09指数与指数函数题型讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦指数与指数函数核心考点，涵盖指数幂运算、函数图象与性质及综合应用，按概念-运算-性质-应用逻辑架构知识，通过表格梳理性质、方法指导、分层练习和题型突破，帮助学生系统构建知识网络，突破难点。 讲义采用对比表格梳理知识（如奇偶数次方根性质），题型分类突破（如复合函数单调性用“同增异减”法则），培养数学思维与模型意识。分层练习适配不同学生，配合真题解析，助力教师精准把控复习节奏，提升学生应考能力。

指数与指数函数 一、知识梳理 1. 指数幂的运算 (1) 根式 次方根 概念 如果 ,那么 叫做 的 次方根,其中 性质 当 是奇数时, 的 次方根为 当 是偶数时,正数 的 次方根为 ,负数没有偶次方根 0 的任何次方根都是 0,记作 根式 概念 式子 叫做根式,其中 叫做根指数, 叫做被开方数 性质 当 为奇数时, 当 为偶数时, (2) 分数指数幂及指数幂的运算性质 分数指数幂 正分数指数幂: , 负分数指数幂: 0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义 指数幂的运算性质 , 2. 指数函数的图象与性质 (1) 指数函数的概念 函数 叫做指数函数,其中指数 是自变量，定义域是 . ① 提醒 形如 ( 且 且 ) 的函数叫做指数型函数, 不是指数函数. (2) 指数函数的图象与性质 图象 定义域 值域 性质 过定点 ,即当 时, 当 时, ; 当 时, 当 时, ; 当 时, 在 上是增函数 在 上是减函数 3. 提示 1. 指数函数 的图象恒过点 , ,依据这三点的坐标可得到指数函数的大致图象. 2. 函数 与 的图象关于 轴对称. 3. 在直线 的右侧,指数函数的图象越高,其底数的值越大. 如图所示,其中 . 4. 比较指数式大小的方法 5. 解简单的指数方程或不等式 1. 解指数方程或不等式的依据 (1) . (2) ，当 时，等价于 ； 当 时，等价于 . 2. 解指数不等式的方法 先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用函数单调性转化为一般不等式求解. 6. 指数函数性质的综合应用 1. 指数型复合函数的单调性问题 形如函数 的单调性,单调区间与 的单调性,单调区间有关: (1)若 ，则函数 的单调递增 (减) 区间即函数 的单调递增 (减) 区间； (2)若 ，则函数 的单调递增(减)区间即函数 的单调递减 (增) 区间. 2. 与指数函数有关的函数奇偶性问题 (1)利用函数奇偶性的定义解决相关问题. (2)记住几种常见的具有奇偶性的特殊函数: ① 是偶函数，② 是奇函数, ③ 是奇函数. 其中 且 . 二、练习题 1. 判断正误.(对的打“√”,错的打“✗”) (1) . ( ) (2)若函数 是指数函数，且 ，则 是增函数. ( ) (3)指数函数的图象一定在 轴上方. ( ) 2. 若函数 为指数函数，则 ___. 3. 若函数 在 上的最大值为 2, 则 ___. 4. 若 且 ,则函数 的图象恒过点的坐标为___. 题型一　指数函数的图象及应用 5. 已知指数函数 的图象如图所示，则一次函数 的图象可能是( ) A B C D 6. 条件结论变式 函数 的图象与直线 有两个不同的交点,则 的取值范围为___. 归纳总结 对于指数 (型) 函数的问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到所求函数的图象. 特别地,当底数 与 1 的大小关系不确定时应注意分类讨论. 题型二　指数函数的性质及应用 角度1　比较指数式的大小 7. 比较下列两组数的大小: (1) 和 ； (2) . 8. 结论拓展变式 设 ,则 的大小关系为 ( ) A. B. C. D. 角度2　解简单的指数方程或不等式 9. 若不等式 恒成立，则实数 的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 10. 不等式 的解集为___. 角度3　指数函数性质的综合应用 11. 已知函数 . (1)若函数 为奇函数，求 的值； (2)当 时，用函数单调性的定义证明:函数 在 上单调递增; (3)若函数 有两个不同的零点,求 的取值范围. 12.函数 的单调递减区间是 ( ) A. B. C. D. 13. 已知实数 满足 ,则 的最小值为( ) A. 5 B. 6 C. 9 D. 14.若 且 ,则 “ ” 是 “ ” 的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 15. 已知函数 1,则不等式 的解集是 ( ) A. B. C. D. 16. 若 ,则 ( ) A. B. C. D. 基础夯实 17.设 为正数,且 ,则( ) A. B. C. D. 18. 已知函数 存在最小值,则实数 的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 19. 垃圾分类一般是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动的总称，做好垃圾分类是每一位公民应尽的义务. 已知某种垃圾的分解率 与时间 (月) 近似地满足关系 (其中 为正常数),经过 5 个月,这种垃圾的分解率为 , 经过 10 个月,这种垃圾的分解率为 ,那么这种垃圾完全分解大约需要经过___ 个月. (参考数据: ) ( ) A. 20 B. 27 C. 32 D. 40 20. 在人工智能神经网络理论中,根据不同的需要, 可以设置不同的激活神经单元的函数, 其中函数 tanh 是比较常用的一种，其解析式为 . 关于函数 ,下列结论正确的是 ( ) A. tanh 是偶函数 B. tanh 是单调递增函数 C. 方程 有唯一解 D. 恒成立 21. 已知 ( ，且 ,则下列结论正确的是 ( ) A. B. C. D. 22. 已知指数函数 为增函数，且图象过点 ， ,则 满足 ( ) A. 当 时，有最大值 B. 当 时,有最大值 5 C. 当 时,有最小值 32 D. 当 时,有最小值 2 23. (多选) 下列选项中正确的有 ( ) A. B. 若 ,则 C. D. 24. 已知 为均不等于 1 且不相等的正实数. 若函数 是奇函数，则 ___. 25. 定义运算 已知函数 ,则 的最大值为___. 26. 对于函数 ，若在定义域内存在实数 满足 ,则称函数 为 “局部奇函数”. 若函数 在定义域 上为 “局部奇函数”,则实数 的取值范围为___. 能力提升 27. 若函数 在区间 内单调递减，则 的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 28. 设函数 的图象经过第二、 三、四象限,若不等式 恒成立, 则实数 的取值范围为 ( ) A. B. C. D. 29. 已知函数 ,则不等式 的解集为 ( ) A. B. C. D. 30. 数学上，常用 表示不大于 的最大整数. 已知函数 ,则下列正确的是 ( ) A. 函数 在定义域上是奇函数 B. 函数 的零点有无数个 C. 函数 在定义域上的值域是 D. 不等式 的解集是 31. 有 1000 张从 开始依次编号的多米诺骨牌, 从小到大排成一行，每次从中去掉处在奇数位置的牌，则最后剩下的一张牌是___号. 参考答案与解析 1. (1) ✗ (2) √ (3) √ 2. 填 3. 填 或 4. 填 5. 选 C. 由指数函数的图象可知 ,排除选项 ,若 , 均为正数,则 ,根据一次函数的性质得此时函数 的图象过第一、二、三象限，即 符合题意， 不符合题意；若 均为负数,则 ,此时函数 的图象过第二、三、四象限，选项 A 不符合题意. 故选 C. 6. 填 作出 的图象与直线 ,如图所示. 由图可知,若直线 与 的图象有两个不同的交点,则 . 7. 解析 (1) 在 上为增函数,且 , ,即 . (2) 在 上为增函数，且 ， , 又 . 8. 选 D. 单调递增, , 即 单调递增, ,即 , ,故选 D. 9. 选 B. 不等式 恒成立，即 恒成立,由指数函数 的单调性得 恒成立,即 恒成立,所以 ,解得 ,所以实数 的取值范围是 , 故选 B. 10. 填 将 两边同除以 ,可得 . (将不等式一侧变形为多个单调性相同的函数之和, 得到函数单调性是解题的关键) 令 ,则 在 上单调递减,且 ,故不等式 的解集为 . 11. 解析 (1) 函数的定义域为 . 由 ,得 , 此时 . 因为 , 所以 为奇函数,故 . (2)证明:当 时， . (把解析式化成 有利于单调性的判定) 任取 ,且 ,则 因为 ,所以 ,又 , 所以 ,即 , 所以函数 在 上单调递增. (3) 有两个不同的零点等价于 有两个不同的实数解. 令 ,则 在 上有两个不同的实数解,所以 解得 . 所以 的取值范围为 . 12. 选 B. 令 ,则 是关于 的减函数,易知函数 在 上单调递增,在 上单调递减,由复合函数的单调性知, 的单调递减区间是 . 故选 B. 13. 选 B. 又 是定义在 上的增函数, ,解得 . 令 , 法一: 在 上恒成立, 在 上单调递增, 即 . 法二: 由对勾函数的性质可知, 在 上单调递增, 所以 . 14. 选A. 若 , 当 时, ,可得 ； 当 时, ,可得 ,故充分性满足； 若 ,取 ,可知 不成立,故必要性不满足, 所以 “ ” 是 “ ” 的充分不必要条件. 15. 选 D. 不等式 等价于不等式 ,在同一平面直角坐标系中作出函数 和函数 的图象,如图所示,易知两个函数图象的交点坐标为 和 ,观察函数图象可知, 当 或 时,函数 的图象在函数 图象的上方, 此时 ,故不等式 的解集为 ,故选 D. 小题速解 (特殊值法) 因为 ,所以排除 , ; 因为 ,所以排除 . 故选 D. 16. 选 A. 因为 ,所以 . 设 , 则 , 易知 ,所以 在 上为增函数. 由 得 , 所以 ,所以 ,故选 A. 小题速解 取 ,满足 , 此时 ,可排除 . 故选 A. 17. 选 D. 由 可得： , 为正数 又因为 是单调增函数 所以 ,所以 . 18. 选 A. 由题意知 在 上单调递减,在 上单调递增,在 上单调递增,且 , 当 时, , 要使 存在最小值,则 ,即 , 所以实数 的取值范围是 ,故选 A. 19. 选 B. 依题意得 解得 , 则 . 这种垃圾完全分解,即分解率为 , 即 ,所以 ,所以 , 所以 . 故选 B. 20. 选 B. 对于 A，因为 的定义域为 ，且 ,所以 是奇函数,故 A 错误; 对于 , 因为 是增函数且恒为正数, 所以 是减函数,故 是增函数,故 正确; 对于 ,则 ,可得 , 即 ,故 不正确. 故选 B. 21. 选 D. 对于 ,故 错误; 对于 ,故 错误; 对于 ,所以由基本不等式有 ,但是由于 的单调性不能确定,故 的大小不确定，故 错误； 对于 ,故 正确. 故选 D. 22. 选 C. 因为 为增函数,所以 ,又 , 所以 ,所以 ,即 ,当 时等式不成立,故 ,则 , 所以 ,则 , 当 时, ,故 , 由对勾函数的性质知 在 上单调递增,故 . 又由于 单调递增, 单调递减,且 1,则 错误. 当 时, ,故 ,当且仅当 时等号成立, 错误, 正确. 故选 C. 23. 选 BD. 选项 A,当 为偶数时, ,故 不一定成立,故 A 错误; 选项 B, ,故 ,故 B 正确; 选项 C,显然不成立,如当 时,左边为 ，右边为 2，故 C 错误；选项 D， ，故 D 正确. 故选 BD. 24. 填 因为函数 是奇函数，所以 ，即 , 即 ,则 . 当 时, ,所以 ,则 ,所以 ; 当 时, 恒成立,故 . 25. 填 4 令 ,得 ,所以当 时, ,当 时, , 所以 当 时, ,当 时, , 所以 . 26. 填 根据题意，由“局部奇函数”的定义可知: 若函数 是定义在 上的“局部奇函数”, 则方程 有解,即 有解,整理得 , 即 有解. 设 ,当且仅当 ,即 时,等号成立. 则方程 有解等价于 在 时有解,等价于 在 时有解, 设 ,可知 在 内单调递增, 则 ,则 ,解得 . 所以 的取值范围为 . 27. 选 A. 令 , 因为 在区间 内单调递减,所以函数 在区间 内单调递减,(同增异减) 结合二次函数的图象和性质,可得 ,解得 . 故选 A. 28. 选 B. 的图象经过第二、三、四象限, ,解得 在 上单调递减,则由 得 ,即 恒成立, ,解得 实数 的取值范围为 . 故选 B. 29. 选 A. 的定义域为 ,故 为偶函数. 当 时, 均为增函数, 故 为 上的增函数, 又 ,故当 时, ,则 为 上的增函数,故 时, 为减函数,(偶函数在关于原点对称区间上的单调性相反) ,即 ,则 , 即 ,解得 . 故选 A. 30. 选 B. 令 . A. ,因为 ,所以 不是奇函数,故 A 错误. B. 令 ,得 ,即函数 的零点有无数个,故 正确. C. 若 ,则 ,由题意 ,则 ,即函数 在定义域上的值域不是 ,故 C 错误. D. ,故 D 错误. 故选 B. 31. 填 512 由题意,每次去除奇数位置,则最后剩下的牌必须在每次去除 (除 2) 时处于偶数位置,即小于或等于总牌数的 的最大值,就是最后剩下的牌的序号, , 的最大值为 9,即最后剩下的一张牌是 512 号. 学科网（北京）股份有限公司 $