第3章 第17讲 导数的概念及其意义、导数的运算(课件PPT)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（北师大版）

该高中数学高考复习课件聚焦“导数的概念及其意义、导数的运算”专题，依据高考评价体系梳理了导数概念、运算、几何意义及应用四大核心考点，通过2024-2025年新课标卷真题分析，明确“导数几何意义”（如2025全国一卷T12）和“导数综合应用”（如2024新课标I卷T21）为高频考点，构建了小题（中等难度）与大题（压轴题）的题型训练体系。 课件亮点在于“真题溯源+通性通法+思想渗透”的备考策略，以2024全国甲卷切线方程题为例，解析“求导算斜率-代入得切点-点斜式写方程”三步法，培养逻辑推理和数学运算素养。特设“易错陷阱警示”（如复合函数求导漏乘）和“数学思想应用”（如分类讨论研究单调性），助力学生掌握得分技巧，教师可据此精准规划复习，提升备考效率。

第17讲　导数的概念及其意义、导数的运算 高三总复习讲义 北师大版 第三章　一元函数的导数及其应用 金版开篇——27备考导航　备课授课＋素材资源 【知识构建】 【命题趋势】 　　高考对导数的考查主要涉及导数的运算、导数的几何意义以及导数的应用，其中导数运算渗透在导数应用中考查［2025全国一卷T16(2)］，导数的几何意义多以客观题形式出现，难度中等及以下，主要与切线问题有关［2025全国一卷T12］；导数应用分为一般应用和综合应用，一般应用主要涉及利用导数研究函数的单调性、极值、最值，以客观题或解答题的形式出现，难度中等［2025全国二卷T13］，综合应用则以解答题呈现，设问方式多元，主要考查利用导数解决不等式证明、不等式恒成立、函数零点、双变量等问题，难度较大，多为压轴题位置考查，强调知识的融会贯通与方法的灵活多变，体现综合性、创新性和选拔性的考查要求［2025全国一卷T19，2025全国二卷T18］． 1.题型设置：常以两个小题和一个大题的形式呈现． 2.内容考查：本章是高考必考内容，常考查导数的运算、导数的几何意义、利用导数研究函数的性质及与不等式等交汇问题． 3.能力考查：高考题凸显对数学抽象能力、直观想象能力、逻辑推理能力、模型构建能力、数学运算能力的考查． 【备考策略】 1.明晰重要概念，注重回归数学本质的复习：导数的几何意义、极值、最值等概念是解题的基础，应明确这些概念，把握概念内涵，理解概念的多元特征，建立概念之间的联系，才能更好地分析问题和解决问题． 2.重视知识的交汇与联系：导数与函数、不等式、方程等都有交汇与联系，应注意它们之间的联系，注意对相关知识的理解与运用． 3.强化通性通法的训练：通性通法是从数学的概念和原理出发，使用比较常规的通识性的基本数学方法，不追求特殊技巧．在本章复习中要理解和掌握用导数研究函数的单调性、凹凸性、极值、最值、恒成立、零点等，强调对导数概念本质的理解，抓住导数与单调性的关系这一核心，在一般方法的引领下，面对新颖或陌生的问题情境，让学生主动思考，积极探索，大胆尝试．注重数学问题本质，注重方法的普适性，强调对学科基本方法的深刻理解，引导中学把备考重点从总结解题技巧转变到培养学生数学思维，转向到培养学生学科核心素养． 4.深化数学思想方法的渗透：(1)函数与方程思想：导数与函数、方程、不等式之间有着密切的联系，所以在处理不等式恒(能)成立问题、利用导数证明不等式、利用导数研究函数零点或方程解的问题时，常用到函数与方程思想． (2)转化与化归思想：通过构造函数，将方程问题、不等式问题转化为函数的单调性、极值、最值等问题． (3)数形结合思想：研究函数性质、函数零点(或方程根、图象交点)的个数、不等式的解集等问题． (4)分类讨论思想：研究函数的单调性、极值、最值、恒成立问题、零点问题时经常用到分类讨论，要准确把握讨论的标准，以及有条不紊的进行 讨论． 复习过程中要注意引导学生对数学思想方法的提炼，从而能够养成自觉运用数学思想分析问题和解决问题的习惯． 课程标准 1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概 念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想．　 2.体会极限思想．　 3.通过函数图象直观理解导数的几何意义．　 4.能根据导数定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数．　 5.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数；能求简单的复合函数(限于形如f)的导数．　 6.会使用导数公式表． 03 课时分层测评 02 考点探究　提升能力 教材梳理　夯实基础 01 内容索引 教材梳理　夯实基础 返回 1.导数的概念 (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记作_______或___________，f′(x0)＝＝． (2)函数y＝f(x)的导函数：f′(x)＝． 2.导数的几何意义 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的______，相应的切线方程为__________________________． f'(x0) 斜率 y－f(x0)＝f'(x0)(x－x0) y' 3.基本初等函数的导数公式 函数 导数 y＝c(c是常数) y′＝___ y＝xα(α是实数) y′＝__________ y＝ax(a＞0，a≠1) y′＝________，特别地(ex)′＝____ y＝log ax (a＞0，a≠1) y′＝，特别地(ln x)′＝ y＝sin x y′＝_______ y＝cos x y′＝_________ y＝tan x y′＝ 0 α axln a ex cos x －sin x 4.导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有： (1)［f(x)＋g(x)］′＝________________， (2)［f(x)－g(x)］′＝________________， (3)［f(x)g(x)］′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)， (4)′＝(g(x)≠0)， 特别地：［kf(x)］′＝kf′(x)(k∈R)． f'(x)＋g'(x) f'(x)－g'(x) 5.复合函数的定义及其导数 (1)定义：一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝φ(x)＝ax＋b，如果给定x的一个值，就得到了u的值，进而确定了y的值，那么y可以表示成x的函数，称这个函数为函数_________和________的复合函数，记作__________，其中u为中间变量． (2)复合函数的求导法则 复合函数y＝f(φ(x))对x的导数为y′x＝____________＝___________，其中u＝φ(x)． y＝f(u) u＝φ(x) y＝f(φ(x)) ［f(φ(x))］′ f′(u)φ′(x) 1.奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 2.函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，|f′(x)|的大小反映了f(x)图象变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”． 常用结论 3.几类重要的切线方程 (1)直线y＝x－1是曲线y＝ln x的切线，直线y＝x是曲线y＝ln (x＋1)的切线，……，直线y＝x＋n是曲线y＝ln (x＋n＋1)的切线. (2)直线y＝x＋1与y＝ex是曲线y＝ex的切线. (3)直线y＝x是曲线y＝sin x与y＝tan x的切线. 由以上切线方程又可得重要不等式，如ln x≤x－1，x＋1≤ex等. 1.(多选)下列说法中正确的有 A．'＝cos B．已知函数f(x)在R上可导，且f'(1)＝1，则＝1 C．一质点A沿直线运动，位移y(单位：m)与时间t(单位：s)之间的关系为y＝t2＋1，则该质点在t＝2 s时的瞬时速度是4 m/s D．若y＝f(x)·g(x)，则y'＝f'(x)·g'(x) √ √ 自测诊断 2.(多选) (链接北师选择性必修二P73T4)下列结论中正确的有 A．'＝2cos B．(ln 2x)'＝ C．(2xex)'＝2ex(x＋1) D．'＝2x＋ √ √ √ 解析：对于A，'＝2cos，故A正确；对于B，(ln 2x)'＝＝，故B错误；对于C，(2xex)'＝2[x'ex＋(ex)'x]＝2ex(x＋1)，故C正确；对于D，'＝'＝(x2)'＋'＝2x＋＝2x＋，故D正确.故选ACD. 3.(链接北师选择性必修二P73T5)设函数f(x)＝.若f'(1)＝，则a＝___. 1 解析：由函数的解析式可得f'(x)＝＝，则f'＝＝，所以＝，整理得a2－2a＋1＝0，解得a＝1. 4.(链接北师选择性必修二P73T3)曲线f(x)＝＋在处的切线方程为__________. y＝x－ 解析：根据题意，得f'(x)＝－(x＞0)，所以f'＝.又f(1)＝，该切线方程为y－＝，即y＝x－. 返回 考点探究　提升能力 返回 1.(2026·浙江杭州模拟)已知函数f(x)的导函数为f'(x)，且＝4，则f'(3)＝ A．2 B．1 C．8 D．4 考点一　导数的概念与运算 自主练透 √ 解析：由导数的定义，得f'(3)＝＝4，故D正确.故选D. 2.(多选)(2026·湖北咸宁模拟)下列求导运算正确的是 A．'＝ B．'＝ C．'＝－2exsin 2x＋excos 2x D．'＝ √ √ √ 解析：对于A，'＝×＝，故A正确；对于B，'＝'＝(x－1＝，故B错误；对于C，'＝excos 2x＋ex'＝－2exsin 2x＋excos 2x，故C正确.对于D，'＝＝，故D正确.故选ACD. 3.(2026·山东潍坊模拟)已知函数f(x)＝f'sin x＋x，则f'＝ A．－2 B．－1 C．1 D．2 √ 解析：因为f'(x)＝f'cos x＋1，则f'＝f'cos ＋1，解得f'＝2.故选D. 1.求函数f(x)在x＝x0处的导数的步骤 第一步：求函数值的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； 第二步：求平均变化率＝； 第三步：求瞬时变化率，即取极限，得到f'(x0). 简记作：一差、二比、三极限. 规律方法 2.函数求导应遵循的原则 (1)求函数的导数要准确地利用代数、三角恒等变换等变形规则把函数化简为基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导. (2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解. (3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元. 规律方法 (4)形如f(x)＝f'(x0)g(x)＋h(x)(x0为常数)的函数求值，先求导数f'(x)，然后令x＝x0，解关于f'(x0)的方程，即可得到f'(x0)的值，进而得到f(x)，f'(x)再进行求解. 规律方法 角度1　求切线方程 (1)(2024·全国甲卷)设函数f(x)＝，则曲线y＝f(x)在点(0，1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 A． B． C． D． 考点二　导数的几何意义 高考超重点，多维探究 典例1 √ f'(x)＝，所以f'(0)＝3，所以曲线y＝f(x)在点(0，1)处的切线方程为y－1＝3(x－0)，即3x－y＋1＝0，切线与两坐标轴的交点分别为(0，1)，，所以切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为×1×＝.故选A. (2)(双空题)(2022·新高考Ⅱ卷)曲线y＝ln ｜x｜过坐标原点的两条切线的方 程为___________，______________________. y＝x y＝－x(不分先后) 由题意可知，函数的定义域是{x｜x≠0}.易证函数y＝ln ｜x｜为偶函数，当x＞0时，y＝ln x，设切点坐标为(x0，ln x0).因为y'＝，所以切线斜率k＝y'＝，故切线方程为y－ln x0＝(x－x0).又知切线过原点(0，0)，所以－ln x0＝－1，所以x0＝e，故切线方程为y－1＝，即y＝x.由偶函数图象的对称性可知，另一条切线方程为y＝－x，故过坐标原点的两条切线方程为y＝x和y＝－x. 溯源教材7 溯源 (北师选择性必修二P72练习T2)求曲线y＝在点(1，1)处的切线的方程. 透视 两者均考查了分式型函数的导数计算及切线方程的应用，核心步骤都是先求导得出斜率，再利用点斜式写出切线方程，最终涉及切线与坐标轴围成的面积计算(高考题)或直接求切线方程(课本习题)，体现了导数几何意义的统一性.在2023年进行了类似的考查： (2023·全国甲卷)曲线y＝在点(1，)处的切线方程为 A．y＝x B．y＝x C．y＝x＋ D．y＝x＋ √ 设曲线y＝在点(1，)处的切线方程为y－＝k(x－1)，因为y＝，所以y'＝＝，所以k＝y'｜x＝1＝，所以y－＝(x－1)，所以曲线y＝在点(1，)处的切线方程为y＝x＋.故选C. 预测 (1)(多选)已知函数f(x)＝，则下列结论正确的是 A．当a＝1时，曲线y＝f(x)在点处的切线方程为y＝x B．当a＝1时，曲线y＝f(x)在点处的切线方程为y＝1 C．当a＝0时，曲线y＝f(x)上不存在斜率为0的切线 D．当a＝0时，曲线y＝f(x)在点处的切线斜率为0 √ √ 对于A、B，当a＝1时，f(x)＝，f'(x)＝，有f'＝0.又f＝1，故曲线y＝f(x)在点处的切线方程为y＝1，故B正确，A错误；对于C、D，当a＝0时，f(x)＝，则f'(x)＝，显然f'＝0，即曲线y＝f(x)在点处的切线斜率为0，故C错误，D正确.故选BD. 预测 (2)已知f(x)＝(a≠0)是奇函数，则f(x)的图象在x＝0处的切线方程为______. y＝2x 因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＋f(x)＝＋＝0，所以(eax－1)(eax－e2x)＝0，且a≠0，所以eax－1＝0不恒成立，所以eax－e2x＝0，即eax＝e2x，解得a＝2.所以f(x)＝＝ex－e-x.所以f'(x)＝ex＋ e-x ，故f(0)＝0，f'(0)＝2.可知切点坐标为(0，0)，切线斜率为2，所以切线方程为y＝2x. 曲线y＝ex－1＋x的一条切线经过坐标原点，则该切线方程为______. 教师备选 y＝2x y'＝ex－1＋1，设切点为(x0，＋x0)，则切线方程为y－－x0＝(＋1)(x－x0).又切线过原点，所以0－－x0＝(＋1)(0－x0).解得x0＝1，所以切线方程为y－2＝2(x－1)，即y＝2x. 角度2　求切点坐标 (1)(2026·北京怀柔模拟)已知曲线y＝－3ln x＋1的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为 A．3 B．2 C．1 D．3或－2 √ 典例2 函数y＝－3ln x＋1的定义域是，依题意得，y'＝x－(x＞0).设切点的横坐标为m(m＞0)，则m－＝，解得m＝3或m＝－2(舍去).故选A. (2)(2026·浙江杭州模拟)函数f(x)＝ln x＋ax在处的切线为y＝kx，则x0＝ A．e B． C． D．1 √ 由函数f(x)＝ln x＋ax，可得f'(x)＝＋a，则f'＝＋a且f＝ln x0＋ax0.因为函数f(x)在处的切线为y＝kx，可得k＝＋a，且 ln x0＋ax0＝kx0，所以ln x0＋ax0＝x0·(＋a)，可得ln x0＝1，所以x0＝e. 故选A. 角度3　求参数的值(范围) (1)(一题多解)(2025·全国一卷)若直线y＝2x＋5是曲线y＝ex＋x＋a的一条切线，则a＝_____. 典例2 4 法一：对于y＝ex＋x＋a，其导数为y'＝ex＋1.因为直线y＝2x＋5是曲线的切线，直线的斜率为2，令y'＝ex＋1＝2，即ex＝1，解得x＝0，将x＝0代入切线方程y＝2x＋5，可得y＝2×0＋5＝5，所以切点坐标为(0，5).因为切点(0，5)在曲线y＝ex＋x＋a上，所以5＝e0＋0＋a，即5＝1＋a，解得a＝4. 法二：对于y＝ex＋x＋a，其导数为y'＝ex＋1，假设y＝2x＋5与y＝ex＋x ＋a的切点为，则解得a＝4. (2)(易错题)(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则实数a的取值范围是_____________________. ∪ 因为y＝(x＋a)ex，所以y'＝(x＋1＋a)ex.设切点为，则y0＝，切线斜率k＝，切线方程为y－＝(x0＋1＋a).因为切线过原点，所以－(x0＋a)＝，整理得＋ax0－a＝0.因为切线有两条，所以Δ＝a2＋4a＞0，解得a＜－4或a＞0. 1.求曲线的切线方程要分清“在点处”与“过点处”的切线方程的不同.过点处的切点坐标不知道，要设出切点坐标，根据：①斜率相等，②切点在切线上，③切点在曲线上建立方程(组)求解，求出切点坐标是解题的关键. 2.处理与切线有关的参数问题，通常利用曲线、切线、切点之间的关系，列出参数的方程(组)，并解出参数. 规律方法 对点练1.已知直线y＝ex－2是曲线y＝ln x的切线，则切点坐标为 A．(，－1) B．(e，1) C．(，1) D．(0，1) √ 设切点坐标为(t，ln t).因为(ln x)'＝，所以曲线y＝ln x在点(t，ln t)处的切线的斜率为，切线方程为y－ln t＝(x－t)，即y－ln t＝x－1.所以 解得t＝.所以切点为(，－1).故选A. 对点练2.若过点P(a，0)与曲线y＝xex相切的直线有且仅有两条，则实数a的取值范围是_______________________. (－∞，－4)∪(0，＋∞) 设切点为(x0，x0)，则y'＝(x0＋1)，所以切线方程为y－x0＝(x0＋1)(x－x0).由切线过点P(a，0)，代入得－x0＝(x0＋1)·(a－x0)，即方程－ax0－a＝0有两个解，则有Δ＝a2＋4a＞0，解得a＞0或a＜－4. (2026·山西太原模拟)已知函数f(x)＝x3－ax的图象上两点A，B(，f())处的切线互相垂直，则实数a的取值范围是 A． B． C． D． √ 教师备选 f'(x)＝3x2－a，f'＝3－a，f'＝－a.依题意＝－1，则有9－3a(＋)＋a2＝－1，当a＝0时，显然(3－a)＝－1不成立，所以＝＋，若a＜0，＜0，不满足题意；若a＞0，则≥＞2恒成立，解得a＞0.故选B. (1)若点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，则点P到直线y＝x－4的最小距离为 A ．1 B． C．2 D．4 考点三　利用切线解决最值(范围)问题 师生共研 典例4 √ 直线y＝x－4的斜率k＝1，函数y＝x2－ln x定义域是.点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，设P，由y'＝2x－，令y'＝2x－＝1，解得x＝1或x＝－(舍去)，x＝1，此时y＝1，所以曲线上与直线y＝x－4平行的切线的切点为P0，所以曲线y＝x2－ln x上点P到直线y＝x－4的最小距离为点P0到直线y＝x－4的距离d＝＝2.故选C. 已知点P在函数f(x)＝e2x＋x＋9的图象上，则点P到直线l：3x－y－10＝0的距离的最小值为__________. 教师备选 2 f'(x)＝2e2x＋1.设P(x0，y0)在f(x)的图象上，则过点P和直线l平行的切线的斜率为3.令f'(x0)＝2＋1＝3，得x0＝0，f(0)＝10.所以P(0，10)，点 P(0，10)到直线l的距离为d＝＝2. (2)设点P在曲线y＝ex上，点Q在曲线y＝ln x上，则｜PQ｜的最小值为___. 因为曲线y＝ex与曲线y＝ln x互为反函数，其图象关于直线y＝x对称，故可先求点P到直线y＝x的最近距离d.设曲线y＝ex上斜率为1的切线为y＝x＋b，又因为y'＝ex，所以ex＝1，解得x＝0，所以切点坐标为(0，1)，所以d＝＝，所以｜PQ｜的最小值为2d＝. 　　导数中与切线有关的“距离”问题，利用化归转化和数形结合的思想可把问题转化为点到直线的距离、两点间的距离问题，再利用导数法来求距离的最值. 　　具体方法是转化化归，将动点间的距离问题转化为点到直线的距离问题，而这个“点”一般就是利用导数求得的切点. 规律方法 对点练3.(2026·黑龙江哈尔滨期中)设点P在曲线y＝ln(x－1)上，点Q在曲线y＝ex－1上，则｜PQ｜的最小值为__________. 因为曲线y＝ln(x－1)是曲线y＝ln x向右平移1个单位长度得到的，曲线y＝ex－1是由曲线y＝ex向右平移1个单位长度得到的，所以｜PQ｜的最小值可以看成曲线y＝ln x上的点与曲线y＝ex上的点间的距离最小值.因为y＝ex与y＝ln x互为反函数，其图象关于直线y＝x对称，所以所求的最小值为曲线y＝ex上的点A到直线y＝x的最小距离的2倍.设与直线y＝x平行的直线与曲线y＝ex相切于点M(x0，)，因为y'＝ex，所以由＝1，得x0＝0，所以切点为M(0，1)，所以点A到直线y＝x的最小距离d＝ ＝，所以｜PQ｜的最小值为. 对点练4.若x，a，b为任意实数，且(a＋1)2＋(b－2)2＝1，则(x－a)2＋(ln x－b)2的最小值为 A．2 B．9 C．9－4 D．2－1 √ 由(a＋1)2＋(b－2)2＝1可得点(a，b)在以(－1，2)为圆心，1为半径的圆上，(x－a)2＋(ln x－b)2表示点(a，b)与点(x，ln x)的距离的平方，即表示圆(x＋1)2＋(y－2)2＝1上的动点到函数y＝ln x的图象上动点距离的平方，设(m，ln m)为y＝ln x的图象上一点，且y＝ln x的图象在点(m， ln m)处的切线与点(m，ln m)和点(－1，2)的连线垂直，由y＝ln x得y'＝ ，则·＝－1，可得ln m＋m2＋m＝2.由f(x)＝ln x＋x2＋x在(0， ＋∞)上单调递增，且f(1)＝2，可得m＝1，所以切点为(1，0)，圆心与切点的距离d＝＝2，由此可得(x－a)2＋(ln x－b)2的最小值为(2－1)2＝9－4.故选C. 返回 课 时 分 层 测 评 返回 1.已知函数f(x)＝ax2－4x，若＝2，则实数a的值为 A．3 B．1 C．－1 D．－3 √ ＝f'(1)＝2，而f'(x)＝2ax－4，所以f'(1)＝2a－4＝2，解得a＝3.故选A. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 2.(2026·山东青岛模拟)某海湾拥有世界上最大的海潮，假设该海湾某一固定点处，大海水深d(单位：m)与午夜后的时间t(单位：h)之间的关系为d＝10＋4cos ，则下午5∶00时刻此固定点的水位变化速度为 A． m/h B． m/h C．－ m/h D．－ m/h √ 由d＝10＋4cos ，得d'＝－sin (t)，下午5∶00时刻，则t＝17，所以d'＝－sin ＝－×＝－.故选C. 2 3 4 5 6 7 8 10 11 12 13 15 1 14 9 3.下列求导运算错误的是 A．(x2 027＋2 026e)'＝2 027x2 026 B．(3x)'＝3xln 3 C．(sin x)'＝cos x D．(tan x)'＝ √ (tan x)'＝()'＝＝，所以D错误.故选D. 2 3 4 5 6 7 8 10 11 12 13 15 1 14 9 4.(2026·天津和平模拟)曲线f(x)＝与曲线g(x)＝ex在点处的切线互相垂直，则实数a＝ A．－ B．－ C．0 D．2 √ f'(x)＝，则f'＝＝3.由g(x)＝ex可得g'(x)＝(ax＋a＋1)ex，故g'＝a＋1.由于两切线互相垂直，因此g'f'＝－1，所以a＝－.故选A. 2 3 4 5 6 7 8 10 11 12 13 15 1 14 9 5.(2026·河南新乡模拟)曲率是用于描述曲线在某一点处弯曲程度的量，对 于平面曲线y＝f(x)，其曲率K＝(y'是y的导数，y″是y'的导数)，曲率 半径ρ是曲率K的倒数，其表示与曲线在某点处具有相同弯曲程度圆的半径.已知质点以恒定速率v沿曲率半径为ρ的曲线作曲线运动时，向心加速 度的大小为.若该质点以恒定速率v0沿形状满足y＝x3－x2的光滑轨道运 动，则其在点处的向心加速度的大小为 A． B．2 C． D． √ 2 3 4 5 6 7 8 10 11 12 13 15 1 14 9 设f(x)＝x3－x2，则f'(x)＝3x2－2x，f″(x)＝6x－2，所以f'＝0，f″＝－2，则曲线在点处的曲率K＝＝2，曲率半径ρ＝，故质点在点处的向心加速度的大小为＝2.故选B. 2 3 4 5 6 7 8 10 11 12 13 15 1 14 9 6.(2026·江苏南通模拟)已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R，记g(x)＝f'(x).若f(x)是奇函数，且f(x)＋2g(x)＝eax，则a＝ A． B．－ C．2 D．－2 √ 因为f(x)为奇函数，故f＝－f(x)，故－f'＝－f'(x)，所以f'＝f'(x)，即g(x)为偶函数，故f＋2g＝e－ax，故－f(x)＋2g(x)＝ e－ax，故f(x)＝，g(x)＝，而f'(x)＝(eax＋ e－ax)＝g(x)，故a＝.故选A. 2 3 4 5 6 7 8 10 11 12 13 15 1 14 9 7.(多选)(2026·江西南昌模拟)已知函数f(x)的部分图象如图所示，f'(x)是f(x)的导函数，则下列结论正确的是 A．f'＜0 B．f'＞0 C．f－f'＞0 D．f－3f'＞0 √ √ 2 3 4 5 6 7 8 10 11 12 13 15 1 14 9 由f(x)的图象在点B处的切线斜率小于0，即f'＜0，故A正确；f'表示f(x)的图象在点A处的切线斜率，故f'＜0，故B错误；由图可知f＞0，f'＜0，故f－f'＞0，故C正确；直线OB的斜率小于f(x)的图象在点B处的切线斜率，即＜f'，所以f－3f'＜0，故D错误.故选AC. 2 3 4 5 6 7 8 10 11 12 13 15 1 14 9 8.(多选)(2026·福建福州模拟)已知函数f(x)＝sin 2x，则 A．f'(x)＝cos 2x B．f'＝－2 C．f(x)在上的平均变化率为 D．f(x)在x＝0处的瞬时变化率为1 √ √ 2 3 4 5 6 7 8 10 11 12 13 15 1 14 9 对于A，利用复合函数的求导法则，由f'(x)＝'＝cos 2x·'＝ 2cos 2x，故A错误；对于B，因为f'(x)＝2cos 2x，当x＝时，f'＝2cos ＝2cos π＝－2，故B正确；对于C，由f(x)在上的平均变 化率为＝＝＝，故C正确；对于D，因为f'(x)＝ 2cos 2x，当x＝0时，f'(0)＝2cos (2×0)＝2cos 0＝2，故D错误.故选BC. 2 3 4 5 6 7 8 10 11 12 13 15 1 14 9 9.(开放题)(2021·新高考Ⅱ卷)写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x)＝____________________________________. ①f＝ff；②当x∈(0，＋∞)时，f'(x)＞0；③f'(x)是奇函数. x4(答案不唯一，f(x)＝x2n均满足) 取f(x)＝x4，则f＝＝＝ff，满足①，f'(x)＝4x3，x＞0时有f'(x)＞0，满足②，f'(x)＝4x3的定义域是R.又f'＝－4x3＝－f'(x)，故f'(x)是奇函数，满足③.故答案为f(x)＝x4(答案不唯一，f(x)＝x2n均满足) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 1 14 10.(多题同解)(1)(2026·陕西安康模拟)已知函数f(x)＝excos x的图象在x＝x0(0＜x0＜)处的切线平行于x轴，则该切线的方程为__________. y＝ 函数f(x)＝excos x，求导得f'(x)＝ex(cos x－sin x).依题意，f'(x0)＝0，即(cos x0－sin x0)＝0，则tan x0＝1.而0＜x0＜，则x0＝，f()＝cos ＝，所以该切线的方程为y＝. 2 3 4 5 6 7 8 10 11 12 13 15 1 14 9 (2)(2026·山东淄博模拟)函数f(x)＝3f'x＋x2＋ex＋1，则曲线y＝f(x)在x＝0处的切线方程为______________. x＋2y－4＝0 因为f(x)＝3f'x＋x2＋ex＋1，所以f'(x)＝3f'＋2x＋ex，则f'＝3f'＋1，解得f'＝－.所以曲线y＝f(x)在x＝0处的切线的斜率为－，所以f(x)＝－x＋x2＋ex＋1，f＝2，所以曲线y＝f(x)在x＝0处的切线方程为y－2＝－＝－x，化简可得x＋2y－4＝0. 2 3 4 5 6 7 8 10 11 12 13 15 1 14 9 11.(2026·山东济宁模拟)曲线y＝(a＞0)与y＝ln x和y＝ex分别交于A，B两点，设曲线y＝ln x在A处的切线斜率为k1，y＝ex在B处的切线斜率为k2，若k1＋k2＝，则a＝ A．2ln 2 B．2ln 3 C．3ln 2 D．3ln 3 √ 2 3 4 5 6 7 8 10 11 12 13 15 1 14 9 因为y＝ln x和y＝ex互为反函数，其图象关于直线y＝x对称，且反比例函数y＝(a＞0)的图象也关于直线y＝x对称，可知点A，B关于直线y＝x对称.设A，x0＞1，则B(ln x0，x0)，设f(x)＝ln x，g(x)＝ex，则f'(x)＝，g'(x)＝ex.依题意，得k1＋k2＝＋＝＋x0＝，解得x0＝2或x0＝(舍去)，可得A(2，ln 2)，则＝ln 2，所以a＝2ln 2.故选A. 2 3 4 5 6 7 8 10 11 12 13 15 1 14 9 12.(双空题)已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R). (1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，则a，b的值分别为________________； a＝－3或1，b＝0 f'(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2). 依题意，得解得b＝0，a＝－3或1. 2 3 4 5 6 7 8 10 11 12 13 15 1 14 9 (2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是 ________________________. (－∞，－)∪(－，＋∞) f'(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2). 因为曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，所以关于x的方程f'(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)＞0，即4a2＋4a＋1＞0，所以a≠－.所以实数a的取值范围是(－∞，－)∪(－，＋∞). 2 3 4 5 6 7 8 10 11 12 13 15 1 14 9 13.(15分)设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0. (1)求f(x)的解析式. 解：切线方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3.当x＝2时，y＝. 又f'(x)＝a＋，所以解得 故f(x)＝x－(x≠0). 2 3 4 5 6 7 8 10 11 12 13 15 1 14 9 (2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值. 解：证明：设P(x0，y0)(x0≠0)为曲线上任一点. 由y'＝1＋，知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(1＋)(x－ x0)，即 y－(x0－)＝(1＋)(x－x0). 令x＝0，得y＝－. 所以切线与直线x＝0的交点坐标为(0，－). 2 3 4 5 6 7 8 10 11 12 13 15 1 14 9 令y＝x，得y＝x＝2x0. 所以切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0，2x0). 所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为S＝｜－｜｜2x0｜＝6. 所以曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，且此定值为6. 2 3 4 5 6 7 8 10 11 12 13 15 1 14 9 14.(新定义)(多选)已知函数f(x)及其导函数f'(x)，若存在x0，使得f(x0)＝f'(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”.下列选项中有“巧值点”的函数是 A．f(x)＝x2 B．f(x)＝ C．f(x)＝ln x D．f(x)＝tan x √ √ 2 3 4 5 6 7 8 10 1 11 12 13 14 15 9 若f(x)＝x2，则f'(x)＝2x，令x2＝2x，得x＝0或x＝2，方程显然有解，故A符合要求；若f(x)＝，则f'(x)＝－，令＝－，此方程无解，故B不符合要求；若f(x)＝ln x，则f'(x)＝，令ln x＝，在同一直角坐标系内作出函数y＝ln x与y＝的图象(图略)，可得两函数的图象有一个交点，所以方程f(x)＝f'(x)有解，故C符合要求；若f(x)＝tan x，则f'(x)＝'＝.令tan x＝，化简得sin xcos x＝1，变形可得sin 2x＝2，无解，故D不符合要求.故选AC. 2 3 4 5 6 7 8 10 1 11 12 13 14 15 9 15.(新定义)(多选)(2026·辽宁本溪模拟)若函数f(x)在其图象上两个不同点A，B处的切线完全重合，则称直线AB为曲线y＝f(x)的“自公切线”，f(x)为“自公切线函数”，则 A．函数f(x)＝x2＋ex是“自公切线函数” B．函数f(x)＝x－cos x是“自公切线函数” C．曲线f(x)＝－x2＋2｜x｜的“自公切线”方程为y＝1 D．曲线f(x)＝x3＋的“自公切线”方程为y＝8x √ √ √ 2 3 4 5 6 7 8 10 11 12 13 15 1 14 9 对于A，若f(x)为“自公切线函数”，则f'(x)在某区间内不单调，由f(x)＝x2＋ex，得f'(x)＝2x＋ex.因为f'(x)在R上单调递增，故f(x)＝x2＋ex不是“自公切线函数”，故A错误；对于B，因为f(x)＝x－cos x，所以f'(x)＝1＋sin x，当x＝2kπ时，f'＝1，f＝2kπ－1，则f(x)在点处的切线方程为y－2kπ＋1＝x－2kπ，即y＝x－1，所以f(x)＝x－cos x是“自公切线函数”，故B正确；对于C，当x≥0时，f(x)＝－x2＋2x，则f'(x)＝－2x＋2，当x＜0时，f(x)＝－x2－2x，则f'(x)＝－2x－2，所以f'＝f'＝0，f＝f＝1，所以曲线y＝f(x)在点和点处的切线方程均为y＝1，即曲线f(x)＝－x2＋2的“自公切线”方程为y＝1，故C正确； 2 3 4 5 6 7 8 10 11 12 13 15 1 14 9 对于D，因为f(x)＝x3＋，x≠0，所以f'(x)＝3x2－，x≠0，则f'＝f'(x)，所以f'(x)为偶函数.令h(x)＝3x2－，x≠0，则h'(x)＝6x＋，当x＞0时，h'(x)＞0，当x＜0时，h'(x)＜0，所以h(x)即f'(x)在上单调递减，在上单调递增，所以必存在x1，x2，且x1≠x2≠0，使得f'＝f'，且x1＋x2＝0，不妨设两切点分别为A(x1，＋)，B(x2，＋).因为f(x)＝x3＋，x≠0，则f＝－f(x)，所以f(x)为奇函数. 2 3 4 5 6 7 8 10 11 12 13 15 1 14 9 又x1＋x2＝0，所以切点A，B关于原点对称，且切线的斜率k＝f'＝ kAO＝kBO.又f'＝3－，kAO＝＝＋，所以3－＝ ＋，整理得＝16，解得x1＝2或x1＝－2，取A，B，则k＝8，故曲线f(x)＝x3＋的“自公切线”方程为y＝8x，故D正确.故选BCD. 返回 2 3 4 5 6 7 8 10 11 12 13 15 1 14 9 谢 谢 观 看 第17讲 导数的概念及其意义、导数的运算 $