5.1认识二次函数 课时练习 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 本练习通过基础巩固、概念深化、综合应用三层设计，实现二次函数从定义辨析到实际建模的渐进式巩固，适配新授课知识内化需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|二次函数定义、简单表达式|选择/填空题聚焦概念辨析（如判断函数类型），培养抽象能力| |中档层|参数取值、一般式转化|解答题强化公式应用（如化为一般式求系数），提升运算能力| |综合层|实际问题建模|复杂情境题（利润/面积/租车费用），发展模型意识与应用能力|

【北师大版九年级数学（上）课时练习】 §5.1 认识二次函数 一、选择题（每小题3分 共24分） 1．（本题3分）某商店销售一种商品，每件成本为a元，售价为x元，每天可销售件，则每天的利润y（元）与售价x（元）之间的函数关系式是（　　） A． B． C． D． 2．（本题3分）某种药品售价为每盒300元，经过医保局连续两次“灵魂砍价”，药品企业同意降价若干进入国家医保用药目录．如果每次降价的百分率都是，则两次降价后的价格（元）与每次降价的百分率之间的函数关系式是（  ） A． B． C． D． 3．（本题3分）用长为的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，设为（单位：米），则窗框的透光面积（单位：），关于（单位：m）的函数解析式为（铝合金条粗细忽略不计）（   ） A． B． C． D． 4．（本题3分）下列函数中，属于二次函数的是（     ） A． B． C． D． 5．（本题3分）下列函数中，属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 6．（本题3分）已知函数是二次函数，则m等于（     ） A． B．2 C． D． 7．（本题3分）若是关于的二次函数，则的值是（ ） A． B． C． D．或 8．（本题3分）长为，宽为的矩形，四个角上分别剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，做成底面积为的无盖的长方体盒子，则与之间的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题3分 共15分） 9．（本题3分）若二次函数的图象经过点，则的值为___________． 10．（本题3分）已知二次函数的常数项为零，则的值为_____． 11．（本题3分）若二次函数 的图象经过原点，则a的值是_______． 12．（本题3分）把变成一般式，它的常数项为_____． 13．（本题3分）已知． （1）当的值为________时，是的正比例函数． （2）当的值为_________时，是的二次函数． （3）当的值为________时，是的反比例函数． 三、解答题（共61分） 14．（本题6分）下列函数中，哪些是二次函数？ （1）； （2）； （3）； （4）； （5）（为常数）． 15．（本题8分）已知二次函数． (1)将二次函数化为一般形式，并指出相应的，b，的值； (2)求该函数图像与轴的交点坐标． 16．（本题8分）若函数是二次函数． (1)求k的值； (2)当时，求自变量x的值． 17．（本题9分）将下列二次函数化为一般形式，并分别指出它的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)； (2)． 18．（本题9分）如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有两道篱笆的长方形花圃，若墙的最大可用长度为8米，设花圃的宽为x米，面积为S平方米． (1)写出S与x的函数关系式，并化为一般形式； (2)求自变量的取值范围； (3)当这个花圃的面积为20平方米时，求x的值． 19．（本题10分）某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克按50元销售，一个月能售出500千克，如果销售单价每千克涨1元，则月销售量就减少10千克，针对这种水产品销售情况，请解答以下问题： (1)当销售单价定为每千克55元，则月销售量为__________千克．月利润为__________元． (2)设销售单价为每千克元，月销售利润为元，用含的式子表示． (3)为了尽快减少库存，并且使得月销售利润正好达到8000元，销售单价应为多少元？ 20．（本题11分）学校计划租用客车送师生到劳动基地开展实践活动．收集信息如下： 信息1：客运公司有，两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，辆型客车载客人数和辆型客车载客人数相同，辆型客车和辆型客车共载客人． 信息2：型客车租车费用固定为元辆；型客车租一辆车的费用为元，每多租一辆，型客车租车单价减少元． 信息3：学校参加实践活动的师生共有人；租用，两种型号客车共辆，其中型客车不少于辆． 问题解决： (1)求，两种型号每辆车满员时的载客人数； (2)设租用型客车（单位：辆），本次实践活动的租车总费用是（单位：元），求与的函数关系式；（租车总费用租用型客车的费用租用型客车的费用） (3)设计一种方案，使本次实践活动的租车总费用最少，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 【北师大版九年级数学（上）课时练习】 §5.1 认识二次函数 一、选择题（每小题3分 共24分） 1．（本题3分）某商店销售一种商品，每件成本为a元，售价为x元，每天可销售件，则每天的利润y（元）与售价x（元）之间的函数关系式是（　　） A． B． C． D． 解：∵ 每件利润为元，每天销售件， ∴ 每天利润 ． 故选：A． 2．（本题3分）某种药品售价为每盒300元，经过医保局连续两次“灵魂砍价”，药品企业同意降价若干进入国家医保用药目录．如果每次降价的百分率都是，则两次降价后的价格（元）与每次降价的百分率之间的函数关系式是（  ） A． B． C． D． 解：∵每次降价的百分率都是， ∴第一次降价后价格为， 第二次降价后价格为， ∴， 故选：B． 3．（本题3分）用长为的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，设为（单位：米），则窗框的透光面积（单位：），关于（单位：m）的函数解析式为（铝合金条粗细忽略不计）（   ） A． B． C． D． 解：由题意得，米， ∴， 故选：． 4．（本题3分）下列函数中，属于二次函数的是（     ） A． B． C． D． 解：A、，自变量的最高次项为一次，不是二次函数，不符合题意； B、含分式，不是二次函数，不符合题意； C、，是二次函数，符合题意； D、，自变量的最高次项为一次，不是二次函数，不符合题意．故选：C 5．（本题3分）下列函数中，属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 解：A. 不是整式函数，不符合二次函数的定义，故不符合题意； B. ，该函数是一次函数，不是二次函数，故不符合题意； C. 符合（，，）的形式，是二次函数，故符合题意； D. ，不是整式函数，不符合二次函数的定义，故不符合题意， 综上，选C． 6．（本题3分）已知函数是二次函数，则m等于（     ） A． B．2 C． D． 解：∵函数是二次函数， ∴，且， ∴且， ∴．故选：B 7．（本题3分）若是关于的二次函数，则的值是（ ） A． B． C． D．或 解：∵函数是关于的二次函数． ∴根据二次函数定义可得： 由，得， 即或 又∵， ∴ ∴． 故选：C 8．（本题3分）长为，宽为的矩形，四个角上分别剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，做成底面积为的无盖的长方体盒子，则与之间的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 解：∵矩形原长，宽，四个角剪去边长为的小正方形， ∴折起后，长方体底面的长为，宽为， ∴， 又∵，且，， ∴， ∴函数关系式为， 故选：． 二、填空题（每小题3分 共15分） 9．（本题3分）若二次函数的图象经过点，则的值为___________． 解：∵二次函数的图象经过点， ∴将，代入解析式得， 即， 解得． 故答案为：1． 10．（本题3分）已知二次函数的常数项为零，则的值为_____． 解：∵二次函数的常数项为零， ∴，即， ∴或． 又∵函数为二次函数， ∴二次项系数， ∴， ∴． 故答案为：2． 11．（本题3分）若二次函数 的图象经过原点，则a的值是_______． 解：∵二次函数图象经过原点， ∴将代入解析式，得，即， 解得或， 又∵该函数为二次函数， ∴二次项系数，而和均满足， ∴a的值为1或． 故答案为：． 12．（本题3分）把变成一般式，它的常数项为_____． 解：， 故常数项为． 故答案为：18． 13．（本题3分）已知． （1）当的值为________时，是的正比例函数． （2）当的值为_________时，是的二次函数． （3）当的值为________时，是的反比例函数． 解：（1）根据题意，得 由①，得且， 由②，得， ． 故当的值为1时，是的正比例函数． （2）根据题意，得 由①，得且． 由②，得． 故当的值为时，是的二次函数． （3）根据题意，得 由①，得且． 由②，得， ． 故当的值为时，是的反比例函数． 三、解答题（共61分） 14．（本题6分）下列函数中，哪些是二次函数？ （1）； （2）； （3）； （4）； （5）（为常数）． 解：（1）是一次函数，不是二次函数； （2），符合的形式，是二次函数； （3），符合的形式，是二次函数； （4），化简后自变量最高次数为1，是一次函数，不是二次函数； （5）中，是否为0未知，若，则函数退化为一次函数或常数函数，因此不一定是二次函数． 结论：（2），（3）是二次函数． 15．（本题8分）已知二次函数． (1)将二次函数化为一般形式，并指出相应的，b，的值； (2)求该函数图像与轴的交点坐标． （1）解：∵， ∴，，； （2）解：令， ∵， ∴该函数图像与轴的交点坐标为． 16．（本题8分）若函数是二次函数． (1)求k的值； (2)当时，求自变量x的值． （1）解：∵函数是二次函数， ∴，， ∴，， 即； （2）解：由（1）可得，该二次函数为， 当时， ∴， 解得：，． 17．（本题9分）将下列二次函数化为一般形式，并分别指出它的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)； (2)． （1）解：， 二次项系数为4，一次项系数为0，常数项为1； （2）， 二次项系数为，一次项系数为1，常数项为. 18．（本题9分）如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有两道篱笆的长方形花圃，若墙的最大可用长度为8米，设花圃的宽为x米，面积为S平方米． (1)写出S与x的函数关系式，并化为一般形式； (2)求自变量的取值范围； (3)当这个花圃的面积为20平方米时，求x的值． （1）解：∵为x米、篱笆长为24米， ∴花圃长为米， ∴ ； （2）解：∵墙的可用长度为8米， ∴， 解得； （3）解：当时， ， 解得， ∵， ∴. 19．（本题10分）某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克按50元销售，一个月能售出500千克，如果销售单价每千克涨1元，则月销售量就减少10千克，针对这种水产品销售情况，请解答以下问题： (1)当销售单价定为每千克55元，则月销售量为__________千克．月利润为__________元． (2)设销售单价为每千克元，月销售利润为元，用含的式子表示． (3)为了尽快减少库存，并且使得月销售利润正好达到8000元，销售单价应为多少元？ （1）解：根据题意，当销售单价定为每千克55元，月销售量为（千克）， 月利润为（元）； （2）解：根据题意可得，； （3）解：将代入，得， ， 整理，得， 解得，， 当时，月销售量为（千克）； 当时，月销售量为（千克）； ∵， 又∵需要尽快减少库存， ∴． 答：销售单价应为元． 20．（本题11分）学校计划租用客车送师生到劳动基地开展实践活动．收集信息如下： 信息1：客运公司有，两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，辆型客车载客人数和辆型客车载客人数相同，辆型客车和辆型客车共载客人． 信息2：型客车租车费用固定为元辆；型客车租一辆车的费用为元，每多租一辆，型客车租车单价减少元． 信息3：学校参加实践活动的师生共有人；租用，两种型号客车共辆，其中型客车不少于辆． 问题解决： (1)求，两种型号每辆车满员时的载客人数； (2)设租用型客车（单位：辆），本次实践活动的租车总费用是（单位：元），求与的函数关系式；（租车总费用租用型客车的费用租用型客车的费用） (3)设计一种方案，使本次实践活动的租车总费用最少，请说明理由． （1）解：设型客车每辆满员载客人，型客车每辆满员载客人． 根据题意得 解得 答：型客车每辆满员载客人，型客车每辆满员载客人． （2）解：设租用型客车辆，则租用型客车 辆． 根据总载客量不小于人，得 解得 ∵A型客车不少于9辆 ∴ ，解得 ∵为正整数， ∴，且为整数 根据租车总费用规则，得 整理得 即与的函数关系式为 （，且为整数）． （3）解： ∵， ∴二次函数开口向下，顶点是最大值点，离对称轴越远，越小 ∵ ∴时，取得最小值 此时A型客车数量为 （辆），满足 的要求 答：租用型客车辆，型客车辆时，租车总费用最少． $