专题02 指数与指数函数讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦指数与指数函数专题，覆盖指数幂运算、函数图像及性质（奇偶性、单调性、周期性等）、综合应用等高考核心考点，按题型逻辑分层构建知识体系，通过典例引领、方法透视、变式演练梳理考点联系，助力学生突破难点，体现复习教学的系统性和针对性。 资料以题型微解剖实现精细教学，如比较指数式大小结合充分必要条件培养数学思维，综合题中函数性质应用提升运算能力，设基础巩固与能力提升分层练习，保障复习效果，帮助教师精准把控节奏，有效提升学生应考能力。

专题02 指数与指数函数 目录 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 【选填题破译】 题型01 指数幂的运算 题型02 函数的奇偶性及应用 题型03 奇函数+常数型求值 题型04 利用单调性、奇偶性解不等式、比较大小 题型05 函数的周期性 题型06 函数的对称性 题型07 函数性质的综合应用 第二部分 综合巩固 整合应用，模拟实战 题型01 指数幂的运算 【例1】化简：(1)； (2) 【变式1-1】（多选题）已知，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】求值或化简 (1)计算：；(2)化简（用分数指数幂表示）： 题型02 指数函数的图像及应用 【例2】已知且，则函数与在同一直角坐标系中的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【变式2-2】直线与函数且的图像有两个公共点，则的取值范围是 . 题型03 指数函数过定点问题 【例3】已知函数（且）的图象恒过定点，则点的坐标为 . 【变式3-1】若幂函数在上单调递增，则函数且过定点（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知函数，且的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为 . 题型04 比较指数式的大小 【例4】若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式4-1】若，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（单选题）已知，则（    ） A． B． C． D． 题型05 解指数方程或不等式 【例5】已知函数，则不等式的解集是______. 【变式5-1】不等式的解集为 ． 【变式5-2】已知函数，则不等式的解集为______． 题型06 指数函数的定义域与值域问题 【例6】函数的最大值为_________． 【变式6-1】函数的定义域为___________。 【变式6-2】函数在的值域为______． 【变式6-3】函数（，且）在上的最大值为13，则实数的值为___________. 题型07 指数函数单调性/奇偶性问题 【例7】已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式1】函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型08 指数函数综合问题 【例8】已知函数是奇函数，且. (1)求的值；(2)若，不等式恒成立，求的取值范围. 【变式1】已知定义域为R的函数 是奇函数. (1)求a、b的值；(2)证明f(x)在(-∞，+∞)上为减函数; (3)若对于任意R，不等式恒成立，求k的范围 【变式2】已知函数在区间上有最小值2和最大值10． (1)求，的值； (2)设，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 已知函数在区间上有最小值2和最大值10． (1)求，的值； (2)设，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【A级 基础巩固练】 1．已知是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 2．设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 4．已知函数（，）恒过定点，则函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 6．已知，且在区间恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．函数的图像大致为（    ） A． B． C．D． 8．已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 9．计算与化简： （1） ； （2） ．（，） 10．当时，函数的值域为 . 【B级 能力提升练】 1．使得“函数在区间上单调递减”成立的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B．1 C． D．0 2．（多选题）设函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的定义域为 B．的单调递增区间为 C．的最小值为3 D．的图象关于对称 3．（多选）下列说法正确的是（   ） A．若函数的定义域为，则函数的定义域为 B． 图象关于点成中心对称 C． 的最大值为 D．幂函数在上为减函数，则的值为 4．已知定义域为R的函数是奇函数. (1)求实数a的值； (2)判断函数的单调性，并用定义加以证明； (3)若对任意的，不等式成立，求实数m的取值范围. 5．已知函数． (1)若，解关于的方程. (2)若在上恒成立，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02指数与指数函数 目录 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 【选填题破译】 题型01 指数幂的运算 题型02 函数的奇偶性及应用 题型03 奇函数+常数型求值 题型04 利用单调性、奇偶性解不等式、比较大小 题型05 函数的周期性 题型06 函数的对称性 题型07 函数性质的综合应用 第二部分 综合巩固 整合应用，模拟实战 题型01 指数幂的运算 【例1】化简：(1)； (2) 【详解】(1) 原式＝()－＋()－－＋1＝＋10－10－20＋1＝－. (2) 原式＝(1＋)＋|1－|＝1＋＋－1＝. 【变式1-1】（多选题）已知，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】由，所以A正确；由，所以B正确；由， 因为，，所以，所以C错误；由，所以D正确． 【变式1-2】求值或化简 (1)计算：；(2)化简（用分数指数幂表示）： 【详解】（1） （2）. 题型02 指数函数的图像及应用 【例2】已知且，则函数与在同一直角坐标系中的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】结合与可知，两函数单调性一定相反，排除选项A； 因为恒过定点，恒过定点，排除选项B，D． 【变式2-1】函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数，当时，是增函数，当时，的减函数，且时，，即图象过点；符合条件的图象是．故选：A． 【变式2-2】直线与函数且的图像有两个公共点，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】时，作出函数的图象，如图，此时在时，，而，因此与函数的图象只有一个交点，不合题意；时，作出函数的图象，如图，此时在时，，因此与函数的图象有两个交点，则，解得．综上所述，．故答案为：． 题型03 指数函数过定点问题 【例3】已知函数（且）的图象恒过定点，则点的坐标为 . 【答案】 【解析】令，得，则. 所以函数（且）的图象恒过定点. 【变式3-1】若幂函数在上单调递增，则函数且过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为是幂函数，所以或，又因为该幂函数在上单调递增，所以，即，因为，所以函数过定点。 【变式3-2】已知函数，且的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为 . 【答案】 【解析】对于函数，且，令，则，则函数且的图象恒过定点，则，且， 故，当且仅当，即时等号成立，即的最小值为。 题型04 比较指数式的大小 【例4】若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】构造函数，则在上单调递增， 所以．故选：C． 【变式4-1】若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，所以，因为，， 所以，所以.故选：D. 【变式4-2】（单选题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，则，故A正确；，故B错误；，故C错误； ，故D错误.故选：A. 题型05 解指数方程或不等式 【例5】已知函数，则不等式的解集是______. 【答案】 【解析】因为函数，所以不等式即为，在坐标系中作出的图象，如下图所示，都经过，即的图象在图象的下方，由图象知：不等式的解集是. 【变式5-1】不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】不等式，可化为，即， 解得，所以，所以不等式的解集为．故答案为：． 【变式5-2】已知函数，则不等式的解集为______． 【答案】 【解析】因为，定义域为，且，故为奇函数； 又均为单调增函数，故是上的单调增函数；则，即，也即，故，，解得. 故不等式的解集为.故答案为：. 题型06 指数函数的定义域与值域问题 【例6】函数的最大值为_________． 【答案】 【解析】设，因为，所以当时，有最大值，当时，有最小值，即，所以，即的取值范围是，所以函数的最大值为。 【变式6-1】函数的定义域为___________。 【答案】 【变式6-2】函数在的值域为______． 【答案】 【变式6-3】函数（，且）在上的最大值为13，则实数的值为___________. 【答案】或 【解析】∵令，则，则，其对称轴为.该二次函数在上是增函数.①若，由，得，故当，即时，，解得(舍去).②若，由，可得，故当，即时，.∴或(舍去).综上可得或. 题型07 指数函数单调性/奇偶性问题 【例7】已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，，则在上单调递增，又函数是上的偶函数，且，因此，，解得，不等式的解集为.故选：A 【变式1】函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D．【答案】A 【变式2】已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵在上单调递增，∴，解得. 题型08 指数函数综合问题 【例8】已知函数是奇函数，且. (1)求的值；(2)若，不等式恒成立，求的取值范围. 【解析】（1）是奇函数， 经检验当时，是奇函数符合题意， 又或（舍），； （2），即，又，故恒成立，令，因为，故，由对勾函数性质可得在上单调递减，. 【变式1】已知定义域为R的函数 是奇函数. (1)求a、b的值；(2)证明f(x)在(-∞，+∞)上为减函数; (3)若对于任意R，不等式恒成立，求k的范围 【解析】（1）由已知，， ， ，，所以，解得， ，此时定义域是R，，为奇函数．所以，； （2）由（1），设任意两个实数，，则， ，所以，即，所以是减函数； （3）不等式化为， 是奇函数，则有，是减函数，所以， 所以恒成立，易知的最小值是，所以． 【变式2】已知函数在区间上有最小值2和最大值10． (1)求，的值； (2)设，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 已知函数在区间上有最小值2和最大值10． (1)求，的值； (2)设，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）的对称轴为，因为，所以在区间上最小值为，最大值为，故解得． （2）由（1）可得，所以可化为， 化为．令则，因为，故，记，故，所以实数的取值范围是． 【A级 基础巩固练】 1．已知是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【解析】因为为偶函数，则， 又因为不恒为0，可得，即，则，即，解得. 2．设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由在R上递增，则，由在上递增，则.所以.故选：D 3．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由于，所以或，故，所以.故选：C. 4．已知函数（，）恒过定点，则函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】∵，∴恒过定点，∴，，∴，其图象不经过第四象限，故选：D. 5．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数定义域为R，，又函数在R上单调递减，则，所以函数的值域为.故选：A 6．已知，且在区间恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由解析式易知：单调递增，当时，恒成立，则，得．故选：B． 7．函数的图像大致为（    ） A． B．C．D． 【答案】B【解析】函数的定义域为关于原点对称，， 即函数为偶函数，其图像关于轴对称，故错误；又，故错误. 8．已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 9．计算与化简： （1） ；（2） ．（，） 【答案】 10． 当时，函数的值域为 . 【答案】 【B级 能力提升练】 1．使得“函数在区间上单调递减”成立的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B．1 C． D．0 【答案】D【详解】由于函数在上单调递减，函数在区间上单调递减， 所以函数在上单调递增，，解得，所以函数在区间上单调递减的充要条件为，那么其成立的一个充分不必要条件可以是.故选：D. 2．（多选题）设函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的定义域为 B．的单调递增区间为 C．的最小值为3 D．的图象关于对称 【答案】ABD【详解】易知函数的定义域为，选项A正确； 由与复合，而为单调递增函数，所以函数的单调递减区间为单调递减区间，函数的单调递增区间为单调递增区间，选项B正确；由选项B可知，故选项C错误；因为，所以的图象关于对称.故选项D正确.故选：ABD. 3．（多选）下列说法正确的是（   ） A．若函数的定义域为，则函数的定义域为 B． 图象关于点成中心对称 C． 的最大值为 D．幂函数在上为减函数，则的值为【答案】BD 4．已知定义域为R的函数是奇函数. (1)求实数a的值；(2)判断函数的单调性，并用定义加以证明； (3)若对任意的，不等式成立，求实数m的取值范围. 【解析】（1）因为函数的定义域为R，所以，∴.经检验当时，有，所以. （2），函数在定义域内单调递增，证明如下： 设，所以， 因为，所以，所以函数在R上单调递增. （3）∵是奇函数，由已知可得 ，则，∴，故，. ∴实数m的取值范围为. 5．已知函数． (1)若，解关于的方程.(2)若在上恒成立，求实数的取值范围． 【详解】（1）由题意，，则，由可整理得，则可得或，或； （2）若在上恒成立，则在上恒成立，整理得在上恒成立，令，由，则， 又令，，所以是上的减函数， 所以，故实数的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $