7.1　空间几何体的结构特征、表面积和体积专项训练-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦空间几何体结构特征与度量计算，通过基础到综合的层级设计，强化空间观念与运算能力，渗透数学文化与实际应用。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础强化练|8道|三棱锥、圆锥等基本几何体体积表面积计算，结合祖暅原理、旋转体形成|从几何体结构特征到公式直接应用，构建“概念-公式-基础计算”逻辑链| |综合提升练|10道|圆柱与球组合、棱台表面积、体积最值、古代数学问题（天池盆测雨）|从单一几何体到组合体，从静态计算到动态最值，形成“应用拓展-综合推理-数学建模”进阶逻辑|

7.1　空间几何体的结构特征、表面积和体积 基础强化练 1.(2026河北部分名校联盟联考)在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,3PC=4BC=6PB=12AB=12,则三棱锥P-ABC的体积为 (　 　) A.　　B.1　　C.　　D. 2.(2026广东惠州期末)我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”.意思是两个同高的几何体在等高处的截面积都相等,则这两个几何体的体积相等.现有同高的三棱锥和圆锥满足祖暅原理的条件,若圆锥的侧面展开图是半径为3且圆心角为120°的扇形,由此推算三棱锥的体积为 (　 　) A.π　　B.π　　C.4π　　D.π 3.(2026陕西铜川一模)某地区乡村用来盛粮食的小容器通常被称为“升篓”.升篓呈棱台形,全木制作,上口大,下口小,制作形态为榫卯契合,完全不用一颗钉子.一个正四棱台形的升篓如图,体积为 cm3,上、下底面边长分别为20 cm,10 cm,则该正四棱台的侧面积为 (　 　) A.75 cm2　　B.225 cm2　　 C.300 cm2　　D.600 cm2 4.(2026浙江台州教学质量评估)已知一个圆锥的底面半径为,高为1,则下列对该圆锥的表述正确的是 (　 　) A.体积为3π B.表面积为2π C.两条母线的夹角的最大值为 D.过顶点的截面面积的最大值为2 5.(2026广东佛山质检二)已知圆锥的顶点为P,底面圆心为O,PA,PB,PC分别为圆锥的母线,PA⊥PB,OP=OA=1,则三棱锥P-ABC体积的最大值为 (　 　) A.　　B.　　 C.　　D. 6.(2026福建厦门二模)在△ABC中,C=90°,AB=2,BC=1,以△ABC一边BC所在直线为轴,其余两边旋转一周形成的面围成的几何体的体积为　 　.  7.(2026江苏省东海高级中学模拟)如图,四边形ABCD是直角梯形,其中AB=1,CD=2,AD⊥DC,O是AD的中点,以AD为直径的半圆O与BC相切于点P.与梯形ABCD以AD所在直线为轴旋转一周,可以分别得到一个球和一个圆台,则该圆台的体积与球的体积之比为　 　.  8.(2026安徽皖南八校联考二)如图,在几何体ABCA1B1C1中,侧棱AA1,BB1,CC1均垂直于底面ABC,已知AB=BC=AC=CC1=4,BB1=2,AA1=6,则该几何体的体积为　　 　.  综合提升练 1.(2026安徽合肥二模)已知圆柱的轴截面是周长为24的矩形,其上、下底面的圆周都在同一球面上,当圆柱的侧面积最大时,该球的体积为　 (　 　) A.36π　　B.36π　　C.72π　　D.72π 2.(2026河南五市二模)正三棱台ABC-A1B1C1中,AB=2A1B1=6,AA1与底面所成角的正切值为2,则正三棱台ABC-A1B1C1的表面积为 (　 　) A.　　B. C.　　D. 3.(2026河北部分高中一模)已知某圆锥与圆柱的底面半径均为r,高分别为h1,h2,且该圆锥与圆柱的表面积相等,若h1+h2=4r,则圆锥的体积V1与圆柱的体积V2的大小关系为 (　 　) A.V1>V2　　B.V1=V2　　C.V1<V2　　D.不确定 4.(2026黑龙江哈尔滨二模)我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水,天池盆盆口直径为二尺四寸(24寸),盆底直径为一尺二寸(12寸),盆深一尺八寸(18寸),若盆中积水深9寸,则平地降雨量是(注:①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②一尺等于10寸;③古代计算降雨量时数据采用去尾法:不满整寸的部分忽略不计) (　 　) A.2寸　　B.3寸　　C.4寸　　D.5寸 5.(2026江苏省天一中学适应性训练)如图,两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成一个多面体,其中一个四棱柱的侧棱与另一个四棱柱的侧棱垂直,两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点(如C,D),另外两条相对的侧棱交于一点(如O).已知正四棱柱底面边长为,侧棱长为3,则该多面体的体积为 (　 　) A.　　B.　　C.　　D. 6.(2026浙江湖州期末)已知圆台有半径为1的内切球,设上、下底面的面积分别是S1,S2,则4S1+S2取到最小值时,圆台的体积是 (　 　) A.　　B.　　C.　　D. 7.(2026湖南邵阳联考二)在正四棱锥P-ABCD中,E是棱PA的中点,平面EBC将该正四棱锥分割成两部分,则体积较小部分与体积较大部分的体积之比为 (　 　) A.1∶2　　B.3∶5　　C.4∶7　　D.3∶4 8.(2026湖北天门中学等校联考)在三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=B1C=,AB=2,∠BAC=45°,点B1在平面ABC内的射影为点C,若点D在平面ABB1A1上运动,则线段CD长度的最小值为 (　 　) A.　　B.　　C.1　　D. 9.(2026广东江门一模)正三棱柱ABC-A1B1C1的棱长均为2,M,N分别是棱BB1,B1C1的中点,过点A,M,N的平面分别交直线BC,CC1于点D,E,则三棱柱ABC-A1B1C1与三棱锥E-ACD公共部分的体积为　 　.  10.(2026北京十一学校月考)将3个边长为4的正方形沿邻边的中点剪开分成两部分(如图1);将这六个部分接于一个边长为2的正六边形边上(如图2),若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图,则该多面体以ABCDEF为底时的高是　 　,该多面体的体积是　 　.  　　 参考答案 基础强化练 1.(2026河北部分名校联盟联考)在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,3PC=4BC=6PB=12AB=12,则三棱锥P-ABC的体积为 (　D　) A.　　B.1　　C.　　D. 2.(2026广东惠州期末)我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”.意思是两个同高的几何体在等高处的截面积都相等,则这两个几何体的体积相等.现有同高的三棱锥和圆锥满足祖暅原理的条件,若圆锥的侧面展开图是半径为3且圆心角为120°的扇形,由此推算三棱锥的体积为 (　A　) A.π　　B.π　　C.4π　　D.π 3.(2026陕西铜川一模)某地区乡村用来盛粮食的小容器通常被称为“升篓”.升篓呈棱台形,全木制作,上口大,下口小,制作形态为榫卯契合,完全不用一颗钉子.一个正四棱台形的升篓如图,体积为 cm3,上、下底面边长分别为20 cm,10 cm,则该正四棱台的侧面积为 (　D　) A.75 cm2　　B.225 cm2　　 C.300 cm2　　D.600 cm2 4.(2026浙江台州教学质量评估)已知一个圆锥的底面半径为,高为1,则下列对该圆锥的表述正确的是 (　D　) A.体积为3π B.表面积为2π C.两条母线的夹角的最大值为 D.过顶点的截面面积的最大值为2 5.(2026广东佛山质检二)已知圆锥的顶点为P,底面圆心为O,PA,PB,PC分别为圆锥的母线,PA⊥PB,OP=OA=1,则三棱锥P-ABC体积的最大值为 (　B　) A.　　B.　　 C.　　D. 6.(2026福建厦门二模)在△ABC中,C=90°,AB=2,BC=1,以△ABC一边BC所在直线为轴,其余两边旋转一周形成的面围成的几何体的体积为　π　.  7.(2026江苏省东海高级中学模拟)如图,四边形ABCD是直角梯形,其中AB=1,CD=2,AD⊥DC,O是AD的中点,以AD为直径的半圆O与BC相切于点P.与梯形ABCD以AD所在直线为轴旋转一周,可以分别得到一个球和一个圆台,则该圆台的体积与球的体积之比为　7∶4　.  8.(2026安徽皖南八校联考二)如图,在几何体ABCA1B1C1中,侧棱AA1,BB1,CC1均垂直于底面ABC,已知AB=BC=AC=CC1=4,BB1=2,AA1=6,则该几何体的体积为　16　.  综合提升练 1.(2026安徽合肥二模)已知圆柱的轴截面是周长为24的矩形,其上、下底面的圆周都在同一球面上,当圆柱的侧面积最大时,该球的体积为　 (　C　) A.36π　　B.36π　　C.72π　　D.72π 2.(2026河南五市二模)正三棱台ABC-A1B1C1中,AB=2A1B1=6,AA1与底面所成角的正切值为2,则正三棱台ABC-A1B1C1的表面积为 (　D　) A.　　B. C.　　D. 3.(2026河北部分高中一模)已知某圆锥与圆柱的底面半径均为r,高分别为h1,h2,且该圆锥与圆柱的表面积相等,若h1+h2=4r,则圆锥的体积V1与圆柱的体积V2的大小关系为 (　C　) A.V1>V2　　B.V1=V2　　C.V1<V2　　D.不确定 4.(2026黑龙江哈尔滨二模)我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水,天池盆盆口直径为二尺四寸(24寸),盆底直径为一尺二寸(12寸),盆深一尺八寸(18寸),若盆中积水深9寸,则平地降雨量是(注:①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②一尺等于10寸;③古代计算降雨量时数据采用去尾法:不满整寸的部分忽略不计) (　B　) A.2寸　　B.3寸　　C.4寸　　D.5寸 5.(2026江苏省天一中学适应性训练)如图,两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成一个多面体,其中一个四棱柱的侧棱与另一个四棱柱的侧棱垂直,两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点(如C,D),另外两条相对的侧棱交于一点(如O).已知正四棱柱底面边长为,侧棱长为3,则该多面体的体积为 (　D　) A.　　B.　　C.　　D. 6.(2026浙江湖州期末)已知圆台有半径为1的内切球,设上、下底面的面积分别是S1,S2,则4S1+S2取到最小值时,圆台的体积是 (　B　) A.　　B.　　C.　　D. 7.(2026湖南邵阳联考二)在正四棱锥P-ABCD中,E是棱PA的中点,平面EBC将该正四棱锥分割成两部分,则体积较小部分与体积较大部分的体积之比为 (　B　) A.1∶2　　B.3∶5　　C.4∶7　　D.3∶4 8.(2026湖北天门中学等校联考)在三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=B1C=,AB=2,∠BAC=45°,点B1在平面ABC内的射影为点C,若点D在平面ABB1A1上运动,则线段CD长度的最小值为 (　B　) A.　　B.　　C.1　　D. 9.(2026广东江门一模)正三棱柱ABC-A1B1C1的棱长均为2,M,N分别是棱BB1,B1C1的中点,过点A,M,N的平面分别交直线BC,CC1于点D,E,则三棱柱ABC-A1B1C1与三棱锥E-ACD公共部分的体积为 　.  10.(2026北京十一学校月考)将3个边长为4的正方形沿邻边的中点剪开分成两部分(如图1);将这六个部分接于一个边长为2的正六边形边上(如图2),若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图,则该多面体以ABCDEF为底时的高是　2　,该多面体的体积是　32　.  　　 1 学科网（北京）股份有限公司 $