广西玉林市第一中学2026-2027学年高三上学期数学周六自主训练

**基本信息** 高三数学周测试卷，涵盖函数、概率统计等核心知识，解答题结合租车业务、拼豆游戏等实际情境，注重数学应用与思维能力考查。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|集合、函数性质、正态分布|基础概念辨析，如幂函数单调性判断| |多选题|3|命题否定、函数奇偶性|多维度逻辑推理，如偶函数与奇函数性质综合| |填空题|3|导数、二项式定理|简洁考查运算能力，如导数值求解| |解答题|5|正态分布应用、概率统计、线性回归、导数证明|实际情境应用（租车业务分析），分层设计（导数单调性讨论与不等式证明）|

高三数学周六自主训练（2） 一、单选题 1．下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．已知，等于（    ） A．1 B． C．3 D． 3．已知集合，，若为的真子集，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．已知幂函数在上单调递减，则实数的值为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．-1或1 5．某次测试成绩，记成绩120分以上为优秀，则此次测试的优秀率约为（    ） 参考数据：若，则， A． B． C． D． 6．在5件工艺品中，有2件二等品，3件一等品，现从中抽取3件，设抽得二等品件数为X，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．已知函数，若方程只有一个实数解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．在元旦小长假期间，要从5人中选若干人在3天假期值班（每天只需1人值班），不出现同一人连续值班2天，则可能的安排方法种数有（     ） A．60种 B．70种 C．80种 D．90种 二、多选题 9．在下列四个命题中，正确的是（    ） A．命题“，使得”的否定是“，都有” B．当时，的最小值是5 C．已知集合，若，则m的值为 D．“”是“”的必要不充分条件 10．若，，，则（    ） A．M与N互斥 B．M与N相互独立 C． D． 11．已知函数是定义域为R的偶函数，且为奇函数，则（    ） A． B．的图象关于点中心对称 C．函数的周期为2 D． 三、填空题 12．已知的导函数为，且，则________． 13．在 的展开式中， 的系数为_____. 14．若不等式的一个充分不必要条件为，则实数的取值范围是__________. 四、解答题 15．某市高二年级期末统考的数学成绩近似服从正态分布. (1)估计数学成绩超过112分的人数占总人数的比例； (2)若该市有10000名高二年级考生，估计全市数学成绩在内的学生人数. 参考数据：若，则，，. 16．已知函数 (1)若，求不等式的解集； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围． 17．甲、乙、丙三人参加拼豆游戏，主办方规定，在一定的时间内完成拼豆的可获得额外奖励，已知甲、乙、丙三人在规定时间内完成拼豆的概率分别为，，，且三人是否在规定时间内完成拼豆不相互影响． (1)求恰有1人在规定时间内完成拼豆的概率； (2)若该游戏分为3轮，记3轮中在规定时间内至多有1人完成拼豆的轮数为，求的分布列以及数学期望． 年份 2019年 2020年 2021年 2022年 2023年 业务量 20 24 36 43 52 18．随着社会经济的发展，越来越多的人在抵达目的地后选择租车游玩，拉动了许多租车公司的业务，某租车公司为继续开拓市场，提升服务质量，迎接暑假旅游旺季的到来，对近5年的暑假的租车业务量（单位：十万元）进行了汇总研究，情况如下： 经过数据分析，已知年份与业务量具有线性相关关系. (1)假设2019年为第1年，求第年的业务量关于的经验回归方程，并预测2024年暑假的业务量； (2)该公司从2023年暑假租车的客户中随机抽取了100名客户进行调研，现将100名客户的年龄划分为“青年”和“中老年”，评分划分为“好评”和“差评”，整理得到如下数据，请将列联表补充完整并根据小概率值的独立性检验，分析青年群体和中老年群体对租车服务的评价是否有差异. 好评 差评 合计 青年 20 中老年 15 合计 45 100 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 附：经验回归直线方程，其中 独立性检验中的，其中. 19．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，． 《高三数学周六自主训练（2）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C C C A B D A C ABC BC BD 1．C【详解】当时，满足，但不成立，所以A错； 当时，满足，但不成立，所以B错； 当时，满足，但不成立，所以D错； 因为所以，又，因此同向不等式相加得，即C对； 2．C【详解】因为，所以. 3．C【详解】当时，满足为的真子集，此时，解得. 当时，则或，解得.综上，，即m的取值范围是 . 4．A【详解】由题可知，解方程可得或， 解不等式可得，所以， 5．B【详解】由，知，因为， 所以由正态分布性质得120分以上的概率为，故优秀率约为. 6．D【详解】易知的可能取值为，且服从超几何分布， 所以，所以. 7．A【详解】解：在上单调递减，在单调递增， 则的图像如下： 方程只有一个实数解，则的取值范围为． 8．C【详解】由题意可知，满足约束的值班人数仅能为2或3，分情况计算： ①当值班人数为3时，3天各安排1名不同的人，不存在连续重复值班的情况，从5人中任选3人全排列，安排方法数为；②当值班人数为2时，为避免同一人连续值班，需1人值第1、3天，另1人值第2天，先从5人中选2人，再指定1人值首尾两天，安排方法数为； 根据分类加法计数原理，总安排方法数为种． 9．ABC【详解】对于A, “，使得”的否定是“，都有”,A正确， 对于B,当时，，则，当且仅当，即时取到等号，故B正确，对于C,若，解得，则集合，符合题意，若，此时无解，因此若，则m的值为，故C正确，对于D, 由可得到，当时，或，故“”是“”的充分不必要条件，D错误， 10．BC【详解】，故， ，而，故，故M与N相互独立，B正确； ，D错误； 由于，故M与N不互斥，A错误； 由于M与N相互独立，故也互相独立，其中，故， 故，C正确. 11．BD【详解】函数是定义域为的偶函数，所以， 对于A，因为为奇函数，所以，故A错误； 对于B，由，所以，可知的图象关于点中心对称，故B正确；对于C，由，所以， 又，所以，即，故函数的周期为4，故C错误；对于D，由，令，则，所以， 所以，故D正确. 12．3【详解】由题意得，则，解得. 13．28【详解】 , 的展开式通项为： , 要得到展开式中的项，分两类讨论： 取第一个因式中的，乘以展开式中的项： 令，解得，对应系数为；取第一个因式中的，乘以展开式中的项： 令，解得， 对应系数为； 将两类系数相加，得的系数为. 14．【详解】由题意得，即，解得， 当时，不等式无解；当时，不等式的解集为，不等式是不等式的充分不必要条件，不等式的解集是不等式解集的真子集， 当时，不等式的解集为空集，不符合要求， 当时，不等式的解集为，需满足，解得.实数的取值范围是. 15．(1) (2)8186人 【详解】（1）由高二年级期末统考的数学成绩近似服从正态分布， 可得，则，所以数学成绩超过112分的人数占总人数的比例； （2）解：则 ， ，所以估计成绩在内的学生人数为8186人. 16．(1) (2)【详解】（1）， 即不等式的解集为； （2），恒成立，令，则函数在上单调递减，在上单调递增，故，则，故实数的取值范围为. 0 1 2 3 17．(1) (2)的分布列为： 数学期望. 【详解】（1）设事件为“甲在规定时间完成拼豆”，为“乙在规定时间完成拼豆”，为“丙在规定时间完成拼豆”，由题意知相互独立，且，对应对立事件概率为.恰有1人完成拼豆包含3个互斥事件：仅甲完成、仅乙完成、仅丙完成，因此所求概率 又，， 所以. （2）单轮内0人完成的概率，由（1）得，单轮1人完成的概率为， 故单轮内至多有1人完成拼豆的概率.3轮试验相互独立，每轮结果只有两种，故，的可能取值为0，1，2，3，， ，，， 故的分布列为： 0 1 2 3 由二项分布期望公式得. 18．(1)，59.9十万元.(2)青年群体和中老年群体对租车服务的评价有差异. 【详解】（1），， ，， ..时，，预测2024年暑假的业务量约为59.9十万元. （2）列联表如下： 好评 差评 合计 青年 20 30 50 中老年 35 15 50 合计 55 45 100 零假设为青年群体和中老年群体对租车服务的评价相互独立.，根据小概率值的独立性检验，青年群体和中老年群体对租车服务的评价有差异. 19．(1)当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）见详解 【详解】（1）因为，定义域为，所以， 当时，由于，则，故恒成立， 所以在上单调递减； 当时，令，解得， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； 综上：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. (2)方法一： 由（1）得，， 要证，即证，即证恒成立， 令，则， 令，则；令，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，则恒成立， 所以当时，恒成立，证毕. 方法二： 令，则， 由于在上单调递增，所以在上单调递增， 又， 所以当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增， 故，则，当且仅当时，等号成立， 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以要证，即证，即证， 令，则， 令，则；令，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，则恒成立， 所以当时，恒成立，证毕. 《高三数学周六自主训练（2）》试题第4页（共4页） 《高三数学周六自主训练（2）》试题第3页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $