3.2勾股定理的逆定理（分层作业练题型）数学新教材苏科版八年级上册

**基本信息** 练习围绕勾股定理逆定理，分层设计从基础判断到综合探究，通过辨析、计算、证明梯度巩固知识，培养推理能力与几何直观。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础理解|逆定理判断、勾股数辨析|直接应用概念，如判断三角形类型| |技能应用|角度/线段长/面积计算|结合网格/图形计算，如求最长边中线| |综合探究|证明与规律探究|综合证明与规律推导，如勾股数表达式证明|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.2勾股定理的逆定理 题型一根据逆定理判断是否是直角三角形 题型二根据逆定理求角度 基础达标题 题型三根据逆定理求线段长或面积 题型四勾股数的辨析 题型五勾股数的规律问题 勾股定理的逆定 题型一直角三角形的证明 理 能力提升题 题型二先证直角三角形，再计算 题型三勾股数的规律问题综合 拓展培优题 题型一三角形综合题 基础达标题 题型一根据逆定理判断是否是直角三角形 1.(2026海安市·期末)下列各组数能作为直角三角形的三边长的是() A.V2,V3,5 B.5,12,13 C.1,2,3 n.含子昌 2.(2026启东市校级同步)下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是() A.1,V2,V3 B.3,4,5 C.5,12,13 D.20,21,31 题型二根据逆定理求角度 1.(2025连云港·校级三模)如图，正方形网格中，每一小格的边长为1，网格内有△AB,则 ∠PAB+∠PBA的度数是一· 1/7 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.（2025宿城区·二模)如图所示的网格是正方形网格，点A,B,C,D,E是网格线交点，则∠BAC- ∠DAE的度数为一 题型三根据逆定理求线段长或面积 1.(2024丹徒区期末)一个三角形的三边长分别为5,12,13，则这个三角形最长边上的中线为 2.(2025徐州期中)一个三角形三边长为2、3、只13，则三角形的面积为一 3.(2025·海陵区·校级期末)如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交BC、AB于点D、F,AC的垂 直平分线分别交BC、AC于点E、G,点E在点D右侧.若BD=10,DE=6,CE=8,则△ABC的面积为 题型四勾股数的辨析 1.(2025海州区·期末)下列各组数中，不是勾股数的是() A.3,4,5 B.5,12,13 C.10,15,20 D.7,24,25 2.(2025徐州期中)下列各数组中，不是勾股数的是() A.6,8,10 B.8,12,15 C.9,41,40 D.5k,12k13k(k为正整数) 217 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.(2025鼓楼区·校级期末)下列各组数为勾股数的是() 111 A.0.3,0.4,0.5 B.3’12’13 C.7,24,25 D.V6,V8,V10 4.(2025.句容市·月考)有下列各组数：①3,4,5；②8,15,17；③0.5,1.2,1.3；④ 1,V3,V2,其中勾股数有() A.1组 B.2组 C.3组 D.4组 5.(2025天宁区校级期中)有一组勾股数，已知其中的两个数分别是20和15，则第三个数是一· 题型五勾股数的规律问题 1.（2024海门区·期末)如果表示大于1的整数，设a=2,b=m2-1,c=2m+2,d=12+1,其中 任选三个数能构成勾股数的为() A.a,b,c B.a,b,d C.a,c,d D.b,c,d 2.(2025·姜堰区·期末)毕达哥拉斯在他找到的勾股数的表达式中，用2n°+2+1(n为任意正整数)表示 勾股数中最大的一个数，则另外两个数中较小数的表达式是() A.n B.2n2 C.2t1 D.2n2+2n 3.(2025·苏州·期中)勾股定理2+b2=c2本身就是一个关于a,b,c的方程，满足这个方程的正整数解 (,b,c)通常叫作勾股数组.毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，观察下列几组勾股 数：(3,4,5)，(5,12,13)，(7,24,25)，(9,40,41)…根据上面的规律，第6个勾股数组 为一 4.（2025沭阳县·期中)仔细观察下列一类勾股数：3、4、5：5、12、13；7、24、25；…这类勾股数的 特点是：勾为奇数，弦与股相差为1.还有一类勾股数：6、8、10：8、15、17：10、24、26；：根据此 类勾股数的特点，若勾为12，则弦为一· B 能力提升题 题型一直角三角形的证明 1.(2024浦口区·校级期中)张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表： 3/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 n 2 3 … 22-1 32-1 42-1 52-1 … b 4 6 8 10 22+1 32+1 42+1 52+1 (1)请你分别观察b、c与n之间的关系，并用含自然数n(n>1)的代数式表示： (2)猜想：以、b、c为边的三角形是否为直角三角形？请证明你的猜想， 2.(2025·鼓楼区·期末)己知直角三角形的三边长分别是a,b,c,其中c为斜边. (1)长分别为3a,3b,3c的三条线段能否组成一个直角三角形，判断并说明理由； (2)小明为了证明“长分别为，b?,c的三条线段不能组成一个直角三角形.”是真命题.给出了部分 思考如下，请补全他的证明过程 假设长分别为d2,b2,c2的三条线段能组成直角三角形，则（㎡2）2+(b)2=(c2)2,又… 题型二先证直角三角形，再计算 1.(2026启东市·期末&2026·扬州期中)如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶 点均在格点上 (1)证明△ABC是直角三角形； (2)求BC边上的高. 2.（2025·南京·期末)如图，在△ABC中，点D在边BC上，连接AD,AB=13,AC=20,AD=12,BD =5. (1)求证：AD⊥BC: (2)求△ABC的面积. A B D 4/7 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.(2025·沛县·期末)如图，在四边形ABCD中，AB=2,BC=AD=4,DC=6,且∠ABC=90°，求四边 形ABCD的面积. 0 B 4.(2025·海安市·期末)如图，在△ABC中，AB=13,AC=12,BC=5,DE是AB的垂直平分线，DE分 别交AC,AB于点E,D (1)求证：△ABC是直角三角形； (2)求CE的长. 5.(2025玄武区·校级月考)已知，如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC,垂足为D,交AB于 点E,且BE2-EA2=AC2 ①求证：∠A=90: ②若DE=3,BD=4,求AE的长. B D 题型三勾股数的规律问题综合 1.(2025鼓楼区·校级期中)如果满足等式a+b2=c2的a,b,c是三个正整数，我们称a,b,c为勾股 数 (1)已知m,n,k是正整数且m>n,证明：a=2m,b=m2-2,c=2+n2是勾股数. (2)请写出任意一组含有68的“勾股数”：一· 2.(2025·宿城区·期中)【知识背景】我国古代把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称 5/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 为“股”，斜边称为“弦”.据《周髀算经》记载，公元前1000多年就发现了“勾三股四弦五”的结论. 像3、4、5这样为三边长能构成直角三角形的3个正整数，称为勾股数， 【应用举例】 观察3,4,5：5,12,13；7,24,25；… 可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过， 当勾为3时，股429-1.弦5=9+1： 当勾为5时，股12=25-1，弦13=225+1： 当勾为7时，服2449-1，弦25=49+1. 请仿照上面三组样例，用发现的规律填空： (1)如果勾用n(n≥3，且n为奇数)表示时，请用含有n的式子表示股和弦，则股=一，弦=一 【问题解决】 (2)古希腊的哲学家柏拉图也提出了构造勾股数组的公式.具体表述如下：如果a=2,b=m2-1,c= +1(m为大于1的整数)，则a、b、c为勾股数.请你证明柏拉图公式的正确性： (3)毕达哥拉斯在他找到的勾股数的表达式中发现弦与股的差为1，若用2am+2叶1(a为任意正整数)表 示勾股数中最大的一个数，请你找出另外两个数的表达式分别是多少？ 3.(2025·泗阳县·期末)己知m、x、y均为正整数，且x≠y,当m=x+y2时，我们称正整数m为“可媲 美勾股数”，把x与y的积称为m的“勾股值”，用A()表示，即A(m)=xy.例如：13=32+2，A (13)=3×2=6,13就是一个“可媲美勾股数”，6是13的勾股值. (1)下列各数中，属于“可媲美勾股数”的有一 ①5 ②25 ③49 (2)求A(65)-A（20)的值. m-9 (3)己知正整数m为“可娘美勾股数”，且满足18<m<60,m的勾股值为2，求m的值. 拓展培优题 617 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型一三角形综合题 1.(2025扬州期中)在△ABC中，AB=10,BC=6,AC=8,点D在线段BC上从点C向点B移动，同 时，点E在线段AB上由点A向点B移动，当点D与点B重合时运动停止，已知它们的运动速度相同，连 接AD,CE,则AD+CE的最小值为· 7/7 3.2勾股定理的逆定理 题型一 根据逆定理判断是否是直角三角形 1．【答案】B 2．【答案】D 题型二 根据逆定理求角度 1．【答案】45° 2．【答案】45° 题型三 根据逆定理求线段长或面积 1．【答案】 2．【答案】3 3．【答案】96 题型四 勾股数的辨析 1．【答案】C 2．【答案】B 3．【答案】C 4．【答案】B 5．【答案】25 题型五 勾股数的规律问题 1．【答案】B 2．【答案】C 3．【答案】（13，84，85） 4．【答案】37 题型一 直角三角形的证明 1． 【答案】（1）a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1；（2）以a、b、c为边的三角形是直角三角形，证明详见解析． 【详解】解：（1）由图表可以得出： n＝2时，a＝22﹣1，b＝4，c＝22+1， n＝3时，a＝32﹣1，b＝2×3，c＝32+1， n＝4时，a＝42﹣1，b＝2×4，c＝42+1， … ∴a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1； （2）以a、b、c为边的三角形是直角三角形，证明如下： ∵a2+b2＝（n2﹣1）2+4n2＝n4+2n2+1，c2＝（n2+1）2＝n4+2n2+1， ∴a2+b2＝c2， ∴以a、b、c为边的三角形是直角三角形． 2． 【答案】（1）能；（2）不能． 【详解】解：（1）能，理由如下： ∵a，b，c分别是直角三角形的三边长（假设c是斜边）， ∴a2+b2＝c2， ∴9a2+9b2＝9c2，即（3a）2+（3b）2＝（3c）2， ∴长为3a，3b，3c的三条线段能组成直角三角形； （2）假设长分别为a2，b2，c2的三条线段能组成直角三角形， ∴（a2）2+（b2）2＝（c2）2，即a4+b4＝c4， ∵a2+b2＝c2， ∴（a2+b2）2＝a4+2a2b2+b4＝c4， ∵a＞0，b＞0， ∴2a2b2＞0， ∴a4+b4＜a4+2a2b2+b4， ∴a4+b4＜c4，与假设的a4+b4＝c4矛盾， ∴长分别为a2，b2，c2的三条线段不能组成一个直角三角形． 题型二 先证直角三角形，再计算 1． 【答案】（1）证明详见解析；（2）2． 【详解】（1）证明：由题意可得：AB2＝12+22＝5，AC2＝22+42＝20，BC2＝32+42＝25， ∴AB2+AC2＝BC2， ∴△ABC是直角三角形； （2）解：如图，过点A作AD⊥BC于点D， 由（1）可知：AB，AC＝2，BC＝5，∠BAC＝90°， ∵AD⊥BC， ∴S△ABCBC·ADAB·AC， ∴AD2， ∴BC边上的高为2． 2． 【答案】（1）证明详见解析；（2）126． 【详解】（1）证明：∵AD＝12，BD＝5，AB＝13， ∴AD2+BD2＝122+52＝169，AB2＝132＝169， ∴AD2+BD2＝AB2， ∴△ABD是直角三角形， ∴∠ADB＝90°， ∴AD⊥BC； （2）解：∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∵AD＝12，AC＝20， ∴CD16， ∴BC＝BD+CD＝5+16＝21， ∴△ABC的面积BC·AD21×12＝126． 3． 【答案】四边形ABCD的面积为． 【详解】解：如图，连接AC， ∵∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝4， ∴， ∵AD＝4，DC＝6， ∴（2）2+42＝62，即AC2+AD2＝CD2， ∴△ACD是直角三角形，且∠CAD＝90°， ∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD ， ∴四边形ABCD的面积为． 4． 【答案】（1）证明详见解析；（2）CE的长为． 【详解】（1）证明：∵AB＝13，AC＝12，BC＝5， ∴AC2+BC2＝122+52＝144+25＝169，AB2＝132＝169， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形； （2）解：如图，连接BE， ∵DE是AB的垂直平分线， ∴AE＝BE， 由（1）可得：△ABC是直角三角形，即∠ACB＝90°， 设CE＝x，则AE＝BE＝AC﹣CE＝12﹣x， 在Rt△BCE中，CE2+CB2＝BE2， 即x2+52＝（12﹣x）2，解得：， ∴CE的长为． 5． 【答案】（1）证明详见解析；（2）AE． 【详解】（1）证明：如图，连接CE， ∵D是BC的中点，DE⊥BC， ∴CE＝BE， ∵BE2﹣EA2＝AC2， ∴CE2﹣EA2＝AC2， ∴EA2+AC2＝CE2， ∴△ACE是直角三角形，即∠A＝90°； （2）解：∵DE＝3，BD＝4， ∴BE5＝CE， ∴AC2＝EC2﹣AE2＝25﹣EA2， ∵BC＝2BD＝8， ∴在Rt△BAC中，由勾股定理可得：BC2﹣BA2＝64﹣（5+EA）2＝AC2， ∴64﹣（5+AE）2＝25﹣EA2，解得：AE． 题型三 勾股数的规律问题综合 1． 【答案】（1）证明详见解析；（2）68，285，293（答案不唯一）． 【详解】（1）证明：∵a2+b2＝（2mn）2+（m2﹣n2）＝4m2n2+m4﹣2m2n2+n4＝m4+2m2n2+n4， c2＝（m2+n2）＝m4+2m2n2+n4， ∴a2+b2＝c2， ∵m，n是正整数，m＞n， ∴a＝2mn，b＝m2﹣n2，c＝m2+n2是勾股数； （2）解：设2mn＝68，则mn＝34， 当m＝17，n＝2时，m2﹣n2＝172﹣22＝285，m2+n2＝172+22＝293， ∴68，285，293是一组含有68的“勾股数”， 故答案为：68，285，293（答案不唯一）． 2． 【答案】（1）（n2﹣1），（n2+1）；（2）证明详见解析； （3）另外两个数的表达式分别是2a2+2a，2a+1． 【详解】（1）解：如果勾用n（n≥3，且n为奇数）表示时，则股（n2﹣1），弦（n2+1）， 故答案为：（n2﹣1），（n2+1）； （2）证明：∵a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1（m表示大于1的整数）， ∴a2+b2＝（2m）2+（m2﹣1）2 ＝4m2+m4﹣2m2+1 ＝m4+2m2+1 ＝（m2+1）2＝（m2+1）2＝c2， ∴a2+b2＝c2 ∴a、b、c为勾股数； （3）解：∵弦与股的差为1，2a2+2a+1（a为任意正整数）表示勾股数中最大的一个数， ∴另外两个数的表达式分别是2a2+2a，2a+1． 3． 【答案】（1）①②；（2）20或0；（3）m的值是29或45． 【详解】解：（1）①5＝22+12，则5是一个“可媲美勾股数”， ②25＝32+42，则25是一个“可媲美勾股数”， ③49＝72，则49不是一个“可媲美勾股数”， 故答案为：①②； （2）20＝22+42， 当65＝42+72时，A（65）＝4×7＝28，A（20）＝2×4＝8， ∴A（65）﹣A（20）＝28﹣8＝20； 当65＝12+82时，A（65）＝1×8＝8，A（20）＝2×4＝8， ∴A（65）﹣A（20）＝8﹣8＝0； 综上，A（65）﹣A（20）的值是20或0； （3）由题意可得：m＝x2+y2（x≠y），A（m）＝xy， ∴（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝m﹣29， ∴x﹣y＝±3， ∴m＝（y+3）2+y2或m＝（y﹣3）2+y2， ∵18＜m＜60， ∴当y＝2时，m＝52+22＝29或m＝12+22＝5（舍）； 当y＝3时，m＝62+32＝45或m＝02+32＝9（舍）； 综上，m的值是29或45． 题型一 三角形综合题 1．【答案】 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2勾股定理的逆定理 题型一 根据逆定理判断是否是直角三角形 1．（2026·海安市·期末）下列各组数能作为直角三角形的三边长的是（　　） A． B．5，12，13 C．1，2，3 D． 【答案】B 【详解】解：A、∵5，∴，，5不能组成三角形，不合题意； B、∵52+122＝132，∴5，12，13能作为直角三角形的三边长，符合题意； C、∵1+2＝3，∴1，2，3不能组成三角形，不合题意； D、∵（）2+（）2≠（）2，∴，，不作为直角三角形的三边长，不合题意． 故选：B． 2．（2026·启东市·校级同步）下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（　　） A．1，， B．3，4，5 C．5，12，13 D．20，21，31 【答案】D 【详解】解：选项A：∵，∴能构成直角三角形，不合题意； 选项B：∵32+42＝9+16＝25＝52，∴能构成直角三角形，不合题意； 选项C：∵52+122＝25+144＝169＝132，∴能构成直角三角形，不合题意； 选项D：∵202+212＝400+441＝841，312＝961，841≠961，∴不能构成直角三角形，符合题意． 故选：D． 题型二 根据逆定理求角度 1．（2025·连云港·校级三模）如图，正方形网格中，每一小格的边长为1．网格内有△PAB，则∠PAB+∠PBA的度数是　　． 【答案】45° 【详解】解：如图，延长AP到C，使AP＝PC，连接BC， ∵AP＝PC，BC，BP， ∴PC＝BC，PC2+BC2＝PB2， ∴△PCB是等腰直角三角形， ∴∠CPB＝∠CBP＝45°， ∴∠PAB+∠PBA＝∠CPB＝45°． 故答案为：45°． 2．（2025·宿城区·二模）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D，E是网格线交点，则∠BAC﹣∠DAE的度数为　　． 【答案】45° 【详解】解：如图，连接CG、AG， 由勾股定理可得：AC2＝AG2＝12+22＝5，CG2＝12+32＝10， ∴AC2+AG2＝CG2， ∴∠CAG＝90°， ∴△CAG是等腰直角三角形， ∴∠ACG＝45°， ∵CF∥AB， ∴∠ACF＝∠BAC， 在△CFG和△ADE中， ， ∴△CFG≌△ADE（SAS）， ∴∠FCG＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠DAE＝∠ACF﹣∠FCG＝∠ACG＝45°． 故答案为：45°． 题型三 根据逆定理求线段长或面积 1．（2024·丹徒区·期末）一个三角形的三边长分别为5，12，13，则这个三角形最长边上的中线为　　． 【答案】 【详解】解：∵三角形的三边长分别为5，12，13，且52+122＝132， ∴此三角形为直角三角形，则13为直角三角形的斜边， ∴三角形最长边上的中线为． 故答案为：． 2．（2025·徐州·期中）一个三角形三边长为2、3、，则三角形的面积为　　． 【答案】3 【详解】解：∵22+32＝（）2， ∴这个三角形是直角三角形， ∴三角形的面积为：2×3＝3． 故答案为：3． 3．（2025·海陵区·校级期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交BC、AB于点D、F，AC的垂直平分线分别交BC、AC于点E、G，点E在点D右侧．若BD＝10，DE＝6，CE＝8，则△ABC的面积为　　． 【答案】96 【详解】解：如图，连接AD，AE， ∵DF是AB的垂直平分线，EG是AC的垂直平分线，BD＝10，CE＝8， ∴AD＝BD＝10，AE＝CE＝8， ∵DE＝6， ∴AE2+DE2＝100＝AD2， ∴AE⊥BC， ∵BC＝BD+DE+CE＝24， ∴． 故答案为：96． 题型四 勾股数的辨析 1．（2025·海州区·期末）下列各组数中，不是勾股数的是（　　） A．3，4，5 B．5，12，13 C．10，15，20 D．7，24，25 【答案】C 【详解】解：A、32+42＝52，本组数是勾股数，不合题意； B、52+122＝132，本组数是勾股数，不合题意； C、102+152≠202，本组数不是勾股数，符合题意； D、72+242＝252，本组数不是勾股数，不合题意． 故选：C． 2．（2025·徐州·期中）下列各数组中，不是勾股数的是（　　） A．6，8，10 B．8，12，15 C．9，41，40 D．5k，12k，13k（k为正整数） 【答案】B 【详解】解：A、62+82＝102，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数； B、82+122≠152，不能构成直角三角形，故不是勾股数； C、92+402＝412，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数； D、（5k）2+（12k）2＝（13k）2，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数． 故选：B． 3．（2025·鼓楼区·校级期末）下列各组数为勾股数的是（　　） A．0.3，0.4，0.5 B． C．7，24，25 D． 【答案】C 【详解】解：A、∵0.3，0.4，0.5都不是正整数， ∴0.3，0.4，0.5不是勾股数，不合题意； B、∵，，都不是正整数， ∴，，不是勾股数，不合题意； C、∵72+242＝252， ∴正整数7，24，25是勾股数，符合题意； D、∵，，都不是正整数， ∴，，不是勾股数，不合题意． 故选：C． 4．（2025·句容市·月考）有下列各组数：①3，4，5；②8，15，17；③0.5，1.2，1.3；④，其中勾股数有（　　） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】B 【详解】解：①3，4，5均为正整数，且32+42＝25＝52，是勾股数，符合题意； ②8，15，17均为正整数，且82+152＝289＝172，是勾股数，符合题意； ③0.5，1.2，1.3均不是整数，不是勾股数，不合题意； ④中和不是整数，不是勾股数，不合题意． 综上，勾股数有2组． 故选：B． 5．（2025·天宁区·校级期中）有一组勾股数，已知其中的两个数分别是20和15，则第三个数是　　． 【答案】25 【详解】解：∵一组勾股数其中的两个数分别是20和15， ∴设第三个数为x， 当x2+152＝202时，，不是正整数，不合题意； 当152+202＝x2时，x＝25，符合题意； 综上，第三个数为25． 故答案为：25． 题型五 勾股数的规律问题 1．（2024·海门区·期末）如果m表示大于1的整数，设a＝2m，b＝m2﹣1，c＝2m2+2m，d＝m2+1，其中任选三个数能构成勾股数的为（　　） A．a，b，c B．a，b，d C．a，c，d D．b，c，d 【答案】B 【详解】解：∵a＝2m，b＝m2﹣1，d＝m2+1， ∴a2+b2＝（2m）2+（m2﹣1）2＝4m2+m4﹣2m2+1＝+m4+2m2+1＝（m2+1）2，d2＝（m2+1）2， ∴a2+b2＝d2， ∴a，b，d三个数能构成勾股数． 故选：B． 2．（2025·姜堰区·期末）毕达哥拉斯在他找到的勾股数的表达式中，用2n2+2n+1（n为任意正整数）表示勾股数中最大的一个数，则另外两个数中较小数的表达式是（　　） A．n B．2n2 C．2n+1 D．2n2+2n 【答案】C 【详解】解：由题意可得：该类勾股数的三边可表示为2n+1、2n2+2n和2n2+2n+1， 其中最大数为2n2+2n+1，另外两个数为2n+1和2n2+2n， 当n为正整数时，2n2+2n﹣（2n+1）＝2n2﹣1＞0， ∴2n2+2n＞2n+1， ∴较小数的表达式是2n+1． 故选：C． 3．（2025·苏州·期中）勾股定理a2+b2＝c2本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解（a，b，c）通常叫作勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，观察下列几组勾股数：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41）…根据上面的规律，第6个勾股数组为　　． 【答案】（13，84，85） 【详解】解：观察勾股数组的规律，第n个数组的第一个数为2n+1，第二个数为2n（n+1），第三个数为第二个数加1， ∴对于第6个勾股数组： 第一个数a＝2×6+1＝13， 第二个数b＝2×6×（6+1）＝12×7＝84， 第三个数c＝84+1＝85， ∴根据上面的规律，第6个勾股数组为（13，84，85）． 故答案为：（13，84，85）． 4．（2025·沭阳县·期中）仔细观察下列一类勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25；…这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．还有一类勾股数：6、8、10；8、15、17；10、24、26；…；根据此类勾股数的特点，若勾为12，则弦为　　． 【答案】37 【详解】解：根据勾为偶数的勾股数的特点可知：弦与股相差为2，弦与股的和的2倍等于勾的平方， 当勾为12时，勾的平方为144，144÷2＝72， ∴股为35，弦为37． 故答案为：37． 题型一 直角三角形的证明 1．（2024·浦口区·校级期中）张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表： n 2 3 4 5 … a 22﹣1 32﹣1 42﹣1 52﹣1 … b 4 6 8 10 … c 22+1 32+1 42+1 52+1 … （1）请你分别观察a、b、c与n之间的关系，并用含自然数n（n＞1）的代数式表示； （2）猜想：以a、b、c为边的三角形是否为直角三角形？请证明你的猜想． 【答案】（1）a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1；（2）以a、b、c为边的三角形是直角三角形，证明详见解析． 【详解】解：（1）由图表可以得出： n＝2时，a＝22﹣1，b＝4，c＝22+1， n＝3时，a＝32﹣1，b＝2×3，c＝32+1， n＝4时，a＝42﹣1，b＝2×4，c＝42+1， … ∴a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1； （2）以a、b、c为边的三角形是直角三角形，证明如下： ∵a2+b2＝（n2﹣1）2+4n2＝n4+2n2+1，c2＝（n2+1）2＝n4+2n2+1， ∴a2+b2＝c2， ∴以a、b、c为边的三角形是直角三角形． 2．（2025·鼓楼区·期末）已知直角三角形的三边长分别是a，b，c，其中c为斜边． （1）长分别为3a，3b，3c的三条线段能否组成一个直角三角形，判断并说明理由； （2）小明为了证明“长分别为a2，b2，c2的三条线段不能组成一个直角三角形．”是真命题．给出了部分思考如下，请补全他的证明过程． 假设长分别为a2，b2，c2的三条线段能组成直角三角形，则（a2）2+（b2）2＝（c2）2，又…． 【答案】（1）能；（2）不能． 【详解】解：（1）能，理由如下： ∵a，b，c分别是直角三角形的三边长（假设c是斜边）， ∴a2+b2＝c2， ∴9a2+9b2＝9c2，即（3a）2+（3b）2＝（3c）2， ∴长为3a，3b，3c的三条线段能组成直角三角形； （2）假设长分别为a2，b2，c2的三条线段能组成直角三角形， ∴（a2）2+（b2）2＝（c2）2，即a4+b4＝c4， ∵a2+b2＝c2， ∴（a2+b2）2＝a4+2a2b2+b4＝c4， ∵a＞0，b＞0， ∴2a2b2＞0， ∴a4+b4＜a4+2a2b2+b4， ∴a4+b4＜c4，与假设的a4+b4＝c4矛盾， ∴长分别为a2，b2，c2的三条线段不能组成一个直角三角形． 题型二 先证直角三角形，再计算 1．（2026·启东市·期末&2026·扬州·期中）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上． （1）证明△ABC是直角三角形； （2）求BC边上的高． 【答案】（1）证明详见解析；（2）2． 【详解】（1）证明：由题意可得：AB2＝12+22＝5，AC2＝22+42＝20，BC2＝32+42＝25， ∴AB2+AC2＝BC2， ∴△ABC是直角三角形； （2）解：如图，过点A作AD⊥BC于点D， 由（1）可知：AB，AC＝2，BC＝5，∠BAC＝90°， ∵AD⊥BC， ∴S△ABCBC·ADAB·AC， ∴AD2， ∴BC边上的高为2． 2．（2025·南京·期末）如图，在△ABC中，点D在边BC上，连接AD，AB＝13，AC＝20，AD＝12，BD＝5． （1）求证：AD⊥BC； （2）求△ABC的面积． 【答案】（1）证明详见解析；（2）126． 【详解】（1）证明：∵AD＝12，BD＝5，AB＝13， ∴AD2+BD2＝122+52＝169，AB2＝132＝169， ∴AD2+BD2＝AB2， ∴△ABD是直角三角形， ∴∠ADB＝90°， ∴AD⊥BC； （2）解：∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∵AD＝12，AC＝20， ∴CD16， ∴BC＝BD+CD＝5+16＝21， ∴△ABC的面积BC·AD21×12＝126． 3．（2025·沛县·期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝2，BC＝AD＝4，DC＝6，且∠ABC＝90°，求四边形ABCD的面积． 【答案】四边形ABCD的面积为． 【详解】解：如图，连接AC， ∵∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝4， ∴， ∵AD＝4，DC＝6， ∴（2）2+42＝62，即AC2+AD2＝CD2， ∴△ACD是直角三角形，且∠CAD＝90°， ∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD ， ∴四边形ABCD的面积为． 4．（2025·海安市·期末）如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝12，BC＝5，DE是AB的垂直平分线，DE分别交AC，AB于点E，D． （1）求证：△ABC是直角三角形； （2）求CE的长． 【答案】（1）证明详见解析；（2）CE的长为． 【详解】（1）证明：∵AB＝13，AC＝12，BC＝5， ∴AC2+BC2＝122+52＝144+25＝169，AB2＝132＝169， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形； （2）解：如图，连接BE， ∵DE是AB的垂直平分线， ∴AE＝BE， 由（1）可得：△ABC是直角三角形，即∠ACB＝90°， 设CE＝x，则AE＝BE＝AC﹣CE＝12﹣x， 在Rt△BCE中，CE2+CB2＝BE2， 即x2+52＝（12﹣x）2，解得：， ∴CE的长为． 5．（2025·玄武区·校级月考）已知，如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC，垂足为D，交AB于点E，且BE2﹣EA2＝AC2． ①求证：∠A＝90°； ②若DE＝3，BD＝4，求AE的长． 【答案】（1）证明详见解析；（2）AE． 【详解】（1）证明：如图，连接CE， ∵D是BC的中点，DE⊥BC， ∴CE＝BE， ∵BE2﹣EA2＝AC2， ∴CE2﹣EA2＝AC2， ∴EA2+AC2＝CE2， ∴△ACE是直角三角形，即∠A＝90°； （2）解：∵DE＝3，BD＝4， ∴BE5＝CE， ∴AC2＝EC2﹣AE2＝25﹣EA2， ∵BC＝2BD＝8， ∴在Rt△BAC中，由勾股定理可得：BC2﹣BA2＝64﹣（5+EA）2＝AC2， ∴64﹣（5+AE）2＝25﹣EA2，解得：AE． 题型三 勾股数的规律问题综合 1．（2025·鼓楼区·校级期中）如果满足等式a2+b2＝c2的a，b，c是三个正整数，我们称a，b，c为勾股数． （1）已知m，n，k是正整数且m＞n，证明：a＝2mn，b＝m2﹣n2，c＝m2+n2是勾股数． （2）请写出任意一组含有68的“勾股数”：　　． 【答案】（1）证明详见解析；（2）68，285，293（答案不唯一）． 【详解】（1）证明：∵a2+b2＝（2mn）2+（m2﹣n2）＝4m2n2+m4﹣2m2n2+n4＝m4+2m2n2+n4， c2＝（m2+n2）＝m4+2m2n2+n4， ∴a2+b2＝c2， ∵m，n是正整数，m＞n， ∴a＝2mn，b＝m2﹣n2，c＝m2+n2是勾股数； （2）解：设2mn＝68，则mn＝34， 当m＝17，n＝2时，m2﹣n2＝172﹣22＝285，m2+n2＝172+22＝293， ∴68，285，293是一组含有68的“勾股数”， 故答案为：68，285，293（答案不唯一）． 2．（2025·宿城区·期中）【知识背景】我国古代把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”．据《周髀算经》记载，公元前1000多年就发现了“勾三股四弦五”的结论．像3、4、5这样为三边长能构成直角三角形的3个正整数，称为勾股数． 【应用举例】 观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；… 可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过， 当勾为3时，股4，弦5； 当勾为5时，股12，弦13； 当勾为7时，股24，弦25． 请仿照上面三组样例，用发现的规律填空： （1）如果勾用n（n≥3，且n为奇数）表示时，请用含有n的式子表示股和弦，则股＝　　，弦＝　　． 【问题解决】 （2）古希腊的哲学家柏拉图也提出了构造勾股数组的公式．具体表述如下：如果a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1（m为大于1的整数），则a、b、c为勾股数．请你证明柏拉图公式的正确性； （3）毕达哥拉斯在他找到的勾股数的表达式中发现弦与股的差为1，若用2a2+2a+1（a为任意正整数）表示勾股数中最大的一个数，请你找出另外两个数的表达式分别是多少？ 【答案】（1）（n2﹣1），（n2+1）；（2）证明详见解析； （3）另外两个数的表达式分别是2a2+2a，2a+1． 【详解】（1）解：如果勾用n（n≥3，且n为奇数）表示时，则股（n2﹣1），弦（n2+1）， 故答案为：（n2﹣1），（n2+1）； （2）证明：∵a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1（m表示大于1的整数）， ∴a2+b2＝（2m）2+（m2﹣1）2 ＝4m2+m4﹣2m2+1 ＝m4+2m2+1 ＝（m2+1）2＝（m2+1）2＝c2， ∴a2+b2＝c2 ∴a、b、c为勾股数； （3）解：∵弦与股的差为1，2a2+2a+1（a为任意正整数）表示勾股数中最大的一个数， ∴另外两个数的表达式分别是2a2+2a，2a+1． 3．（2025·泗阳县·期末）已知m、x、y均为正整数，且x≠y，当m＝x2+y2时，我们称正整数m为“可媲美勾股数”，把x与y的积称为m的“勾股值”，用A（m）表示，即A（m）＝xy．例如：13＝32+22，A（13）＝3×2＝6，13就是一个“可媲美勾股数”，6是13的勾股值． （1）下列各数中，属于“可媲美勾股数”的有　　． ①5 ②25 ③49 （2）求A（65）﹣A（20）的值． （3）已知正整数m为“可媲美勾股数”，且满足18＜m＜60，m的勾股值为，求m的值． 【答案】（1）①②；（2）20或0；（3）m的值是29或45． 【详解】解：（1）①5＝22+12，则5是一个“可媲美勾股数”， ②25＝32+42，则25是一个“可媲美勾股数”， ③49＝72，则49不是一个“可媲美勾股数”， 故答案为：①②； （2）20＝22+42， 当65＝42+72时，A（65）＝4×7＝28，A（20）＝2×4＝8， ∴A（65）﹣A（20）＝28﹣8＝20； 当65＝12+82时，A（65）＝1×8＝8，A（20）＝2×4＝8， ∴A（65）﹣A（20）＝8﹣8＝0； 综上，A（65）﹣A（20）的值是20或0； （3）由题意可得：m＝x2+y2（x≠y），A（m）＝xy， ∴（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝m﹣29， ∴x﹣y＝±3， ∴m＝（y+3）2+y2或m＝（y﹣3）2+y2， ∵18＜m＜60， ∴当y＝2时，m＝52+22＝29或m＝12+22＝5（舍）； 当y＝3时，m＝62+32＝45或m＝02+32＝9（舍）； 综上，m的值是29或45． 题型一 三角形综合题 1．（2025·扬州·期中）在△ABC中，AB＝10，BC＝6，AC＝8，点D在线段BC上从点C向点B移动，同时，点E在线段AB上由点A向点B移动，当点D与点B重合时运动停止，已知它们的运动速度相同，连接AD，CE，则AD+CE的最小值为　　． 【答案】 【详解】解：∵AB＝10，BC＝6，AC＝8，则AB2＝BC2+AC2， ∴△ABC为直角三角形，则∠ACB＝90°， 如图，作CF⊥AB交AB于F，作∠BCH＝∠BAC，并使得CH＝AC＝8， 过点A作AG⊥HC交HC延长线于点G，连接AH，则∠G＝∠AFC＝90°，∠BAC+∠ACF＝90°， ∵∠ACF+∠BCF＝90°， ∴∠BCH＝∠BAC＝∠BCF， 又∵∠ACB＝90°， ∴∠ACG+∠BCH＝90°， ∴∠ACF＝∠ACG， ∵AC＝AC， ∴△ACF≌△ACG（AAS）， ∴CG＝CF，AG＝AF， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵点D，点E运动速度相同， ∴CD＝AE， 又∵∠BCH＝∠BAC，CH＝AC， ∴△ACE≌△CHD（SAS）， ∴CE＝DH， ∴，当点D在AH上时，取等号． ∴AD+CE的最小值为：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $