的三个正整数叫作一组勾股数。 ② 必备条件：同时满足两点——是正整数；符合平方关系式。 ③ 常见勾股数：(3,4,5)，(5,12,13)，(7,24,25)，(8,15,17)。 ④ 性质：一组勾股数同时乘同一个正整数，得到的新数组仍然是勾股数。 ⑤ 注意：小数、分数即使满足等式，也不是勾股数。 勾股定理与逆定理的应用 ① 几何计算：已知直角三角形的两边，求第三边的长度。 ② 几何判定：已知三角形三边长，判断是否为直角三角形，并确定直角的位置。 ③ 实际问题：将实际情境抽象成直角三角形，识别直角、直角边、斜边，代入公式求解。 ④ 网格问题：利用网格的水平、竖直线段构造直角三角形，计算斜线段的长度。 重点辨析 ① 勾股定理：已知图形是直角三角形，推出三边平方关系（由形到数）；可用于求边长。   勾股定理的逆定理：已知三边平方关系，推出图形是直角三角形（由数到形）；可用于判定直角。二者不可混用。 ② 运用逆定理时，必须先确定最长边。如果随意选取两条边计算平方和，很容易得到错误结论。 ③ 勾股定理只适用于直角三角形。锐角三角形：两条短边的平方和 > 最长边的平方；钝角三角形：两条短边的平方和 < 最长边的平方。 ④ 勾股数必须是正整数。例如 1.5,2,2.5，虽然满足 1.52+22=2.52，但不是勾股数。 ⑤ 面积法只能用来证明勾股定理成立，它不是判定直角三角形的依据。 ⑥ 当题目没有给出图形时，直角的位置是不确定的，需要分类讨论哪一条边是斜边。 ① 不区分斜边与直角边，直接把边长代入公式，误将较短边当作斜边 c。 ② 开平方运算时，保留正负解；忽略线段长度只能取正数。 ③ 使用逆定理时，跳过“寻找最长边”这一步，随意配对边长进行平方运算。 ④ 混淆定理与逆定理：已知是直角三角形，不去求边长，反而验证三边关系；已知三边长，直接套用勾股定理求边长，不判定直角。 ⑤ 忽略勾股数“正整数”的要求，把小数、分数当成勾股数。 ⑥ 在锐角或钝角三角形中，错误套用 a2+b2=c2。 ⑦ 无图题不进行分类讨论，漏掉某一条边作为斜边的可能性。 ⑧ 解决实际问题时，不能抽象出直角三角形，忽略隐藏的垂直条件。 ⑨ 平方、开方运算出现计算错误。 题型 考察方向 难度 题型一 用勾股定理解三角形 ★★ 题型二 勾股树（数）问题 ★★ 题型三 以直角三角形三边为边长的图形面积 ★★★ 题型四 勾股定理与网格问题 ★★★ 题型五 勾股定理与折叠问题 ★★★★ 题型六 利用勾股定理求两条线段的平方和（差） ★★★ 题型七 利用勾股定理证明线段平方关系 ★★★★ 题型八 勾股定理的证明方法 ★★★ 题型九 以弦图为背景的计算题 ★★★★ 题型十 用勾股定理构造图形解决问题 ★★★★ 题型十一 勾股定理与无理数 ★★★ 题型十二 判断三边能否构成直角三角形 ★★ 题型十三 在网格中判断直角三角形 ★★★ 题型十四 利用勾股定理的逆定理求解 ★★★ 题型十五 勾股定理逆定理的实际应用 ★★★ 拔高题 9题 星级说明：★★中档；★★★提升；★★★★拔高 题型一：用勾股定理解三角形 解题思路：① 确认三角形为直角三角形。② 区分直角边与斜边。③ 将边长代入关系式 a2+b2=c2。④ 选用合适的变形公式计算未知边的平方。⑤ 取算术平方根得到边长，舍去负根。 1．已知一个直角三角形的两边长分别为12和13，则第三边长的平方是（     ） A．25 B．5 C．313 D．25或313 2．一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿、竖拿都进不去，横着比门框宽5尺，竖着比门框高3尺，沿门对角线斜拿着竿，正好进屋，你知道竹竿长有多少？若设竹竿长为x尺，根据题意可列方程为________ 3．如图，点，分别在的边，上，，垂足为点，，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 题型二：勾股树（数）问题 解题思路：① 验证三个数是否均为正整数。② 确定其中的最大数。③ 计算两条较小数的平方和，与最大数的平方作比较。④ 同时满足“正整数”和“平方相等”两个条件，才是勾股数。⑤ 一组勾股数同乘同一个正整数，所得数组仍为勾股数。 4．有一个边长为1的正方形，以它的一条边为斜边，向外作一个直角三角形，再分别以直角三角形的两条直角边为边，向外各作一个正方形，称为第一次“生长”；如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和是______． 5．有一个边长为1的正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上长出两个小正方形，其中，三个正方形的三条边围成的三角形是直角三角形，再经过1次这样的“生长”后，变成了如图1所示的图形．如果照此规律继续“生长”下去，它将变成如图2所示的“枝繁叶茂的勾股树”，请你算出“生长”了2027次后形成的图形中所有正方形的面积和是_______． 6．如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形．已知正方形A，B，C，D的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E的面积为（     ） A．40 B．45 C．47 D．50 题型三：以直角三角形三边为边长的图形面积 解题思路：① 设直角三角形三边长为 a,b,c，其中 c 为斜边。② 用 a,b,c 分别表示三个图形的面积。③ 由 a2+b2=c2，推导出三个图形的面积关系。④ 代入已知面积，完成计算或证明。 7．以直角三角形的三边为边分别向外作正方形，三个正方形的面积如图所示，则为（  ） A．6 B．4 C．2 D．8 8．如图，图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，正方形A、D、E的面积依次是7、3、12，则正方形B的面积是______． 9．如图，在中，，以，，为边向外作正方形、正方形、正方形，它们的面积分别记为，，，点N在直线上，连接，．若，则的面积为（     ） A．3 B． C．5 D．7 题型四：勾股定理与网格问题 解题思路：① 将待求线段看作网格内某直角三角形的斜边。② 数出水平、竖直方向的格长，得到两条直角边。③ 运用勾股定理求出线段长或线段长的平方。④ 如需判定直角，求出三边的平方，利用逆定理验证。 10．如图，在的正方形网格（每个小正方形的边长都是）中，标记格点（网格线的交点），，，，则下列线段中，长度为的是（   ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 11．如图，和的顶点都是网格线交点，那么________ ． 12．如图，网格中小正方形的边长均为1，点都在格点上，以点为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点，连接，则的长为（   ） A． B． C． D． 题型五：勾股定理与折叠问题 解题思路：① 根据折叠的性质，标记相等的线段与相等的角。② 设未知线段的长度为 x，用含 x 的代数式表示出直角三角形的三边。③ 在确定的直角三角形中列出勾股方程。④ 解方程求出未知量。⑤ 检验解是否符合图形的长度约束。 13．如图，在长方形中，，将此长方形沿折叠，使点与点重合，则的长度为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 14．如图，在中，，，，点D在上，将 沿直线翻折后，点的对称点恰好落在上，则线段的长为______． 15．如图，将直角三角形纸片沿折叠，使点落在延长线上的点处．若，，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C．6 D．9 题型六：利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 解题思路：① 观察两条线段，判断能否作为直角三角形的斜边。② 通过作垂线构造直角三角形。③ 分别写出两条线段的勾股平方表达式。④ 将两个表达式相加或者相减。⑤ 消去公共项，化简得到结果。 16．如图，已知在中，，分别以为直径作半圆，面积分别记为则等于_______________________． 17．如图，在中，，，于点D，E为上任意一点，则______． 18．如图，点是等腰直角斜边上一点（不与点、重合），，则等于（） A．1 B．2 C．4 D．不能确定 题型七：利用勾股定理证明线段平方关系 解题思路：① 把待证的线段作为直角三角形的斜边。② 添加垂线等辅助线，构造出包含目标线段的直角三角形。③ 对每一条目标线段写出对应的勾股关系式。④ 通过等量代换消去中间变量。⑤ 整理等式，得到需要证明的平方关系。 19．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，点E为对角线BD上任意一点，连接AE、CE． 若AB=5，BC=3，则AE2-CE2等于(    ) A．7 B．9 C．16 D．25 20．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则________________．    21．对角线互相垂直的四边形叫“垂美”四边形，已知四边形为“垂美”四边形，对角线、交于点，若，，则等于（    ） A．12 B．16 C．20 D．28 题型八：勾股定理的证明方法 解题思路：① 用两种不同的方式表示同一个组合图形的总面积。② 分别展开两个面积表达式。③ 令两个面积相等，建立等式。④ 通过去括号、合并同类项化简。⑤ 推导出关系式 a2+b2=c2。 22．如图，由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，则4 个直角三角形面积+小正方形面积=大正方形面积， 即__________+____________=_______________，化简得： ． 23．你认为以下四种图形能用来证明勾股定理的图形有______．（填序号） 24．利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示图形，通过该图形可以验证（   ） A． B． C． D． 题型九：以弦图为背景的计算题 解题思路：① 分清弦图中大正方形、小正方形、四个全等直角三角形的边长关系。② 设直角三角形的两条直角边长为 a,b。③ 用 a,b 表示各个图形的边长或面积。④ 根据已知条件列出方程或者方程组。⑤ 联立求解，得到线段长度或者面积。 25．如图是2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽，它由4个相同的直角三角形拼成，已知直角三角形的两条直角边长分别为3和4，则大正方形和小正方形的面积比是（   ） A． B． C． D． 26．如图，是4个全等的直角三角形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积是81，小正方形的面积是25，若用表示直角三角形的两条直角边，请观察图案，求______． 27．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上“生长”出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图所示的形状图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”．则“生长”了3次后形成的图形中所有正方形的面积和是（     ） A．5 B．4 C．3 D．2 题型十：用勾股定理构造图形解决问题 解题思路：① 根据题意作垂线，构造直角三角形。② 标注出所有可确定的线段长度。③ 找出图中存在的等量关系。④ 建立含有未知量的勾股方程。⑤ 求解方程，并验证结果的实际意义。 28．如图，要在门上方的墙上点处装一个由传感器控制的灯，点离地面，任何东西只要移至该灯及内范围，灯就自动发光．已知小军身高，若他走到处灯刚好发光，则他离墙的水平距离是（   ） A． B． C． D．2m 29．如图，以的三边为直径，分别向外作半圆，构成的两个月牙形面积分别为、，的面积，若，，则的值为______． 30．公园里一根长方体石柱如图所示，若一只蚂蚁以的速度从点爬到点，最快需要多长时间（     ） A． B． C． D． 题型十一：勾股定理与无理数 解题思路：① 构造两条直角边为整数的直角三角形。② 利用勾股定理算出斜边的长度，得到无理数。③ 以原点为圆心、斜边长为半径作弧，与数轴相交。④ 注意数轴上存在左右两个交点。 31．我们知道“实数与数轴上的点是一一对应的”．张华同学作了如下操作：以单位长度为边长画一个正方形（如图），以数字所在点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴的正半轴交于点A，则点A表示的实数为______． 32．如图，为数轴原点，在数轴上找出表示的点，过点作直线垂直于；在上取点，使；以原点为圆心，长为半径作弧，弧与数轴负半轴相交于点，则点表示的实数是__________． 33．如图，在数轴上，点A、B表示的数分别为0、2，于点B，且．连接，在上截取，以点A为圆心，的长为半径画弧，交线段于点E，则点E表示的实数是（     ） A． B．1 C． D． 题型十二：判断三边能否构成直角三角形 解题思路：① 将三边长从小到大排序，确定最长边。② 计算两条较短边长的平方和。③ 计算最长边长的平方。④ 比较两个数值；若相等，则为直角三角形；若不等，则不是。 34．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（     ） A．2，3，4 B．3，3，6 C．6，8，10 D．5，7，9 35．如图，在中，是的中线．若，，，则______． 36．已知中，，，分别是，，的对边，则下列条件中不能判断是直角三角形的是（     ） A． B． C． D． 题型十三：在网格中判断直角三角形 解题思路：① 借助网格，求出三角形三边长度的平方。② 将三边的平方从小到大排序。③ 验证两个较小平方的和是否等于最大的平方。④ 若相等，则该三角形为直角三角形。 37．如图，在正方形网格中有两条直线与，则的度数为__________． 38．如图是的网格，每个小正方形的边长为1，A、B、C、D是小正方形的顶点，则的值为_______． 39．如图，在的正方形网格中，点，，，，均在格点（小正方形的顶点）上，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 题型十四：利用勾股定理的逆定理求解 解题思路：① 根据题干条件，用含参数的式子表示三角形的三边长。② 确定三边中的最长边。③ 令两条较短边的平方和等于最长边的平方。④ 建立方程，求出参数的值。⑤ 将参数代回，验证三边可以构成三角形。 40．在中，的对边分别是a，b，c，且 则（   ） A． B． C． D．不是直角三角形 41．如图，的三边分别为，将沿折叠，使落在上，折痕的长为___________． 42．如图，三个正方形的面积分别为，，，则分别以它们的一边为边围成的三角形中，的度数是（     ） A． B． C． D． 题型十五：勾股定理逆定理的实际应用 解题思路：① 将实际场景抽象为三角形几何模型。② 提取三条边的长度。③ 确定最长边。④ 验证较短两边的平方和是否等于最长边的平方。⑤ 根据判定结论，回答实际问题。 43．如图，某港口位于南北方向的海岸线上．甲，乙两舰艇同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲舰艇每小时航行16海里，乙舰艇每小时航行12海里．它们离开港口1.5小时后分别位于点P，Q处，且相距30海里．已知甲舰艇沿北偏东方向航行，则乙舰艇的航行方向是_______________． 44．一辆汽车从点出发沿正东方向行驶到达点，然后转向行驶到达点，最后从点沿方向直接回到出发点．如果汽车从出发到返回共行驶了，那么的方向是（   ） A．正东或正西 B．正南 C．正北 D．正南或正北 45．如图，有一四边形空地，，，，，，则四边形的面积为__________． 解答题 1．图1、图2、图3均为网格，每个小正方形的边长为1．请在三幅图中各画出一个顶点均在格点上的直角三角形，且满足对应边长要求． (1)在图1中，画出的直角三角形三边长，仅有一条边长是无理数，另外两条边长均是有理数； (2)在图2中，画出的直角三角形三边长，仅有两条边长是无理数，另外一条边长是有理数； (3)在图3中，画出的直角三角形三边长都是无理数． 2．第14届数学教育大会会标如图1所示，会标中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形． (1)请用图2验证勾股定理：； (2)如果满足等式的是三个正整数，我们称为勾股数．已知是正整数且．证明是勾股数； (3)我校社团计划在学校菜园上种青菜，使之构成如图2所示的“弦图”，已知这四个直角三角形的三边是勾股数，最短的边长为12米，种青菜要求：仅在三角形边上种青菜，每个三角形顶点处都种1棵青菜，各边上相邻两棵青菜之间的距离均为1米，那么这块菜园最少需要种植___________棵青菜．（直接写出结果，不必说明理由）． 3．如图，是的边上的高．分别以线段，，，为边向外作正方形，正方形的面积分别为，，，．请写出关于，，，的等式． 4．如图，一张三角形纸片，，，．将纸片沿直线折叠，使点与重合，求的长． 5．如图，在中，． (1)求证：； (2)当，，时，求的值． 6．“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形赵爽为中国古代以形证数形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范． (1)如图1，某同学制作了一个“赵爽弦图”纸板，设．可以验证出：．若大正方形的边长为，小正方形的边长为，求． (2)如图2，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点、，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ (3)已知在中，，求的面积． 7．按要求解答下列各题： (1)问题再现：数学探究课时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题．如，“求代数式的最小值”，小明同学发现可看作两直角边分别为和2的直角三角形斜边长，可看作是两直角边分别为和3的直角三角形的斜边长．于是构造出如图所示，将问题转化为求线段的长．求的最小值 (2)类比迁移：已知，均为正数，且，求的最小值 8．我们知道，实数和数轴上的点是一一对应的，因此，实数都可以在数轴上找到相应的位置． (1)如图①，一个直角三角形的直角边落在数轴上，点与数轴原点重合，，，，以为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的实数是 ； (2)在图②中，作出实数所在的位置．（保留必要的作图痕迹） 9．如图，一架无人机悬停在空中点处，点与地面上点之间的距离米，点与地面上点（点，处于同一水平面上）的距离米，且米． (1)求的度数； (2)现这架无人机沿所在直线向下飞行至点处，连接，当点恰好在边的垂直平分线上时，求这架无人机向下飞行的距离的长． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $