第5节 指数与指数函数讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦指数与指数函数高考核心考点，按课标要求系统梳理根式性质、分数指数幂运算、指数函数概念及图象性质，通过模块一基础夯实（知识梳理、重点汇总、基础测试）与模块二考点突破（指数幂运算、函数概念、图象应用、性质应用四考点，含典例变式及思维点拨），构建从概念到应用的复习体系，助力学生突破难点。 资料以分层设计和方法指导为特色，如指数幂运算强调整体代换思想，函数性质应用突出分类讨论策略，培养学生数学思维与应用意识。设置基础测试、课后练习及拔高练习，配合即时反馈，确保高效复习，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

第5节 指数与指数函数 课标要求： 1． 理解指数幂的运算性质，掌握分数指数幂与根式的互化； 2． 通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念； 3． 能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点． 模块一：基础夯实与概念辨析 1、 知识梳理 1． 根式的概念及性质 （1） 根式的概念 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且．式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数． （2） 根式的性质 1 的任何次方根都是，记作； 2 负数的奇次方根为一个负数，正数的奇次方根为一个正数，记作； 3 负数没有偶次方根，正数的偶次方根有两个，且二者互为相反数，记作（）； 4 （，且）； 5 （为大于的奇数）； 6 （为大于的偶数）． 2． 分数指数幂 （1） 正数的正分数指数幂的意义是：（，，且）； （2） 正数的负分数指数幂的意义是：（，，且）； （3） 的正分数指数幂为，的负分数指数幂无意义． 3． 实数指数幂的运算性质 （1） （，）； （2） （，）； （3） （，，）． 4． 指数函数 （1） 指数函数的概念 一般地，函数（，且）叫做指数函数，其中指数是自变量，定义域是． （2） 指数函数的图象与性质 图象 定义域 值域 性质 过定点，即当时， 当时，； 当时， 当时，； 当时， 在定义域上是减函数 在定义域上是增函数 与的图象关于轴对称 二、重点汇总 1．常用结论 （1）指数函数（，且）的图象和性质与的取值有关，要分与来研究； （2）复合指数函数的单调性：当时，与的单调性相反；当时，与的单调性相同； （3）比较指数幂大小的常用方法： 1 同底数比较指数大小； 2 同指数比较底数大小； 3 寻找中间量（如）． 2．易错提醒 （1）忽视底数限制：指数函数要求且，解题时需注意讨论； （2）混淆指数函数与幂函数：指数函数（自变量为指数）与（自变量为底数）是两类不同的函数； （3）忽略定义域：含指数式的函数的定义域可能受分母、根号等限制． 三、基础测试 1．请判断下列说法是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”． （1）对任意实数，．（　　 ） （2）．（　　 ） （3）函数是指数函数．（　　 ） （4）若（，且），则．（　　 ） （5）函数（，且）的图象过定点．（　　 ） （6）函数的值域为．（　　 ） 2．设，则下列运算中正确的是（　　） A． B． C． D． 3．在，，，中，最大的数是_________． 4．已知（），则_________，_________． 5．函数的定义域为_________． 6．比较大小：_________（填“”或“”）． 模块二：考点突破与题型演练 考点一 指数幂的运算 【考法分析】重点考查指数幂的化简求值，主要涉及分数指数幂与根式的互化、指数幂运算性质的灵活运用． 【典例1】（1）化简：_________． （2）已知，则_________． 【变式1】（1）计算：_________． （2）已知，则_________． 【思维点拨】（1）化简指数幂的运算首先是将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，遇到除法可以通过改变指数的正负统一为相乘的形式； （2）运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又有负指数； （3）遇到含指数的代数式求值，常利用整体代换思想，将已知条件变形后代入． 考点二 指数函数的概念 【考法分析】重点考查指数函数的定义，函数求值、定义域和值域，能够区分指数函数和幂函数． 【典例2】（1）若是指数函数，则有（　　） A． B． C．或 D．且 （2）函数的定义域是_________． 【变式2】（1）已知指数函数的图象经过点，则（　　） A． B． C． D． （2）定义一种运算，则函数的值域为（　　） A． B． C． D． 【思维点拨】（1）在指数函数的定义中，系数为，底数且是根据指数函数求参的主要依据； （2）在求含指数型函数的函数定义域时，主要是利用指数函数的单调性求范围； （3）求指数型函数的值域，核心还是依据指数函数的单调性，关键在于先求出函数的定义域． 考点三 指数函数的图象及应用 【考法分析】重点考查指数型函数的形状，指数函数过定点问题；是一个常考的考点． 【典例3】（1）函数（且）的图象过定点（　　） A． B． C． D． （2）函数（且）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【变式3】（1）函数（且）的图象恒过定点，若点坐标满足方程，且，，则的最小值为（　　） A． B． C． D． （2）函数的图象如图所示，其中为常数，则下列结论正确的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【思维点拨】（1）解决指数（型）函数恒过定点的问题关键在于令指数部分为零，求出相应自变量后再代入解析式，求出恒过的定点； （2）对于指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数入手，通过平移、伸缩、对称变换得到，注意需要讨论和两种情况，如果对无要求且不强调指数函数时，需要考虑的情况． 考点四 指数函数的性质及应用 【考法分析】重点考查指数函数单调性涉及的题型，如比较大小、解不等式等． 【典例4】（1）函数的单调递减区间是（　　） A． B． C． D． （2）已知，，，则（　　） A． B． C． D． （3）已知函数，若，则实数的取值范围是_________． （4）若函数（且）在区间上的最大值是，则实数的值是（　　 ） A． B． C．或 D．或 【变式4】（1）已知且，若在上单调递增，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． （2）若，则（　　） A． B． C． D． （3）设函数，则满足的实数的取值范围是_________． （4）已知函数的最大值为，则实数的值为（　　） A． B． C． D．或 【思维点拨】（1）指数函数在定义域内单调的性质使得指数型复合函数的单调性与子函数的单调性高度相关，在底数不确定时，需要分和两类进行讨论； （2）比较指数幂的方法：能化为同底数指数幂就化为同底数指数幂，利用单调性进行比较；不能化为同底数的可以寻找中间值（如：）进行比较；如果指数相同，可以利用幂函数的单调性进行比较； （3）解指数方程（不等式）主要利用指数函数的单调性，把函数关系转化为自变量之间的关系进行求解； （4）利用指数函数的单调性，可以把型函数的最值转化为的最值问题． 课后练习 1、 单选题 1． 化简的结果是（　　） A． B． C． D． 2． 若，则函数（）的图象必定不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3． 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4． 函数（），则的最大值与最小值之差为（　　） A． B． C． D． 5． 已知函数，若对恒成立，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6． 设为正数，且，则（　　） A． B． C． D． 7． 已知函数，则关于的不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 8． 为实现国家“十四五”污水处理目标要求：城市污水处理率．某市污水处理厂升级了过滤系统，已知过滤过程中，污水中的剩余污染物数量（）与时间（）的关系为，其中为初始污染物数量，为常数．若某次过滤过程中，前小时过滤掉了污染物的，则前小时共能过滤掉污染物的（　　） A． B． C． D． 2、 多选题 9． 下列结论中正确的是（　　） A．当时， B．（，，为偶数） C．函数的定义域是 D．若，，则 10． 已知正数满足，则的大小关系可能是（　　） A． B． C． D． 11． 已知函数，则下列说法正确的是（　　） A．若是偶函数，则 B．若是奇函数，则 C．若，则的取值范围是 D．的最小值为 3、 填空题 12． 化简：_________．（，） 13． 已知函数是指数函数，则函数（）的图象过定点_________． 14． 已知函数满足，当时，，则不等式的解集为_________． 4、 解答题 15． 化简与计算： （1） ； （2） ； （3） 已知，求的值． 16． 已知（且）． （1） 求函数的定义域、值域； （2） 讨论函数的单调性． 17． 已知函数，的定义域都是，且是奇函数，是偶函数，． （1） 求函数，的解析式； （2） 求不等式的解集． 18． 已知函数，其中． （1） 讨论函数的奇偶性； （2） 当时，若存在，使得成立，求实数的取值范围． 19． 已知函数为定义在上的偶函数，其中． （1） 求实数的值； （2） 设，若任意的，总存在，使得，求实数的取值范围． 拔高练习 1． 已知正数满足，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 2． 已知，若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3． 已知实数满足，，则的大小关系是（　　） A． B． C． D．无法确定 4． 已知，，则（　　） A． B． C． D．，但与的大小关系无法确定 5． 已知，，则（　　） A． B． C． D． 6． 已知函数，若对任意实数，都有，则实数的取值范围是_________． 参考答案 三、基础测试 1．（1）× 【解析】时，没有． （2）× 【解析】当且为偶数时，． （3）× 【解析】，不是指数函数． （4）× 【解析】当时，单调递减，所以若，则． （5）√ 【解析】令，则，所以函数（，且）的图象过定点． （6）× 【解析】，函数在上单调递增，所以的值域为． 2．D 【解析】，选项A错误； ，选项B错误； ，选项C错误； ，选项D正确． 3． 【解析】，， 函数单调递增，∴， ∴最大的数是． 4． 【解析】，两边取平方得， ∴，两边取平方得， ∴． 5． 【解析】要是式子有意义，， 解得，∴函数的定义域为． 6． 【解析】函数单调递增，，∴． 【典例1】（1） 【解析】 ． （2） 【解析】 ​ ， ∵，∴， ∴， ∴． 【变式1】（1） 原式 ​ ​ ​ （2） 【解析】，两边取平方得， ∴，两边取平方得， ∴，， ∴． 【典例2】（1）B 【解析】函数是指数函数，则，∴． （2） 【解析】要使式子有意义，， 即，解得且， ∴函数的定义域是． 【变式2】（1）A 【解析】是指数函数，∴，即， ∴，图象经过点，代入得： ，∴，∴． （2）C 【解析】，则，即，即， ∴， 当时，，在上单调递增，值域为， 当时，，在上单调递减，值域为， ∴的值域为． 【典例3】（1）A 【解析】令，则，， ∴函数的图象过定点． （2）D 【解析】若，则函数单调递减，， ∴当时，，选项C错误，选项D正确； 若，则函数单调递增，， ∴当时，，但，选项A、B错误． 【变式3】（1）C 【解析】令，则，此时， ∴，∴，即， ∴ ， 当且仅当即，时取等号， ∴的最小值为． （2）D 【解析】由图可知，函数单调递减，∴， 又，即，∴， ∴，∴，． 【典例4】（1）D 【解析】由复合函数的单调性可知， 函数的单调递减区间为的单调递增区间， 函数对称轴为，∴单调递增区间为． （2）B 【解析】幂函数单调递增，∴，即， 指数函数单调递减，∴，即， ∴． （3） 【解析】函数的定义域为，关于原点对称， ， 函数在上单调递增，函数在上单调递减， ∴函数在上单调递增， ∴等价于， 即，∴，∴． （4）C 【解析】令（），则， ，对称轴为， ∴在上单调递增， 当时，在上单调递减， 此时，， 解得或（舍去）， 当时，在上单调递增， 此时，， 解得或（舍去）， 综上所述，或． 【变式4】（1）C 【解析】令，对称轴， 当时，在定义域上单调递减， 函数在上单调递增，则在上单调递减， ∴，即，与矛盾， ∴，此时，在定义域上单调递增， ∴在上单调递增，即， 即，结合得． （2）D 【解析】函数在上单调递增，， 由得， 若，，满足条件，但，选项A错误； ，选项B错误；，选项C错误；，选项D正确． （3） 【解析】令，， 则、均关于对称，且在上单调递增，在上单调递减， ∴函数关于对称，且在上单调递增，在上单调递减， 不等式等价于， 解得． （4）A 【解析】令，， 则在定义域上单调递减，最大值在的最小值处取得， 当时，，无最小值， 当时，抛物线开口向下，无最小值， 当时，抛物线开口向上，最小值在对称轴处取得， ∴， 由题意，，即， 解得或（舍去）． 课后练习 1．D 【解析】要使式子有意义，，∴，， ∴原式． 2．B 【解析】，∴函数在上单调递增， ∵，∴时，， ∴类型的点不在图象上，图象不经过第二象限． 3．C 【解析】令，由在定义域上单调递增得： 要使函数在上单调递减，只需在上单调递减， 当时，在上单调递减，满足题意， 当时，只需且，即， 综上所述，． 4．D 【解析】当时，，单调递减， 此时，， 当时，，单调递增， 此时，， ∴的最大值与最小值之差为． 5．D 【解析】由得， 即， 即， ∵，∴， ， 当且仅当即时取等号， ∴，即． 6．D 【解析】，则， ，∴， ∵为正数，∴， ∴，∴， ，∴， ∵为正数，∴， ∴，∴． ∴． 7．D 【解析】， ∴关于直线对称， 当时，单调递增，且， 此时在上单调递增， ∴在上单调递增， ∴不等式等价于， 解得或． 8．B 【解析】由题意，时，剩余的污染物为， ∴，∴， ∴，∴时，， ∴小时后剩余污染物为初始污染物的， ∴前小时共能过滤掉污染物的． 9．BC 【解析】当时，，选项A错误； ，，为偶函数，则，选项B正确； 选项C，要使式子有意义，，即且，∴定义域为，选项C正确； 选项D，，∴，，∴，∴，选项D错误． 10．BD 【解析】设，则， ∴，，， ∵， ∴当时，，选项B正确； 当时，，选项D正确． 11．AB 【解析】函数的定义域为，关于原点对称， 若是偶函数，则，即， ∴，即， ∴恒成立，∴，即，选项A正确； 若是奇函数，则，即， ∴，即， ∴恒成立，∴，即，选项B正确； ，则，∴，，则，选项C错误； 当时，单调递增，无最小值，选项D错误． 12． 【解析】原式． 13． 【解析】函数是指数函数，∴，且，∴， ∴，令，则， ∴的图象过定点． 14． 【解析】，∴的图象关于对称， 当时，，单调递增，且， ∴当时，，， 当时，，， 关于直线对称，则， 在上单调递减， ∴时，，， 当时，，， 综上所述的解集为． 15．解：（1）原式 ​ ​ ​ ​ （2）原式 （3），两边平方得：， ∴，两边平方得：， ∴， ∴． 16．解：（1），则定义域为， ，∴，∴， ∴，∴， 又， ∴函数的值域为． （2）， ∴的单调性与的单调性相同， ∴当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增． 17．解：（1）是奇函数，∴， 是偶函数，∴， ①， ∴， ∴②， ①+②得，∴， ①-②得，∴． （2）由（1）知， 不等式可化为： ， 即， 即， ∴，∴，即， ∴不等式的解集为． 18．解：（1）的定义域为，关于原点对称， 若，则， ∴，∴，， ∴当时，为奇函数， 若，则， ∴，∴，， ∴当时，为偶函数， 当时，，为非奇非偶函数． （2）当时，， 即， 即， 令，，则， 此时，对称轴为， ∴，最大值取不到，， ∴实数的取值范围是． 19．解：（1）函数是偶函数，∴， 即，则， 此时，， ∴是偶函数，实数的值为． （2）由（1）， 令，则， 当时，，此时单调递增， ，， ∴当时，，， ， ∴， 令，则， 当时，， 任意，总存在，使得， 则在区间上， 的对称轴为， 若，即，则在上单调递增， ∴， 即，结合得， 若，即，则在上单调递减， ∴， 解得，结合得此时无解， 若，即， ， 解得，结合得此时无解， 综上所述，实数的取值范围是． 拔高练习 1．D 【解析】， 设，则在上单调递减， ，∴， ∴ ， 当且仅当即时取等号， ∴的最小值为． 2．C 【解析】设， 则的定义域为，关于原点对称， ， 单调递减，单调递增， ∴在上单调递减， ，∴可化为： ， 即， ∵单调递减，∴， 令，则当时，， ∵在上单调递增， ∴，即， 不等式有解，∴，即， 即实数的取值范围是． 3．C 【解析】设，则， ∴，∴， 函数单调递减且， ∴，∴， 又，∴， 函数单调递减且， ∴，∴， ∴，与矛盾，∴． 4．B 【解析】函数单调递增， 由得，， 即，∴， 又， ∴，即，∴． 5．B 【解析】， ∴， ， ∴，即， 函数，，在上均为增函数， ∴在上单调递增， 又，∴，即． 6． 【解析】， 由得，， 当时，，，满足题意； 当时，，此时，， ∴， 要使对任意成立，则，∴， 当时，，此时，， ∴， 要使对任意成立，则，∴， 综上所述，． 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