第二十五章 一元二次方程 单元测试题 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 人教版九年级上册一元二次方程单元卷，通过基础巩固、能力提升、创新应用三层设计，融合古代数学文化与现实问题，适配单元复习，全面检测知识掌握与模型应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|方程解、根的判别式、赵爽几何解法|结合古代数学文化，基础概念辨析| |填空题|5/15|方程定义、根与系数关系、短信数量问题|概念辨析与简单应用结合| |计算题|1/8|因式分解、公式法等解法|考查解法多样性| |解答题|7/67|矩形动点、利润问题、增长率问题|综合应用，体现模型意识与推理能力|

人教版九年级上册第二十五章一元二次方程单元测试题 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.是关于的一元二次方程的解，则(    ) A. B. C. D. 2.把方程的二次项系数化为，可得方程  (    ) A. B. C. D. 3.关于的一元二次方程的根的情况是(    ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 4.一元二次方程的解是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 5.设，是方程的两个实数根，则的值是(    ) A. B. C. 或 D. 或 6.若一元二次方程有实数根，则的取值范围是  (    ) A. B. C. 且 D. 且 7.若关于的方程的两个实数根互为倒数，则的值是(    ) A. B. 或 C. D. 8.已知菱形的两条对角线的长分别是一元二次方程的两根，则此菱形的面积是  (    ) A. B. C. D. 9.某机械厂七月份生产零件万个，第三季度生产零件万个，设该厂八、九月份平均每月的增长率为，那么满足的方程是     ． A. B. C. D. 10.我国古代数学家赵爽在其所著的勾股圆方图注中记载过一元二次方程正根的几何解法．以方程，即为例，记载的方法如下：构造如图所示的正方形，大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此在下面四个选项中，能正确说明方程解法的构图是  (    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.若关于的方程是一元二次方程，则的值可以是          写出一个即可 12.已知关于的方程，则           ． 13.将方程化成一元二次方程的一般形式为          ． 14.毕业前夕，班主任王老师让每一名同学为班级的其他同学发送祝福短信，全班一共发送条祝福短信，这个班级的学生总人数是          名 15.关于的一元二次方程下列说法：若，则方程一定有两个相等的实数根；若方程有两个不相等的实数根，则方程也一定有两个不相等的实数根；当时，关于的方程必有实根；若是方程的一个根，则一定有成立；若是方程的根，则其中正确的是          填序号 三、计算题：本大题共1小题，共8分。 16.用适当的方法解下列方程： ； ； ； ． 四、解答题：本题共7小题，共67分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 已知关于的方程有两个实数根． 求的取值范围 设方程的两个实数根分别为，，且，求实数的值． 18.本小题分 如图，要利用一面墙墙长为，用的围栏建羊圈，基本结构为三个大小相同的矩形． 如果围成的总面积为，求羊圈的边，的长各为多少 保持羊圈的基本结构，羊圈总面积是否可以达到请说明理由． 19.本小题分 某公司设计了一款工艺品，每件的成本是元，为了合理定价，投放市场进行试销：据市场调查，销售单价是元时，每天的销售量是件，而销售单价每提高元，每天就减少售出件，但要求销售单价不得超过元． 若销售单价为每件元，求每天的销售利润； 要使每天销售这种工艺品盈利元，那么每件工艺品售价应为多少元？ 20.本小题分 如图，在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为． 填空：           ，           用含的代数式表示； 当为何值时，的长度等于？ 是否存在的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 21.本小题分 研究旅行继承和发展了我国传统游学、“读万卷书，行万里路”的教育理念和人文精神，成为素质教育的新内容和新方式．某校八班组织学生进行“一日研学”活动，某旅行社推出了如下收费标准：如果人数不超过人，人均旅游费用为元；如果超过人，则每超过人，人均旅游费用降低元，但人均旅游费用不能低于元． 当参加人数人时，人均旅游费用________元；当参加人数人时，人均旅游费用________元； 已知该班实际人数超过人，共支付给旅行社问：共有多少名同学参加了研学活动？ 22.本小题分 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． 求的取值范围； 设，是方程的两根且，求的值． 23.本小题分 如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动． 如果，分别从，同时出发，那么几秒后，的长度等于？ 在中，的面积能否等于？请说明理由． 答案和解析 1.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 先把代入方程得，然后利用整体代入的方法计算的值． 【解答】 解：把代入方程得， 所以， 所以． 故选A． 2.【答案】  【解析】略 3.【答案】  【解析】解：， 方程有两个不相等的实数根． 故选：． 根据一元二次方程根的判别式解答即可． 本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程中，当时，方程有两个不相等的实数根是解题的关键． 4.【答案】  【解析】【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法求解即可． 【详解】解， ， 或， ，， 故选． 5.【答案】  【解析】略 6.【答案】  【解析】略 7.【答案】  【解析】略 8.【答案】  【解析】略 9.【答案】  【解析】【分析】主要考查增长率问题，一般增长后的量增长前的量增长率，如果该厂八、九月份平均每月的增长率为，那么可以用分别表示八、九月份的产量，然后根据题意可得出方程． 【详解】解：依题意得八、九月份的产量为、，． 故选：． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，增长率问题，解题的关键是掌握一般形式为，为起始时间的有关数量，为终止时间的有关数量． 10.【答案】  【解析】略 11.【答案】答案不唯一  【解析】略 12.【答案】  【解析】略 13.【答案】  【解析】略 14.【答案】  【解析】设这个班级的学生总人数是名，则每一名同学需发送条祝福短信根据题意，得解得，不符合题意，舍去．这个班级的学生总人数是名． 15.【答案】  【解析】若，则，方程一定有两个相等的实数根，故正确；方程和方程的根的判别式相同，都是，故正确；，当时，，当时，方程必有实数根，故正确；若是方程的一个根，当时，成立，当时，不一定成立，故错误；利用求根公式可得，整理得，两边同时平方可得，故正确．综上，正确． 16.【答案】【小题】 ， 【小题】 ， 【小题】 ， 【小题】 ，   【解析】 略  略  略  略 17.【答案】解：由题意得：， ． 由题意可知：，， ， ， ， 或且适合此方程， 由可知，因此舍去， ．  【解析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系以及根的判别式，本题属于基础题型． 根据根的判别式即可求出答案． 根据根与系数的关系即可求出答案． 18.【答案】设，则， ， ． 由题意知，，即， 解得，舍， ，． 答：羊圈的边长为，长为． 不能． 理由：设时，羊圈总面积可以达到， 由题意，得， 即， ，，， ， 方程无实数根， 羊圈总面积不可能达到．   【解析】见答案 19.【答案】解：元； 答：每天的销售利润为元． 设每件工艺品售价为元，则每天的销售量是件， 依题意得：， 解得，不符合题意，舍去． 答：每件工艺品的售价应为元．   【解析】本题主要考查的是一元二次方程的应用． 根据题意列出算式进行计算即可； 设每件工艺品售价为元，则每天的销售量是件，根据题意列出方程求解即可． 20.【答案】【小题】 【小题】 由题意，得，解得，故当或时，的长度等于； 【小题】 存在，能够使得五边形的面积等于理由如下：长方形的面积为，若五边形的面积等于，则的面积为，即，解得不合题意，舍去，即当时，使得五边形的面积等于．   【解析】 略  略  略 21.【答案】解：；  ； 设共有名同学参加了研学活动，  根据题意，得：，  整理，得：，  解得：，，  ，  ，  ，  答：共有名同学参加了研学活动．  【解析】【分析】 此题考查一元二次方程的应用，得到总费用的等量关系是解决本题的关键． 根据“如果人数不超过人，人均旅游费用为元；如果超过人，则每超过人，人均旅游费用降低元”可得答案．  根据题意先判断出参加的人数在人以上，设共有名同学参加了研学游活动，再根据等量关系：在人基础上降低的人数参加人数，列出方程，然后求解即可得出答案． 【解答】解：当参加人数人时，人均旅游费用元； 当参加人数人时，人均旅游费用元； 故答案为，； 见答案． 22.【答案】解：根据题意得， 解得． 故的取值范围是； 根据题意得， 解得，， ， ．  【解析】根据题意可得，再代入相应数值解不等式即可； 根据根与系数的关系可得，，根据可得关于的方程，整理后可即可解出的值． 本题主要考查了根的判别式，以及根与系数的关系，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根．以及根与系数的关系：，是一元二次方程的两根时，，． 23.【答案】设秒后，     解得：     舍去 秒后，的长度等于； 的面积不能等于，原因如下： 设秒后，    又 方程没有实数根 的面积不能等于．  【解析】根据利用勾股定理，求出即可； 由得，当的面积等于，然后利用根的判别式判断方程根的情况即可； 此题主要考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语“的面积等于”，得出等量关系是解决问题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $