5.1 认识二次函数-同步练习 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 围绕二次函数概念，通过基础题与综合拔高题分层设计，实现从概念辨析到实际应用的知识巩固，培养数学抽象与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|二次函数定义、系数辨析、简单实际情境|通过选择填空辨析概念，如判断函数类型、确定二次项系数，夯实抽象能力| |综合拔高层|几何动点与函数关系、复杂情境建模|结合正方形动点面积问题，需推理运动过程中变量关系，发展几何直观与推理意识|

5.1 认识二次函数 一、选择题： 1.下列函数中，属于二次函数的是(    ) A. B. C. D. 2.若函数是关于的二次函数，则的值为(    ) A. B. C. D. 3.自由落体公式为常量，与之间的关系是(    ) A. 正比例函数 B. 一次函数 C. 二次函数 D. 以上答案都不对 4.已知二次函数，则其二次项系数，一次项系数，常数项分别是(    ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 5.共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放辆单车，计划第三个月投放辆单车，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为，那么与之间的函数关系式是(    ) A. B. C. D. 6.如图，正方形的边长为，，分别是边和上的动点不与正方形的顶点重合，不管，怎样动，始终保持设，，则是的函数，函数关系式是． A. B. C. D. 7.（综合拔高题）如图，在正方形中，，对角线，相交于点，动点从点出发沿方向以的速度运动，同时点从点出发沿方向以的速度运动当点到达点时，，同时停止运动若运动时间为，的面积为，则当点分别在，上运动时，与的函数关系分别是(    ) A. 一次函数，一次函数 B. 一次函数，二次函数 C. 二次函数，二次函数 D. 二次函数，一次函数 二、填空题： 8.下列函数：；；；；为常数；其中一定是二次函数的是          填序号 9.若函数是关于的二次函数，则           ． 10.已知两个变量，之间的关系式为． 当          时，，之间是二次函数关系 当          时，，之间是一次函数关系． 11.当函数是关于的二次函数时，的取值范围为          ． 12.已知两个实数，其中一个数比另一个数大设较小的数为，这两个实数的乘积为，则较大的数为          ，与之间的函数关系式为          ． 13.（代入思想）一名男生推铅球，铅球行进高度单位：与水平距离单位：之间的关系是． 当铅球行进高度为时，铅球推出的水平距离是           当铅球推出的水平距离是时，铅球的行进高度为           14.（综合拔高题）某厂今年一月份新产品的研发资金为元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是，则该厂今年三月份新产品的研发资金元关于的函数关系式为          ． 三、解答题： 15.本小题分某汽车在起步时行驶路程与行驶时间之间的函数表达式为，是的二次函数吗？求汽车行驶的路程． 16.本小题分某广告公司设计一幅周长为的矩形广告牌，广告设计费为元设矩形的一边长为，面积为．求与之间的函数关系式，判断是不是的二次函数，并确定的取值范围 当时，广告牌的面积最大，求此时的广告设计费． 17.本小题分已知函数．当为何值时，此函数是关于的二次函数？ 当，满足什么条件时，此函数是关于的正比例函数？ 18.本小题分如图，在矩形中，，，点以的速度从点向点运动，同时，点以的速度从点向点运动．设运动开始第秒钟时，五边形的面积为，求出与的函数关系式，并写出自变量的取值范围． 参考答案和解析 1. 2. 3. 4. 5. 6. 【解析】【分析】 本题考查正方形的性质，相似三角形的判定与性质，列函数关系式． 根据条件得出相似三角形，用、表示出相关线段是解题的关键，易证∽，根据相似三角形对应边的比相等即可求解． 【解答】 解：，， 和都是的余角， ， ， ∽ 那么：：， ， ，，，， 即， 化简得：． 故选：． 7. 【解析】正方形中，， ， ， ． 当点在上运动时，由题意得，， 如图，作于点， 由，易知， ，是二次函数 当点在上运动时，由题意得， ，是一次函数． 故选D． 8.  9.  10.【小题】 【小题】， 【 11.  12.   13.【小题】 【小题】 14.  15.解：满足二次函数的一般形式，  所以是的二次函数．  当时，，  即汽车行驶的路程为．  16.【小题】解：由题意得，矩形的周长为，一边长为，则与其相邻的一边长为，则，是的二次函数，的取值范围是． 【小题】当时，元． 故此时的广告设计费为元． 17.【小题】解：由题意，得，解得当时，此函数是关于的二次函数． 【小题】由题意，得且，，  解得，当，时，此函数是关于的正比例函数． 18.解：  ．  第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $