5.4 二次函数与一元二次方程 课前预习 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 分层覆盖二次函数与方程核心考点，从概念理解到综合应用，培养抽象能力与推理意识，适配新授课预习需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|抛物线与坐标轴交点、系数符号判断|直接应用概念，如单选1求x轴交点，填空12计算截线长| |进阶层|方程根与函数关系、表格数据分析|结合图表推理，如单选4近似根估算，解答18函数与方程综合| |提高层|二次函数与几何动态问题|复杂情境应用，如解答19整点平行四边形、21旋转与相似综合|

5.4 二次函数与一元二次方程 课前预习2026-2027学年 北师大版九年级数学上册 一、单选题 1．抛物线与x轴的一个交点坐标是（    ） A． B． C． D． 2．已知二次函数的图象如图所示，则（    ） A．，， B．，， C．， D．，， 3．二次函数的部分图象如图所示，可知方程的一个根为，则方程的另一个根为（   ） A． B． C． D． 4．下表是一组二次函数的自变量x与函数值y的对应值： x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 y 0.04 0.59 1.16 那么方程的一个近似根是（   ） A．1 B．1.19 C．1.3 D．1.4 5．函数与的图象如图所示，当时，x的取值范围是（   ） A．或或 B．或 C．或 D．或或 6．抛物线与y轴交点坐标为（   ） A． B． C． D． 7．对抛物线y=-x2+4x-3而言，下列结论正确的是(         ) A．开口向上 B．与y轴的交点坐标是(0，3) C．与两坐标轴有两个交点 D．顶点坐标是（2，1） 8．点均在抛物线上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 9．老师出示了小黑板的题目后，同学们踊跃回答．甲说：过点；乙说：过点；丙说：；丁说：抛物线被轴截得的线段长为．这四个人的回答中，正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 10．已知二次函数为实数，点是该函数图象与轴的一个交点，若，则的取值范围是（     ） A． B． C．或 D．或 二、填空题 11．已知二次函数 (t为常数)，点、是其图象上两点，若，则的取值范围为_______． 12．若抛物线与轴分别交于、两点，则的长为________． 13．当函数与轴只有一个交点时，它与轴交点坐标是______． 14．已知一元二次方程的两实数根满足，则k的取值范围为______． 15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，则关于的方程的解为__________． 三、解答题 16．已知二次函数的图象经过点． (1)求的值； (2)点在该函数的图象上，求的值． 17．在平面直角坐标系中画出函数的图象；并在图象上描出以方程的两根为横坐标的点，标记为A，B． 18．方程与不等式揭示了数学中最基本的数量关系，函数则研究变量间的关系，借助函数可以认识方程与不等式.观察表格： … 0 1 2 3 … … 1 4 7 10 … … 0 4 3 0 … (1)【数学观察】根据表中信息填空：______； (2)【实践操作】在如图所示的平面直角坐标系中（每个小正方形网格的边长为1），已经画出了一次函数的图象，请你在同一坐标系中画出二次函数的图象； (3)【独立思考】 ①二次函数与一次函数图象的交点坐标是______； ②方程的解为______； (4)【归纳总结】若二次函数的图象与一次函数的图象相交，则交点的______坐标可以看成关于的方程的解； (5)【巩固应用】若二次函数的图象与一次函数的图象只有一个交点，则关于的方程的解是______．（直接写出结果） 19．如图：抛物线与直线交于点A，B．其中点B的横坐标为2．点是线段上的动点． (1)求抛物线的表达式； (2)过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，求：线段长的最大值 (3)在平角直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整点的四边形为整点四边形，在（2）的情况下，在平面内找出所有符合要求的整点R，使P、Q、B、R为整点平行四边形，请直接写出整点R的坐标 20．如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，P是第二象限内抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图 1，设对称轴交线段于点N，点Q在对称轴上，且在点N的下方，是否存在以P，Q，N为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图 2，连接，交于点E，交y轴于点F，令，求k的最大值． 21．如图，抛物线与轴交于点和，与轴交于点，顶点为． (1)求此抛物线的解析式及点的坐标； (2)若是轴负半轴上的一点，且，若把点以点为中心顺时针旋转时恰好与该拋物线上的点重合，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，连接，若在该抛物线上有一点使得，则这个点的坐标是 （直接填写结果，不需要写解答过程）． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B A B C B D B A C 1．【答案】B 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，与x轴的交点坐标中，即，解方程求出x即可． 【详解】解：抛物线与x轴相交，则， 解得：或， 抛物线与x轴的交点坐标有：，， 故选：B． 2．【答案】B 【知识点】抛物线与x轴的交点问题、二次函数图象与各项系数符号 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系；由抛物线开口方向，对称轴以及与轴的交点即可、的符号，由抛物线与轴的交点的个数确定的符号． 【详解】解：由函数图象可知：抛物线开口向上，∴， ∵对称轴在轴右边，即，∴， ∵抛物线与轴的正半轴相交，∴， ∵抛物线与轴有一个交点，∴， 故选：B． 3．【答案】A 【知识点】根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为，从而可确定方程的另一个根． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点坐标为， 抛物线与x轴的另一个交点坐标为， 方程的根为， 即方程的另一个根为：． 故选：A． 4．【答案】B 【知识点】图象法确定一元二次方程的近似根 【分析】本题主要考查了图象法求一元二次方程的近似根，弄清表格中的数据是解本题的关键．观察表格可得0.04更接近于0，得到所求方程的近似根即可． 【详解】解：观察表格得：方程的一个近似根为1.19． 故选：B． 5．【答案】C 【知识点】根据交点确定不等式的解集 【分析】本题考查了二次函数以及反比例函数的图象和性质，利用数形结合的思想解决问题是关键． 由函数图象可知，当或时，函数在的图象的上方，据此即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可知， 当或时，函数在的图象的上方， ∴， 故选：C． 6．【答案】B 【知识点】求抛物线与y轴的交点坐标 【分析】本题考查二次函数与坐标轴的交点，掌握交点坐标的特征是解题关键． 求抛物线与y轴的交点，即令，代入解析式计算y值． 【详解】解：当时， ∴交点坐标为． 故选：B． 7．【答案】D 【知识点】抛物线与x轴的交点问题、求抛物线与y轴的交点坐标、y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号 【分析】根据二次函数的解析式结合二次函数的性质，逐一分析四个选项的正误即可得出结论． 【详解】A、 因为a=-1＜0，故抛物线开口向下，故本选项不符合题意； B、当x=0时，y=-3，抛物线与y轴的交点坐标是(0，-3)，故本选项不符合题意； C、 ，抛物线与x轴有两个交点，所以与两坐标轴有三个交点，故本选项不符合题意； D、对抛物线 ，顶点坐标是（2，1），故本选项符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象与系数之间的关系是解题的关键． 8．【答案】B 【知识点】已知二次函数的函数值求自变量的值 【分析】本题主要考查了求二次函数的值， 分别将x的值代入关系式求出对应的函数值，再比较可得答案． 【详解】解：当时，； 当时，； 当时，． ∴ 故选：B． 9．【答案】A 【知识点】求x轴与抛物线的截线长、待定系数法求二次函数解析式、已知抛物线上对称的两点求对称轴 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，关键是灵活应用知识点解题；根据二次函数的性质逐一判断即可． 【详解】解：∵抛物线过点，抛物线与轴交于， ∴对称轴为：，甲正确； ∵当时，，抛物线过点， ∴对称轴为：，乙正确； ∵抛物线与轴交于，， ∴， 解得：， ∴对称轴为：，丙正确； ∵抛物线被轴截得的线段长为，点在抛物线上， ∴抛物线与轴的另一个交点为：或， ∴对称轴为：或，丁错误； 综上：甲、乙、丙个人回答正确． 故选：A ． 10．【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、利用不等式求自变量或函数值的范围 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、抛物线与轴的交点，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．依据题意，根据二次函数图象与x轴有交点，则求出或，由二次函数为实数，点是该函数图象与轴的一个交点，且，从而得到或或，最后计算即可得解． 【详解】解：二次函数为实数的图象与x轴有交点， ∴， ∴或， ∴或， ∵点是该函数图象与轴的一个交点，且，且二次函数的开口向下， ∴，解得； 或，解得； 或，解得； 综上，或． 故选：C． 11．【答案】 【知识点】利用不等式求自变量或函数值的范围 【分析】本题考查了二次函数值的大小比较，将点的坐标代入解析式求差是最直接有效的一种方法．将点坐标代入解析式后求差，然后分解因式，由积判断每一个因式的正负性即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴ 故答案为：． 12．【答案】1 【知识点】求x轴与抛物线的截线长 【分析】先求出二次函数与x轴的2个交点横坐标，然后求出两点间的距离即可． 【详解】解：令，则， 解得，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，坐标轴上两点间的距离公式，熟练运用公式是解题的关键． 13．【答案】 【知识点】求抛物线与y轴的交点坐标、抛物线与x轴的交点问题 【分析】根据函数与轴只有一个交点得到，求出k的值，代入解析式即可得到答案． 【详解】当函数与轴只有一个交点时，， ， 解得， ， 令得， 它与轴交点坐标是， 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次函数图象与坐标轴的交点坐标，正确掌握根的判别式与二次函数图象与x轴交点的关系是解题的关键． 14．【答案】 【知识点】已知二次函数的函数值求自变量的值、求不等式组的解集 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，对于二次函数，当时求得的自变量的值，也就是二次函数图象与轴的交点横坐标，就是对应的一元二次方程的解．令，画出大致图象可得：当时，；当时，；当时，；即可求解； 【详解】解：令， 则抛物线与轴的两个交点坐标为， ∵， 画出大致图象如下： 可得：当时，； 当时，； 当时，； 由①②③解得： 故答案为： 15．【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 由题意知，关于直线的对称点为，根据的解为抛物线与轴交点的横坐标，作答即可． 【详解】解：由题意知，关于直线的对称点为， ∵的解为抛物线与轴交点的横坐标， ∴关于的方程的解为， 故答案为：． 16．【答案】(1) (2)或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、已知二次函数的函数值求自变量的值 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，熟悉掌握待定系数法是解题的关键． （1）依据题意，将点坐标代入即可得到的值； （2）依据题意，将点坐标代入即可得到的值． 【详解】（1）解：二次函数的图象经过点， ， ； （2）解：由（1）得，二次函数解析式为， 点在这个图象上， ，即， 则， 解得或． 17．【答案】 图象如图所示： 【知识点】图象法确定一元二次方程的近似根、画y=ax²+bx+c的图象 【分析】本题主要考查了画二次函数图象，二次函数的性质，先列表，然后描点，再连线，画出函数图象，由 得 ，画出直线即可． 【详解】解: 抛物线 的顶点坐标是(1,-4), 对称轴是直线x = 1. 列表： x ··· 0 1 2 3 y 0 0 由 得 所以直线 与抛物线 的两个交点A，B即为所求，如图． 18．【答案】(1) (2) 解：根据表格数据描点连线绘制图象如下： (3)①或  ②或 (4)横 (5) 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据一元二次方程根的情况求参数、根据二次函数图象确定相应方程根的情况、画y=ax²+bx+c的图象 【分析】本题为二次函数综合运用，涉及到一次函数和二次函数的图象和性质，熟悉函数和不等式的关系是解题的关键． （1）把代入求出值即可； （2）根据表格数据描点连线绘制图象即可； （3）①根据表格信息得到交点坐标即可； ②根据交点坐标得到方程的解即可； （4）由（3）知，若两个函数交点的横坐标为方程的解； （5）联立两个函数表达式得 ，即可得到，求出，即可求解． 【详解】（1）解：当时，， 故答案为：； （2）略 （3）解：①二次函数 与一次函数 图象的交点坐标是或， 故答案为：或； ②方程 的解为：或， 故答案为：或； （4）解：由（3）知，若二次函数的图象与一次函数的图象相交，则交点的横坐标可以看成关于的方程的解， 故答案为：横； （5）解：联立两个函数表达式得：，整理得， 由题意得， 则， 故方程为：，则， 故答案为：． 19．【答案】(1) (2) (3)或或或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、特殊四边形(二次函数综合)、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了二次函数的综合问题，涉及了待定系数法求解析式、二次函数与线段问题、二次函数与特殊四边形问题，掌握二次函数的性质是解题关键． （1）由得，推出；根据点B的横坐标为2．求得；将、代入即可求解； （2）根据点是线段上的动点，可得，；由题意得：，推出；即可求解； （3）由（2）可知：；根据轴，且两点均为整点，推出或；求得故或；分类讨论当为边时，当为对角线时，两种情况即可求解； 【详解】（1）解：由得， ∴； ∵点B的横坐标为2． ∴； ∴； 将、代入得：， 解得：， ∴抛物线的表达式： （2）解：∵点是线段上的动点． ∴，； 由题意得： ∴； ∵， ∴当时，线段有最大值，且最大值为； （3）解：由（2）可知：； ∵ 轴，且两点均为整点， ∴线段的长为整数； ∴或； 若，则，解得（不符合题意）； 若，则，解得； 故或 当为边时，有且； 则， ∵， ∴点的横坐标为， ∵， ∴点的纵坐标为或； 即：整点R的坐标为或； 当为对角线时，设， 则，解得：； 或，解得：； 即：整点R的坐标为或； 综上所述：整点R的坐标或或或； 20．【答案】(1) (2)存在，P的坐标为 (3)的最大值为 【知识点】利用相似三角形的性质求解、面积问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、相似三角形问题(二次函数综合) 【分析】本题主要考查了函数的解析式的求法、二次函数与几何的综合等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． （1）将点和点代入求得a、b的值即可解答； （2）以点P、Q、N为顶点的三角形与相似，则为等腰直角三角形，，故当和为直角时，点Q和点A重合，不符合题意；当为直角时，则，即，解方程即可求解； （3）先求得直线的表达式为易得，再根据计算，然后根据二次函数的性质求最值即可。 【详解】（1）解：将点和点代入可得： ，解得：， 故抛物线的表达式为． （2）解：∵抛物线的表达式为， ∴当时，，即 ∴，即为等腰直角三角形， ∵以点P、Q、N为顶点的三角形与相似， ∴为等腰直角三角形， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的表达式为， ∵抛物线解析式为， ∴该抛物线的对称轴为：， 当时，，即点， ∵， 故当和为直角时，点P和点A重合，不符合题意； 当为直角时，则， 当时，解得：或（舍去）， ∴点． （3）解：如图：连接，设点， 设直线的表达式为， 则有，解得：， ∴直线的表达式为， ∴， ∴， ∴， ． ∴的最大值为． 21．【答案】(1)， (2) (3)或． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、相似三角形的判定与性质综合、角度问题(二次函数综合) 【分析】（1）利用待定系数法求出解析式，再化为顶点式，求出顶点坐标即可； （2）过点E作轴于点H，设点P的坐标为，其中，证明，则，，则，当点E恰好在该二次函数的图象上时，有，即可求得答案； （3）分点M在x轴上、点M在x轴两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：把点和代入得到， ， 解得 ∴， ∵， ∴顶点D的坐标是； （2）如图1，过点E作轴于点H，设点P的坐标为，其中， ∵，， ∴， 由旋转知，， ∴， ∴，， ∴， 当点E恰好在该二次函数的图象上时， 有， 解得（由于所以舍去）， 故所求t的值为， ∴点P的坐标是； （3）设点， ①若点M在x轴上方， 当时，， ∴点C的坐标是， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， 如图2，过点M作轴于点N，过点D作轴于点F． 由（2）可知点E的坐标是， 设直线的解析式为， 则 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点H的坐标为， ∴， ∴， 又∵ ∴ ∴， ∴ ∵,， ∴， ∴，（舍去）， 当时，， ∴点M的坐标是 ； ②若点M在x轴下方， 用同样的方法得， 综上所述，点M的坐标是或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、三角形相似的判定和性质、三角形全等的判定和性质等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $