立体几何内部结构问题探究专题训练-2026届高三数学一轮复习

立体几何内部结构问题探究 2025年新的课程标准草案把柱，锥，台，球及简单组合体的特征结构这一知识点从认识提升到掌握，这在2023年新高考Ⅰ12题中已经初现端倪，研究几何体的内部结构已经不局限于内切，外接球这一单一几何体，希望这个学案能给各位同学对于几何题的内部结构研究方法以启发！ 题型一：几何体的内切外接 例1（2023·新高考Ⅰ卷高考真题第12题）（多选）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（    ） A．直径为的球体 B．所有棱长均为的四面体 C．底面直径为，高为的圆柱体 D．底面直径为，高为的圆柱体 变式1-1（2024·全国·模拟预测）某礼品生产厂准备给如图所示的八面体形玻璃制品设计一个球形包装盒．已知该八面体可以看成由一个棱长为的大正四面体截去四个全等的棱长均为的小正四面体得到的，且小正四面体的其中一个顶点为大正四面体的顶点，则该球形包装盒的半径的最小值为 ．（不考虑包装盒的质量、厚度等） 变式1-2（2024·江苏宿迁·一模）在一个轴截面为正三角形的圆锥内放入一个与侧面及底面都相切的实心球后，再在该圆锥内的空隙处放入个小球，这些小球与实心球、圆锥的侧面以及底面都相切，则的最大值为 （取）    变式1-3（河北省衡水中学2024届高三下学期押题）如图，已知正四面体的棱长为分别为棱的中点.若该正四面体有一内接圆锥，其中为圆锥的顶点，底面圆心在线段上，则该圆锥体积的最大值为 . 变式1-4（2025浙江强基联盟三模）圆台内有一个球，与圆台的上下底面及所有母线均相切，则圆台与球的体积比的取值范围为 . 变式1-5（2025江苏省苏北七市第三次调研）某封闭的圆锥容器的轴截面为等边三角形，高为6．一个半径为1的小球在该容器内自由运动，则小球能接触到的圆锥容器内壁的最大面积为 ． 题型二：导数在几个体最值问题中的应用 例2.（2024·辽宁·模拟预测）某零食生产厂家准备用长为，宽为4cm的长方形纸板剪去阴影部分（如图，阴影部分是全等四边形），再将剩余部分折成一个底面为长方形的四棱锥形状的包装盒，则该包装盒容积的最大值为 .    变式2-1（山东省济南市山东省实验中学2024届高三高考定心卷）（多选）如图，将一块边长为4m的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，下列说法正确的是（    ） A．当时，正四棱锥的侧面积为 B．当时，正四棱锥的体积为 C．当时，正四棱锥外接球的体积为 D．正四棱锥的体积最大值为 变式2-2（2024·湖南长沙·一模）已知正四棱锥的顶点均在球的表面上.若正四棱锥的体积为1，则球体积的最小值为 . 变式2-3（湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高三下学期保温卷一）已知正三角形ABC的边长为2，中心为O，将绕点O逆时针旋转角，然后沿垂直于平面ABC的方向向上平移至，使得两三角形所在平面的距离为，连接，，，，，，得到八面体，则该八面体体积的取值范围为 ． 题型三：动态问题探索 例3.（吉林省东北师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期第三次摸底考试）点M、N为正四面体的内切球球面上的两个动点，T为棱上的一动点，则当取最大值时，（    ） A．1 B． C． D． 变式3-1（江苏南京外国语2024年2月开学考试）如图，正四面体的棱与平面平行，且正四面体内的所有点在平面内的射影构成图形面积的最小值是，则该正四面体的棱长为（    ）    A． B． C． D． 变式3-2（河北石家庄第二中学2024届高三一模）已知三棱锥顶点均在一个半径为5的球面上，，P到底面ABC的距离为5，则的最小值为 ． 变式3-3（贵州省安顺市第六次检测考试）已知正方体的棱长为3，则以A为球心，为半径的球面与该正方体表面交线的长度之和为 ． 变式3-3（2025青岛，淄博二模）已知三棱锥的体积为，，，，与的周长均为10，则 ． 题型四：几何体内部线面问题 例4.（安徽省合肥市第一中学2025届高三上学期阶段性诊断检测）（多选）如图所示，两个正方形 , 的边长为，两个动点分别在正方形对角线和上,中点为且,. 则 （     ）    A．运动过程中，不存在 B．若平面平面,,则平面 平面 C．当在线段上运动时（不包括端点），二面角可以为直二面角 D．当在线段上运动时（不包括端点），四面体的外接球表面积的最小值为 变式4-1（2025江西省赣州市二模）（多选）如图，透明长方体容器内灌入了一些水，边BC固定在地面．若改变容器的倾斜度（水不溢出），则（    ） A．水的体积不变 B．水的部分呈棱柱状 C．水面四边形EFGH的面积不变 D．当E在棱上时，是定值 变式4-2（2025福建省厦门市第四次质量测试）（多选）如图，一个漏斗的上面部分可视为长方体，下面部分可视为正四棱锥，为正方形的中心，两部分的高都是该正方形边长的一半，则（    ） A． B．平面 C．平面平面 D．与为相交直线 变式4-3（湖北武汉华师一2024届高三五月适应性考试）已知矩形中，以所在直线为旋转轴，将矩形旋转一周形成的面所围成的几何体的体积为 ． 变式4-4（湖南长沙雅礼中学2024届高三一模）（多选）如图所示，有一个棱长为4的正四面体容器，是的中点，是上的动点，则下列说法正确的是（    ）    A．直线与所成的角为 B．的周长最小值为 C．如果在这个容器中放入1个小球（全部进入），则小球半径的最大值为 D．如果在这个容器中放入4个完全相同的小球（全部进入），则小球半径的最大值为 第 1 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 立体几何内部结构问题探究 2025年新的课程标准草案把柱，锥，台，球及简单组合体的特征结构这一知识点从认识提升到掌握，这在2023年新高考Ⅰ12题中已经初现端倪，研究几何体的内部结构已经不局限于内切，外接球这一单一几何体，希望这个学案能给各位同学对于几何题的内部结构研究方法以启发！ 题型一：几何体的内切外接 例1（2023·新高考Ⅰ卷高考真题第12题）（多选）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（    ） A．直径为的球体 B．所有棱长均为的四面体 C．底面直径为，高为的圆柱体 D．底面直径为，高为的圆柱体 【答案】ABD 【详解】对于选项A：因为，即球体的直径小于正方体的棱长，所以能够被整体放入正方体内，故A正确； 对于选项B：因为正方体的面对角线长为，且，所以能够被整体放入正方体内，故B正确；对于选项C：因为正方体的体对角线长为，且，所以不能够被整体放入正方体内，故C不正确； 对于选项D：因为，可知底面正方形不能包含圆柱的底面圆，如图，过的中点作，设，可知，则，即，解得，且，即， 故以为轴可能对称放置底面直径为圆柱，若底面直径为的圆柱与正方体的上下底面均相切，设圆柱的底面圆心，与正方体的下底面的切点为，可知：，则，即，解得， 根据对称性可知圆柱的高为， 所以能够被整体放入正方体内，故D正确； 变式1-1（2024·全国·模拟预测）某礼品生产厂准备给如图所示的八面体形玻璃制品设计一个球形包装盒．已知该八面体可以看成由一个棱长为的大正四面体截去四个全等的棱长均为的小正四面体得到的，且小正四面体的其中一个顶点为大正四面体的顶点，则该球形包装盒的半径的最小值为 ．（不考虑包装盒的质量、厚度等） 【答案】 【详解】如图，已知正四面体的棱长为，在正四面体中截去一个小正四面体，且正四面体的棱长为，取的中点，连接，过点作平面于点，则在上，且平面，设与平面的交点为，连接，则为等边三角形的中心．易知球形包装盒的半径的最小值即该八面体外接球的半径，由对称性可知，这个八面体的外接球的球心与正四面体的外接球的球心重合，且正四面体的外接球球心在线段上． 设正四面体的外接球的球心为，半径为，连接，则，因为正四面体的棱长为，故，由勾股定理得．在中，，即，解得，则正四面体的外接球半径为3．因为截去的小正四面体的棱长为，所以，，所以．连接，在中，，所以，所以球形包装盒的半径的最小值为． 变式1-2（2024·江苏宿迁·一模）在一个轴截面为正三角形的圆锥内放入一个与侧面及底面都相切的实心球后，再在该圆锥内的空隙处放入个小球，这些小球与实心球、圆锥的侧面以及底面都相切，则的最大值为 （取）    【答案】10 【详解】由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，设边长为.    设实心球半径为，由得：，，，，.设小球的半径为，同理，，，，到直线的距离为.空隙处放入个小球相邻相切，排在一起，则球心在一个半径为的圆上，如下图所示：    为相邻两球的切点，，分别为球心，设，则，， 由三角函数性质可知：，，，，又，，故小球个数最多为10个,即的最大值为. 变式1-3（河北省衡水中学2024届高三下学期押题）如图，已知正四面体的棱长为分别为棱的中点.若该正四面体有一内接圆锥，其中为圆锥的顶点，底面圆心在线段上，则该圆锥体积的最大值为 . 【答案】 【详解】如图，连接，则， ，， 设圆锥与侧面的接触点为，连接， 根据正四面体的对称性知点一定在上，且，设， 则圆锥底面圆的半径为，圆锥的高， 所以圆锥的体积为， 则，当时，单调递增； 当时，单调递减，所以. 变式1-4（2025浙江强基联盟三模）圆台内有一个球，与圆台的上下底面及所有母线均相切，则圆台与球的体积比的取值范围为 . 【答案】 【详解】设圆台轴截面如图，等腰梯形底角为，上底面半径为r，下底面半径为R，高为h，球的半径为，则圆台体积，球体积，已知，.由，得，把代入，，所以.  则. .  则 ，化简得.  令，.当，；靠近时，变得很大，趋近正无穷，所以范围是，即. 变式1-5（2025江苏省苏北七市第三次调研）某封闭的圆锥容器的轴截面为等边三角形，高为6．一个半径为1的小球在该容器内自由运动，则小球能接触到的圆锥容器内壁的最大面积为 ． 【答案】 【详解】 由轴截面为等边三角形的高为6，易得圆锥的母线长与底面圆的直径均为．小球的半径为1，在圆锥内壁侧面，小球接触到的区域展开后是一个扇环，可知扇环的半径为，，扇环所在扇形的圆心角为，所以扇环其面积为；在圆锥底面，小球接触到的区域是一个圆，其半径为其面积为．综上，圆锥内壁上小球能接触到的区域面积为． 题型二：导数在几个体最值问题中的应用 例2.（2024·辽宁·模拟预测）某零食生产厂家准备用长为，宽为4cm的长方形纸板剪去阴影部分（如图，阴影部分是全等四边形），再将剩余部分折成一个底面为长方形的四棱锥形状的包装盒，则该包装盒容积的最大值为 .    【答案】/ 【详解】如图是四棱锥形包装盒的直观图，设，连接，易知平面，设、的中点分别为、，连接、，设，，， 则，因为，所以，整理得，所以， 同理，所以，整理得，所以，所以， 因为，所以，令，，则，因为，所以当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时取得最大值，即， 所以包装盒容积的最大值为. 变式2-1（山东省济南市山东省实验中学2024届高三高考定心卷）（多选）如图，将一块边长为4m的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，下列说法正确的是（    ） A．当时，正四棱锥的侧面积为 B．当时，正四棱锥的体积为 C．当时，正四棱锥外接球的体积为 D．正四棱锥的体积最大值为 【答案】BCD【详解】用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器如图所示： 对于A：当时，即，由题意可得的边上的高为2，所以侧面面积为，故A错误； 对于B：当时，由题意可得侧面斜高，，可得，所以，故B正确； 对于C：当时，可得，，正四棱锥外接球的球心在直线上，设外接球的半径为，则，解得，所以正四棱锥外接球的体积为，故C正确； 对于D：可得，，令，则，求导得，令，则，解得，当，，，，所以，此时时取等号，故D正确. 变式2-2（2024·湖南长沙·一模）已知正四棱锥的顶点均在球的表面上.若正四棱锥的体积为1，则球体积的最小值为 . 【答案】/ 【详解】设球的半径为，正四棱锥的高、底面外接圆的半径分别为，. 如图，球心在正四棱锥内时，由，可得，即（*）.    球心在正四棱锥外时，亦能得到（*）式.又正四棱锥的体积为，则，代入（*）式可得.通过对关于的函数求导，即，易得函数在单调递减，在单调递增，则.从而，球的体积的最小值. 变式2-3（湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高三下学期保温卷一）已知正三角形ABC的边长为2，中心为O，将绕点O逆时针旋转角，然后沿垂直于平面ABC的方向向上平移至，使得两三角形所在平面的距离为，连接，，，，，，得到八面体，则该八面体体积的取值范围为 ． 【答案】 【详解】先证明一个引理：如图所示，在三棱柱中，，三棱柱的高为，则三棱锥的体积为. 引理的证明如下： ，引理得证. 事实上上述引理等价于，若三棱锥满足，，异面直线所成夹角为，且异面直线之间的距离为，则三棱锥的体积为.从而由上述引理有 ．若，则，从而的取值范围是，的取值范围是. 题型三：动态问题探索 例3.（吉林省东北师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期第三次摸底考试）点M、N为正四面体的内切球球面上的两个动点，T为棱上的一动点，则当取最大值时，（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】设正四面体的棱长为，正四面体的内切球的球心为，顶点在底面的射影为，显然在线段上，该正四面体内切球的半径为，如图，为正三角形的中心，则， ， 由三棱锥的等体积得，即，解得， ，由球的性质可知：当，与圆相切时，最大， 如图所示：， 由圆的切线长定理可知：，在中，，最大时，最小，因为，所以此时为的中点，即有，正四面体的内切球的球心为，显然也是该正四面体的外接球的球心， 所以，因此，， ，所以. 变式3-1（江苏南京外国语2024年2月开学考试）如图，正四面体的棱与平面平行，且正四面体内的所有点在平面内的射影构成图形面积的最小值是，则该正四面体的棱长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当正四面体绕着与平面平行的一条边转动时，不管怎么转动，投影图形的一边始终是的投影，长度为棱长，而发生变化的是投影的高，可知，当平面，射影面的面积最小， 此时构成的三角形底边为正四面体的棱长，设正四面体的棱长为，高是直线到的距离，    取，中点，，由正四面体可知，，且，， 又，，平面，平面，所以直线到的距离为，则射影面积为：，解得． 变式3-2（河北石家庄第二中学2024届高三一模）已知三棱锥顶点均在一个半径为5的球面上，，P到底面ABC的距离为5，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】因为，所以球心在平面的投影为的中点，连接，则，因为外接球半径，故，故，延长至点，使，则， 由勾股定理得，则点在以为圆心，为半径的圆上， 设点在上的投影为，则在以为圆心，为半径的圆上， 则， 故， 以为坐标原点，所在直线为轴，垂直的直线为轴， 建立平面直角坐标系，故， 则 ， 而当三点共线，且在线段上时，最小，最小值为， 故的最小值为， 故的最小值为. 变式3-3（贵州省安顺市第六次检测考试）已知正方体的棱长为3，则以A为球心，为半径的球面与该正方体表面交线的长度之和为 ． 【答案】 【详解】正方体的体对角线长为，面对角线长为，因为， 以为球心的球与面ABCD，面，面都没有交点，记球面与上底面交于M，N两点，则，因为为锐角， 所以，同理，所以所以，同理在面和面内轨迹长都是，所以，球面与正方体表面交线的长度之和为． 变式3-3（2025青岛，淄博二模）已知三棱锥的体积为，，，，与的周长均为10，则 ． 【答案】/ 【详解】因为，与的周长均为10，所以=6 ，=6 ，所以在以为焦点的椭球上，因为， 所以在椭球的截面圆上，设截面圆的圆心为，则， 所以三棱锥的体积为， 所以，又因为， 所以， 解得：， 由题意，设以为焦点过的椭圆的标准方程为， 设代入解得， 所以 . 题型四：几何体内部线面问题 例4.（安徽省合肥市第一中学2025届高三上学期阶段性诊断检测）（多选）如图所示，两个正方形 , 的边长为，两个动点分别在正方形对角线和上,中点为且,. 则 （     ）    A．运动过程中，不存在 B．若平面平面,,则平面 平面 C．当在线段上运动时（不包括端点），二面角可以为直二面角 D．当在线段上运动时（不包括端点），四面体的外接球表面积的最小值为 【答案】BCD 【详解】    对于A， 如图，当分别运动到的中点时，取的中点，分别连接， 因是边长为的正方形，则有因平面，故平面，因平面，故此时，即A错误；    对于B， 如图，因平面（即平面）平面， 且平面，平面，则平面， 又平面，故，因，则， 又，平面，故平面. 又则平面，因因，平面，故平面⊥平面，故B正确；    对于C，D，连结，易得四面体是一个对棱相等的四面体. 如图，当在线段上运动时（不包括端点），在点处二面角为，在点处二面角大小为. 由于四面体的这种特殊性质，使得二面角与两个正方形平面的二面角大小相等， 所以在的变化过程中，二面角可以为直二面角，故C正确；        当在线段上运动时（不包括端点），四面体的外接球半径记为. 因四面体的对棱相等，故有：(*).（下面提供证明） 设.由图 . 代入 (*)， . 则四面体的外接球表面积. 因为，所以，则D正确. 故选：BCD. [下面证明对棱相等的四面体的外接球半径公式]：      如图，四面体的三条对棱都分别相等，设过点的三条棱长分别为， 则该四面体的四个顶点可作为长方体的顶点， 设长方体中过点的三条棱长分别为，则四面体与长方体有相同的外接球， 设半径为，则，且， 则，即. 变式4-1（2025江西省赣州市二模）（多选）如图，透明长方体容器内灌入了一些水，边BC固定在地面．若改变容器的倾斜度（水不溢出），则（    ） A．水的体积不变 B．水的部分呈棱柱状 C．水面四边形EFGH的面积不变 D．当E在棱上时，是定值 【答案】ABD 【详解】A：因为水不溢出，则长方体中水的体积不变，对； B：由水面平行于地面，又边BC固定在地面，即平面， 平面平面，平面，则， 又恒为矩形，则，又都垂直于平面， 故均垂直于平面，易知水的部分呈棱柱状，对； C：由题意，旋转过程中恒为矩形，且， 而在倾斜过程中会发生变化，故面积也会发生变化，错； D：当E在棱上时，由B分析，水的体积恒定不变， 又长度不变，故也为定值，对. 变式4-2（2025福建省厦门市第四次质量测试）（多选）如图，一个漏斗的上面部分可视为长方体，下面部分可视为正四棱锥，为正方形的中心，两部分的高都是该正方形边长的一半，则（    ） A． B．平面 C．平面平面 D．与为相交直线 【答案】BCD 【详解】对于A，设正方形边长为2，由正四棱锥性质可得平面，故， 因为面，故在底面的射影为， 又不与垂直，故不与垂直，故A不正确； 对于B，由题且，故四边形是平行四边形， 所以不在平面内，平面， 所以平面，故B正确； 对于C，因为，平面，故平面， 平面即为平面，因为面，面， 所以，又因为，， 所以平面，又平面， 所以平面平面，即平面平面，故C正确； 对于D，由C可知与都在平面中且不平行，故与为相交直线，故D正确. 变式4-3（湖北武汉华师一2024届高三五月适应性考试）已知矩形中，以所在直线为旋转轴，将矩形旋转一周形成的面所围成的几何体的体积为 ． 【答案】【详解】如图，以所在直线为旋转轴，旋转一周形成两个共底面的圆锥， 旋转一周形成一个倒立的相同的几何体，将其体积记为， 这两个几何体重叠部分是以圆为底面，为顶点的两个小圆锥，其体积记为，则所求几何体体积. 变式4-4（湖南长沙雅礼中学2024届高三一模）（多选）如图所示，有一个棱长为4的正四面体容器，是的中点，是上的动点，则下列说法正确的是（    ）    A．直线与所成的角为 B．的周长最小值为 C．如果在这个容器中放入1个小球（全部进入），则小球半径的最大值为 D．如果在这个容器中放入4个完全相同的小球（全部进入），则小球半径的最大值为 【答案】ACD 【详解】A选项，连接，由于为的中点，    所以⊥，⊥，又，平面， 所以直线⊥平面，又平面，所以⊥，故A正确； B选项，把沿着展开与平面同一个平面内，连接交于点， 则的最小值即为的长，由于，，   ， ， 所以， 故，的周长最小值为，B错误； C选项，要使小球半径最大，则小球与四个面相切，是正四面体的内切球，设球心为，取的中点，连接，过点作垂直于于点，则为的中心，点在上，过点作⊥于点，因为，所以，同理，则，故，设，故，因为∽，所以，即，解得，C正确；      D选项，4个小球分两层（1个，3个）放进去，要使小球半径要最大，则4个小球外切，且小球与三个平面相切，设小球半径为，四个小球球心连线是棱长为的正四面体， 由C选项可知，其高为，由C选项可知，是正四面体的高，过点且与平面交于，与平面交于，则，，由C选项可知，正四面体内切球的半径是高的得，如图正四面体中，，，正四面体高为，解得，D正确.    第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $