第25章《一元二次方程》单元提升卷（2） 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 人教版九年级数学上册第25章《一元二次方程》单元提升卷，以基础巩固、能力提升、创新应用为梯度，融合社会热点（如生物多样性大会）与文化传承（杨辉数学问题）情境，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|定义、根与系数关系等|第6题企业利润增长体现模型意识| |填空题|5/15|古代数学问题、等腰三角形根等|第11题杨辉矩形面积问题传承文化| |解答题|8/75|四种解法、换元法、理想方程等|第19题换元法培养推理能力，第22题干果销售问题强化应用意识|

2026-2027学年人教版九年级数学上册第25章《一元二次方程》单元提升卷(2) 姓名    班级    分数       1、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）. 1.下列方程一定是关于的一元二次方程的是. A. B. C. D. 2.若和是 的根，则. A.  ， B.  ， C.  ， D.  ， 3.已知关于的一元二次方程的两根分别为，，则关于的方程的两根分别为. A. ， B. ， C. ， D. ， 4.关于的一元二次方程有两个实数根，，若，则的值. A. 或 B. 或 C. D. 5.关于的一元二次方程的根的情况是. A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 6.某企业年初获利润万元，到年初计划利润达到万元．设这两年的年利润平均增长率为应列方程是. A. B. C. D. 7.关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是. A. 且 B. C. 且 D. 8.生物多样性公约第十五次缔约方大会将于年月日至日在云南省昆明市举办、昆明某景观园林公司为迎接大会召开，计划在一个长为，宽为的矩形场地如图所示上修建三条同样宽的道路，使其中两条与平行、另一条与平行，其余部分种草坪，若使每一块草坪的面积为，求道路的宽度，若设道路的宽度为，则满足的方程为. A. B. C. D. 9.若，则等于. A. B. 或 C. D. 以上都不对 10.对于一元二次方程，下列说法：若，则；若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；若是方程的一个根，则一定有成立；若是一元二次方程的根，则，其中正确的. A. 只有 B. 只有 C. D. 只有 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）. 11.年，我国南宋数学家杨辉在田亩比类乘除算法中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．意思是：矩形面积平方步，宽比长少步，问宽和长各几步．若设长为步，则可列方程为          ． 12.对于实数，，定义运算“”如下：若，则     ． 13.若等腰三角形的一边长是，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为      ． 14.已知，是关于的方程的两个不相等实数根，且满足，则的值为     ． 15.已知关于的一元二次方程的两个实数根一个大于，一个小于，则的取值范围是       ． 三、解答题：本题共8小题，共75分. 16.本小题分 用指定的方法解下列方程： 直接开平方法配方法 公式法 因式分解法 17.本小题分关于的一元二次方程有实数根． 求的取值范围； 如果是符合条件的最大整数，且一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时的值． 18.本小题分已知关于的一元二次方程． 若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； 当取满足中条件的最小整数时，设方程的两根为和，求代数式的值． 19.本小题分阅读材料，解答问题． 解方程：． 解：把视为一个整体，设， 则原方程化为， 解得，． 或．  ， ． 以上方法就叫做“换元法”，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程： ． 20.本小题分如图，在矩形中，厘米，厘米，点从点开始沿边向点以厘米秒的速度移动，点从点开始沿边向点以厘米秒的速度移动，如果，分别是从，同时出发，设时间为秒． 经过几秒时，的面积等于平方厘米？ 经过几秒时，的面积等于矩形面积的？ 21.本小题分定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“理想方程”． 判断一元二次方程是否为“理想方程”，说明理由； 已知是关于的“理想方程”，若是此“理想方程”的一个根，求，的值． 22.本小题分某市某商贸公司以每千克元的价格购进一种干果，计划以每千克元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量千克与每千克降价元之间满足一次函数关系，其图象如图所示： 求与之间的函数关系式； 商贸公司要想获利元，则这种干果每千克应降价多少元？ 23.本小题分阅读材料： 材料一：对于任意的非零实数和正实数，如果满足为整数，则称是的一个“整商系数”． 例如：时，，则是的一个整商系数； 时，，则也是的一个整商系数； 时，，则是的一个整商系数； 结论：一个非零实数有无数个整商系数，其中最小的一个整商系数记为，例如． 材料二：对于一元二次方程中，两根，有如下关系： ，． 应用：        ，          ； 若实数满足，求的取值范围？ 若关于的方程：的两个根分别为、，且满足，则的值为多少？ 答案和解析 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.  10.  解：若，则方程有一个根为，则；故正确； 若方程有两个不相等的实根，则：， 则：的判别式为， 方程必有两个不相等的实根；故正确； 若是方程的一个根，则， 当时，，故错误； 若是一元二次方程的根，则：， ， ；故正确； 故选B． 11.； 12.或；  13.或  解：当为腰长时，将代入，得：， 解得， 当时，原方程为， 解得，， ， 符合题意； 当为底边长时，关于的方程有两个相等的实数根， ， 解得， 当时，原方程为， 解得， ， 符合题意． 的值为或． 故答案为或． 14.  解：，是关于的方程的两个实数根， ，． ，即， ， 整理，得：， 解得，． 关于的方程的两个不相等实数根， ， 解得或， ． 故答案为． 15.  解：设一元二次方程的两个实数根为，，且，， 由题意得： ，， ，， ， ， ， ， ， ，且， ， 由题意得：且， ， 且， 综上所述，的取值范围是：， 故答案为． 16.解：方程变形得：， 开方得：或， 解得，； 方程变形得：， 配方得：， 即， 开方得：， 则，； 方程整理得：， 这里，，， ， ，， 则，； 分解因式得：， 解得，．  17.解：根据题意得， 解得； 的最大整数为， 方程变形为，解得，， 一元二次方程与方程有一个相同的根， 当时，，解得； 当时，，解得， 而， 的值为．  18.解：根据题意得且， 解得且； 取满足中条件的最小整数， 此时方程变为， ，， ，， ，， ， ．  19.(1)解：设，则原方程化为，解得，当时，， ；当时，，无实数解．原方程的解为 ， ． (2)设，则原方程化为，解得，当时，，解得，；当时，，解得综上所述，原方程的解为，，．   20.解：厘米，厘米． 根据题意，得， 整理，得， 解得，． 故经过秒或秒时，的面积等于平方厘米． 厘米，厘米， 根据题意，得， 整理，得， 解得，． 故经过秒或秒时，的面积等于矩形面积的．  21.解：(1)一元二次方程是“理想方程”理由如下： ，，，， 一元二次方程为“理想方程”； (2)是关于的“理想方程”， ． 将代入中，得， 联立解得 ，． 22.解：设一次函数解析式为：， 当，；当，； ， 解得， 与之间的函数关系式为； 由题意得：  ， 整理得：， 解得，， 让顾客得到更大的实惠， ， 答：商贸公司要想获利元，则这种干果每千克应降价元．  23.解：； ，  当时，原式化为  ，即，  当时，原式化为  解得，  故可知的取值范围为或  设方程的两个根有，  由于，故与同号．  当时，，  解得  当时，，  解得  综上  第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $