第07课时 因数与倍数（公倍数和最小公倍数）（同步练习）-2026-2027学年数学五年级上册苏教版

**基本信息** 本同步练以分层设计为核心，覆盖公倍数与最小公倍数的概念理解、方法应用到实际问题解决，梯度合理，强化数学抽象能力与模型意识，适配新授课巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|公倍数、最小公倍数概念及基本性质|选择题（如第2题）、判断题（如第15题）强化概念辨析，填空题（如第28题）巩固互质数等基础关系| |能力提升|最小公倍数计算及简单应用|计算题（如43题）训练列举法等方法，填空题（如34题）结合整除特征提升运算能力| |综合应用|公倍数在生活情境中的实际问题|解答题（如46题公交发车、55题树间距调整）构建问题模型，培养应用意识与推理能力|

6.7  因数与倍数（公倍数和最小公倍数） 1、核心概念 公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。 理解：如果一个数既是A的倍数，又是B的倍数，那它就是A和B的公倍数。 特点：一个数的倍数是无限的，所以几个数的公倍数也是无限的，没有最大的公倍数。 最小公倍数：几个数的公倍数中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。 2、寻找公倍数的方法 方法一：列举法（分别列举再找共同点） 方法二：筛选法（从大数找小数） 集合图表示法（韦恩图） 利用两个交叉的圆圈来表示倍数关系。 左边的圈：表示6的倍数（独有部分是6, 12, 24...）。 右边的圈：表示9的倍数（独有部分是9, 27, 45...）。 中间交叉的部分：表示6和9公有的倍数，即 18, 36, 54...。 3、实际应用背景（铺地砖/拼图问题） 问题模型：用长3厘米、宽2厘米的长方形纸片铺满一个正方形，且没有剩余。 数学转化：正方形的边长必须既是长方形长的倍数，也是宽的倍数。 即：正方形边长必须是3和2的公倍数。 一、选择题 1．有非零自然数a和b，且满足。那么a和b的最小公倍数是（    ）。 A．a B．b C．2 D．5 2．两个非0自然数的（    ）的个数是无限的。 A．公因数 B．最大公因数 C．公倍数 D．最小公倍数 3．如果5a＝b（a、b均不为0），那么a和b的最小公倍数是（    ）。 A．a B．b C．5 D．ab 4．和的公分母是（    ）。 A．15 B．20 C．60 D．150 5．若甲数是乙数的2倍，则甲、乙两数的最小公倍数是（    ）。 A．1 B．甲数 C．乙数 D．甲、乙两数的积 6．如果一个数减1后是2、3、5的倍数，那么这个数最小是（    ）。 A．21 B．31 C．61 D．121 7．王师傅做了40多个蛋挞。如果把它们4个装一盒或者6个装一盒都刚好装完，王师傅一共做了（    ）个蛋挞。 A．24 B．42 C．44 D．48 8．b、c和d是三个大于0的自然数，在中，不一定成立的是（    ）。 A．一定是的倍数 B．b一定是c和d的最小公倍数 C．b一定能被d整除 D．c一定是b的因数 9．哥哥每4天回家一次，弟弟每6天回家一次。6月1日兄弟俩一起回家，则下一次他们一起回家是（    ）。 A．6月25日 B．6月24日 C．6月13日 D．6月12日 10．（a与b均为非0自然数）那么与的最小公倍数是（    ）。 A．ab B．a C．b D．6 11．一条小路长48m，沿着小路的一侧从起点到终点每隔4m插一面彩旗（两端都插）。现在要调整为每隔6m插一面，有（    ）面彩旗不用拔出。 A．3 B．4 C．5 D．6 12．学校进行大扫除，某班有的同学在擦玻璃，有的同学在教室扫地，其余的同学在拖地和搬桌椅，这个班最少有（    ）人。 A．9 B．15 C．36 D．45 13．游泳是一项全身性运动，具有多方面的健康益处，适合各种年龄和体能的人群参与。也正因此，越来越多的人喜欢游泳，1月23日，李冰和张奇开始了假期的游泳训练。从这天起，李冰总是训练1天，休息5天；张奇总是训练1天，休息3天。李冰和张奇下一次同时训练是（    ）。 A．1月24日 B．1月25日 C．2月4日 D．2月7日 二、判断题 14．通分时，只能用两个分母的最小公倍数作为公分母。( ) 15．36是4和6的最大公倍数。( ) 16．如果B是A的2倍（A、B为非零自然数），那么A、B的最大公因数是A，最小公倍数是B。( ) 17．24既能被6整除，又能被4整除，所以24是6和4的最小公倍数。( ) 18．小李和小王定期去体育馆锻炼，小李每4天去一次，小王每6天去一次。如果3月5日他们在体育馆相遇，那么下一次他们同一天去是在3月18日。( ) 19．两个非零自然数有最小公倍数和最大公倍数。( ) 20．因为a÷b＝6，所以a和b的最大公因数是b，最小公倍数是a。( ) 21．（a、b、k不为0），那么和的最大公因数就是，最小公倍数就是a。( ) 22．已知甲数＝2×3×a×b，乙数＝2×3×5×a，（a、b均为非0自然数）甲数和乙数的最大公因数是6a，最小公倍数是6ab。( ) 23．任何两个相邻的自然数（0除外）的最小公倍数就是它们的乘积。( ) 24．15和20的最大公因数是10，最小公倍数是120。( ) 25．因为a×b＝48（a，b均为自然数），所以48是a和b的公倍数。( ) 26．18是6和18的最小公倍数，也是这两个数的最大公因数。( ) 27．如果b÷a＝1……1（a、b均为非0自然数），那么a、b的最大公因数是a，最小公倍数是b。( ) 三、填空题 28．a和b是互质数，a和b的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 29．A、B都是非零自然数，如果A÷B＝5，则A与B的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 30．50以内8和12的公倍数有( )，8和12的最小公倍数是( )。 31．a和b都是非0自然数，且，a和b的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 32．18和12的最大公因数是( )，4和5的最小公倍数是( )。 33．如果a÷b＝2（a，b都是自然数，），那么a和b的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 34．能同时被2、3和5整除的最小三位数是( )，把它分解质因数为( )。 35．在1到100这些整数中，既是2的倍数，也是3和5的倍数的数，有______个。 36．甲数的最大因数是8，乙数的最小倍数是12，那么甲、乙两数的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 37．，那么和的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 38．某校五年级科学兴趣小组不管是分成5人一组还是6人一组都能正好分完，该年级科学兴趣小组最少有( )人。 39．2025年10月28日至30日，亚洲工业科技展览会（简称“ITWA2025”）于深圳国际会展中心（宝安）举行。某参展商制作了一批纪念品，如果平均分给5位观众，最后还剩下2个；如果平均分给7位观众，最后也还剩下2个。这批纪念品最少有( )个。 40．花果山上，猴王正在给小猴们分桃，一共有179个桃，猴王想按每只猴2个或每只猴3个或每只猴5个来分，要使桃都没有剩余，至少要拿走( )个桃。 41．一个数是56的因数，也是7的倍数，还是2的倍数，这个数最小是( )，最大是( )。 42．破解密码－ABCDE 提示：A－最小的合数；B－最小的自然数；C－既是偶数又是质数的数；D－8的最大因数；E－7的最小倍数。这个密码是( )。 四、计算题 43．求下列各组数的最大公因数和最小公倍数。 5和7   9和27   6和8 最大公因数：( )  最大公因数：( )  最大公因数：( ) 最小公倍数：( )  最小公倍数：( )   最小公倍数：( ) 44．求下面各组数的最小公倍数。 （1）12和10    （2）9和15    （3）42和7    （4）11和17 45．找出下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 5和6             8和18               15和30               10和24 五、解答题 46．在公交车总站里，201和202两路公交车首班车早上6时同时发车，201路公交车每6分钟发一班车，202路公交车每8分钟发一班车。首班车发车多少分钟后，两路公交车再次同时发车？ 47．小轩和小颖在操场上练长跑，小轩2分钟跑一圈，小颖3分钟跑一圈，两人同时在同一起点起跑，至少几分钟后两人在起点再次相遇？当小轩跑完8圈后，他们在起点相遇了几次（不包含起跑时的相遇）？ 48．晨晨每6天去健身房锻炼一次，苗苗每9天去同一家健身房锻炼一次，两人在周一同时去了健身房，她们下次同一天去锻炼是多少天后？ 49．神剑园景区位于四川省达州市通川区罗江镇，主要由张爱萍故居、达州红军文化陈列馆、神剑馆、战史馆等组成。小军和小丽是达州红军文化陈列馆的义务讲解员，暑假期间，小军每6天去讲解一次，小丽每8天去讲解一次，8月1日他们同时去讲解，下一次他们同时去讲解是几月几日？ 50．在成长的道路上，我们常常被哪吒不畏艰难、勇于挑战的精神所鼓舞。五（1）班全体同学前往影院观看电影《哪吒之魔童闹海》，每行坐12人或16人都正好是整行。已知五（1）班的人数不超过50人，这个班共有学生多少人？ 51．同学们在实践中了解到，甘蔗捆扎起来便于运输。他们准备自己捆扎一批甘蔗，已知这批甘蔗的总数在90～100根之间，而且无论是8根一捆，还是12根一捆，都正好捆完，这批甘蔗一共有多少根？ 52．根据深圳市城市管理最新数据显示，截止到2025年2月10日，深圳共有1320个公园。在不到2000平方公里的土地上，分布着大大小小一千多个各类公园。深圳某公园里有一座喷泉由内外两层构成。外层每隔8分钟喷一次水，内层每隔6分钟喷一次水。上午10：30同时喷过一次水后，下一次同时喷水是什么时间？ 53．五（1）班学生在运动会上进行队列表演，无论是4人一排、6人一排，还是8人一排，都正好站完。五（1）班学生的总人数在40～50之间。五（1）班有多少人？ 54．小区里有两个洒水器同时启动洒水，甲洒水器每8分钟完成一次小区洒水，乙洒水器每10分钟完成一次小区洒水。若它们早上8:00同时启动，下次同时洒水的时间是早上几点几分？ 55．马路一边共有水杉树25棵，两端都种。每相邻两棵之间的距离原来都是8米，现在因树显得较密，要改成12米的间隔，那么马路两边不需要移动的树一共有多少棵？ 56．小宇和小华在运动会上都报了400米，为了取得更好的成绩，他们为自己作了备赛计划。小宇打算每2天训练一次，小华打算每3天训练一次。 (1)他们每多少天就会一起训练？ (2)4月1日他们一起训练了一次，他们在4月28日运动会之前还有哪几天可以一起训练？ 57．某图书馆规定：甲类图书每8天可续借一次，乙类图书每12天可续借一次。若小明在6月1日同时借了甲、乙两类图书，下一次他同时续借这两类图书是几月几日？ 58．一条长72米的路，原来从一端起，每9米有一盏路灯，现在重新安装，要从一端起每6米装一盏，为节省施工成本，有些位置的路灯不需要重新安装。不需要重新安装的路灯至少有多少盏？ 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.7  因数与倍数（公倍数和最小公倍数） 1、核心概念 公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。 理解：如果一个数既是A的倍数，又是B的倍数，那它就是A和B的公倍数。 特点：一个数的倍数是无限的，所以几个数的公倍数也是无限的，没有最大的公倍数。 最小公倍数：几个数的公倍数中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。 2、寻找公倍数的方法 方法一：列举法（分别列举再找共同点） 方法二：筛选法（从大数找小数） 集合图表示法（韦恩图） 利用两个交叉的圆圈来表示倍数关系。 左边的圈：表示6的倍数（独有部分是6, 12, 24...）。 右边的圈：表示9的倍数（独有部分是9, 27, 45...）。 中间交叉的部分：表示6和9公有的倍数，即 18, 36, 54...。 3、实际应用背景（铺地砖/拼图问题） 问题模型：用长3厘米、宽2厘米的长方形纸片铺满一个正方形，且没有剩余。 数学转化：正方形的边长必须既是长方形长的倍数，也是宽的倍数。 即：正方形边长必须是3和2的公倍数。 一、选择题 1．有非零自然数a和b，且满足。那么a和b的最小公倍数是（    ）。 A．a B．b C．2 D．5 【答案】B 【分析】当两个非零自然数成倍数关系时，较大数就是这两个数的最小公倍数。 【详解】已知，可知b是a的9倍，a和b成倍数关系，且，所以a和b的最小公倍数是b。 2．两个非0自然数的（    ）的个数是无限的。 A．公因数 B．最大公因数 C．公倍数 D．最小公倍数 【答案】C 【分析】公因数是指几个数公有的因数，其中最大的一个是最大公因数；公倍数是几个数公有的倍数，其中最小的一个是最小公倍数。 【详解】A．1个数的因数个数是有限的，所以两个非0自然数的公因数个数是有限的，不符合题意； B．最大公因数是几个数的公因数中最大的一个数，只有1个，不符合题意； C．一个数的倍数个数是无限的，最小的倍数是它本身，所以几个数的公倍数也有无限个，符合题意； D．最小公倍数是几个数的公倍数中最小的一个，只有1个数，不符合题意。 3．如果5a＝b（a、b均不为0），那么a和b的最小公倍数是（    ）。 A．a B．b C．5 D．ab 【答案】B 【分析】两个非零自然数如果成倍数关系，它们的最小公倍数是其中较大的数，判断a和b的倍数关系即可。 【详解】由5a＝b可知：b÷a＝5。所以b是a的5倍，即a和b成倍数关系，且b＞a，所以a和b的最小公倍数是b。 4．和的公分母是（    ）。 A．15 B．20 C．60 D．150 【答案】C 【分析】利用分数的基本性质可以将两个异分母分数化成分母相同而大小不变的同分母分数。 先求出15和20的最小公倍数，再看四个选项中的数哪个是最小公倍数的倍数，即可作为这两个分数的公分母。 【详解】15＝3×5 20＝2×2×5 15和20的最小公倍数是：2×2×3×5＝60 A．15＜60，15不是60的倍数，所以15不是和的公分母； B．20＜60，20不是60的倍数，所以20不是和的公分母； C．60是60的倍数，所以和的公分母是60； D．150÷60＝2……30，150不是60的倍数，所以150不是和的公分母。 5．若甲数是乙数的2倍，则甲、乙两数的最小公倍数是（    ）。 A．1 B．甲数 C．乙数 D．甲、乙两数的积 【答案】B 【分析】当两个数成倍数关系时，较大的数就是这两个数的最小公倍数。 【详解】已知甲数是乙数的2倍，即甲、乙两数成倍数关系，且甲数大于乙数，所以两数的最小公倍数是甲数。 6．如果一个数减1后是2、3、5的倍数，那么这个数最小是（    ）。 A．21 B．31 C．61 D．121 【答案】B 【分析】先求出2、3、5的最小公倍数，再加1即可得到满足条件的最小数。 【详解】2、3、5互质，所以2、3、5的最小公倍数为： 所求的数为： 7．王师傅做了40多个蛋挞。如果把它们4个装一盒或者6个装一盒都刚好装完，王师傅一共做了（    ）个蛋挞。 A．24 B．42 C．44 D．48 【答案】D 【分析】蛋挞总数是4和6的公倍数，且数值大于40、小于50，找到符合要求的公倍数即可。 【详解】计算4和6的最小公倍数： 最小公倍数为 依次列出12的倍数：12，24，36，48，60…… 其中在40到50之间的只有48。 8．b、c和d是三个大于0的自然数，在中，不一定成立的是（    ）。 A．一定是的倍数 B．b一定是c和d的最小公倍数 C．b一定能被d整除 D．c一定是b的因数 【答案】B 【分析】在整数除法中，如果商是整数且没有余数（或者说余数为0），我们就说除数是被除数的因数（也称约数），被除数是除数的倍数，这两个乘数都是积的因数，如果两个数相除的商是正整数，则被除数能被除数整除。 【详解】A．由b＝c×d，得b÷c＝d，且b、c、d都是大于0的自然数，因此b一定是c的倍数，说法成立。 B．若c＝2，d＝3，则b＝2×3＝6，b是c和d的最小公倍数，若c＝2，d＝4，则b＝2×4＝8，2和4的最小公倍数是4，不是8，因此该说法不一定成立。 C．由b＝c×d得b÷d＝c，c是自然数，因此b一定能被d整除，说法成立。 D．因为b＝c×d,且b、c和d是三个大于0的自然数，所以c一定是b的因数，说法成立。 9．哥哥每4天回家一次，弟弟每6天回家一次。6月1日兄弟俩一起回家，则下一次他们一起回家是（    ）。 A．6月25日 B．6月24日 C．6月13日 D．6月12日 【答案】C 【分析】兄弟俩下一次同时回家的间隔天数是4和6的最小公倍数，用6月1日加上间隔天数即可得到对应的日期。 【详解】 4和6的最小公倍数是：2×2×3＝12 1＋12＝13（日） 即下次一起回家是6月13日。 10．（a与b均为非0自然数）那么与的最小公倍数是（    ）。 A．ab B．a C．b D．6 【答案】B 【分析】两个非自然数如果成倍数关系，较大数就是这两个数的最小公倍数。 【详解】已知，且、均为非0自然数，可知是的6倍，和成倍数关系，且，因此和的最小公倍数是。 11．一条小路长48m，沿着小路的一侧从起点到终点每隔4m插一面彩旗（两端都插）。现在要调整为每隔6m插一面，有（    ）面彩旗不用拔出。 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】不用拔出的彩旗所在的位置是4和6的公倍数对应的位置。先将4和6分解质因数，求出4和6的最小公倍数（公有质因数与独有质因数的乘积）；再计算48米内（含起点、终点）符合要求的位置总数即可。 【详解】 所以 4和6的最小公倍数是： 不用拔出的彩旗数量为： （面） 12．学校进行大扫除，某班有的同学在擦玻璃，有的同学在教室扫地，其余的同学在拖地和搬桌椅，这个班最少有（    ）人。 A．9 B．15 C．36 D．45 【答案】D 【分析】班级人数需为擦玻璃、扫地人数对应占比分母的公倍数，求最少人数就是求两个分母的最小公倍数，因此班级总人数需要同时是9和15的公倍数，即最少人数为9和15的最小公倍数。 【详解】9＝3×3 15＝3×5 最小公倍数：3×3×5＝45 因此，这个班最少有45人。 13．游泳是一项全身性运动，具有多方面的健康益处，适合各种年龄和体能的人群参与。也正因此，越来越多的人喜欢游泳，1月23日，李冰和张奇开始了假期的游泳训练。从这天起，李冰总是训练1天，休息5天；张奇总是训练1天，休息3天。李冰和张奇下一次同时训练是（    ）。 A．1月24日 B．1月25日 C．2月4日 D．2月7日 【答案】C 【分析】先计算两人各自的训练周期，求两个周期的最小公倍数得到同时训练的间隔天数，再从月日推算具体日期即可。 【详解】李冰的训练周期：（天） 张奇的训练周期：（天） 和的最小公倍数是： 月有天 即下一次同时训练是月日。 二、判断题 14．通分时，只能用两个分母的最小公倍数作为公分母。( ) 【答案】× 【分析】通分的公分母只要是两个分母的公倍数就符合要求，使用最小公倍数作公分母只是更简便，并非唯一选择。 【详解】通分时，两个分母的所有公倍数都可以作为公分母，最小公倍数只是最简便的公分母，不是只能用它作为公分母。 故答案为：× 15．36是4和6的最大公倍数。( ) 【答案】× 【分析】两个数的公倍数的个数是无限的，不存在最大公倍数，据此判断。 【详解】4的倍数：4，8，12，16，20，24，28，32，36，40… 6的倍数：6，12，18，24，30，36，42… 4和6的公倍数有：12，24，36… 公倍数的个数是无限的，不存在最大公倍数。 原题说法错误。 故答案为：× 16．如果B是A的2倍（A、B为非零自然数），那么A、B的最大公因数是A，最小公倍数是B。( ) 【答案】√ 【分析】成倍数关系的两个非零自然数，较小的数是两数的最大公因数，较大的数是两数的最小公倍数。 【详解】已知B是A的2倍，A、B为非零自然数，所以A和B成倍数关系，且B＞A。 因此A、B的最大公因数是A，最小公倍数是B，原题说法正确。 故答案为：√ 17．24既能被6整除，又能被4整除，所以24是6和4的最小公倍数。( ) 【答案】× 【分析】24能同时被6和4整除仅说明它是6和4的公倍数，不能说明是最小公倍数，求出6和4的最小公倍数即可判断正误。 【详解】 4＝2×2 2×3×2＝6×2＝12，所以24是6和4的公倍数，但不是最小公倍数，原说法错误。 故答案为：× 18．小李和小王定期去体育馆锻炼，小李每4天去一次，小王每6天去一次。如果3月5日他们在体育馆相遇，那么下一次他们同一天去是在3月18日。( ) 【答案】 × 【分析】先求出和的最小公倍数得到两次相遇的间隔天数，用首次相遇日期加间隔天数算出下次相遇日期，再和题干给出的日期对比判断对错。 【详解】 可得和的最小公倍数是， （日）， 下一次相遇是月日，不是月日。 故答案为：× 19．两个非零自然数有最小公倍数和最大公倍数。( ) 【答案】× 【分析】自然数有无限多个，非零自然数的倍数个数是无限的。 【详解】任意非零自然数的倍数都有无限个，因此两个非零自然数的公倍数个数也是无限的，只有最小公倍数，没有最大公倍数。 故答案为：× 20．因为a÷b＝6，所以a和b的最大公因数是b，最小公倍数是a。( ) 【答案】 × 【分析】最大公因数和最小公倍数的研究对象是非零自然数，题目未说明a、b是非零自然数，存在反例。 【详解】举反例：，1.2和0.2是小数，不存在最大公因数和最小公倍数。原题说法错误。 故答案为：× 21．（a、b、k不为0），那么和的最大公因数就是，最小公倍数就是a。( ) 【答案】× 【分析】若两个非0自然数成倍数关系，最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数。题干未说明a、b、k是自然数，即使默认是自然数，a和b的最大公因数也应为b而非k，因此说法错误。 【详解】举例验证：取a＝12，b＝2，可得，即k＝6。12和2的最大公因数是2，不等于k＝6，不符合题干结论。 原题说法错误。 故答案为：× 22．已知甲数＝2×3×a×b，乙数＝2×3×5×a，（a、b均为非0自然数）甲数和乙数的最大公因数是6a，最小公倍数是6ab。( ) 【答案】× 【分析】先找出甲数和乙数公有的质因数、各自独有的质因数，最大公因数是公有质因数的乘积，最小公倍数是公有质因数乘各自独有质因数的乘积，据此判断即可。 【详解】甲、乙公有的质因数为2、3、a，最大公因数：，该部分表述正确。 甲独有的质因数是b，乙独有的质因数是5，最小公倍数：，题目中最小公倍数为的表述错误。 故答案为：× 23．任何两个相邻的自然数（0除外）的最小公倍数就是它们的乘积。( ) 【答案】√ 【分析】两个相邻的非0自然数的公因数只有1，是互质数，互质数的最小公倍数是两个数的乘积。 【详解】相邻的自然数（0除外），公因数只有1，属于互质数。如果两个数是互质数，它们的最小公倍数就是这两个数的乘积。 因此题干说法正确。 故答案为：√ 24．15和20的最大公因数是10，最小公倍数是120。( ) 【答案】× 【分析】将两个数分别分解成质因数相乘的形式，最大公因数是两个数公有质因数的乘积，最小公倍数是公有质因数与各自独有质因数的乘积。先求出15和20的最大公因数、最小公倍数，再和题干给出的数值对比判断即可。 【详解】15＝3×5 20＝2×2×5 最大公因数：5 最小公倍数：2×2×3×5＝60 所以15和20的最大公因数是5，最小公倍数是60，原说法错误。 故答案为：× 25．因为a×b＝48（a，b均为自然数），所以48是a和b的公倍数。( ) 【答案】√ 【分析】在非零自然数范围内，如果a×b＝c，则c是a和b的倍数；公倍数是指几个数公有的倍数；根据题意推断a和b为非零自然数，进而判断48与a和b的倍数关系。 【详解】因为a×b＝48（a，b均为自然数），所以48是a的倍数，也是b的倍数。根据公倍数的概念，则48是a和b的公倍数。 故答案为：√ 26．18是6和18的最小公倍数，也是这两个数的最大公因数。( ) 【答案】× 【分析】用列举法，分别求出6和18的最小公倍数和最大公因数，再对比题干描述判断即可。 【详解】6的倍数有6、12、18、24…… 18的倍数有18、36、54…… 所以6和18的最小公倍数是18； 6的因数有1、2、3、6； 18的因数有1、2、3、6、9、18； 所以6和18的最大公因数是6，不是18。 故答案为：× 27．如果b÷a＝1……1（a、b均为非0自然数），那么a、b的最大公因数是a，最小公倍数是b。( ) 【答案】× 【分析】先根据有余数除法各部分的关系推出a和b的数量关系，判断a和b是相邻自然数；再利用相邻自然数互质的规律，确定二者最大的公因数与最小的公倍数；最后和题干说法对比，判断正误。 【详解】由b÷a＝1……1可得b＝1×a＋1＝a＋1，推出a、b是相邻的非0自然数，二者为互质数，因此它们的最大公因数是1，最小公倍数是ab，题干说法错误。 故答案为：× 三、填空题 28．a和b是互质数，a和b的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 ab 【分析】公因数只有1的两个数叫做互质数。既然a和b是互质数，它们共有的因数就只有1，所以最大公因数是1；而两个数的最小公倍数是包含两个数全部独有因数和共有因数的乘积，这里它们的共有因数只有1，因此最小公倍数就是两个数的乘积。 【详解】根据分析：a和b都是互质数，a和b的最大公因数是1，最小公倍数是ab。 29．A、B都是非零自然数，如果A÷B＝5，则A与B的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 B A 【分析】当两个数成倍数关系时，较小的数是它们的最大公因数，较大的数是它们的最小公倍数，据此解答。 【详解】A、B都是非零自然数，A÷B＝5，所以A是B的倍数，B是A的因数，所以A与B的最大公因数是B，最小公倍数是A。 30．50以内8和12的公倍数有( )，8和12的最小公倍数是( )。 【答案】 【分析】找一个数的倍数，就是用这个数依次乘1、2、3.....得到的积就是它的倍数，只需要筛选出小于50的数即可；先分别用这个方法找出50以内8和12的倍数，再找出8和12的倍数里相同的数就是它们的公倍数，其中最小的那个就是8和12的最小公倍数。 【详解】50以内8的倍数有8，16，24，32，40，48。 50以内12的倍数有12，24，36，48。 50以内8和12的公倍数有24，48。 8和12的最小公倍数是24。 31．a和b都是非0自然数，且，a和b的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 b a 【分析】求两个数的最大公因数和最小公倍数，首先判断两个数之间的关系，如果两个数是倍数关系，那么较小的数就是它们的最大公因数，较大的数就是它们的最小公倍数。 【详解】因为，所以最大公因数是，最小公倍数是。 32．18和12的最大公因数是( )，4和5的最小公倍数是( )。 【答案】 6 20 【分析】求18和12的最大公因数用分解质因数法，把两个数写成质因数相乘形式，将全部公有质因数相乘得到最大公因数；4和5是互质的两个数，互质的两个数公因数只有1，它们的最小公倍数就是这两个数的乘积。 【详解】12＝2×2×3 18＝2×3×3 18和12的最大公因数：2×3＝6 4和5互质，所以4和5的最小公倍数：4×5＝20 33．如果a÷b＝2（a，b都是自然数，），那么a和b的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 b a 【分析】当两个自然数成倍数关系时，较小数就是它们的最大公因数，较大数就是它们的最小公倍数。 【详解】a÷b＝2，说明a是b的2倍，两数为倍数关系，b较小，a较大，所以a和b的最大公因数是b，最小公倍数是a。 34．能同时被2、3和5整除的最小三位数是( )，把它分解质因数为( )。 【答案】 120 【分析】能同时被2、3、5整除的数，必须是2、3、5的公倍数，因为2、3、5都是质数，它们的最小公倍数是它们的乘积；接着在最小公倍数的倍数中寻找最小的三位数；最后将找到的合数写成几个质数相乘的形式。 【详解】2、3、5的最小公倍数为：2×3×5＝30 30的倍数有：30、60、90、120、150……其中最小的三位数是120，因此能同时被2、3和5整除的最小三位数是120。 120＝2×2×2×3×5 35．在1到100这些整数中，既是2的倍数，也是3和5的倍数的数，有______个。 【答案】3 【分析】一个数同时是2、3、5的倍数，说明这个数是这三个数的公倍数。由于2、3、5两两互质，它们的最小公倍数为这三个数相乘的积， 【详解】2×3×5 ＝6×5 ＝30 因此满足条件的数必然是30的倍数。 在1到100的范围内枚举符合条件的数，30的倍数有：30、60、90，一共3个。 36．甲数的最大因数是8，乙数的最小倍数是12，那么甲、乙两数的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 【分析】一个数的最大因数是它本身和一个数的最小倍数是它本身。先确定甲数和乙数分别是多少，然后再利用列举法求出这两个数的最大公因数和最小公倍数。 【详解】 因为甲数的最大因数是，所以甲数是8。 因为乙数的最小倍数是，所以乙数是。 求和的最大公因数： 的因数有：、、、； 的因数有：、、、、、； 和的公因数有：、、，其中最大的是。 求和的最小公倍数： 的倍数有：、、、……； 的倍数有：、、……； 和的公倍数有：、……，其中最小的是。 因此，甲数的最大因数是8，乙数的最小倍数是12，那么甲、乙两数的最大公因数是4，最小公倍数是24。 37．，那么和的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 【分析】由a÷12＝b可知，a和b是倍数关系，根据倍数关系的最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数，据此解答。 【详解】根据a÷12＝b（a、b均为整数，且b≠0），可知a和b是倍数关系，a＞b，所以a和b的最大公因数是b，最小公倍数是a。 38．某校五年级科学兴趣小组不管是分成5人一组还是6人一组都能正好分完，该年级科学兴趣小组最少有( )人。 【答案】 30 【分析】根据题意，分成5人一组正好分完，说明总人数是5的倍数；分成6人一组正好分完，说明总人数是6的倍数。因此总人数是5和6的公倍数。要求最少有多少人，就是求5和6的最小公倍数。 【详解】因为5和6是互质数，所以它们的最小公倍数是它们的乘积，（人），该年级科学兴趣小组最少有30人。 39．2025年10月28日至30日，亚洲工业科技展览会（简称“ITWA2025”）于深圳国际会展中心（宝安）举行。某参展商制作了一批纪念品，如果平均分给5位观众，最后还剩下2个；如果平均分给7位观众，最后也还剩下2个。这批纪念品最少有( )个。 【答案】37 【分析】纪念品总数分给5人剩2个、分给7人也剩2个，所以该数量减去2之后既是5的倍数，也是7的倍数。要找最少的纪念品数量，所以需要先求5和7的最小公倍数。用求得的最小公倍数加上2，即可得到纪念品的最少数量。 【详解】5和7是互质关系，所以它们的最小公倍数是 （个） 这批纪念品最少有37个。 40．花果山上，猴王正在给小猴们分桃，一共有179个桃，猴王想按每只猴2个或每只猴3个或每只猴5个来分，要使桃都没有剩余，至少要拿走( )个桃。 【答案】29 【分析】要让剩余桃子数能同时被2、3、5整除，首先求2、3、5的最小公倍数。 因为同时是2、3、5的倍数的数是它们最小公倍数的整数倍，所以找出小于179的最大的该最小公倍数的倍数。 用总桃子数179减去这个最大的倍数，得到需要拿走的桃子数。 【详解】能同时被2和5整除的数，个位一定是0，再加上能被3整除的要求，这个数就得是30的倍数。 （个） （个） 至少要拿走29个桃。 41．一个数是56的因数，也是7的倍数，还是2的倍数，这个数最小是( )，最大是( )。 【答案】 14 56 【分析】若a×b＝c（a、b、c均为非零自然数），则a和b是c的因数，据此一对一对地找出56的所有因数，再从中筛选出既是7的倍数又是2的倍数的数，最后比较大小即可。 【详解】56＝1×56＝2×28＝4×14＝7×8 56的所有因数有：1、2、4、7、8、14、28、56 其中7的倍数有：7、14、28、56 其中2的倍数有：2、4、8、14、28、56 既是7的倍数又是2的倍数的数有：14、28、56 14＜28＜56 这个数最小是14，最大是56。 42．破解密码－ABCDE 提示：A－最小的合数；B－最小的自然数；C－既是偶数又是质数的数；D－8的最大因数；E－7的最小倍数。这个密码是( )。 【答案】40287 【分析】合数：除了1和它本身以外还有别的因数的数。自然数：用来表示物体个数的0，1，2，3，4……都叫自然数。质数：只有1和它本身两个因数的数。偶数：个位数字是0、2、4、6、8的数。一个数的最大因数和最小倍数都是它本身。 【详解】最小的合数是4，所以A是4； 最小的自然数是0，所以B是0； 既是偶数又是质数的数是2，所以C是2； 8的最大因数是8，所以D是8； 7的最小倍数是7，所以E是7； 所以这个密码是：40287。 四、计算题 43．求下列各组数的最大公因数和最小公倍数。 5和7   9和27   6和8 最大公因数：( )  最大公因数：( )  最大公因数：( ) 最小公倍数：( )  最小公倍数：( )   最小公倍数：( ) 【答案】 1 9 2 35 27 24 【分析】如果两个数是互质关系，它们的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积；如果两个数是倍数关系，则它们的最大公因数是其中的较小数，最小公倍数是其中的较大数；如果两种关系都不是，则先把这两个数分解质因数，再根据两个数的最大公因数是它们所有公有的因数的乘积；最小公倍数是它们公有的因数和各自独有的因数的连乘积解答即可。 【详解】5和7：互质关系，即它们的最大公因数是1，最小公倍数是5×7＝35； 9和27：27是9的倍数，即它们的最大公因数是9，最小公倍数是27； 6和8：通过短除法来求最大公因数和最小公倍数； 5和7                  9和27                     6和8 最大公因数：（ 1）  最大公因数：（9）     最大公因数：（2） 最小公倍数：（35）  最小公倍数：（27）    最小公倍数：（24） 44．求下面各组数的最小公倍数。 （1）12和10    （2）9和15    （3）42和7    （4）11和17 【答案】（1）60；（2）45；（3）42；（4）187 【分析】两个或两个以上的合数分解质因数后，把公有的质因数与每个数独有的质因数乘起来，就是它们的最小公倍数。 当两个数是互质数时，它们的最小公倍数是两数的乘积。当两个数是倍数关系时，它们的最小公倍数是较大数。 【详解】（1）12＝2×2×3 10＝2×5 12和10的最小公倍数是2×2×3×5＝60； （2）9＝3×3 15＝3×5 9和15的最小公倍数是3×3×5＝45； （3）42和7是倍数关系，所以42和7的最小公倍数是42； （4）11和17是互质数，所以11和17的最小公倍数是11×17＝187。 45．找出下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 5和6             8和18               15和30               10和24 【答案】最大公因数是1，最小公倍数为30；最大公因数是2，最小公倍数是72；最大公因数是15，最小公倍数是30；最大公因数是2， 最小公倍数是120 【分析】将每组的2个数分解质因数，这两个数的最大公因数也就是这两个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是这两个数的公有质因数与独有质因数的连乘积。 【详解】5和6 因为5和6互质，所以最大公因数是1，最小公倍数为5×6＝30； 8＝2×2×2 18＝2×3×3 最大公因数是2，最小公倍数是：2×2×2×3×3＝72； 因为15×2＝30，所以两数的最大公因数是15，最小公倍数是30； 10＝2×5 24＝2×2×2×3 最大公因数是2， 最小公倍数是：2×2×2×3×5＝120。 五、解答题 46．在公交车总站里，201和202两路公交车首班车早上6时同时发车，201路公交车每6分钟发一班车，202路公交车每8分钟发一班车。首班车发车多少分钟后，两路公交车再次同时发车？ 【答案】 24分钟 【分析】求两路车首次再次同时发车的间隔时间，就是求6和8的最小公倍数。 【详解】，，和的最小公倍数是：，所以首班车发车分钟后，两路公交车再次同时发车 答：首班车发车分钟后，两路公交车再次同时发车。 47．小轩和小颖在操场上练长跑，小轩2分钟跑一圈，小颖3分钟跑一圈，两人同时在同一起点起跑，至少几分钟后两人在起点再次相遇？当小轩跑完8圈后，他们在起点相遇了几次（不包含起跑时的相遇）？ 【答案】 6分钟；2次 【分析】两人在起点相遇时，所用时间既是2的倍数也是3的倍数，求最少时间就是求2和3的最小公倍数；先算出小轩跑8圈的总时间，再看总时间里有多少个最小公倍数，对应的数量就是不含起跑的相遇次数。 【详解】2和3的最小公倍数： （分钟） 小轩跑完8圈的总时间： （分钟） 16分钟内包含几个6分钟： ， 商为2，即相遇2次。 答：至少6分钟后两人在起点再次相遇；当小轩跑完8圈后，他们在起点相遇了2次（不包含起跑时的相遇）。 48．晨晨每6天去健身房锻炼一次，苗苗每9天去同一家健身房锻炼一次，两人在周一同时去了健身房，她们下次同一天去锻炼是多少天后？ 【答案】18天 【分析】两人下次同时去锻炼的天数需同时是6和9的倍数，因此求6和9的最小公倍数即可。 【详解】6＝2×3 9＝3×3 6和9的最小公倍数是2×3×3＝6×3＝18（天） 答：她们下次同一天去锻炼是18天后。 49．神剑园景区位于四川省达州市通川区罗江镇，主要由张爱萍故居、达州红军文化陈列馆、神剑馆、战史馆等组成。小军和小丽是达州红军文化陈列馆的义务讲解员，暑假期间，小军每6天去讲解一次，小丽每8天去讲解一次，8月1日他们同时去讲解，下一次他们同时去讲解是几月几日？ 【答案】8月25日 【分析】小军和小丽下一次同时去讲解的时间间隔是他们讲解周期的最小公倍数（两数的公有质因数和各自独有质因数的乘积）。先求出6和8的最小公倍数，再根据8月1日这个起始时间，推算出下一次同时讲解的日期。 【详解】6＝2×3 8＝2×2×2 6和8公有的质因数是2，6独有的质因数是3，8独有的质因数是2和2，所以6和8的最小公倍数为： 2×2×2×3 ＝4×2×3 ＝8×3 ＝24 即下一次同时讲解的时间间隔是24天。 8月是大月，有31天，从8月1日开始往后数24天，1＋24＝25（日），即8月25日。 所以下一次他们同时去讲解是8月25日。 答：下一次他们同时去讲解是8月25日。 50．在成长的道路上，我们常常被哪吒不畏艰难、勇于挑战的精神所鼓舞。五（1）班全体同学前往影院观看电影《哪吒之魔童闹海》，每行坐12人或16人都正好是整行。已知五（1）班的人数不超过50人，这个班共有学生多少人？ 【答案】 人 【分析】总人数是和的公倍数，找出以内符合条件的公倍数即可。 【详解】由题意得，总人数是和的公倍数，且总人数不超过。 以内的倍数：，，， 以内的倍数：，， 和在以内的公倍数是。 答：这个班共有学生人。 51．同学们在实践中了解到，甘蔗捆扎起来便于运输。他们准备自己捆扎一批甘蔗，已知这批甘蔗的总数在90～100根之间，而且无论是8根一捆，还是12根一捆，都正好捆完，这批甘蔗一共有多少根？ 【答案】 96根 【分析】甘蔗总数是8和12的公倍数，先求出两者的最小公倍数，再找出90～100之间的公倍数即可。 【详解】8的倍数有：8、16、24、32、40…… 12的倍数有：12、24、36、48…… 8和12的最小公倍数是24。 找90～100之间的24的倍数。 （根），，不符合要求； （根），，符合要求； （根），，不符合要求。 答：这批甘蔗一共有96根。 52．根据深圳市城市管理最新数据显示，截止到2025年2月10日，深圳共有1320个公园。在不到2000平方公里的土地上，分布着大大小小一千多个各类公园。深圳某公园里有一座喷泉由内外两层构成。外层每隔8分钟喷一次水，内层每隔6分钟喷一次水。上午10：30同时喷过一次水后，下一次同时喷水是什么时间？ 【答案】 10：54 【分析】要找到下一次同时喷水的时间，需先求出8和6的最小公倍数，即两次同时喷水的间隔时长，再将间隔时长加到上次同时喷水的时刻上即可。 【详解】求8和6的最小公倍数： 8的倍数：8，16，24，32…… 6的倍数：6，12，18，24…… 8和6的最小公倍数是24，即再过24分钟两层同时喷水。 10：30＋24分钟＝10：54 答：下一次同时喷水是10：54。 53．五（1）班学生在运动会上进行队列表演，无论是4人一排、6人一排，还是8人一排，都正好站完。五（1）班学生的总人数在40～50之间。五（1）班有多少人？ 【答案】 48人 【分析】总人数能被4、6、8分别整除，说明总人数是这三个数的公倍数，先找出4、6、8的最小公倍数，三个数其他的公倍数都是最小公倍数的倍数，据此找出三个数在40~50之间的公倍数即可。 【详解】4＝2×2 6＝2×3 8＝2×2×2 4、6、8的最小公倍数是2×3×2×2＝24 在40~50之间的24的倍数是48。 答：五（1）班有48人。 54．小区里有两个洒水器同时启动洒水，甲洒水器每8分钟完成一次小区洒水，乙洒水器每10分钟完成一次小区洒水。若它们早上8:00同时启动，下次同时洒水的时间是早上几点几分？ 【答案】早上8时40分。 【分析】要找两个洒水器下次同时洒水的时间就是求8和10的最小公倍数，利用分解质因数法求出8和10的最小公倍数；再用起始时间8:00加上间隔时间，即可得到时刻。 【详解】因为8＝2×2×2，10＝2×5，所以8和10 的最小公倍数是2×2×2×5＝40。 8时＋40分钟＝8时40分钟 答：下次同时洒水的时间是早上8时40分。 55．马路一边共有水杉树25棵，两端都种。每相邻两棵之间的距离原来都是8米，现在因树显得较密，要改成12米的间隔，那么马路两边不需要移动的树一共有多少棵？ 【答案】棵 【分析】（）因为两端都种树的植树问题中，间隔数棵数，所以先根据原有树的棵数和相邻间距，计算出马路的总长度。 （）因为不需要移动的树的位置是和的公倍数所在的位置，所以需要先求出和的最小公倍数。 （）总长度除以最小公倍数的商是间隔数，那么马路一边不需要移动的树的棵数为间隔数加（包含起点的第一棵树），因为要求马路两边不需要移动的总棵数，所以将一边的数量乘即可得到最终结果。 【详解】 （米） 和的最小公倍数是： （段） （棵） 答：马路两边不需要移动的树一共有棵。 56．小宇和小华在运动会上都报了400米，为了取得更好的成绩，他们为自己作了备赛计划。小宇打算每2天训练一次，小华打算每3天训练一次。 (1)他们每多少天就会一起训练？ (2)4月1日他们一起训练了一次，他们在4月28日运动会之前还有哪几天可以一起训练？ 【答案】(1)6天 (2)4月7日、4月13日、4月19日、4月25日 【分析】（1）小宇每2天训练一次，小华每3天训练一次，求再次一起训练间隔天数，就是求2和3的最小公倍数。2和3是互质数，互质两个数最小公倍数是两数的乘积。 （2）4月1日共同训练，每隔6天会再次共同训练，就在1日的基础上依次加6，日期要小于4月28日。 【详解】（1）因为2和3互质， 2和3的最小公倍数是2×3＝6 答：他们每6天就会一起训练。 （2）1＋6＝7（日） 7＋6＝13（日） 13＋6＝19（日） 19＋6＝25（日） 25＋6＝31，4月没有31日，并且已经超过28日，舍去。 答：还可以一起训练的日子：4月7日、4月13日、4月19日、4月25日。 57．某图书馆规定：甲类图书每8天可续借一次，乙类图书每12天可续借一次。若小明在6月1日同时借了甲、乙两类图书，下一次他同时续借这两类图书是几月几日？ 【答案】6月25日 【分析】先求从6月1日起到小明下一次同时续借这两类图书经过的天数，也就是求8和12的最小公倍数；再从6月1日起，推导出下一次同时续借的日期。 【详解】8＝2×2×2 12＝2×2×3 8和12的最小公倍数是2×2×2×3＝24。 6月1日＋24日＝6月25日 答：下一次他同时续借这两类图书是6月25日。 58．一条长72米的路，原来从一端起，每9米有一盏路灯，现在重新安装，要从一端起每6米装一盏，为节省施工成本，有些位置的路灯不需要重新安装。不需要重新安装的路灯至少有多少盏？ 【答案】5盏 【分析】不需要重新安装的路灯位置，既是9的倍数，又是6的倍数，也就是6和9的公倍数位置，先分解质因数求出6和9的最小公倍数，即两盏路灯之间的间隔长度，再用总长度除以间隔长度，求出盏数；道路起点（0米处）的路灯，一定不需要重装，要计入总数，最后盏数要加1。 【详解】9＝3 9和6的最小公倍数是218 72（盏） 答：不需要重新安装的路灯至少有5盏。 1 学科网（北京）股份有限公司 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