专题10直角三角形全等的判定精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年浙教版八年级数学上册

本讲义聚焦直角三角形全等判定，在一般三角形SSS、SAS、ASA、AAS判定基础上，重点学习直角三角形独有的HL定理，明确HL与SSA的区别，规范书写格式，结合全等性质推导线段角度关系，证明角平分线判定定理，构建完整知识支架。 资料通过重点辨析（如HL与SAS的区分）和常见误区分析培养推理能力，设计旋转、垂线等模型题型发展几何直观，课中助力教师突破难点，课后以分层题型（基础到压轴）辅助学生查漏补缺，提升应用意识。

专题10直角三角形全等的判定精讲学案 核心立意 在一般三角形全等的基础上，学习直角三角形独有的 HL 判定定理。区分 HL 与不能判定全等的 SSA；规范 HL 的书写格式；灵活选用五种方法证明直角三角形全等；利用全等推导线段、角度关系；借助 HL 证明角平分线的判定定理；主动挖掘图形中的隐含条件，养成严谨的几何推理习惯。 斜边、直角边定理（HL） ① 定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简记作 HL。HL 仅适用于直角三角形。 ② 几何语言： 在 RtABC 和 Rt A'B'C' 中， RtABCRtA'B'C'(HL)。 ③ 原理：根据勾股定理，斜边和一条直角边相等，可推出另一条直角边相等。因此 HL 可以看作 SSS 的一种特例。 直角三角形的五种全等判定方法 ① 一般三角形的判定方法全部可用：SSS、SAS、ASA、AAS。 ② 直角三角形独有的判定方法：HL。 ③ 选用策略：优先尝试 HL；若不满足 HL 的条件，再选用其余四种判定。 ④ 注意：两条直角边对应相等时，夹角是直角，应当用 SAS，不能用 HL。 全等三角形性质的应用 ① 直角三角形全等之后，遵循全等三角形的通用性质：对应边相等，对应角相等。 ② 由此可得：对应斜边相等、对应直角边相等、对应锐角相等。 ③ 推理顺序：先证全等，再利用对应关系推导线段或角相等。 角平分线的判定定理 ① 定理：在角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 ② 三个必要条件，缺一不可：   由该点向角的两边作垂线段；   两条垂线段长度相等；   该点在角的内部。 ③ 证明依据：连接角的顶点与该点，利用 HL 证明一对直角三角形全等，得到角相等。 ④ 作用：可以直接判定一条射线是角平分线，不必每次证明三角形全等。 直角三角形全等的证明流程 ① 识别直角，把三角形标记为 Rt。 ② 找出已知条件；挖掘隐含条件：公共斜边、公共直角边、垂直得到的直角、对顶角相等。 ③ 从五种判定方法里选择合适的一种。 ④ 规范书写；使用 HL 时，Rt标记不能省略。 ⑤ 利用全等的性质，推导出题目要证明的结论。 重点辨析 ① HL 只能用于直角三角形，不能用来证明普通三角形全等。 ② SSA 不能判定一般三角形全等；但在直角三角形中，斜边 + 一条直角边就是 HL，可以判定全等。 ③ 书写规范：必须写Rt；不能写成 ABCA'B'C'(HL}。 ④ 判定区分：   两直角边相等 → SAS   斜边与一条直角边相等 → HL ⑤ 判定与性质不能混淆：   判定：用边角条件证明两个三角形全等。   性质：已知三角形全等，推出边角相等。 ⑥ 角平分线的两个定理对比：   性质定理：角平分线 ⇒ 点到两边的距离相等。   判定定理：点到两边距离相等 ⇒ 点在角平分线上。 ⑦ “距离”指垂线段的长度。没有垂直，就没有距离，不能使用判定定理。点在角外部时，定理不成立。 ⑧ 仅三个内角对应相等，只能说明三角形形状相同，不能证明全等。 ① 在非直角三角形中使用 HL。 ② 使用 HL 证明时，漏掉 Rt标记。 ③ 把“两条直角边相等”当作 HL 的条件。 ④ 颠倒逻辑，试图用全等的性质去证明全等。 ⑤ 使用角平分线的判定定理时，缺少垂直条件。 ⑥ 忽略“点在角的内部”，误用判定定理。 ⑦ 混淆角平分线的性质定理和判定定理的因果关系。 ⑧ 认为三个角对应相等可以证明全等。 ⑨ 忽略公共边、垂直等隐含条件，导致条件不足。 题型 考察方向 难度 题型一 用 HL 证全等 ★★ 题型二 全等的性质和 HL 综合 ★★★ 题型三 旋转模型 ★★★ 题型四 垂线模型 ★★ 题型五 角平分线的判定定理 ★★★★ 拔高题 4题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★压轴 题型一：用 HL 证全等 解题思路：① 判定两个三角形均为直角三角形；② 找出斜边对应相等；③ 找出一组直角边对应相等；④ 依据 HL 判定两个直角三角形全等；⑤ 书写时标注 Rt，规范证明格式。 1．如图，两个直角三角形全等的是（    ） A．③④ B．①③ C．①② D．①④ 2．如图，已知，，即可证明，全等的依据是________．（用字母表示） 3．如图，已知于点，且点是的中点，连接、，添加一个条件后可直接用“”证明，则所添加的条件是__________． 4．如图，平分，E是的中点，，，，垂足分别为E，M，N．若，，则的长为（   ） A．1 B． C．2 D．3 题型二：全等的性质和 HL 综合 解题思路：① 识别直角三角形，利用 HL 证明全等；② 由全等得到对应边、对应角相等；③ 结合互余、对顶角等几何关系；④ 进行线段长度或角度的推导与计算；⑤ 验证推导逻辑的严谨性。 5．如图所示，于B，，，若，，则____，____． 6．如图，在中，，，是的角平分线，，垂足为，若，则的周长等于（    ） A． B． C．12 D．10 7．如图，，和分别平分和，过点，且与垂直，若的面积为，那么四边形的面积为______． 8．如图，在等腰中，，则的值为（     ） A． B． C． D． 题型三：旋转模型 解题思路：① 确定共顶点的相等线段；② 通过公共角的和差运算推导出一组等角；③ 条件不足时，用截取等线段或作垂线的方法构造全等；④ 证明三角形全等；⑤ 利用全等实现线段、角度的等量代换，得到结论。 9．如图，，点D在边上，，则________°． 10．如图所示，在等腰直角中，，O是斜边的中点，M为下方一点，且，，，则______． 11．如图1，若△ABC内一点P满足∠PAC＝∠PBA＝∠PCB，则点P为△ABC的布洛卡点．三角形的布洛卡点是法国数学家和数学教育家克洛尔于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意，1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡重新发现，并用他的名字命名．问题：已知在等腰直角三角形DEF中，如图2，∠EDF＝90°，若点Q为△DEF的布洛卡点，DQ＝2，则EQ+FQ＝（　　） A．6 B．4 C． D． 题型四：垂线模型 解题思路：① 标出图形中的所有直角；② 利用同角的余角相等，推导一组锐角相等；③ 条件不足时，作垂线段构造一线三垂直模型；④ 选用 ASA、AAS 或 HL 证明全等；⑤ 通过对应边等量代换，证明线段相等或线段的和差关系。 12．如图，在和中，，，点B、C、E在同一条直线上．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 13．如图，在中，，于点，于点，交于点．若，，则的长为_____． 14．如图，是边长为3的等边三角形，点Q是边上一点，于点D，点E为边延长线上一点，且满足，连接交于点F，则的长为（    ） A． B． C．1 D． 题型五：角平分线的判定定理 解题思路：① 明确目标：证明某条射线为角平分线；② 若无垂线段，过该点向角的两边作垂线段；③ 证明两条垂线段长度相等；④ 验证该点在角的内部；⑤ 依据角平分线的判定定理完成证明。 15．如图，，则________． 16．如图，在中，，点在边上，且于点，于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 17．如图，点P是内部的点，过点P分别作，，的垂线，垂足分别为点D，E，F，且，连接，，若，则的度数为_____________． 18．如图，四边形中，平分，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 解答题 1．如图，在中，于D，于E，交于点O，且． (1)求证：； (2)连接，求证：平分； (3)若，求的度数． 2．【问题发现】（1）如图1，与中，，，B、C、E三点在同一直线上，，则 ___________． 【问题提出】（2）如图2，在中，，过点作，且，求． 【问题解决】（3）如图3，四边形中，面积为12且的长为6，求的长． 3．通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)【模型呈现】如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到．进而得到______，______．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； (2)[模型应用]如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积． (3)[深入探究]如图3，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点． 4．在与中，，，． (1)如图1，A，C，D三点共线，连接，，延长交于点F，则与的数量关系为 ；位置关系为 ． (2)如图2，A，C，D不共线时，连接，交于点F，试探究，的关系． (3)如图3，在（2）条件下连接，延长线交于点G，若，试用的表达式表示． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10直角三角形全等的判定精讲学案 核心立意 在一般三角形全等的基础上，学习直角三角形独有的 HL 判定定理。区分 HL 与不能判定全等的 SSA；规范 HL 的书写格式；灵活选用五种方法证明直角三角形全等；利用全等推导线段、角度关系；借助 HL 证明角平分线的判定定理；主动挖掘图形中的隐含条件，养成严谨的几何推理习惯。 斜边、直角边定理（HL） ① 定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简记作 HL。HL 仅适用于直角三角形。 ② 几何语言： 在 RtABC 和 Rt A'B'C' 中， RtABCRtA'B'C'(HL)。 ③ 原理：根据勾股定理，斜边和一条直角边相等，可推出另一条直角边相等。因此 HL 可以看作 SSS 的一种特例。 直角三角形的五种全等判定方法 ① 一般三角形的判定方法全部可用：SSS、SAS、ASA、AAS。 ② 直角三角形独有的判定方法：HL。 ③ 选用策略：优先尝试 HL；若不满足 HL 的条件，再选用其余四种判定。 ④ 注意：两条直角边对应相等时，夹角是直角，应当用 SAS，不能用 HL。 全等三角形性质的应用 ① 直角三角形全等之后，遵循全等三角形的通用性质：对应边相等，对应角相等。 ② 由此可得：对应斜边相等、对应直角边相等、对应锐角相等。 ③ 推理顺序：先证全等，再利用对应关系推导线段或角相等。 角平分线的判定定理 ① 定理：在角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 ② 三个必要条件，缺一不可：   由该点向角的两边作垂线段；   两条垂线段长度相等；   该点在角的内部。 ③ 证明依据：连接角的顶点与该点，利用 HL 证明一对直角三角形全等，得到角相等。 ④ 作用：可以直接判定一条射线是角平分线，不必每次证明三角形全等。 直角三角形全等的证明流程 ① 识别直角，把三角形标记为 Rt。 ② 找出已知条件；挖掘隐含条件：公共斜边、公共直角边、垂直得到的直角、对顶角相等。 ③ 从五种判定方法里选择合适的一种。 ④ 规范书写；使用 HL 时，Rt标记不能省略。 ⑤ 利用全等的性质，推导出题目要证明的结论。 重点辨析 ① HL 只能用于直角三角形，不能用来证明普通三角形全等。 ② SSA 不能判定一般三角形全等；但在直角三角形中，斜边 + 一条直角边就是 HL，可以判定全等。 ③ 书写规范：必须写Rt；不能写成 ABCA'B'C'(HL}。 ④ 判定区分：   两直角边相等 → SAS   斜边与一条直角边相等 → HL ⑤ 判定与性质不能混淆：   判定：用边角条件证明两个三角形全等。   性质：已知三角形全等，推出边角相等。 ⑥ 角平分线的两个定理对比：   性质定理：角平分线 ⇒ 点到两边的距离相等。   判定定理：点到两边距离相等 ⇒ 点在角平分线上。 ⑦ “距离”指垂线段的长度。没有垂直，就没有距离，不能使用判定定理。点在角外部时，定理不成立。 ⑧ 仅三个内角对应相等，只能说明三角形形状相同，不能证明全等。 ① 在非直角三角形中使用 HL。 ② 使用 HL 证明时，漏掉 Rt标记。 ③ 把“两条直角边相等”当作 HL 的条件。 ④ 颠倒逻辑，试图用全等的性质去证明全等。 ⑤ 使用角平分线的判定定理时，缺少垂直条件。 ⑥ 忽略“点在角的内部”，误用判定定理。 ⑦ 混淆角平分线的性质定理和判定定理的因果关系。 ⑧ 认为三个角对应相等可以证明全等。 ⑨ 忽略公共边、垂直等隐含条件，导致条件不足。 题型 考察方向 难度 题型一 用 HL 证全等 ★★ 题型二 全等的性质和 HL 综合 ★★★ 题型三 旋转模型 ★★★ 题型四 垂线模型 ★★ 题型五 角平分线的判定定理 ★★★★ 拔高题 4题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★压轴 题型一：用 HL 证全等 解题思路：① 判定两个三角形均为直角三角形；② 找出斜边对应相等；③ 找出一组直角边对应相等；④ 依据 HL 判定两个直角三角形全等；⑤ 书写时标注 Rt，规范证明格式。 1．如图，两个直角三角形全等的是（    ） A．③④ B．①③ C．①② D．①④ 【答案】B 【详解】解：①和②无法确定是否有相等的锐角，无法得到全等； ①和③两个直角三角形满足“”，可证明两个三角形全等； ③和②无法确定是否有相等的锐角，无法得到全等； ①②的一条直角边等于④的斜边，无法得到全等； ③和④无法确定是否有相等的锐角，无法得到全等， 则满足题意的为选项B． 2．如图，已知，，即可证明，全等的依据是________．（用字母表示） 【答案】 【分析】利用即可证明． 【详解】解：∵， ∴和为直角三角形， 在和中， ， ∴， 则全等的依据是． 3．如图，已知于点，且点是的中点，连接、，添加一个条件后可直接用“”证明，则所添加的条件是__________． 【答案】 【分析】根据垂直的定义可得 ，由线段中点的定义可得，根据直角三角形全等的判定定理“HL”可知，已知一条直角边对应相等，需添加斜边对应相等． 【详解】 和均为直角三角形 点是的中点 若利用“”证明 已知直角边对应相等根据斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等则需添加斜边． 4．如图，平分，E是的中点，，，，垂足分别为E，M，N．若，，则的长为（   ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是证明与全等，与全等． 先证明与全等，可得，再证明与全等，可得，再根据边的关系求解即可． 【详解】解：连接，，如图， ∵平分，，． ∴， ∵E是的中点，， ∴垂直平分，即， 在与， ， ∴， ∴， 在与， ， ∴， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴． 故选：B ． 题型二：全等的性质和 HL 综合 解题思路：① 识别直角三角形，利用 HL 证明全等；② 由全等得到对应边、对应角相等；③ 结合互余、对顶角等几何关系；④ 进行线段长度或角度的推导与计算；⑤ 验证推导逻辑的严谨性。 5．如图所示，于B，，，若，，则____，____． 【答案】 2 10 【分析】本题考查了两个直角三角形全等的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．先证明，得到，即可通过线段的和差求得答案． 【详解】解：， ， ，， ， ， ，． 故答案为：2；10． 6．如图，在中，，，是的角平分线，，垂足为，若，则的周长等于（    ） A． B． C．12 D．10 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的性质，三角形全等的判定和性质． 由角平分线的性质，可得，证明，可得，等量代换，可得，即可得的周长． 【详解】解：∵是的角平分线，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴的周长等于． 故选：D． 7．如图，，和分别平分和，过点，且与垂直，若的面积为，那么四边形的面积为______． 【答案】 【分析】过作于点，，根据角平分线性质可得，，证明，，所以，，又的面积为，即，最后通过四边形的面积为即可求解． 【详解】解：如图，过作于点，则， ∵，， ∴， ∴， ∵和分别平分和， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∵的面积为， ∴， ∴四边形的面积为． 8．如图，在等腰中，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先证明为等边三角形，得出，，再证明，得出，求出，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型三：旋转模型 解题思路：① 确定共顶点的相等线段；② 通过公共角的和差运算推导出一组等角；③ 条件不足时，用截取等线段或作垂线的方法构造全等；④ 证明三角形全等；⑤ 利用全等实现线段、角度的等量代换，得到结论。 9．如图，，点D在边上，，则________°． 【答案】 【分析】先由，得到，继而解得，由等边对等角解得，最后根据三角形内角和180°解题即可． 【详解】 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 10．如图所示，在等腰直角中，，O是斜边的中点，M为下方一点，且，，，则______． 【答案】 【分析】本题考查了等腰直角三角形，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识并正确作出辅助线是解题的关键．过点作，截取，连接，，并延长交于点，交于点，连结，先证明，得出，，然后在证是等腰直角三角形，求出的长，再根据勾股定理求出的长． 【详解】解：如图，过点作，截取，连接，，并延长交于点，交于点，连结，则， 在等腰直角中，是斜边的中点， ， ， ， ∴， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 故答案为：． 11．如图1，若△ABC内一点P满足∠PAC＝∠PBA＝∠PCB，则点P为△ABC的布洛卡点．三角形的布洛卡点是法国数学家和数学教育家克洛尔于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意，1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡重新发现，并用他的名字命名．问题：已知在等腰直角三角形DEF中，如图2，∠EDF＝90°，若点Q为△DEF的布洛卡点，DQ＝2，则EQ+FQ＝（　　） A．6 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】将△QFD绕点D顺时针旋转90°得△MED，根据旋转得到△MED≌△QFD，∠MDQ＝90°，根据全等三角形的性质得到ME＝QF，MD＝QD＝2，∠MED＝∠QFD，∠MDE＝∠QDF，根据题意得到∠QFE＝∠QDF＝∠QED，推出QEDM，得到△MQE是等腰直角三角形，求得ME＝MQ＝，由勾股定理得到QE＝4，于是得到结论． 【详解】解：将△QFD绕点D顺时针旋转90°得△MED，如图： ∴△MED≌△QFD，∠MDQ＝90°， ∴ME＝QF，MD＝QD＝2，∠MED＝∠QFD，∠MDE＝∠QDF， ∴∠DQM＝45°，MQ＝， ∵点Q为△DEF的“布洛卡点”， ∴∠QFE＝∠QDF＝∠QED， ∴∠MDE＝∠QED， ∴QEDM， ∴∠DQE＝90°， ∴∠MQE＝∠DQE−∠DQM＝90°−45°＝45°， ∵∠QFD＋∠QFE＝45°，∠MED＝∠QFD， ∴∠MED＋∠QED＝∠QEM＝45°， ∴△MQE是等腰直角三角形， ∴ME＝MQ＝， 由勾股定理得：QE＝＝4， 又∵ME＝FQ＝， ∴EQ＋FQ＝4＋． 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质、平行线的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是通过旋转构造等腰直角三角形． 题型四：垂线模型 解题思路：① 标出图形中的所有直角；② 利用同角的余角相等，推导一组锐角相等；③ 条件不足时，作垂线段构造一线三垂直模型；④ 选用 ASA、AAS 或 HL 证明全等；⑤ 通过对应边等量代换，证明线段相等或线段的和差关系。 12．如图，在和中，，，点B、C、E在同一条直线上．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的常见模型-垂直模型、等腰三角形的三线合一、勾股定理等知识点，作，证得是解题关键． 【详解】解：作，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故选：B． 13．如图，在中，，于点，于点，交于点．若，，则的长为_____． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解答的关键．先根据等腰三角形的性质得到，，再根据等腰三角形的判定和三角形的内角和定理证得，，然后证明得到即可求解． 【详解】解：∵在等腰三角形中，是底边上的高线， ∴，， ∴， ∵， ∴，又， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 14．如图，是边长为3的等边三角形，点Q是边上一点，于点D，点E为边延长线上一点，且满足，连接交于点F，则的长为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．作交的延长线于点，利用全等三角形判定证出，得到，，再证出，得到，再利用线段和差即可求出的长． 【详解】解：作交的延长线于点， 是边长为3的等边三角形， ，， ， ， ，， ， 又， ， ，， 又，， ， ， ． 故选：A． 题型五：角平分线的判定定理 解题思路：① 明确目标：证明某条射线为角平分线；② 若无垂线段，过该点向角的两边作垂线段；③ 证明两条垂线段长度相等；④ 验证该点在角的内部；⑤ 依据角平分线的判定定理完成证明。 15．如图，，则________． 【答案】/30度 【分析】本题主要考查了角平分线的判定定理．根据角平分线的判定定理解答即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为： 16．如图，在中，，点在边上，且于点，于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的判定，三角形的内角和，掌握以上知识是解答本题的关键；根据角平分线的判定求得是的角平分线，然后根据三角形的内角和知识求得，然后即可求解． 【详解】解：连接，如图： ∵于点，于点，， ∴是的角平分线， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 故选：A． 17．如图，点P是内部的点，过点P分别作，，的垂线，垂足分别为点D，E，F，且，连接，，若，则的度数为_____________． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的判定与定义，三角形内角和定理，周角的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．连接，根据题意，可判定平分，平分，平分，那么，推出，接着求得，然后利用周角求出，最后利用三角形内角和定理求得． 【详解】解：连接，如图所示： 过点P分别作，，的垂线，垂足分别为点D，E，F，且， 平分，平分，平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 18．如图，四边形中，平分，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点A作于点G，作，交的延长线于点F，作，交的延长线于点H，根据角的平分线的性质定理和判定定理，三角形外角性质，平角的定义，解答即可． 本题考查了角的平分线的性质定理和判定定理，三角形外角性质，平角的定义，熟练掌握角的平分线的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：过点A作于点G，作，交的延长线于点F，作，交的延长线于点H， ∵平分， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 解答题 1．如图，在中，于D，于E，交于点O，且． (1)求证：； (2)连接，求证：平分； (3)若，求的度数． 【答案】(1)证明：∵于D，于E， ∴， ∵，， ∴； (2)证明：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵于D，于E， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴平分； (3) 【分析】（1）利用证明即可； （2）证明，即可得证； （3）根据三角形的内角和定理，进行求解即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵，， ∴， ∴， ∴. 2．【问题发现】（1）如图1，与中，，，B、C、E三点在同一直线上，，则 ___________． 【问题提出】（2）如图2，在中，，过点作，且，求． 【问题解决】（3）如图3，四边形中，面积为12且的长为6，求的长． 【答案】（1）7；（2）；（3） 【分析】（1）由，得，可证明，即得，，再根据求解； （2）过D作交延长线于E，由，，得，即得，可证明，得，，则，再由勾股定理求即可； （3）过A作于E，过B作交延长线于F，由面积为12且的长为6，得，又，，得是等腰直角三角形，即得，，根据，可得，，即有，即可证明，从而，，则，再由勾股定理求即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； 故答案为：7； （2）过D作交延长线于E，如图： ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴在中，； （3）过A作于E，过B作交延长线于F，如图： ∵面积为12且的长为6， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴在中，． 【点睛】本题考查全等三角形的判定、性质及应用，涉及等腰直角三角形、四边形、勾股定理等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形（K型全等）． 3．通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)【模型呈现】如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到．进而得到______，______．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； (2)[模型应用]如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积． (3)[深入探究]如图3，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点． 【答案】(1)， (2) (3)证明：过点D作于点M，过点E作于点N， 由（1）可知，当，，，时， ， ∴， 同理，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即点G是的中点． 【分析】（1）根据全等三角形的性质得到对应边相等； （2）根据全等三角形的判定得到、，从而得到对应边相等，进而根据三角形面积公式和梯形面积公式得到、、、、，最后根据面积之间的和差关系求出图中实线所围成的图形的面积； （3）过点D作于点M，过点E作于点N，由（1）得到、，根据全等三角形的性质得到，再根据全等三角形的判定得到，最后利用全等三角形的性质得到，从而得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴，； （2）解：过点E作于点P，过点B作于点G，过点D作于点H， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 同理，， ∴，， ∴， ∴， ， ， ， ， ∴， 答：图中实线所围成的图形的面积为； （3）略 4．在与中，，，． (1)如图1，A，C，D三点共线，连接，，延长交于点F，则与的数量关系为 ；位置关系为 ． (2)如图2，A，C，D不共线时，连接，交于点F，试探究，的关系． (3)如图3，在（2）条件下连接，延长线交于点G，若，试用的表达式表示． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】（1）证明，推出，，再利用三角形内角和定理求得，即可得到，； （2）同（1）证明，即可得到，； （3）①过点A作和的垂线，垂足分别为M和N，证明是的角平分线，再利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）解：设与交于点H， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故，； （3）解：过点A作和的垂线，垂足分别为M和N， 由（2）知，， ∴， ∴， ∴， ∴是的角平分线， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $