因数与倍数（同步练习）2026-2027学年数学五年级上册苏教版

**基本信息** 本练习通过基础认知、理解应用、综合拓展三层递进设计，覆盖因数与倍数的定义、特征、找法及实际应用，强化概念辨析与生活情境结合，培养抽象能力、推理意识和应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|因数倍数定义、特征|选择题直接考查概念（如15是60的因数），判断题辨析易错点（如0的排除、相互依存关系）| |理解应用|因数倍数综合计算|填空题结合实际情境（如分球、地砖尺寸），强化找因数倍数方法（如48的装法）| |综合拓展|跨情境问题解决|解答题设计生活实践（如包装礼盒、候鸟分组），融入完全数探究、和差倍数关系推理|

6.1  因数与倍数（因数和倍数） 1、因数与倍数的定义： 若整数 a×b=c （ a,b,c 均为非0自然数），则：a和b是c的因数；c是a和b的倍数。 2、 找因数的方法：乘法配对法；除法列举法。 3、因数的特征： （1）一个数的因数个数是有限的； （2）最小因数是1 ； （3）最大因数是它本身。 4、倍数的概念与特征 倍数的定义：若整数 a×n=b （ a,n,b 均为非0自然数），则 b是a的倍数。 5、倍数的特征： 一个数的倍数个数是无限的； 最小倍数是它本身； 没有最大倍数。 6、易错点提醒 研究因数和倍数时，不包括0（因为0作除数无意义，且0的倍数/因数研究无实际价值）。 因数和倍数是相互依存的关系，不能单独说“某个数是因数”或“某个数是倍数”，必须明确“谁是谁的因数/倍数”。 一、选择题 1．因为15×4＝60，所以15是60的（    ）。 A．公因数 B．公倍数 C．倍数 D．因数 【答案】D 【分析】只在自然数（0除外）范围内研究倍数和因数。如果a×b＝c（a、b、c都是非0的自然数）那么a和b就是c的因数，c就是a和b的倍数。 公因数是指两个及以上数共有的因数。 公倍数是指两个及以上数共有的倍数。 【详解】已知，因此15和4都是60的因数，60是15和4的倍数。 2．五（1）班的54名同学在体育课上玩“多人抱抱团”的游戏，老师说出下面的数字（    ），可以正好没有人淘汰。 A．14 B．25 C．5 D．18 【答案】D 【分析】要正好没有人淘汰，说明54名同学按这个数抱团后没有剩余，也就是54除以这个数没有余数，把四个选项依次计算，有余数的就排除。 【详解】A．54÷14＝3……12，有余数，排除； B．54÷25＝2……4，有余数，排除； C．54÷5＝10……4，有余数，排除； D．54÷18＝3，没有余数，符合题意。 3．下面各组数中，第一个数是第二个数的因数的是（    ）。 A．2和21 B．8和16 C．1.5和15 D．45和15 【答案】B 【分析】因数仅在非0自然数范围内研究，若第一个数是第二个数的因数，需满足第二个数除以第一个数的商是整数且没有余数。 【详解】A．21÷2＝10.5，不能整除，不符合要求； B．16÷8＝2，能整除，符合要求； C．1.5是小数，不存在因数关系，直接排除。 D．15÷45＝，不能整除，不符合要求。 4．一个数既是6的倍数，又是6的因数，这个数是（    ）。 A．2 B．3 C．6 D．12 【答案】C 【分析】一个数的最大因数是它本身，最小的倍数也是它本身。 【详解】既是一个数的因数又是这个数的倍数的数就是它本身，这个数是6。 5．如果a是b的倍数，用符号“”表示；如果a不是b的倍数，用符号“”表示。则下列选项中，符号使用正确的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，表示a 是b的倍数（即a除以b的商是正整数且没有余数），表示a不是b的倍数；分别用右侧数除以左侧数，看结果是否是正整数且没有余数，如果结果是正整数且没有余数，那符号使用正确，如果结果不是正整数则符号使用错误。 【详解】A．9÷3＝3，9是3的倍数，应写为，符号使用错误； B．10÷2＝5，是的倍数，应写为，符号使用错误； C．36÷11＝3……3，36不是11的倍数，符号使用正确。 D．42÷14＝3，42是14的倍数，应写为，符号使用错误。 6．小明爸爸今年a岁，a＝2×3×7，a的因数一共有（    ）个。 A．3 B．5 C．7 D．8 【答案】D 【分析】先算出a的具体数值，再列乘法算式找出它的所有因数，统计因数的总个数即可。 【详解】a＝2×3×7＝42 42＝1×42 42＝2×21 42＝3×14 42＝6×7 42的因数有1、2、3、6、7、14、21、42，共8个。 7．学校五年级有247名学生参加队列表演，每行的人数相等，且没有剩余，则每行可能有（    ）名学生。 A．13 B．17 C．21 D．27 【答案】A 【分析】根据题意“每行的人数相等，且没有剩余”，可知每行的人数必须能整除总人数，即每行人数是总人数247的因数。解题时需验证选项中的数是否为247的因数。 【详解】对选项进行逐项验证： A．247÷13＝19，商是整数且没有余数，说明13是247的因数，此选项正确； B．247÷17＝14……9，有余数，说明17不是247的因数，此选项错误； C．247÷21＝11……16，有余数，说明21不是247的因数，此选项错误； D．247÷27＝9……4，有余数，说明27不是247的因数，此选项错误。 8．2025年央视春晚《秧BOT》节目中有16台宇树人形机器人。这些机器人穿着花袄、手持花绢，为全国观众带来精彩的扭秧歌表演。16的因数有（    ）个。 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】按从小到大的顺序从1~16中找出能整除16的所有自然数，数出总个数即可。 【详解】16÷1＝16，16÷2＝8，16÷4＝4，16÷8＝2，16÷16＝1 16的因数有1、2、4、8、16，共5个。 9．古希腊学者认为：如果一个数恰好等于它的所有因数（本身除外）相加之和，那么这个数就是“完全数”。例如6有4个因数1，2，3，6，除本身6以外，还有1，2，3三个因数，所以6是“完全数”。下面的数中是“完全数”的是（    ）。 A．10 B．12 C．16 D．28 【答案】D 【分析】先确定各选项中数字的因数，再结合“完全数”的特征判断。 【详解】A．10的因数有：1、2、5、10，1＋2＋5≠10，所以10不是“完全数”； B．12的因数有：1、2、3、4、6、12，1＋2＋3＋4＋6≠12，所以12不是“完全数”； C．16的因数有：1、2、4、8、16，1＋2＋4＋8≠16，所以16不是“完全数”； D．28的因数有：1、2、4、7、14、28，1＋2＋4＋7＋14＝28，所以28是“完全数”。 10．一个数既是7的倍数，又是14的因数，这个数可能是（    ）。 A．1和7 B．7和14 C．1和14 D．14和28 【答案】B 【分析】先通过枚举法列出14的全部因数，再从列出的14的因数中筛选出是7的倍数的数，最后将筛选得到的数和选项对比，匹配对应选项。 【详解】14的因数有：1、2、7、14 14（包括14）以内7的倍数有：7、14 所以，这个数可能是7和14。 11．有48个球，平均装在盒子里，要求每个盒子里的球一样多，共有（    ）种装法。 A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】A 【分析】每个盒子球的数量×盒子的数量＝48，每个盒子球数相同，装法总数等于48的因数的总个数，找出48的所有因数即可得到答案。 【详解】48＝1×48＝2×24＝3×16＝4×12＝6×8 48的因数：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48，共10个，每个因数对应一种装法，总共有10种装法。 12．小方家客厅地面的形状是一个长为4.8m、宽为3.5m的长方形。如果要在地面上铺地砖，那么选择下面的（    ）种地砖不能正好铺满。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据1m＝10分米，把4.8m转换成48dm，3.5m转换成35dm。要使用的地砖正好铺满，即必须是整块。则地砖的长是地面的长或者宽的因数，且地砖的宽是地面的长或者宽的因数。或者地砖的边长必须都是地面长和宽的因数即可。 【详解】4.8m＝48dm，3.5m＝35dm 48的因数有：1，2，3，4，6，8，12，16，24，48。 35的因数有：1，5，7，35。 A. 5是35的因数，但不是48的因数，所以不能正好铺满。符合题意。 B．3是48的因数，5是35的因数，所以能正好铺满。不符合题意。 C．6是48的因数，5是35的因数，所以能正好铺满。不符合题意。 D．7是35的因数，6是48的因数，所以能正好铺满。不符合题意。 13．智能机器人可以通过输入设定值，将相同个数的货物装箱打包。一批积木有24盒，如果不能每次单个打包，也不能一次全部打包，且最后正好打包完成，那么一共可以有（    ）种不同的打包方式。 A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】根据题意，每次打包的盒数必须能整除24，即是24的因数。题目要求“不能每次单个打包”且“不能一次全部打包”，意味着需要找出24的所有因数，并排除1和24这两个因数，剩余因数的个数即为打包方式的种数。 【详解】因为1×24＝24，2×12＝24，3×8＝24，4×6＝24，所以24的因数有：1，2，3，4，6，8，12，24。 根据题意分析限制条件：“不能每次单个打包”，说明每次打包的盒数不能是1；“也不能一次全部打包”，说明每次打包的盒数不能是24。 排除1和24后，符合条件的因数有：2，3，4，6，8，12。即共有6个符合条件的因数。 所以一共可以有6种不同的打包方式。 14．运动会开幕式上，王老师将60个气球平均分给走方阵的同学，正好分完。拿到气球的学生人数不可能是（    ）。 A．15人 B．20人 C．25人 D．30人 【答案】C 【分析】在整数除法中，如果商是整数且没有余数（或者说余数为0），我们就说除数是被除数的因数（也称约数），被除数是除数的倍数。据此找出不是60的因数的数即可解答。 【详解】A．60÷15＝4，所以15是60的因数，所以拿到气球的学生人数可能是15人； B．60÷20＝3，20是60的因数，所以拿到气球的学生人数可能是20人； C．60÷25＝2……10，25不是60的因数，所以拿到气球的学生人数不可能是25人； D．60÷30＝2，30是60的因数，所以拿到气球的学生人数可能是30人。 故答案为：C 二、判断题 15．一个数的最小因数与它的最小倍数的和是25，那么这个数就是24。( ) 【答案】 √ 【分析】一个数的最小因数是1，最小倍数是它本身，由题意：最小因数＋最小倍数＝25，也就是：1＋这个数＝25，所以，这个数＝25－1。 【详解】25－1＝24 计算可得这个数是24，与题干表述一致。 故答案为：√ 16．一个非0自然数的最大因数和这个数的最小倍数相同。( ) 【答案】 √ 【分析】一个非0自然数的最大因数是它本身，最小倍数也是它本身，可据此判断。 【详解】一个非0自然数的最大因数是它本身，最小倍数也是它本身，二者相等。 故答案为：√ 17．一个数是2的倍数，那么这个数也一定是8的倍数。( ) 【答案】× 【分析】例如2是2的倍数，，商不是整数且有余数，因此2不是8的倍数。 【详解】根据分析，存在是2的倍数但不是8的倍数的数，例如2是2的倍数，但不是8的倍数。 因此一个数是2的倍数，那么这个数也一定是8的倍数的原题说法错误。 故答案为：× 18．a的最大因数是18，b的最小倍数是2，则a＋b＝20。( ) 【答案】√ 【分析】一个数的最大因数是它本身，最小倍数也是它本身，据此先求出a和b的值，再计算和验证即可。 【详解】一个数的最大因数是它本身，因此； 一个数的最小倍数是它本身，因此； a＋b＝18＋2＝20 故答案为：√ 19．一个非零自然数的最大因数和最小倍数的和可能是2的倍数。( ) 【答案】√ 【分析】非零自然数的最大因数和最小倍数都等于它本身，二者之和是它的2倍，一定是2的倍数，因此“可能是2的倍数”的表述成立。 【详解】设这个非零自然数为a。 a的最大因数是a，最小倍数是a，和是：a＋a＝2a，2a是2的倍数。 所以，一个非零自然数的最大因数和最小倍数的和可能是2的倍数。 原题说法正确。 故答案为：√ 20．因为4×2.5＝10，所以4和2.5是10的因数，10是4和2.5的倍数。( ) 【答案】× 【分析】根据因数和倍数的意义：如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫作b的倍数，b就叫作a的因数；因数和倍数的研究对象是非0的自然数，据此解答。 【详解】根据分析可知，2.5是小数，不符合倍数和因数的意义，虽然4×2.5＝10，但是4和2.5不是10的因数，10不是4和2.5的倍数，原题干说法错误。 故答案为：× 21．因为4.4÷4＝1.1，所以4.4是4和1.1的倍数，4和1.1是4.4的因数。( ) 【答案】× 【分析】根据因数和倍数的意义，研究因数和倍数时，所说的数指的是非零自然数。本题中4.4和1.1是小数，不符合因数和倍数的定义范围。 【详解】因数和倍数是在非零自然数范围内研究的概念。如果数能被数整除（），就叫做的倍数，就叫做的因数。这里的、以及商必须都是非零自然数。题目中4.4÷4＝1.1，虽然除法算式成立，但4.4和1.1是小数，不是非零自然数。因此，不能说4.4是4和1.1的倍数，4和1.1是4.4的因数。故原题说法错误。 故答案为：× 22．因为15÷3＝5，所以15是倍数，3和5是因数。( ) 【答案】× 【分析】因数和倍数是相互依存的，不能单独存在。判断单独说某个数是因数或倍数是否准确。 【详解】在整数除法中，如果商是整数而没有余数，被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数。 因为15÷3＝5，所以15是3和5的倍数，3和5是15的因数。 因数和倍数是相互依存的，不能单独说某个数是因数或倍数。 原题说法中没有指明相互依存的关系，所以说法错误。 23．已知6是3的倍数，a是6的倍数，那么a一定是3的倍数。( ) 【答案】√ 【分析】若一个数是6的倍数，6又是3的倍数，那么这个数一定包含因数3，因此这个数一定是3的倍数。 【详解】因为a是6的倍数，6是3的倍数，所以a一定含有因数3，即a一定是3的倍数。 故答案为：√ 24．因为（，均为自然数），所以35是和的公倍数。( ) 【答案】√ 【分析】在非零自然数范围内，如果，则是和的倍数。公倍数是指几个数公有的倍数。根据题意推断、为非零自然数，进而判断35与、的倍数关系。 【详解】因为（，均为自然数），所以35 是的倍数，也是的倍数。根据公倍数的概念，则35是和的公倍数。 故答案为：√ 25．若a÷b＝c（a、b、c均为非0自然数），则b是a的倍数，a是b的因数。( ) 【答案】× 【分析】在整数除法中，如果商是整数且没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。 【详解】若a÷b＝c（a、b、c均为非0自然数），则a是b的倍数，b是a的因数。 原题说法错误。 故答案为：× 26．在2，8，64这三个自然数中，64是倍数，2和8是因数。( ) 【答案】 × 【分析】因数和倍数是表示两个数之间关系的概念，它们是相互依存的，不能单独存在。必须明确指出谁是谁的倍数，谁是谁的因数。 【详解】因数和倍数是相互依存的。在2，8，64这三个自然数中，因为2和8能整除64，所以应该说64是2和8的倍数，2和8是64的因数。不能单独说64是倍数，2和8是因数。 故答案为：× 27．A是B的因数，B是C的因数，所以C是A的倍数。( ) 【答案】√ 【分析】根据定义，在整数除法中，如果商是整数且没有余数（或者说余数为0），我们就说除数是被除数的因数（也称约数），被除数是除数的倍数。若A是B的因数，则B是A的倍数；若B是C的因数，则C 是B的倍数。利用倍数关系的传递性，可以推断C是A的倍数。可以通过具体数字举例验证结论的正确性。 【详解】根据因数与倍数的意义：在非零自然数范围内，如果数A是数B的因数，那么数B就是数 A的倍数；如果数B是数C的因数，那么数C就是数B的倍数。 因为C是B的倍数，B是A 的倍数，所以C 是A 的倍数。 例如：2是4的因数，4是8的因数，8是2的倍数，符合题意。 故原题说法正确。 故答案为：√ 28．如果一个数的因数中有6，那么这个数一定是6的倍数。( ) 【答案】√ 【分析】如果整数a除以整数b（b≠0）的商是整数且没有余数，就说a是b的倍数，b是a的因数。若一个数的因数中有6，则这个数能被6整除，因此，该数一定是6的倍数。 【详解】一个数的因数中有6，这个数能被6整除，该数一定是6的倍数。原说法正确。 故答案为：√ 三、填空题 29．既是16的因数，又是16的倍数的数是( )。 【答案】 【分析】一个数的最大因数是它本身，最小倍数也是它本身。 【详解】的因数有：、、、、 的倍数有：、、 既是的因数，又是的倍数的数是。 30．一个数的最大因数是42，这个数是( )，它的最小倍数是( )。 【答案】 42 42 【分析】根据因数和倍数的定义可知：一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 【详解】根据因数的特征：一个数的最大因数是它本身。因为一个数的最大因数是42，所以这个数是42。 根据倍数的特征：一个数的最小倍数是它本身。因为这个数是42，所以它的最小倍数是42。 31．一个整数a（a＞0），它最小的两个倍数之和是( )，一个偶数b（b＞0），它最大的两个因数之和是( )。 【答案】 【分析】①一个非零自然数的最小倍数是它本身，第二小的倍数是它的2倍。 ②一个数的最大因数是它本身。对于偶数，因为它能被2整除，所以除了它本身以外，最大的因数是它除以2的商。（数字与字母相乘时，乘号可以省略，数字写在字母前面） 【详解】①整数（）的最小倍数是。整数的第二小倍数是，它们的和是：。 ②偶数（）的最大因数是。因为是偶数，所以含有因数2。所以除了它本身以外，最大的因数是，即，它们的和是：。 32．如果一个数的最大因数是15，那么它一共有( )个因数，它的最小倍数是( )。 【答案】 4 15 【分析】根据一个数的最大因数是它本身，确定这个数是15；再找出所有能整除15的正整数，找出15的所有因数，最后根据一个数的最小倍数是它本身，确定15的最小倍数是15。 【详解】根据一个数的最大因数是15，可知这个数是15。 15÷1＝15，15÷3＝5，15÷5＝3，15÷15＝1。 因此，15的因数有1、3、5、15，共4个。 15的最小倍数是15。 33．把48个玻璃球装进同样的瓶子里，每个瓶中玻璃球的数量相等（每瓶中的玻璃球不少于3个，不超过12个），并且正好装完，有( )种不同的方法。 【答案】5 【分析】根据找一个数因数的方法，列举出48的因数，进而根据题意，找出不超过12个，不少于3的数，即每个瓶中玻璃球的数量，据此解答即可。 【详解】48的所有因数有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48 每个瓶中玻璃球的数量不少于3个，不超过12个，所以每个瓶中玻璃球的数量可以是3个、4个、6个、8个、12个，五种。 即共有5种不同的方法。 34．把72支铅笔平均分给五（1）班的同学，正好分完。已知五（1）班人数在30~40之间，五（1）班有( )名同学。 【答案】 36 【分析】铅笔总数能被学生人数整除且没有剩余，说明学生人数是铅笔总数72的因数。解题思路是先找出72的所有因数，再根据班级人数在之间的条件，筛选出符合要求的人数。 【详解】72的因数有：1，2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72。已知学生人数在之间，在上述因数中，只有36符合该范围要求，所以五（1）班有36名同学。 35．一盒棋子有64粒，如果不一次全部拿出，也不一粒一粒拿出，但每次拿出的粒数都相同，最后一次正好拿完，共有( )种不同的拿法。 【答案】5 【分析】每次拿的粒数×拿的次数＝64，因此每次拿的粒数必须是64的因数。不能一次全部拿出（即不能拿64粒），也不能一粒一粒拿出（即不能拿1粒）。先找出64的所有因数，再排除1和64，剩下的因数数量就是拿法种数。 【详解】64＝1×64＝2×32＝4×16＝8×8 64的因数除了1和64外，还有2、4、8、16、32，共5个。 所以共有5种不同的拿法。 36．把36个苹果装在盒子里，要求每个盒子装得同样多，有( )种装法；把37个苹果装在盒子里，也要求每个盒子装得同样多，有( )种装法。 【答案】 9 2 【分析】因为每个盒子装得同样多，所以每个盒子装的苹果数必须是总苹果数的因数。因此，装法数就是总苹果数的因数个数，分别列举36和37的因数，然后确定答案。 【详解】36的因数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36，共9个因数，所以有9种装法。 37的因数有：1、37，共2个因数，所以有2种装法。 把36个苹果装在盒子里，要求每个盒子装得同样多，有9种装法；把37个苹果装在盒子里，也要求每个盒子装得同样多，有2种装法。 37．唐崖土司城址是中国第48处世界文化遗产，位于湖北省恩施州咸丰县唐崖镇的唐崖河畔，实验小学五年级部分学生利用周末去参观唐崖土司城址，已知参观学生人数在40～50人之间。领队张老师把84瓶矿泉水平均分给参观学生，正好分完。那么参观的学生有( )人。 【答案】42 【分析】由题意可知，参观的学生人数是矿泉水总数量的因数，并且在40～50之间，求一个数的因数时，就用这个数从1开始去整除，一直除到除数和商交换位置或除数和商相同为止，除数和商都是被除数的因数，重复的因数只写一个，按顺序列举出84的所有因数，再找出符合条件的因数，据此解答。 【详解】84÷1＝84 84÷2＝42 84÷3＝28 84÷4＝21 84÷6＝14 84÷7＝12 84的因数有1，2，3，4，6，7，12，14，21，28，42，84，其中在40～50之间的是42。 所以，参观的学生有42人。 38．五年级一班的学生人数在20~30之间。把72本练习本平均分给五年级一班的同学，结果正好分完，每名同学分到( )本练习本，这个班有( )名学生。 【答案】 3 24 【分析】把72本练习本平均分给五年级一班的同学，结果正好分完，说明每人分到的本数和人数是练习本数量的因数，列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。据此再根据五年级一班的学生人数在20~30之间，确定每人分到的本数和人数。 【详解】72＝1×72＝2×36＝3×24＝4×18＝6×12＝8×9 3×24＝72（本） 每名同学分到3本练习本，这个班有24名学生。 39．劳动教育课上，老师教同学们做水果拼盘。一共有24种水果，要求不能每种水果拼成一盘，也不能24种水果拼成一盘，每盘种类数相同，且最后正好把24种水果拼装完，那么一共可以有( )种不同的拼法。 【答案】6 【分析】正好把24种水果拼装完，说明每盘的水果种类数与盘数的乘积是24，因此每盘的水果种类是24的因数，因为要求不能每种水果拼成一盘，也不能24种水果拼成一盘，所以1和24要排除。 【详解】24的因数：1、2、3、4、6、8、12、24。 符合题意的因数有：2、3、4、6、8、12，共6种。 所以一共可以有6种不同的拼法。 40．两个数的和是100，一个是7的倍数，另一个是11的倍数。这两个数分别是( )和( )。 【答案】 56 44 【分析】先明确核心条件：两个数相加等于，其中一个是的倍数，另一个是的倍数。 分别列出以内所有的倍数、所有的倍数。从这两组数中，逐一验证两个数相加是否等于，筛选出同时满足“和为”“分别是、的倍数”的组合，最终得到符合要求的两个数。 【详解】以内的倍数：，，，，，，，，，，，，，； 以内的倍数：，，，，，，，，； 只有满足题意， 所以两个数的和是，一个是的倍数，另一个是11的倍数。这两个数分别是和。 41．下面的3组数中，谁是谁的因数？谁是谁的倍数？ （1）72和8        （2）20和140        （3）17和51 【答案】（1）8是72的因数，72是8的倍数； （2）20是140的因数，140是20的倍数； （3）17是51的因数，51是17的倍数。 【分析】根据因数和倍数的意义：如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；据此依次进行解答即可。 【详解】（1） 8是72的因数，72是8的倍数。 （2）20和140 20是140的因数，140是20的倍数。 （3）17和51 17是51的因数，51是17的倍数。 四、解答题 42．小卖部购进一批巧克力共245包，想把它们包装成礼盒再出售。 (1)如果只包装成一种小礼盒，那么哪种包装方式能够全部装完？ (2)这种包装方式需要的礼盒长、宽、高分别是15厘米、8厘米、10厘米，如果要包装这种礼盒，每个礼盒至少要用多少平方厘米包装纸？（不考虑损耗） (3)装好后，用彩带把这个礼盒系上（如图所示），接头处彩带长18厘米。至少需要多少厘米彩带？ 【答案】(1)5包装 (2)700平方厘米 (3)104厘米 【分析】（1）要正好全部装完，说明巧克力包装除以每盒包数没有剩余；分别计算三种包装的结果，进而解答。 （2）求每个礼盒至少要包装纸的面积，就是求长方体的表面积，根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答。 （3）需要彩带的长度＝2条长＋2条宽＋4条高＋接头处彩带的长度，据此解答。 【详解】（1）每盒2包时： 245÷2＝122（盒）……1（包），剩余1包，不能全部装完。 每盒3包时： 245÷3＝81（盒）……2（包），剩余2包，不能全部装完。 每盒5包时： 245÷5＝49（盒），没有剩余，可以全部装完。 答：每盒装5包的包装方式能够全部装完。 （2）（15×8＋15×10＋8×10）×2 ＝（120＋150＋80）×2 ＝（270＋80）×2 ＝350×2 ＝700（平方厘米） 答：每个礼盒至少要用700平方厘米包装纸。 （3）15×2＋8×2＋10×4＋18 ＝30＋16＋40＋18 ＝46＋40＋18 ＝86＋18 ＝104（厘米） 答：至少需要104厘米彩带。 43．40和15都是5的倍数。 40＝5×8，15＝5×3，40＋15＝5×8＋5×3＝5×（8＋3）＝5×11，所以40与15的和也是5的倍数。 (1)你能用同样的方法解释说明40与15的差是不是5的倍数吗？ (2)我发现：如果a和b都是c的倍数（a，b，c均为非零自然数，且a＞b），那么( )和( )都是c的倍数。 【答案】(1)40＝5×8，15＝5×3，40－15＝5×8－5×3＝5×（8－3）＝5×5 因为5×5是5的倍数，所以40与15的差也是5的倍数。 (2) a＋b a－b 【分析】（1）将40和15分别拆解为5与另一个自然数的乘积，利用乘法分配律的逆运算思想计算两者的差，判断结果是否仍含有因数5。 （2）根据题干中“和”的结论以及第（1）题中“差”的验证，归纳出一般性规律：若两个数都是同一个数的倍数，则它们的和与差也都是这个数的倍数。据此解答。 【详解】（1）略 （2）根据题意，40和15都是5的倍数 40＝5×8，15＝5×3 和：40＋15＝5×（8＋3） 差：40－15＝5×（8－3） 式子都有相同因数5，所以它们的和与差都是5的倍数。 所以，如果a和b都是c的倍数（a，b，c均为非零自然数，且a＞b），那么a与b的和与a与b的差都是c的倍数。 44．刘老师收到一个四位数的短信验证码ABCD，A是6的最大因数，B既是4的因数又是4的倍数，C的因数只有1和7，D是5的最小倍数，这个验证码是多少？ 【答案】 6475 【分析】先根据因数和倍数的基本性质，分别确定A、B、C、D四个数位上的数字，再组合得到四位数验证码。 【详解】一个数的最大因数是它本身，6的最大因数是6，因此。 一个数的最大因数和最小倍数都是它本身，既是4的因数又是4的倍数的数是4，因此。 C的因数只有1和7，因此。 一个数的最小倍数是它本身，5的最小倍数是5，因此。 组合得到四位数为6475。 答：这个验证码是6475。 45．如图，6个小朋友按箭头指示方向依次报数，如果小乐从7开始正向报数，谁最先报出6的倍数？像这样一直进行下去，其他小朋友报的数可能是6的倍数吗？ 【答案】小东最先报出6的倍数，其他小朋友报的数不可能是6的倍数。 【分析】从7往后第一个6的倍数是12，找出报12的小朋友。因为一共6个小朋友，每轮一圈这个小朋友都会继续报6的倍数，其他小朋友就不可能报6的倍数了。 【详解】12－7＝5（个） 答：从小乐开始后第5个小朋友小东最先报出6的倍数。因为一共6个小朋友，所以往后每次都是小东报6的倍数，其他小朋友报的数不可能是6的倍数。 46．在中国传统文化中，常用到数字“6”，比如六谷，六畜，六常，秦始皇以六为国数等。在数学上，数字“6”也非常特别，因为它是一个完全数。当一个数恰好等于除了它自身以外的全部因数之和，这个数就是完全数（也叫完美数）。比如6的因数有1、2、3、6，1＋2＋3＝6，所以6是完全数。 请你判断28这个数是否是完全数，并写出判断的过程。 【答案】28是完全数，因为28的因数有1、2、4、7、14、28，非本身的因数相加：1＋2＋4＋7＋14＝28，所以28是完全数。 【分析】根据题意可得，一个数恰好等于除了它自身以外的全部因数之和，这个数就是完全数；一个数能被其它数整除，则这些数就是这个数的因数。据此判断8、28的因数，据此解答即可。 【详解】28的因数有1、2、4、7、14、28； 非本身的因数相加：1＋2＋4＋7＋14＝28，所以28是完全数。 47．A、B两个自然数，它们都是4的倍数。小明认为，它们的和一定也是4的倍数；小红认为不一定。你的判断是什么？请说明理由。 【答案】小明的说法正确； 理由：设A＝4m（m为整数），B＝4n（n为整数），那么A＋B＝4m＋4n＝4（m＋n），因为m、n为整数，所以m＋n也是整数，所以A＋B是4的倍数，所以说法正确。 【分析】整数a除以整数b（b≠ 0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a；如果整数a能被整数b（b≠ 0）整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数，两个自然数分别是4的倍数，和一定是4的倍数，可以采用假设法解答。 48．猜电话号码：。 提示：是5的最小倍数；是最小的自然数；是5的最大因数；既是4的倍数，又是4的因数；的所有因数是1，2，3，6；的所有因数是1，3；只有一个因数。这个电话号码是多少？ 【答案】 【分析】一个数的最小倍数和最大因数都是它本身；最小的自然数是0；只有一个因数的数是1；一个数的所有因数中，最大的因数是它本身。 【详解】A：5的最小倍数是5； B：最小的自然数是0； C：5的最大因数是5； D：4既是4的倍数，又是4的因数； E：6的所有因数是1，2，3，6； F：3的所有因数是1，3； G：1只有一个因数。 所以，这个电话号码是。 答：这个电话号码是。 49．妈妈今年40岁，乐乐和爷爷今年的年龄分别是妈妈年龄的因数和倍数，并且爷爷的年龄是乐乐的10倍，乐乐和爷爷今年各多少岁？ 【答案】 乐乐8岁，爷爷80岁 【分析】根据乐乐和爷爷今年的年龄分别是妈妈年龄的因数和倍数，判断出爷爷今年年龄是妈妈年龄的2倍，用乘法计算，此时计算出的爷爷年级符合常理；因为乐乐今年的年龄是妈妈年龄的因数，再结合爷爷今年的年龄是乐乐的10倍，除法计算出乐乐的年龄。 【详解】妈妈今年40岁，爷爷年龄是妈妈年龄的倍数，满足条件的倍数是2倍， 爷爷年龄：（岁） 爷爷年龄是乐乐年龄的10倍，乐乐年龄：（岁） 答：乐乐和爷爷今年分别是8岁，80岁。 50．水晶饼是陕西名点，具有“金面银帮，起皮掉酥”的外观特征，口感油而不腻、甜润清香。某甜品店新鲜出炉了52个水晶饼，店里现有三款包装盒：A款每盒装4个；B款每盒装6个；C款每盒装8个。应该选用哪款包装盒正好能把52个水晶饼装完？ 【答案】A款 【分析】水晶饼的总数量52必须是每盒装数量的倍数，即每盒装的数量必须是52的因数，据此分析解答。 【详解】A款：52÷4＝13（盒） B款：52÷6＝8（盒）……4（个） C款：52÷8＝6（盒）……4（个） 52÷4没有剩余，所以应该选择A款包装盒。 答：应该选用A款包装盒正好能把52个水晶饼装完。 51．某生态保护区有156只候鸟，老师要求学生对候鸟进行分组，方便后续的观察和记录，小林说，平均分为6组比较好；小明说，平均分为5组比较好。他们两个人谁的说法比较合理？为什么？ 【答案】小林；156是6的倍数，可以平均分。156不是5的倍数，不能平均分。 【分析】平均分的要求：总量÷组数＝每组的数量，计算结果是整数且没有余数。即总量必须能被组数整除，也就是总量是组数的倍数，能整除的方法更合理。 【详解】（只） 156是6的倍数，可以平均分。 （只）……1（只） 156不是5的倍数，不能平均分。 答：小林的说法比较合理，因为156除以6没有余数，可以平均分。 52．食品店里做了56个月饼，店里有A包装盒每盒装4个，B包装盒每盒装6个，C包装盒每盒装9个，请问选用哪种包装盒正好能把56个月饼装完？请用因数倍数的知识说明。 【答案】A包装盒 【分析】如果一个数能整除56，那么这个数就是56的因数，对应的包装盒就能正好装完。据此解答即可。 【详解】A包装盒每盒装4个，56÷4＝14，没有余数，说明56能被4整除，所以4是56的因数，即56是4的倍数，所以用A包装盒包装，装14盒，能正好把56个月饼装完； B包装盒每盒装6个，56÷6＝9……2，有余数2，说明56不能被6整除，所以6不是56的因数，即56不是6的倍数，所以用B包装盒包装，装9盒，剩下2个，不能正好把56个月饼装完； C包装盒每盒装9个，56÷9＝6……2，有余数2，说明56不能被9整除，所以9不是56的因数，即56不是9的倍数，所以用C包装盒包装，装6盒，剩下2个，不能正好把56个月饼装完。 答：选用A包装盒正好能把56个月饼装完。 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.1  因数与倍数（因数和倍数） 1、因数与倍数的定义： 若整数 a×b=c （ a,b,c 均为非0自然数），则：a和b是c的因数；c是a和b的倍数。 2、 找因数的方法：乘法配对法；除法列举法。 3、因数的特征： （1）一个数的因数个数是有限的； （2）最小因数是1 ； （3）最大因数是它本身。 4、倍数的概念与特征 倍数的定义：若整数 a×n=b （ a,n,b 均为非0自然数），则 b是a的倍数。 5、倍数的特征： 一个数的倍数个数是无限的； 最小倍数是它本身； 没有最大倍数。 6、易错点提醒 研究因数和倍数时，不包括0（因为0作除数无意义，且0的倍数/因数研究无实际价值）。 因数和倍数是相互依存的关系，不能单独说“某个数是因数”或“某个数是倍数”，必须明确“谁是谁的因数/倍数”。 一、选择题 1．因为15×4＝60，所以15是60的（    ）。 A．公因数 B．公倍数 C．倍数 D．因数 2．五（1）班的54名同学在体育课上玩“多人抱抱团”的游戏，老师说出下面的数字（    ），可以正好没有人淘汰。 A．14 B．25 C．5 D．18 3．下面各组数中，第一个数是第二个数的因数的是（    ）。 A．2和21 B．8和16 C．1.5和15 D．45和15 4．一个数既是6的倍数，又是6的因数，这个数是（    ）。 A．2 B．3 C．6 D．12 5．如果a是b的倍数，用符号“”表示；如果a不是b的倍数，用符号“”表示。则下列选项中，符号使用正确的是（    ）。 A． B． C． D． 6．小明爸爸今年a岁，a＝2×3×7，a的因数一共有（    ）个。 A．3 B．5 C．7 D．8 7．学校五年级有247名学生参加队列表演，每行的人数相等，且没有剩余，则每行可能有（    ）名学生。 A．13 B．17 C．21 D．27 8．2025年央视春晚《秧BOT》节目中有16台宇树人形机器人。这些机器人穿着花袄、手持花绢，为全国观众带来精彩的扭秧歌表演。16的因数有（    ）个。 A．3 B．4 C．5 D．6 9．古希腊学者认为：如果一个数恰好等于它的所有因数（本身除外）相加之和，那么这个数就是“完全数”。例如6有4个因数1，2，3，6，除本身6以外，还有1，2，3三个因数，所以6是“完全数”。下面的数中是“完全数”的是（    ）。 A．10 B．12 C．16 D．28 10．一个数既是7的倍数，又是14的因数，这个数可能是（    ）。 A．1和7 B．7和14 C．1和14 D．14和28 11．有48个球，平均装在盒子里，要求每个盒子里的球一样多，共有（    ）种装法。 A．10 B．9 C．8 D．7 12．小方家客厅地面的形状是一个长为4.8m、宽为3.5m的长方形。如果要在地面上铺地砖，那么选择下面的（    ）种地砖不能正好铺满。 A． B． C． D． 13．智能机器人可以通过输入设定值，将相同个数的货物装箱打包。一批积木有24盒，如果不能每次单个打包，也不能一次全部打包，且最后正好打包完成，那么一共可以有（    ）种不同的打包方式。 A．6 B．7 C．8 D．9 14．运动会开幕式上，王老师将60个气球平均分给走方阵的同学，正好分完。拿到气球的学生人数不可能是（    ）。 A．15人 B．20人 C．25人 D．30人 二、判断题 15．一个数的最小因数与它的最小倍数的和是25，那么这个数就是24。( ) 16．一个非0自然数的最大因数和这个数的最小倍数相同。( ) 17．一个数是2的倍数，那么这个数也一定是8的倍数。( ) 18．a的最大因数是18，b的最小倍数是2，则a＋b＝20。( ) 19．一个非零自然数的最大因数和最小倍数的和可能是2的倍数。( ) 20．因为4×2.5＝10，所以4和2.5是10的因数，10是4和2.5的倍数。( ) 21．因为4.4÷4＝1.1，所以4.4是4和1.1的倍数，4和1.1是4.4的因数。( ) 22．因为15÷3＝5，所以15是倍数，3和5是因数。( ) 23．已知6是3的倍数，a是6的倍数，那么a一定是3的倍数。( ) 24．因为（，均为自然数），所以35是和的公倍数。( ) 25．若a÷b＝c（a、b、c均为非0自然数），则b是a的倍数，a是b的因数。( ) 26．在2，8，64这三个自然数中，64是倍数，2和8是因数。( ) 27．A是B的因数，B是C的因数，所以C是A的倍数。( ) 28．如果一个数的因数中有6，那么这个数一定是6的倍数。( ) 三、填空题 29．既是16的因数，又是16的倍数的数是( )。 30．一个数的最大因数是42，这个数是( )，它的最小倍数是( )。 31．一个整数a（a＞0），它最小的两个倍数之和是( )，一个偶数b（b＞0），它最大的两个因数之和是( )。 32．如果一个数的最大因数是15，那么它一共有( )个因数，它的最小倍数是( )。 33．把48个玻璃球装进同样的瓶子里，每个瓶中玻璃球的数量相等（每瓶中的玻璃球不少于3个，不超过12个），并且正好装完，有( )种不同的方法。 34．把72支铅笔平均分给五（1）班的同学，正好分完。已知五（1）班人数在30~40之间，五（1）班有( )名同学。 35．一盒棋子有64粒，如果不一次全部拿出，也不一粒一粒拿出，但每次拿出的粒数都相同，最后一次正好拿完，共有( )种不同的拿法。 36．把36个苹果装在盒子里，要求每个盒子装得同样多，有( )种装法；把37个苹果装在盒子里，也要求每个盒子装得同样多，有( )种装法。 37．唐崖土司城址是中国第48处世界文化遗产，位于湖北省恩施州咸丰县唐崖镇的唐崖河畔，实验小学五年级部分学生利用周末去参观唐崖土司城址，已知参观学生人数在40～50人之间。领队张老师把84瓶矿泉水平均分给参观学生，正好分完。那么参观的学生有( )人。 38．五年级一班的学生人数在20~30之间。把72本练习本平均分给五年级一班的同学，结果正好分完，每名同学分到( )本练习本，这个班有( )名学生。 39．劳动教育课上，老师教同学们做水果拼盘。一共有24种水果，要求不能每种水果拼成一盘，也不能24种水果拼成一盘，每盘种类数相同，且最后正好把24种水果拼装完，那么一共可以有( )种不同的拼法。 40．两个数的和是100，一个是7的倍数，另一个是11的倍数。这两个数分别是( )和( )。 41．下面的3组数中，谁是谁的因数？谁是谁的倍数？ （1）72和8        （2）20和140        （3）17和51 四、解答题 42．小卖部购进一批巧克力共245包，想把它们包装成礼盒再出售。 (1)如果只包装成一种小礼盒，那么哪种包装方式能够全部装完？ (2)这种包装方式需要的礼盒长、宽、高分别是15厘米、8厘米、10厘米，如果要包装这种礼盒，每个礼盒至少要用多少平方厘米包装纸？（不考虑损耗） (3)装好后，用彩带把这个礼盒系上（如图所示），接头处彩带长18厘米。至少需要多少厘米彩带？ 43．40和15都是5的倍数。 40＝5×8，15＝5×3，40＋15＝5×8＋5×3＝5×（8＋3）＝5×11，所以40与15的和也是5的倍数。 (1)你能用同样的方法解释说明40与15的差是不是5的倍数吗？ (2)我发现：如果a和b都是c的倍数（a，b，c均为非零自然数，且a＞b），那么( )和( )都是c的倍数。 44．刘老师收到一个四位数的短信验证码ABCD，A是6的最大因数，B既是4的因数又是4的倍数，C的因数只有1和7，D是5的最小倍数，这个验证码是多少？ 45．如图，6个小朋友按箭头指示方向依次报数，如果小乐从7开始正向报数，谁最先报出6的倍数？像这样一直进行下去，其他小朋友报的数可能是6的倍数吗？ 46．在中国传统文化中，常用到数字“6”，比如六谷，六畜，六常，秦始皇以六为国数等。在数学上，数字“6”也非常特别，因为它是一个完全数。当一个数恰好等于除了它自身以外的全部因数之和，这个数就是完全数（也叫完美数）。比如6的因数有1、2、3、6，1＋2＋3＝6，所以6是完全数。 请你判断28这个数是否是完全数，并写出判断的过程。 47．A、B两个自然数，它们都是4的倍数。小明认为，它们的和一定也是4的倍数；小红认为不一定。你的判断是什么？请说明理由。 48．猜电话号码：。 提示：是5的最小倍数；是最小的自然数；是5的最大因数；既是4的倍数，又是4的因数；的所有因数是1，2，3，6；的所有因数是1，3；只有一个因数。这个电话号码是多少？ 49．妈妈今年40岁，乐乐和爷爷今年的年龄分别是妈妈年龄的因数和倍数，并且爷爷的年龄是乐乐的10倍，乐乐和爷爷今年各多少岁？ 50．水晶饼是陕西名点，具有“金面银帮，起皮掉酥”的外观特征，口感油而不腻、甜润清香。某甜品店新鲜出炉了52个水晶饼，店里现有三款包装盒：A款每盒装4个；B款每盒装6个；C款每盒装8个。应该选用哪款包装盒正好能把52个水晶饼装完？ 51．某生态保护区有156只候鸟，老师要求学生对候鸟进行分组，方便后续的观察和记录，小林说，平均分为6组比较好；小明说，平均分为5组比较好。他们两个人谁的说法比较合理？为什么？ 52．食品店里做了56个月饼，店里有A包装盒每盒装4个，B包装盒每盒装6个，C包装盒每盒装9个，请问选用哪种包装盒正好能把56个月饼装完？请用因数倍数的知识说明。 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $