第六单元 第1课时 因数和倍数（分层作业）数学五年级上册苏教版（新教材）

**基本信息** 本练习通过“固本夯基-融会进阶-启智拓新”三层设计，实现从概念理解到综合应用的梯度巩固，培养运算能力与应用意识，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |固本夯基|因数倍数关系判断、2/3/5倍数特征应用|以选择题辨析易混点，强化基础概念（如第3题结合偶数与3的倍数特征）| |融会进阶|因数倍数性质综合、数的组成与特征结合|通过填空题深化概念联系（如第8题用数字卡片组符合特征的数）| |启智拓新|实际问题解决、数学原理探究|联系生活情境发展推理能力（如第11题分组问题、第14题5的倍数特征原理）|

第六单元 第1课时 因数和倍数 分层作业 知识补给站 1. 基本概念与关系 在整数除法中，如果商是整数且没有余数，我们就说被除数是除数和商的______，除数和商是被除数的______。因数和倍数是相互依存的，且研究范围通常限定为非0自然数。 2. 因数和倍数的基本性质 一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是______，最大的因数是______；而一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是______，没有最大的倍数。 3. 2、3、5的倍数特征 判断一个数是否为2或5的倍数，主要看它的______位上的数字；判断是否为3的倍数，则需要看各个数位上的数字之和是否是______的倍数。 参考答案 1.倍数；因数 2.1；它本身；它本身 3.个；3 固本夯基 1．下面各组数中，第二个数是第一个数的倍数的是（    ）。 A．36和9 B．70和210 C．18和100 D．19和71 【答案】B 【分析】第二个数除以第一个数（不为0），商是整数且没有余数，就说明第二个数是第一个数的倍数，据此逐一判断选项即可。 【详解】A．，商不是整数，不符合题意。 B．，商是整数且没有余数，所以210是70的倍数，符合题意。 C．，有余数，不符合题意。 D．，有余数，不符合题意。 2．下面各组数中，（    ）的第一个数是第二个数的因数。 A．20和50 B．6和4.8 C．30和5 D．18和72 【答案】D 【分析】研究因数和倍数时，所说的数指的是非0自然数。判断第一个数是否是第二个数的因数，首先看两个数是否都是非0自然数，其次看第二个数除以第一个数是否商为整数且没有余数。 【详解】A．，商不是整数，20不是50的因数，该选项错误； B．4.8是小数，不属于非0自然数范围，不存在因数关系，该选项错误； C．得不到整数商，30不是5的因数，该选项错误； D．18和72都是非0自然数，，商是整数且没有余数，所以18是72的因数，该选项正确。 3．“71☐”是一个三位数，当口里填（    ）时，它既含有因数3，又是偶数。 A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】B 【分析】需同时满足两个条件：一是为偶数，个位必须是偶数；二是含有因数3，即各个数位上的数字之和是3的倍数，按这两个条件筛选即可。 【详解】A．该数是偶数，因此个位只能是偶数，3是奇数，不符合题意； B．已知数位的和为7＋1＝8，当□里填4时，数位的和为8＋4＝12，12是3的倍数，符合要求； C．该数是偶数，因此个位只能是偶数，7是奇数，不符合题意； D．已知数位的和为7＋1＝8，当□里填8时，数位的和为8＋8＝16，16不是3的倍数，不符合要求。 因此，“71☐”是一个三位数，当□里填4时，它既含有因数3，又是偶数。 4．小明有数张相同的5角和2角人民币，她的零花钱可能是（    ）。 A．5.2元 B．4.2元 C．2.5元 D．5元 【答案】B 【分析】5角和2角的张数相同，所以总钱数是7角的倍数，将各选项换算为角后判断是否为7的倍数即可。 【详解】（角） A．元角，不能得到整数商，不符合要求； B．元角，，符合要求； C．元角，不能得到整数商，不符合要求； D．元角，不能得到整数商，不符合要求。 5．在数字王国中，国王设置了一道关卡，只有找到同时是2、3和5的倍数的神秘数字组合，才能顺利通关。每个组合都由数字和字母“”构成（“”代表任意非零自然数，且同一个组合中所有“”数值相同），以下（    ）是正确的通关密钥。 A．数字精灵排列出的组合： B．神秘石碑上刻着的组合： C．智慧之门旁闪烁的组合： D．古老卷轴上记载的组合： 【答案】C 【分析】同时是2、3、5的倍数的数，需满足个位是0，且各数位上的数字之和是3的倍数，据此筛选选项即可。 【详解】A．，2N不一定是3的倍数，不符合要求，排除。 B．个位数字是N，如果N＝1，不是2和5的倍数，排除； C．，3N一定是3的倍数，且个位为0，同时满足2、3、5的倍数要求。 D．个位数字是N，如果N＝1，不是2和5的倍数，排除。 是正确的通关密钥。 融会进阶 6．一个数的最大因数是42，这个数是( )，它的最小倍数是( )。 【答案】 42 42 【分析】根据因数和倍数的定义可知：一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 【详解】根据因数的特征：一个数的最大因数是它本身。因为一个数的最大因数是42，所以这个数是42。 根据倍数的特征：一个数的最小倍数是它本身。因为这个数是42，所以它的最小倍数是42。 7．若m的最大因数是17，n的最小倍数是3，那么m＋n＝( )。 【答案】20 【分析】一个数的最大因数是它本身，一个数的最小倍数也是它本身。求m与n的和，把它们直接相加。 【详解】m的最大因数是17，所以m＝17；n的最小倍数是3，所以n＝3。17＋3＝20。 8．用1、2、3、5四张数字卡片组成三位数，既是2的倍数，又是3的倍数的最小三位数是( )。既是3的倍数，又是5的倍数的最大三位数是( )。 【答案】 132 315 【分析】个位上是0、2、4、6、8的数，都是2的倍数；一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数；个位是0或5的数是5的倍数；根据题意要使组成的最小三位数既是2的倍数，又是3的倍数，百位是1，个位必须是2，三个数字之和要能被3整除；要使组成的最大三位数既是3的倍数，又是5的倍数，个位必须是5，三个数字之和要能被3整除，百位尽量选大数。据此解答。 【详解】百位是1，个位是2，此时可能组成的三位数是：132，152； 1＋2＋3＝6，6÷3＝2；所以132符合； 1＋2＋5＝8，8÷3＝2……2；所以152不符合； 因此，既是2的倍数，又是3的倍数的最小三位数是132。 个位是5，百位数字最大是3；此时可能组成的三位数是：315，325； 5＋3＋1＝9，9÷3＝3；所以315符合； 5＋3＋2＝10，10÷3＝3……1；所以325不符合； 因此，既是3的倍数，又是5的倍数的最大三位数是315。 9．在18÷6＝3中，( )是( )和( )的倍数，( )和( )是( )的因数。 【答案】 18 6 3 6 3 18 【分析】在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商就是被除数的因数。 【详解】在18÷6＝3中，18是6和3的倍数，6和3是18的因数。 10．一个六位数548能同时被2、3、5整除，这样的六位数中最大的是( )。 【答案】548970 【分析】 要使六位数548同时被2、3、5整除。首先，能同时被2和5整除的数，个位一定是0；再根据被3整除的规则：各个数位的数的和是3的倍数。题目要求这个数最大，就要从高位到低位依次选尽可能大的数字，最后验证数的和是否为3的倍数。 【详解】 同时被2、5整除，个位必须是0，即六位数为：5480。 已知前三位数字和是5＋4＋8＝17，想要数最大，百位先选最大数字9，此时总和是17＋9＝26。 26加上十位上的数，和必须是3的倍数，此时十位上从9往下试数： 26＋9＝35，35不是3的倍数； 26＋8＝34，34不是3的倍数； 26＋7＝33，33÷3＝11，33是3的倍数； 所以十位选7。因此这个最大六位数是548970。 启智拓新 11．为了促使学生加强体育锻炼，学校举办了趣味运动会。其中“篮球接力”，哪个年级的报名人数按“3人一组”或“5人分组后均没有剩余？写出你的思考过程。 年级 五年级 六年级 报名人数 78人 60人 【答案】78是3的倍数，不是5的倍数，如果按“5人一组”分组会有剩余；60既是3的倍数，又是5的倍数，所以六年级的报名人数按这两种方式分组后均没有剩余。 【分析】要找出按两种分组方式都无剩余的年级，需分别判断两个年级的人数是否同时是3和5的倍数，可根据3、5的倍数特征判断。 【详解】答：五年级报名人数78人：，15是3的倍数，所以78是3的倍数；78的个位是8，不是0或5，所以78不是5的倍数；因此五年级按5人一组分组有剩余。 六年级报名人数60人：，6是3的倍数，所以60是3的倍数；60的个位是0，所以60是5的倍数；因此六年级按3人一组、5人一组分组均没有剩余。 12．3个连续自然数的和一定是3的倍数吗？请判断并说明理由。 【答案】3个连续自然数的和一定是3的倍数。理由：设中间的自然数为n，三个数是n－1、n、n＋1，（n－1）＋n＋（n＋1）＝3n，3n是3乘中间数，所以和一定是3的倍数。 【分析】三个连续自然数中间的数为n，那么前一个数是n－1，后一个数是n＋1，把三个数相加，化简算式，判断总和能否被3整除，以此判断是不是3的倍数。 【详解】设中间自然数是n，三个连续自然数：n－1、n、n＋1。 （n－1）＋n＋（n＋1） ＝n－1＋n＋n＋1 ＝3n 3n÷3＝n，3n是3的倍数。 答：3个连续自然数的和一定是3的倍数，理由略。 13．端午节前夕，小辰的妈妈去商店购买甜粽和咸粽，店员说应该付款73元，按照图中的价格计算，店员说得对吗？为什么？ 价目表 甜粽：5元/个 咸粽：10元/个 【答案】不对。因为甜粽和咸粽的总价都是的倍数，总钱数也一定是的倍数，而73不是5的倍数。 【分析】甜粽单价为5元/个，甜粽总价是5的倍数；咸粽单价为10元/个，10是5的倍数，因此咸粽总价也是5的倍数；总钱数等于甜粽总价加咸粽总价，两个5的倍数相加，和仍是5的倍数。再判断73是否符合5的倍数的特征即可。 【详解】5的倍数的个位数字是0或5，73的个位是3，不是5的倍数，所以店员说得不对。 答：店员说得不对。因为甜粽和咸粽的总价都是5的倍数，总钱数也一定是5的倍数，而73不是5的倍数。 14．数学课上，老师说：“个位是0或5的数一定是5的倍数。”小明提出了一个疑问：“为什么只看个位就能判断？比如150，个位是0，它确实是5的倍数；但个位是0或5这个结论能适用于所有数吗？比如像12345、98760这样的大数，难道不用看其他数位吗？” 【答案】这个结论适用于所有整数。理由：任意整数都可以拆成“若干个十＋个位数字”的形式，若干个十组成的数是10的倍数，而10是5的倍数，因此这部分一定是5的倍数；所以整个数是否为5的倍数仅由个位数字决定，个位是0或5时，这个数就是5的倍数。 【分析】把任意一个整数拆成整十数加上个位数字，整十数都是10的倍数，10又是5的倍数，所以整十数部分一定是5的倍数，整个数是不是5的倍数，只需要看个位数字。 【详解】任意一个整数都可以拆分为“若干个十＋个位数字”， 例如：150＝15×10＋0，12345＝1234×10＋5，98760＝9876×10＋0。 因为10是5的倍数，所以“若干个十”这一部分一定是5的倍数。整个数由5的倍数与个位数字相加得到，只有个位数字是0或者5的时候，两数相加的结果才是5的倍数。 答：判断一个数是不是5的倍数，只需要看个位是否为0或5，这条规律对所有整数都成立。 15．乐乐到花店买了3盆价格相同的马蹄莲，单价是整数，付给营业员100元，找回12元，乐乐说营业员算错了，营业员一查，发现多算了，多算的钱数是一个一位数的偶数，一盆马蹄莲的价格是多少元？ 【答案】28元 【分析】因为买了3盆价格相同的马蹄莲，所以价格一定是3的倍数，多算的钱数是一位数的偶数，所以可能会多算2元、4元、6元、8元，以此解答即可。 【详解】100－12＝88（元） 如果多算2元，88－2＝86，86不是3的倍数。 如果多算4元，88－4＝84，84是3的倍数，每盆84÷3＝28（元）。 如果多算6元，88－6＝82，82不是3的倍数。 如果多算8元，88－8＝80，80不是3的倍数。 答：一盆马蹄莲的价格是28元。 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六单元 第1课时 因数和倍数 分层作业 知识补给站 1. 基本概念与关系 在整数除法中，如果商是整数且没有余数，我们就说被除数是除数和商的______，除数和商是被除数的______。因数和倍数是相互依存的，且研究范围通常限定为非0自然数。 2. 因数和倍数的基本性质 一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是______，最大的因数是______；而一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是______，没有最大的倍数。 3. 2、3、5的倍数特征 判断一个数是否为2或5的倍数，主要看它的______位上的数字；判断是否为3的倍数，则需要看各个数位上的数字之和是否是______的倍数。 固本夯基 1．下面各组数中，第二个数是第一个数的倍数的是（    ）。 A．36和9 B．70和210 C．18和100 D．19和71 2．下面各组数中，（    ）的第一个数是第二个数的因数。 A．20和50 B．6和4.8 C．30和5 D．18和72 3．“71☐”是一个三位数，当口里填（    ）时，它既含有因数3，又是偶数。 A．3 B．4 C．7 D．8 4．小明有数张相同的5角和2角人民币，她的零花钱可能是（    ）。 A．5.2元 B．4.2元 C．2.5元 D．5元 5．在数字王国中，国王设置了一道关卡，只有找到同时是2、3和5的倍数的神秘数字组合，才能顺利通关。每个组合都由数字和字母“”构成（“”代表任意非零自然数，且同一个组合中所有“”数值相同），以下（    ）是正确的通关密钥。 A．数字精灵排列出的组合： B．神秘石碑上刻着的组合： C．智慧之门旁闪烁的组合： D．古老卷轴上记载的组合： 融会进阶 6．一个数的最大因数是42，这个数是( )，它的最小倍数是( )。 7．若m的最大因数是17，n的最小倍数是3，那么m＋n＝( )。 8．用1、2、3、5四张数字卡片组成三位数，既是2的倍数，又是3的倍数的最小三位数是( )。既是3的倍数，又是5的倍数的最大三位数是( )。 9．在18÷6＝3中，( )是( )和( )的倍数，( )和( )是( )的因数。 10．一个六位数548能同时被2、3、5整除，这样的六位数中最大的是( )。 启智拓新 11．为了促使学生加强体育锻炼，学校举办了趣味运动会。其中“篮球接力”，哪个年级的报名人数按“3人一组”或“5人分组后均没有剩余？写出你的思考过程。 年级 五年级 六年级 报名人数 78人 60人 12．3个连续自然数的和一定是3的倍数吗？请判断并说明理由。 13．端午节前夕，小辰的妈妈去商店购买甜粽和咸粽，店员说应该付款73元，按照图中的价格计算，店员说得对吗？为什么？ 价目表 甜粽：5元/个 咸粽：10元/个 14．数学课上，老师说：“个位是0或5的数一定是5的倍数。”小明提出了一个疑问：“为什么只看个位就能判断？比如150，个位是0，它确实是5的倍数；但个位是0或5这个结论能适用于所有数吗？比如像12345、98760这样的大数，难道不用看其他数位吗？” 15．乐乐到花店买了3盆价格相同的马蹄莲，单价是整数，付给营业员100元，找回12元，乐乐说营业员算错了，营业员一查，发现多算了，多算的钱数是一个一位数的偶数，一盆马蹄莲的价格是多少元？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $