§5.4二次函数与一元二次方程(2)课时练习2026--2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 北师大版九年级数学（上）§5.3同步练习，聚焦二次函数与一元二次方程综合应用，通过选择（24分）、填空（15分）、解答（61分）三级分层设计，实现从概念理解到复杂问题解决的进阶，培养抽象能力、推理意识与模型观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|图像与x轴交点、函数值范围|直接应用概念，如选择1-2结合图像判取值范围，填空9-10强化数形结合| |中档|交点坐标、面积计算|综合图像与代数运算，如选择6-7涉及新定义与方程求解，解答14-16需联立函数式求坐标| |提高|最值、存在性问题|复杂情境推理，如解答17-20含动点面积最值、平行四边形存在性，培养创新意识与逻辑推理|

【北师大版九年级数学（上）课时练习】 §5.3二次函数与一元二次方程(2) 一、选择题（每小题3分 共24分） 1．（本题3分）如图，已知二次函数的图象与轴有两个交点的横坐标分别为和4，则当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 2．（本题3分）抛物线与直线相交于点和点.则当时，的取值范围是（  ） A． B． C． D．或 3．（本题3分）抛物线与轴交于、两点（点在点的右侧），且与轴交于点，在直线上有一动点，若使的值最小，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 4．（本题3分）如图，直线与两坐标轴交于A，B两点，点P是线段AB上一动点（不与A，B两端点重合），过点P作PC⊥x轴于点C，作PD⊥y轴于点D，小明认为矩形PCOD的周长不变且始终为6；小红认为矩形PCOD的面积有最大值，最大值为3．关于小明与小红的判断，下面说法正确的是（    ） A．小明与小红都是正确的 B．小明与小红都是错误的 C．小明是正确的，小红是错误的 D．小明是错误的，小红是正确的 5．（本题3分）在平面直角坐标系中，已知点，，下列函数图像中，与线段没有公共点的是（   ） A． B． C． D． 6．（本题3分）定义：把二次函数与（，、是常数）称作互为“旋转函数”，如果二次函数与（、是常数）互为“旋转函数”，则下列选项中正确的是（   ） A． B． C．当时， D．不论取何值， 7．（本题3分）直线与抛物线有（    ）个交点． A．0 B．1 C．2 D．3 8．（本题3分）如图，抛物线与直线相交于点A、B，连接、，则的面积是（   ） A．3 B．4 C．6 D．12 二、填空题（每小题3分 共15分） 9．（本题3分）抛物线与双曲线的交点的横坐标为，则不等式的解集为________．    10．（本题3分）已知二次函数的图象如图所示，与x轴交于 ，，当时，x的取值范围是___________． 11．（本题3分）如图，P为抛物线上第一象限内的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形的周长的最大值为________    12．（本题3分）直线与抛物线的交点坐标是__________ ，___________ ． 13．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴正半轴交于点和点，抛物线的顶点为点C，的面积为________． 三、解答题（共61分） 14．（本题6分）如图，已知直线与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且线段．（注：抛物线的对称轴为） (1)求该抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最大，求点M的坐标． 15．（本题8分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点C (1)求该抛物线的函数表达式． (2)点P是抛物线的顶点，求面积 16．（本题8分）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C． (1)求b的值； (2)如图，M是第一象限抛物线上的点，，求点M的横坐标． 17．（本题9分）如图，已知直线与抛物线相交于点和点两点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点是位于直线上方抛物线上的一动点，当的面积最大时，求：此时点的坐标； (3)在轴上找点，使是等腰三角形，请直接写出点Q坐标． 18．（本题9分）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)在平面内是否存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由． 19．（本题10分）如图，在平面直角坐标系中，点，，抛物线交x轴正半轴于点C，连结，． (1)求点C的坐标和直线的表达式； (2)设抛物线分别交边，延长线于点D，E． ①若与相似，求抛物线表达式； ②若是等腰三角形，则a的值为______（请直接写出答案即可）． 20．（本题11分）如图，已知抛物线经过点，，其中、为抛物线上的两个动点． (1)求抛物线的解析式并写出其顶点坐标； (2)若是抛物线上的一点，当且最大时，求点的坐标； (3)若轴，点到的距离大于个单位长度，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 【北师大版九年级数学（上）课时练习】 §5.3二次函数与一元二次方程(2) 一、选择题（每小题3分 共24分） 1．（本题3分）如图，已知二次函数的图象与轴有两个交点的横坐标分别为和4，则当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 解：∵二次函数的图象与轴有两个交点的横坐标分别为和4， 根据图象可知，当时，的取值范围是或， 故选：D． 2．（本题3分）抛物线与直线相交于点和点.则当时，的取值范围是（  ） A． B． C． D．或 解：∵直线经过点， ∴，解得， ∴直线， ∵抛物线经过点， ∴，解得， ∴抛物线， 联立得， 解得或， 当时，， ∴， ∴抛物线与直线相交于点和点两点， ∴当时，， 故选：B． 3．（本题3分）抛物线与轴交于、两点（点在点的右侧），且与轴交于点，在直线上有一动点，若使的值最小，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 解：在中，当时，解得或， ∴， 当时，， ∴， ∵抛物线对称轴为直线，点D在直线上， ∴， ∴， ∴当B、C、D三点共线时，最小，即此时最小， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 在中，当时，， ∴， 故选C．    4．（本题3分）如图，直线与两坐标轴交于A，B两点，点P是线段AB上一动点（不与A，B两端点重合），过点P作PC⊥x轴于点C，作PD⊥y轴于点D，小明认为矩形PCOD的周长不变且始终为6；小红认为矩形PCOD的面积有最大值，最大值为3．关于小明与小红的判断，下面说法正确的是（    ） A．小明与小红都是正确的 B．小明与小红都是错误的 C．小明是正确的，小红是错误的 D．小明是错误的，小红是正确的 解:设P(x，)()， ∵， ∴周长不变，且始终为6，即小明正确； ∵， ∴当时，最大，最大为，即小红是错误的． 故选C 5．（本题3分）在平面直角坐标系中，已知点，，下列函数图像中，与线段没有公共点的是（   ） A． B． C． D． 解：由题意，作图如下： 由图可知：只有反比例函数与线段没有交点， 故选C． 6．（本题3分）定义：把二次函数与（，、是常数）称作互为“旋转函数”，如果二次函数与（、是常数）互为“旋转函数”，则下列选项中正确的是（   ） A． B． C．当时， D．不论取何值， 解：∵二次函数，它的“旋转函数”为， ∴如果二次函数（，，，是常数）与（，， ，是常数）是互为“旋转函数”，则满足，，， ∴， ∴如果二次函数与（、是常数）互为“旋转函数”，则， 解得， ∴， ∴当时，， 故A、B、D错误，不合题意，C正确符合题意． 故选：C． 7．（本题3分）直线与抛物线有（    ）个交点． A．0 B．1 C．2 D．3 解：联立两函数的解析式，可得： ， 解得：或， ∴直线与抛物线的交点坐标是，， 即直线与抛物线有两个交点． 故选：C． 8．（本题3分）如图，抛物线与直线相交于点A、B，连接、，则的面积是（   ） A．3 B．4 C．6 D．12 解：对于 令，得 解得，，， ∴，， ∴    ∴． 故选：C． 二、填空题（每小题3分 共15分） 9．（本题3分）抛物线与双曲线的交点的横坐标为，则不等式的解集为________．    解：∵抛物线与双曲线的交点的横坐标为， ∴的解集为， 即不等式的解集为， 故答案为：． 10．（本题3分）已知二次函数的图象如图所示，与x轴交于 ，，当时，x的取值范围是___________． 解：∵抛物线图象与x轴交于 ，，又抛物线开口向上， ∴由图象可得，当时，或，故答案为：或． 11．（本题3分）如图，P为抛物线上第一象限内的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形的周长的最大值为________    解：设点P的坐标为，， 由题意可知：四边形的周长， ∴， 当时，C有最大值12． 故答案为：12． 12．（本题3分）直线与抛物线的交点坐标是__________ ，___________ ． 解：联立两函数的解析式有：，解方程组，得或； 则直线与抛物线的交点坐标是，． 故答案为：，． 13．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴正半轴交于点和点，抛物线的顶点为点C，的面积为________． 解：∵，， ∴， ∵抛物线与x轴交于A、B， ∴， 即顶点的坐标为， ∴的高为， ∴． 三、解答题（共61分） 14．（本题6分）如图，已知直线与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且线段．（注：抛物线的对称轴为） (1)求该抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最大，求点M的坐标． （1）解：∵直线与y轴交于点A， 令，则， ∴点A坐标为， ∵线段，直线与x轴交于B点， ， 把点坐标代入得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图， 由（1）得：抛物线的对称轴为， 、关于对称， ， 要使最大，即是使最大， 由三角形两边之差小于第三边得，当A，B，M在同一直线上时，的值最大． ∵，， 设直线的解析式为 ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴． 15．（本题8分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点C (1)求该抛物线的函数表达式． (2)点P是抛物线的顶点，求面积 （1）解：已知抛物线过，代入得： ， 解得， 故； （2）解：令，得，即， ， ∴顶点， ． 16．（本题8分）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C． (1)求b的值； (2)如图，M是第一象限抛物线上的点，，求点M的横坐标． （1）解：将点代入，得， 解得； （2）解：过点M作于点H． 令，则， ， ，， ， ∴， 设，则，， ∴， 整理，得， 由，得（舍），． 点M的横坐标为． 17．（本题9分）如图，已知直线与抛物线相交于点和点两点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点是位于直线上方抛物线上的一动点，当的面积最大时，求：此时点的坐标； (3)在轴上找点，使是等腰三角形，请直接写出点Q坐标． （1）解：∵点在直线上， ∴ ∴点 将点和点代入得： ， 解得： ∴ （2）解：过点作轴，如图所示： 设点，则 ∴ ∴当，即点时，有最大； （3）解：设点， 时， 解得： ∴； 时， 解得：或 ∴或； 时， 解得： ∴； 综上所述，或或或 18．（本题9分）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)在平面内是否存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由． （1）解：∵抛物线与轴交于两点， ∴对称轴， ∴， ∴把代入， ∴， 即抛物线的表达式为； （2）解：存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： ∵、，，且点为顶点的四边形是平行四边形， ∴当为对角线时， 则， ∴， 解得， ∴点的坐标为； ∴当为对角线时， 则， ∴， 解得， ∴点的坐标为； ∴当为对角线时， 则， ∴， 解得， ∴点的坐标为； 综上所述：点的坐标为或或． 19．（本题10分）如图，在平面直角坐标系中，点，，抛物线交x轴正半轴于点C，连结，． (1)求点C的坐标和直线的表达式； (2)设抛物线分别交边，延长线于点D，E． ①若与相似，求抛物线表达式； ②若是等腰三角形，则a的值为______（请直接写出答案即可）． （1）解：∵， ∵O，C两点关于直线对称， ∴， 设直线：， 把，，代入得， 解得， 则； （2）①设D的坐标为，则， 若与相似，则， ∴， ∴， ∵在直线上， ∴，代入抛物线解析式可得， ∴抛物线解析式为． ②∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴，设E的坐标为， ∵是等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在直线上， ∴， ∴， 又∵在抛物线上， ∴， ∴． 故答案为：1． 20．（本题11分）如图，已知抛物线经过点，，其中、为抛物线上的两个动点． (1)求抛物线的解析式并写出其顶点坐标； (2)若是抛物线上的一点，当且最大时，求点的坐标； (3)若轴，点到的距离大于个单位长度，求的取值范围． （1）解：将，代入， 可得：， 解得：， 则抛物线的解析式为， 顶点坐标为． （2）解：如图，过作轴于，交于，过作于，则， 设直线的解析式为，将，，代入， 可得， 解得， 则直线解析式为， 设为，为， 则， 可得， 由，抛物线开口向下，可知当时，S△ABC最大， 此时的坐标为． （3）解：∵当过顶点时，点到的距离为， ∴必在点的下方， 可得，即， 当时，解得或， 结合图象可知，的取值范围是或． $