第15讲 导数的概念及其意义、导数的运算课件——2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“导数的概念及其意义、导数的运算”专题，依据课标要求梳理了瞬时变化率、极限思想、几何意义及导数运算（基本公式、四则法则、复合函数）等核心考点，通过考点权重分析明确导数几何意义与运算为高频考查内容，归纳出切线方程、参数取值、公切线等常考题型，体现高考备考的针对性。 课件亮点在于“基础巩固+考点探究+真题演练”的系统设计，如通过辨析“在点处”与“过点处”切线差异培养学生数学思维，结合双切点参数法解决公切线问题渗透数学语言表达，助力学生掌握导数应用技巧，教师可据此实现精准复习指导，提升高考冲刺效率。

知识网络 1 第15讲 导数的概念及其意义、导数 的运算 2 【课标要求】 1.导数概念及其意义 （1）通过实例分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了 解导数概念的实际背景,知道导数是关于瞬时变化率的数学表达,体会 导数的内涵与思想. （2）体会极限思想. （3）通过函数图象直观理解导数的几何意义. 3 2.导数运算 （1）能根据导数定义求函数,,,, , 的导数. （2）能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则, 求简单函数的导数;能求简单的复合函数的导数. （3）会使用导数公式表. 4 1.变化率与导数 （1）平均变化率： 概念 对于函数,比值 _____________叫作函数 从到 的______变化率 几何 意义 函数在区间 上对应的图象的两端点连 线所在直线的______ 平均 斜率 ◆ 知识聚焦 ◆ 课 前 基 础 巩 固 5 （2）函数在 处的导数： 概念 在 处 ,我们称常数 为函数 在_______处的导数,记作或 几何 意义 就是曲线在点处（也称在 处）的切线的______,其切线方程是______________________ ___ 物理 意义 导数可以描述任何运动变化事物的瞬时变化率 斜率 课 前 基 础 巩 固 6 （3）导函数 当时,是一个唯一确定的数.当变化时,就是 的 函数，我们称它为的导函数（简称导数） 的导函数有时也记作,即 . 课 前 基 础 巩 固 7 2.导数的运算 函数名称 导函数 特例或推广 常用 导数 公式 常函数 为常数 幂函数 _______ 三角函数 ______， _______ 偶（奇）函数的导数是 奇（偶）函数，周期函 数的导数是周期函数 指数函数 _______ ，且 课 前 基 础 巩 固 8 函数名称 导函数 特例或推广 常用 导数 公式 对数函数 _ ____ ，且 ， 续表 课 前 基 础 巩 固 9 名称 运算法则 推广 四则 运算 法则 加减 _____________ 乘法 _______ _________________ 课 前 基 础 巩 固 10 名称 运算法则 推广 四则 运算 法则 除法 复合函数求 导 一般地，对于由函数和 复合而成的 函数，它的导数与函数 ， 的导数间的关系为________，即对 的导数等于对的导数与对 的导数的乘积 续表 课 前 基 础 巩 固 11 常用结论 1.可导奇函数的导数是偶函数，可导偶函数的导数是奇函数，可导周 期函数的导数还是周期函数. 2.函数的导数反映了函数 的瞬时变化趋势，其正负号 反映了变化的方向，其绝对值的大小反映了变化的快慢， 越 大，曲线在这点处的切线越“陡”. 课 前 基 础 巩 固 12 3.两类切线问题的区别 （1）“过”与“在”：曲线“在点 处的切线”与“过点 的切线”的区别是前者为切点，而后者 不 一定为切点. （2）“切点”与“公共点”：曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点， 而直线与二次曲线相切只有一个公共点. 4.的图象与的图象相切于点； 的图象与 的图象相切于点 . 课 前 基 础 巩 固 13 题组一 易错辨析 判断下列说法是否正确.（请在括号中打“√”或“×”） （1）设，则，则趋近于0时，趋近于 ， 因此， .( ) √ [解析] 由导数的定义可知正确. ◆ 课前演练 ◆ 课 前 基 础 巩 固 14 （2）函数在处的导数值就是曲线在 处的切线的斜率.( ) √ [解析] 函数在处的导数值就是曲线在 处的切线的斜率，故正确. （3）函数的导数为 .( ) × [解析] ，则 ，故错误. 课 前 基 础 巩 固 15 题组二 教材改编 1.若函数，则函数从到 的平均变化率 为( ) A.6 B.3 C.2 D.1 [解析] 因为,所以 ,， 故函数从到 的平均变化率为 . 故选B. √ 课 前 基 础 巩 固 16 2.已知函数，则 ( ) A. B. C.2 D.4 [解析] .故选C. √ 课 前 基 础 巩 固 17 3.下列求导运算结果正确的是( ) A. B. C. D. [解析] 对于A，，故A错误； 对于B， ，故B正确； 对于C， ，故C错误； 对于D， ，故D错误. 故选B. √ 课 前 基 础 巩 固 18 4.曲线在 处的切线方程是( ) A. B. C. D. [解析] 因为，所以， 所以曲线 在处的切线的斜率， 又当时， ，所以切线方程是 . 故选B. √ 课 前 基 础 巩 固 19 探究点一 导数的概念 例1 [2026·福建福州期中]函数在 处可导，若 ，则 ( ) A.1 B. C.3 D. [解析] ，故 ， 由导数的定义可知， . 故选B. √ 课 堂 考 点 探 究 20 总结反思 （1）函数应在 处有定义，否则导数不存在. （2）在导数定义的极限式中， 趋近于0，可正可负，但不能为0， 而 可能为0. 课 堂 考 点 探 究 21 【对点演练1】 [2025·山东日照联考]若 ，则 ( ) A. B.4 C.2 D. [解析] ,故选C. √ 课 堂 考 点 探 究 22 探究点二 导数的运算 例2（1）下列函数求导正确的是( ) A. B. C. D. [解析] ，A错误. ，B错误. ，C错误. ，D正确.故选D. √ 课 堂 考 点 探 究 23 （2）[2026·浙江杭州期中] 已知定义在上的连续函数 的导函数 ，设，则 ______. [解析] 由 ， 得 ， 所以 . 课 堂 考 点 探 究 24 总结反思 （1）求函数的导数要准确把函数分解为基本初等函数的和、差、积、 商,再利用导数的运算法则求导数. （2）在求导过程中,要仔细分析函数解析式的结构特征,紧扣法则,记 准公式,避免运算错误. （3）复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元. 课 堂 考 点 探 究 25 【对点演练2】（1）下列函数求导正确的是( ) A. B. C. D. [解析] 对于A， ，A错误； 对于B，，B错误； 对于C， ，C正确； 对于D， ，D错误. 故选C. √ 课 堂 考 点 探 究 26 （2）已知函数，则 ( ) A. B. C. D. [解析] 由题得， 所以 ，得 . 故选C. √ 课 堂 考 点 探 究 27 探究点三 导数的几何意义 题型1 求曲线的切线方程 例3（1）[2025·石家庄模拟]已知函数，则 的 图象在点 处的切线方程是( ) A. B. C. D. [解析] 由，得 ， 则， 所以的图象在点 处的切线方程为， 即 .故选D. √ 课 堂 考 点 探 究 28 （2）[2025·江苏扬州中学模拟] 已知函数 ，过原点作 曲线 的切线，则该切线的方程为_ ___________. [解析] 设切点坐标为，由题得 ， 所以所求切线的斜率 ， 又切线过原点，所以，则， 故切点坐标为 ，切线斜率为， 所以该切线的方程为 . 课 堂 考 点 探 究 29 题型2 求参数的值或取值范围 例4（1）[2026·湖南郴州三模]已知函数 ，若函数 在区间上的图象存在两条斜率之积为的切线，则实数 的取值范围为( ) A. B. C. D. √ 课 堂 考 点 探 究 30 [解析] 由，得 ， 不妨设这两条切线的切点坐标分别为, ， 则. 若，则 恒成立，不符合题意， 所以，此时在 上单调递增， 解得,故实数的取值范围为 .故选D. 课 堂 考 点 探 究 31 （2）[2025· 全国一卷] 若直线是曲线 的一 条切线，则 ___. 4 [解析] 方法一：因为，所以 ， 直线是曲线的切线，其斜率为2， 令 ，则，解得， 将代入切线方程 ，可得， 所以切点坐标为. 因为切点 在曲线上， 所以，即，解得 . 课 堂 考 点 探 究 32 方法二：因为，所以， 设直线 与曲线的切点坐标为， 则 解得 . 课 堂 考 点 探 究 33 题型3 两曲线的公切线 例5（1）与曲线和的公切线 垂直的直线方程可 以为( ) A. B. C. D. √ 课 堂 考 点 探 究 34 [解析] 设与曲线相切于点，与曲线 相切于点， 设， ，则，， 所以， ， 解得 所以,即公切线 的斜率为1， 故与垂直的直线的斜率为 ，所以所求直线方程可以为 . 故选D. 课 堂 考 点 探 究 35 （2）[2026·湖南名校联考]若直线为常数 是曲线 和曲线的公切线，则实数 的值为( ) A. B. C.1 D. [解析] 方法一：令，，则 ， 设直线与曲线的切点坐标为 ， 则切线方程为，即 ， 又因为，所以解得 所以切线方程为 . √ 课 堂 考 点 探 究 36 令，则， 设直线 与曲线的切点坐标为， 则 ， 又因为切点在直线 上， 所以，即， 由①②可得 ，所以，解得 . 课 堂 考 点 探 究 方法二：设直线与曲线相切于点 ，与 曲线相切于点， 则 所以，所以，. 同理 所以，所以， 所以，所以 .故选B. 课 堂 考 点 探 究 38 总结反思 （1）在求曲线的切线方程时,要注意两个“说法”:“求曲线在点 处的 切线方程”和“求曲线上过点的切线方程”,在点 处的切线,一定是以 点为切点,过点的切线,点可能不在曲线上,点 也不一定是切点. （2）求过点的曲线 的切线方程的一般步骤: 第一步,设出切点 ; 第二步,写出曲线在点 处的切线方程,即 ; 第三步,将点的坐标代入切线方程,求出 ; 第四步,将的值代入方程 ，即可得过点 的切线方程.#1.2.4 课 堂 考 点 探 究 39 （3）解决两曲线的公切线问题通常有两种方法： ①利用其中一条曲线在某点处的切线与另一条曲线也相切，列出关 系式求解； ②设公切线与曲线的切点为，与曲线 的切点为，则 . （4）处理与切线有关的参数问题，关键是根据曲线、切线、切点的 三个关系列出参数的方程（组）：①切点处的导数是切线的斜率； ②切点在切线上；③切点在曲线上. 课 堂 考 点 探 究 40 【对点演练3】（1）[2025·安徽江南十校联考] 曲线 在点 处的切线方程为___________. [解析] 由题得，故，所以曲线在 点 处的切线方程为，即 . （2）若曲线在点处的切线过原点 ，则 __. [解析] 因为，所以， 所以曲线 在点处的切线方程为 ， 又切线过原点，所以，所以 . 课 堂 考 点 探 究 41 （3）已知函数，，若直线是曲线 与曲线的公切线，则 的方程为___________. [解析] 设直线与的图象相切于点， 又 ，所以切线的斜率为， 所以直线的方程为 ，即. 由 得 ， ，整理可得 . 课 堂 考 点 探 究 42 令，其中，则， 由 可得，由可得， 所以在 上单调递减，在上单调递增， 所以， 故方程 的根为， 因此的方程为，即 . 课 堂 考 点 探 究 $