第06课时 因数与倍数（公因数和最大公因数） （同步练习）-2026-2027学年数学五年级上册（苏教版）

**基本信息** 本练习围绕“公因数和最大公因数”构建“概念理解-技能应用-综合实践”三层递进体系，通过多样化题型实现从基础认知到问题解决的能力培养，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|公因数定义、最大公因数求法、特殊情况（倍数关系、互质）|选择题（1-15题）结合具体数例辨析概念，判断题（16-25题）强化易错点认知，填空题（26-40题）巩固基础计算| |技能巩固|最大公因数计算方法（列举法、筛选法）|计算题（41-43题）直接考查不同数对求最大公因数，培养运算能力与推理意识| |综合应用|实际情境中的公因数应用|解答题（44-56题）通过铺地砖、截绳子等生活场景，构建数学模型解决问题，发展应用意识与模型观念|

6.6  因数与倍数（公因数和最大公因数） 1、公因数的概念 定义：几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。 理解：如果一个数既是A的因数，又是B的因数，那它就是A和B的公因数。 最大公因数：几个数的公因数中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。 2、寻找公因数的方法 方法一：列举法（分别列举再找共同点） 方法二：筛选法（从大数找小数） 集合图表示法（韦恩图） 利用两个交叉的圆圈来表示因数关系，能更直观地看出公因数。 3、易错点提示 公因数个数有限：一个数的因数是有限的，所以几个数的公因数个数也是有限的，一定有“最大”公因数。 特殊情况： 如果两个数成倍数关系（如4和8），较小数就是它们的最大公因数。 如果两个数只有公因数1（如3和5，互质），那么它们的最大公因数就是1。 一、选择题 1．A÷B＝2（A，B均为大于0的自然数），A是B的（    ）。 A．倍数 B．因数 C．自然数 D．公因数 2．已知A、B都是非零自然数，且A＝9B，A与B的最大公因数是（    ）。 A．A B．B C．9 D．1 3．a和b都是非零自然数，且，那么a和b的最大公因数是（    ）。 A．a B．b C．8 D． 4．已知，所以60与45的最大公因数是（    ）。 A．6 B．10 C．15 D．30 5．a、b都是非0自然数，a是b的倍数，a、b的公因数中一定有（    ）。 A．1和b B．1和a C．a和b D．1和a、b 6．和是两个连续的自然数，它们的公因数是（    ）。 A．1 B． C． D．ab 7．如果，那么a和b的最大公因数是（    ）。 A．b B．7 C．a D．7b 8．有两个连续的偶数和，它们的最大公因数是（    ）。 A．a B．b C．2 D．1 9．小迪的书房长，宽，选用边长（    ）的方砖铺地不需切割。 A．4 B．5 C．6 D．8 10．两条彩带分别长24厘米和18厘米，现把它们剪成长度相等的小段，最少能剪成（    ）段。 A．6 B．7 C．12 D．14 11．李老师的书房长5m，宽4m，用边长为（    ）dm的方砖正好能铺满且没有剩余。 A．7 B．8 C．9 D．10 12．用边长12厘米的正方形画纸铺长方形桌面。下面这些规格的长方形桌面中，正好能铺满且画纸不用裁剪的是（    ）。（单位：厘米。其中“108×80”表示长108厘米、宽80厘米） A． B． C． D． 13．王师傅想将长度分别为60分米、48分米、36分米的钢材切割成长度相等的小段，且都没有剩余。一共最少可以切割成（    ）小段。 A．12 B．24 C．36 D．48 14．我国古代的数学著作《九章算术》介绍了“约分术”：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。”意思是说：“如果分子、分母全是偶数，就先除以2；否则以较大的数减去较小的数，如此重复进行下去，当差与减数相等即出现“等数”时，用这个等数约分，这种方法被后人称为“更相减损术”。用“更相减损术”可用来求两个正整数的最大公因数：记（168，93）为初始状态，则第一步可得（75，93），第二步得到（75，18），第三步得到（57，18），第四步将得到（    ）。 A．（57，18） B．（39，3） C．（39，18） D．（21，18） 15．小宇准备给卧室的地面铺设同样大的正方形地砖，选用边长是（    ）分米的地砖（不能切割）正好铺满且块数最少。 A．10 B．8 C．6 D．4 二、判断题 16．最小的质数和最小的合数只有一个公因数。( ) 17．分子和分母的公因数只有1的分数是最简分数。( ) 18．两个连续非0的自然数的最大公因数是1。( ) 19．两个数的最大公因数是20，这两个数一定有6个公因数。( ) 20．a和b都是自然数，a÷b＝5，a和b的最大公因数是5。( ) 21．两个自然数的最大公因数不一定比这两个数都小。( ) 22．两个数的最大公因数是6，这两个数的公因数一定是1，2，3，6。( ) 23．已知，（b为非0的整数），则和的最大公因数是7。( ) 24．如果A和B的最大公因数只有1，那么它们的积一定是合数。( ) 25．一张长方形纸，长16cm，宽12cm如果要剪成若干张同样大小的正方形（边长为整厘米数）且没有剩余，能剪出7个这样的小正方形。( ) 三、填空题 26．18和24的公因数有( )个，它们的最大公因数是( )。 27．（a与b为非0自然数），a与b的最大公因数是( )。 28．丙数是丁数的倍数，丙、丁两数的最大公因数是( )。 29．把两根分别长12厘米、16厘米的木棒截成同样长的若干段，不能有剩余，每段最长是( )厘米。 30．李老师买回36瓶免洗洗手液和45包消毒湿纸巾，刚好平均分给五年级每个班并且没有剩余。五年级最多可能有( )个班，每个班分得( )瓶免洗洗手液和( )包消毒湿纸巾。 31．北京冬奥会于2022年2月4日至2月20日举行，为期17天，共设7个大项的比赛。中国队在本次冬奥会中共获得15枚奖牌，其中金牌9枚，银牌4枚，铜牌2枚，在奖牌榜中位居世界前列。 (1)上面文中的数字，是质数的有( )，是偶数的有( )，既是奇数又是合数的有( )，是3的倍数的有( )。 (2)文中有两个自然数的最大公因数是5，它们分别是( )和( )。 32．把一个长120cm、宽10cm、高10cm的长方体锯成若干个小正方体，要使小正方体的棱长最大，可以锯成( )个这样的小正方体。 33．诚信装修队给学校装修“红领巾”广播室，需要用正方形艺术砖装饰一面长32分米、宽24分米的长方形文艺墙（用的砖全是整块的），这些正方形艺术砖的边长最大是( )分米，一共需要( )块这样的艺术砖。 34．对于非0的自然数a、b，如果3a＝b，那么a和b的最大公因数是( )。 35．两根绳子，一根长36米，一根长24米，如果截成同样长的绳子，且没有剩余，每段最长( )米，需要截( )次。 36．红色吸管长18厘米，绿色吸管长24厘米，玲玲把这两根吸管剪成了同样长的若干段（每段都是整厘米数且不能有剩余）。每段可能是( )厘米（填出所有的可能），最长是( )厘米。 37．母亲节活动，商店买来27枝白百合，45枝康乃馨和18枝玫瑰，准备扎成花束送给进店的母亲，这些花最多可以扎成( )束同样的花束（全部花都用完）。 38．今年龙舟赛有交通协管志愿者64人，医护志愿者72人，如果把他们分别分成若干小组，每组人数一样，且没有剩余。那么每组最多( )人，交通协管志愿者分成了( )组，医护志愿者分成了( )组。 39．一个十位数，最高位上是最小的奇数，千万位上是6和9的最大公因数，十万位上是最小的质数，百位上是最小的合数，其余数位上是最小的自然数，这个十位数写作( )。 40．a和b都是非零自然数，且a÷b＝20，那么a和b的最大公因数是( )。 四、计算题 41．求下列各组数的最大公因数。 88和121         91和13 42．求下面每组数的最大公因数。 15和21     18和48     17和51 43．找出下面各组数的最大公因数。 6和24      8和16     5和7     48和18 五、解答题 44．学校数据中心需要布置网线，现有两种规格的网线：一种长28米，另一种长42米。工程师需要将它们剪成同样长度的网线段，每段要尽可能长，且不能有剩余。 (1)每段网线最长多少米？ (2)一共可以剪成多少段？ 45．鹏鹏家的厨房地面需用相同规格的正方形地砖铺设，现有多种规格的地砖可供选择，边长都是整分米数。鹏鹏家选择了其中一种地砖，正好铺满厨房地面，且没有剩余。已知厨房地面长36dm，宽48dm。 (1)鹏鹏家选择的地砖边长可能是多少分米？（写出所有可能） (2)若鹏鹏家选择的地砖是上述最大边长的地砖，那么铺设厨房地面需要多少块？ 46．学校布置文化墙，需要用彩带来做装饰线条。现有两根彩带，一根长36分米，一根长48分米，老师要求把它们截成同样长的若干段，方便同学们分组制作，且不能有剩余。每段最长是多少分米？一共可以截成多少段？ 47．五（1）班去植树，男生有24人，女生有18人。如果要分成若干个小组且没有剩余，每个小组的男生人数相同，女生人数也相同。最多可以分成多少个小组？每个小组有男生、女生各多少人？ 48．实验小学组织五年级的64名优秀少先队员到甘蔗种植园参加劳动实践活动，其中男生24人，女生40人。现在要把男、女生分别分成若干个小组，且每个小组的人数都相等，每个小组最多有多少人？此时，男、女生各有几个小组？ 49．兵团某连队收获葵花籽48吨、棉花36吨，现将两种农产品分别装箱，每箱质量相等且都是整吨数，无剩余。每箱最重多少吨？一共可以装多少箱？ 50．把两根分别长63米和98米的绳子截成长度相等的小段，且正好用完无剩余。每段最长是多少米？一共可以截成多少段？ 51．小明家装修房间，需要铺满一块长32分米、宽24分米的长方形地面。为了美观，他计划使用边长为整分米的正方形地砖，且要求地砖刚好铺满地面，没有剩余。那么，正方形地砖的边长最大可以是多少分米？此时需要多少块这样的地砖？ 52．某校组织128名学生参加志愿服务，服务活动需要分组，如果每组至少2人，最多10人，那么要保证每组人数一样多，可以怎样分？ 53．五（1）班买来25本笔记本和32支中性笔奖励给本学期的三好学生，每个学生得到的笔记本和中性笔同样多，最后余下1本笔记本和2支中性笔，五（1）班本学期最多有多少名三好学生？ 54．一张A3手工纸长42厘米、宽30厘米，然然想用它来折千纸鹤，需要把这张手工纸裁成同样大小的正方形而且没有剩余。裁成的正方形边长最大是多少厘米？一张A3手工纸能裁成多少张这样的正方形纸？（写出计算或思考过程） 55．孙悟空回花果山给小猴子带来一些桃子。如果把110个桃子平均分给小猴子，则多5个；如果把240个桃子平均分给小猴子，则还少5个。花果山最多有多少只小猴子？ 56．智慧老人家的客厅是一个长120分米，宽是88分米的长方形，由于房子年久破旧，智慧老人打算维修翻新，准备给客厅换上美观耐用的方砖。 (1)要想客厅的长与宽都正好用整块方砖铺成，边长至多是多少分米？ (2)如果每块这样的方砖售价32元，智慧老人购买方砖一共需要花多少元？ 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.6  因数与倍数（公因数和最大公因数） 1、公因数的概念 定义：几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。 理解：如果一个数既是A的因数，又是B的因数，那它就是A和B的公因数。 最大公因数：几个数的公因数中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。 2、寻找公因数的方法 方法一：列举法（分别列举再找共同点） 方法二：筛选法（从大数找小数） 集合图表示法（韦恩图） 利用两个交叉的圆圈来表示因数关系，能更直观地看出公因数。 3、易错点提示 公因数个数有限：一个数的因数是有限的，所以几个数的公因数个数也是有限的，一定有“最大”公因数。 特殊情况： 如果两个数成倍数关系（如4和8），较小数就是它们的最大公因数。 如果两个数只有公因数1（如3和5，互质），那么它们的最大公因数就是1。 一、选择题 1．A÷B＝2（A，B均为大于0的自然数），A是B的（    ）。 A．倍数 B．因数 C．自然数 D．公因数 【答案】A 【分析】如果数a能被b（b不等于0）整除，a是b的倍数，b是a的因数； 我们在数物体的时候，用来表示物体个数的1，2，3，4，5，...叫做自然数，一个物体也没有，用“0”表示，“0”也是自然数； 几个数共有的因数，叫做这几个数的公因数；据此解答。 【详解】已知、均为大于0的自然数，且，商为整数且没有余数，说明A能被B整除，因此是的倍数。 2．已知A、B都是非零自然数，且A＝9B，A与B的最大公因数是（    ）。 A．A B．B C．9 D．1 【答案】B 【分析】有倍数关系的两个数的最大公因数是较小的数，据此解答。 【详解】已知A、B都是非零自然数，且A＝9B，说明A是B的9倍，所以A与B的最大公因数是B。 3．a和b都是非零自然数，且，那么a和b的最大公因数是（    ）。 A．a B．b C．8 D． 【答案】B 【分析】a和b都是非零自然数，由a÷8＝b可知a是b的倍数，倍数关系的两个数的最大公因数是其中较小的数。 【详解】由a÷8＝b可得a＝8b，说明a是b的8倍，a和b是倍数关系，较小的数是b，因此a和b的最大公因数是b。 4．已知，所以60与45的最大公因数是（    ）。 A．6 B．10 C．15 D．30 【答案】C 【分析】求最大公因数，就是找出两个数全部相同的质因数，再把公有质因数相乘。先对照给出的分解式，找出60和45共有的质因数，然后相乘得到最大公因数。 【详解】60＝2×2×3×5 45＝3×3×5 公有质因数是3和5 最大公因数：3×5＝15 5．a、b都是非0自然数，a是b的倍数，a、b的公因数中一定有（    ）。 A．1和b B．1和a C．a和b D．1和a、b 【答案】A 【分析】已知a、b都是非0自然数，且a是b的倍数，说明两个数是倍数关系。两个数为倍数关系时，它们的最大公因数是较小数b。任何非0自然数都一定有因数1，所以1和b一定同时是a和b的公因数。 【详解】举例：令b＝4，a＝8（8是4的倍数） 8的因数：1、2、4、8 4的因数：1、4 公因数：1、4（也就是1和b） 所以a、b的公因数中一定有1和b。 6．和是两个连续的自然数，它们的公因数是（    ）。 A．1 B． C． D．ab 【答案】A 【分析】连续的两个自然数互为互质数，互质数的公因数只有1。 【详解】举例子验证：取连续自然数a＝2，b＝3，二者的公因数只有1； 再取a＝7，b＝8，公因数也只有1，因此两个连续自然数的公因数是1。 7．如果，那么a和b的最大公因数是（    ）。 A．b B．7 C．a D．7b 【答案】A 【分析】两个非0自然数如果成倍数关系，最大公因数是其中较小的数。 【详解】由可知，a是b的7倍，a和b成倍数关系，且，所以a和b的最大公因数是b。 8．有两个连续的偶数和，它们的最大公因数是（    ）。 A．a B．b C．2 D．1 【答案】C 【分析】两个大于2的连续偶数的差是2，它们的最大公因数是差的因数，且两个偶数都有因数2，因此最大公因数是2。 【详解】 两个数的最大公因数一定是它们差的因数，因此和的最大公因数只能是1或2；又因为、都是大于2的偶数，都含有因数2，因此它们的最大公因数是2。 9．小迪的书房长，宽，选用边长（    ）的方砖铺地不需切割。 A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】先统一单位，书房长4.8m＝48dm，宽3m＝30dm，方砖铺地不需要切割，说明方砖的边长是地面长和宽的公因数。先用分解质因数法求出48和30的最大公因数，再找出这个最大公因数的所有因数，就是两者全部的公因数，最后对照选项选出正确答案。 【详解】4.8m＝48dm，3m＝30dm 48＝2×2×2×2×3 30＝2×3×5 最大公因数：2×3＝6 6的因数：1、2、3、6，也就是48和30的公因数。 对照选项，只有6符合条件。 10．两条彩带分别长24厘米和18厘米，现把它们剪成长度相等的小段，最少能剪成（    ）段。 A．6 B．7 C．12 D．14 【答案】B 【分析】要使剪成的段数最少，因为总长度固定，所以每小段的长度需要尽可能大，且每小段长度需同时整除两条彩带的长度。即求24和18的最大公因数，该最大公因数即为每小段的最大长度。再分别用两条彩带的长度除以最大公因数，得到各自剪成的段数，将两段数相加即可得到总段数。 【详解】根据分析： 24＝2×2×2×3 18＝2×3×3 因此24和18的最大公因数是2×3＝6 24÷6＝4（段） 18÷6＝3（段） 4＋3＝7（段） 因此，现把它们剪成长度相等的小段，最少能剪成7段。 11．李老师的书房长5m，宽4m，用边长为（    ）dm的方砖正好能铺满且没有剩余。 A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】要使方砖正好铺满且没有剩余，说明方砖的边长是书房长和宽的公因数，结合选项选出符合要求的边长即可，注意先把米换算成分米。 【详解】单位换算： ，。 分解质因数： 50和40的公因数是：2、5、10。 选项中只有公因数10，所以用边长为10dm的方砖正好能铺满且没有剩余。 12．用边长12厘米的正方形画纸铺长方形桌面。下面这些规格的长方形桌面中，正好能铺满且画纸不用裁剪的是（    ）。（单位：厘米。其中“108×80”表示长108厘米、宽80厘米） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用边长12厘米的正方形画纸铺长方形桌面，正好能铺满且没有浪费，也就是这个桌面的长和宽是12的倍数，12是长和宽的公因数，据此解答。 【详解】A．，，80不能被12整除，不符合要求； B．，90不能被12整除，不符合要求； C．，，长和宽都能被12整除，符合要求； D．，不能得到整数商，10不能被12整除，不符合要求。 13．王师傅想将长度分别为60分米、48分米、36分米的钢材切割成长度相等的小段，且都没有剩余。一共最少可以切割成（    ）小段。 A．12 B．24 C．36 D．48 【答案】A 【分析】要使切割的总段数最少，每小段的长度就要最长，需先求出60、48、36的最大公因数作为每小段的长度，再分别计算三根钢材能切的段数求和即可。 【详解】60、48、36的最大公因数： 2×2×3 ＝4×3 ＝12 总段数： 60÷12＋48÷12＋36÷12 ＝5＋4＋3 ＝12（段） 14．我国古代的数学著作《九章算术》介绍了“约分术”：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。”意思是说：“如果分子、分母全是偶数，就先除以2；否则以较大的数减去较小的数，如此重复进行下去，当差与减数相等即出现“等数”时，用这个等数约分，这种方法被后人称为“更相减损术”。用“更相减损术”可用来求两个正整数的最大公因数：记（168，93）为初始状态，则第一步可得（75，93），第二步得到（75，18），第三步得到（57，18），第四步将得到（    ）。 A．（57，18） B．（39，3） C．（39，18） D．（21，18） 【答案】C 【分析】按照“更相减损术”的规则，每次用数对中较大的数减去较小的数，用得到的差替换原来的大数，就能得到新的数对。 【详解】第三步的数对为（57，18），其中，计算，用39替换原来的大数57，得到新数对（39，18）。 15．小宇准备给卧室的地面铺设同样大的正方形地砖，选用边长是（    ）分米的地砖（不能切割）正好铺满且块数最少。 A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】B 【分析】要正好铺满且没有剩余，正方形地砖的边长必须是卧室长40分米、宽32分米的公因数；要让所需块数最少，就要选边长最大的地砖，也就是求40和32的最大公因数。 【详解】40的因数有1、2、4、5、8、10、20、40， 32的因数有1、2、4、8、16、32， 两者的最大公因数是8，所以选边长8分米的地砖。 二、判断题 16．最小的质数和最小的合数只有一个公因数。( ) 【答案】 × 【分析】先明确最小的质数、最小的合数分别是多少，再找出二者的公因数判断数量即可。 【详解】最小的质数是2，最小的合数是4。 2的因数：1，2 4的因数：1，2，4 2和4的公因数有1、2，共2个。 故答案为：× 17．分子和分母的公因数只有1的分数是最简分数。( ) 【答案】√ 【分析】根据最简分数的意义，分数的分子和分母是互质数的分数叫最简分数；公因数只有1的两个数叫互质数。据此解答。 【详解】根据分析，分子和分母的公因数只有1的分数是最简分数，如、的分子和分母都只有公因数1，都是最简分数，因此原题说法正确。 故答案为：√ 18．两个连续非0的自然数的最大公因数是1。( ) 【答案】√ 【分析】两个连续非0自然数互为互质数，互质数的最大公因数是1。 【详解】根据分析，两个连续非0自然数的差是1，除1外没有其他公因数，因此它们的最大公因数是1，原题说法正确。 故答案为：√ 19．两个数的最大公因数是20，这两个数一定有6个公因数。( ) 【答案】 √ 【分析】两个数的公因数是它们最大公因数的所有因数，求出20的因数个数就能判断。 【详解】的因数有：、、、、、，共个。 所以最大公因数是的两个数，公因数就是这个，原说法正确。 故答案为：√ 20．a和b都是自然数，a÷b＝5，a和b的最大公因数是5。( ) 【答案】× 【分析】两个数为倍数关系时，最大公因数是较小的数，本题中较小数是b。 【详解】根据题意，可知a是b的倍数，因此a和b的最大公因数是较小的数b。原题说法错误。 故答案为：× 21．两个自然数的最大公因数不一定比这两个数都小。( ) 【答案】√ 【分析】如果两个自然数是倍数关系，较小的数就是这两个数的最大公因数，此时最大公因数与较小的数相等。 【详解】当两个自然数成倍数关系时，较小数就是这两个数的最大公因数，例如2和6的最大公因数是2，与较小的数2相等。因此两个自然数的最大公因数不一定比这两个数都小，原题说法正确。 故答案为：√ 22．两个数的最大公因数是6，这两个数的公因数一定是1，2，3，6。( ) 【答案】√ 【分析】两个数的公因数是它们最大公因数的所有因数，求出的所有因数即可判断。 【详解】的因数有：、、、，共个。所以最大公因数是的两个数，公因数就是这个，说法正确。 故答案为：√ 23．已知，（b为非0的整数），则和的最大公因数是7。( ) 【答案】× 【分析】两个数为倍数关系时，最大公因数为较小的数。 【详解】由a＝7b可知，a是b的7倍，二者为倍数关系，a＞b，则a和b的最大公因数是b。b为任意非0整数，不一定等于7，原题说法错误。 故答案为：× 24．如果A和B的最大公因数只有1，那么它们的积一定是合数。( ) 【答案】× 【分析】若两个互质数中有一个是1，二者的积可能为质数，因此原说法不成立。 【详解】取A＝1，B＝2，二者的最大公因数是1，满足题干条件。 ，2是质数，不是合数，因此原说法错误。 故答案为：× 25．一张长方形纸，长16cm，宽12cm如果要剪成若干张同样大小的正方形（边长为整厘米数）且没有剩余，能剪出7个这样的小正方形。( ) 【答案】× 【分析】要剪出没有剩余的整厘米边长正方形，边长必须是长和宽的公因数，先找出所有符合要求的边长，再计算对应可剪出的数量，判断是否存在7个的情况。 【详解】16的因数有1、2、4、8、16， 12的因数有1、2、3、4、6、12， 二者的公因数为1、2、4，即正方形边长只能是1cm、2cm、4cm。 边长为1cm时：（个） 边长为2cm时：（个） 边长为4cm时：（个） 所有可能剪出的数量都不为7，题中说法错误。 故答案为：× 三、填空题 26．18和24的公因数有( )个，它们的最大公因数是( )。 【答案】 4 6 【分析】先分别找出18和24的所有因数，对比两个数的因数，找出共同的因数，因为公因数是两个数共有的因数，统计公因数的个数，填入第一空即可；再从公因数中找出数值最大的那个，填入第二空。 【详解】18的因数有：1、2、3、6、9、18；24的因数有：1、2、3、4、6、8、12、24；共同的因数有：1、2、3、6一共4个；其中最大公因数是：6。 27．（a与b为非0自然数），a与b的最大公因数是( )。 【答案】b 【分析】已知（a与b为非0自然数），说明a是b的5倍，即a和b是倍数关系。 当两个数成倍数关系时，较小的数是这两个数的最大公因数。 【详解】在（a与b为非0自然数）中，a为较大的数，b为较小的数。 因此，a与b的最大公因数是b。 28．丙数是丁数的倍数，丙、丁两数的最大公因数是( )。 【答案】丁数 【分析】最大公因数是指两个或多个整数共有约数中最大的一个。当两个数成倍数关系时，较小的数就是这两个数的最大公因数。 【详解】因为丙数是丁数的倍数，所以丙数÷丁数＝整数（无余数），且丁数小于丙数，所以丙、丁两数的最大公因数是丁数。 29．把两根分别长12厘米、16厘米的木棒截成同样长的若干段，不能有剩余，每段最长是( )厘米。 【答案】4 【分析】求每段最长长度，实际就是求这两个长度数值的最大公因数。利用分解质因数的方法，求出最大公因数，即可解答。 【详解】 12和16的最大公因数是。 所以每段最长是4厘米。 30．李老师买回36瓶免洗洗手液和45包消毒湿纸巾，刚好平均分给五年级每个班并且没有剩余。五年级最多可能有( )个班，每个班分得( )瓶免洗洗手液和( )包消毒湿纸巾。 【答案】 9 4 5 【分析】要把36瓶免洗洗手液和45包消毒湿纸巾平均分，没有剩余，班级的数量必须同时是36和45的公因数，求最多有几个班，就是求36与45的最大公因数。用分解质因数的方法先求出最大公因数，再用总数量除以班级数，求出每个班分得的物品数量。 【详解】36＝2×2×3×3 45＝3×3×5 36与45的最大公因数是3×3＝9 所以最多有9个班。 每班分得免洗洗手液：36÷9＝4（瓶） 每班分得消毒湿纸巾：45÷9＝5（包） 31．北京冬奥会于2022年2月4日至2月20日举行，为期17天，共设7个大项的比赛。中国队在本次冬奥会中共获得15枚奖牌，其中金牌9枚，银牌4枚，铜牌2枚，在奖牌榜中位居世界前列。 (1)上面文中的数字，是质数的有( )，是偶数的有( )，既是奇数又是合数的有( )，是3的倍数的有( )。 (2)文中有两个自然数的最大公因数是5，它们分别是( )和( )。 【答案】(1) 2、17、7； 2、4、2022、20； 9、15； 9、15、2022； (2) 20； 15 【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。3的倍数特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。5的倍数特征：个位上是0或5的数。 【详解】（1） 质数的有2、17、7，偶数的有2、4、2022、20，既是奇数又是合数的有9、15，是3的倍数的有9、15、2022。 （2） 文中有两个自然数的最大公因数是5，它们分别是20和15。 32．把一个长120cm、宽10cm、高10cm的长方体锯成若干个小正方体，要使小正方体的棱长最大，可以锯成( )个这样的小正方体。 【答案】12 【分析】求出长方体长、宽、高的最大公因数是锯成的最大正方体的棱长，长方体体积＝长×宽×高，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，长方体体积÷正方体体积＝锯成的小正方体数量。两数成倍数关系，最大公因数是较小数。 【详解】120÷10＝12 120和10的最大公因数是10，因此小正方体的棱长最长是10cm。 120×10×10÷（10×10×10） ＝12000÷1000 ＝12（个） 33．诚信装修队给学校装修“红领巾”广播室，需要用正方形艺术砖装饰一面长32分米、宽24分米的长方形文艺墙（用的砖全是整块的），这些正方形艺术砖的边长最大是( )分米，一共需要( )块这样的艺术砖。 【答案】 8 12 【分析】要用整块的正方形艺术砖铺满长方形墙面，正方形砖的边长必须既是长方形长的因数，也是宽的因数，即长和宽的公因数。要求边长最大，即求长和宽的最大公因数。求出边长后，分别计算长和宽各能铺多少块，再相乘得到总块数。 【详解】32的因数：1、2、4、8、16、32； 24的因数：1、2、3、4、6、8、12、24； 32和24的最大公因数是8，所以正方形艺术砖的边长最大8分米。 （块） 所以这些正方形艺术砖的边长最大是8分米，一共需要12块这样的艺术砖。 34．对于非0的自然数a、b，如果3a＝b，那么a和b的最大公因数是( )。 【答案】a 【分析】已知3a＝b，说明b是a的3倍，两个非0自然数如果是倍数关系，它们的最大公因数是其中较小的那个数。 【详解】已知b是a的倍数，所以a、b的最大公因数是a。 35．两根绳子，一根长36米，一根长24米，如果截成同样长的绳子，且没有剩余，每段最长( )米，需要截( )次。 【答案】 12 3 【分析】要把两根绳子截成同样长且没有剩余，每段的长度必须是两根绳子长度的公因数，要求每段最长，即求36和24的最大公因数。求出每段长度后，分别计算两根绳子截成的段数，用绳子的长度除以每段长度；根据截的次数＝段数－1，分别求出每根绳子截的次数，最后相加即可。 【详解】36的因数：1、2、3、4、6、9、12、18、36。 24的因数：1、2、3、4、6、8、12、24。 公因数：1、2、3、4、6、12。 最大公因数是12，所以每段最长12米。 36÷12＝3（段） 24÷12＝2（段） 3－1＝2（次） 2－1＝1（次） 2＋1＝3（次） 36．红色吸管长18厘米，绿色吸管长24厘米，玲玲把这两根吸管剪成了同样长的若干段（每段都是整厘米数且不能有剩余）。每段可能是( )厘米（填出所有的可能），最长是( )厘米。 【答案】 1、2、3、6 6 【分析】要求剪成同样长、无剩余，每段长度就是18和24的公因数，最长的一段就是最大公因数。先找出18、24的所有公因数，再找出最大公因数。 【详解】18的因数：1、2、3、6、9、18 24的因数：1、2、3、4、6、8、12、24 公因数：1、2、3、6，最大公因数是6。 所以每段可能是1厘米、2厘米、3厘米、6厘米，每段最长是6厘米。 37．母亲节活动，商店买来27枝白百合，45枝康乃馨和18枝玫瑰，准备扎成花束送给进店的母亲，这些花最多可以扎成( )束同样的花束（全部花都用完）。 【答案】9 【分析】要把三种花全部用完，扎成数量最多的相同花束，花束的总数需要同时整除27、45、18这三个数，也就是求这三个数的最大公因数。 【详解】 3×3＝9 三者共同的最大因数是9，所以最多可以扎成9束同样的花束。 38．今年龙舟赛有交通协管志愿者64人，医护志愿者72人，如果把他们分别分成若干小组，每组人数一样，且没有剩余。那么每组最多( )人，交通协管志愿者分成了( )组，医护志愿者分成了( )组。 【答案】 8 8 9 【分析】因为每组人数相同且无剩余，要每组人数最多，所以该人数是64和72的最大公因数，求最大公因数用短除法。 求出最大公因数后，因为交通协管总人数除以每组人数就是交通协管的分组数，所以用64除以所得最大公因数得到对应组数。 因为医护总人数除以每组人数就是医护的分组数，所以用72除以所得最大公因数得到对应组数。 【详解】 64和72的最大公因数是： （组） （组） 那么每组最多8人，交通协管志愿者分成了8组，医护志愿者分成了9组。 39．一个十位数，最高位上是最小的奇数，千万位上是6和9的最大公因数，十万位上是最小的质数，百位上是最小的合数，其余数位上是最小的自然数，这个十位数写作( )。 【答案】1030200400 【分析】奇数是不能被2整除的数；几个数公有的因数叫公因数，其中最大的那一个，就是最大公因数；大于1的自然数，如果只有1和它本身两个因数，这个数就是质数。大于1的自然数，除了1和它本身之外，还有其他因数，这个数叫做合数。最小的自然数是0。 【详解】十位数的最高位是十亿位，最小的奇数是1，所以十亿位写1； 6和9的最大公因数是3，所以千万位写3； 最小的质数是2，所以十万位写2； 最小的合数是4，所以百位写4； 最小的自然数是0，剩下的所有数位都填0。 这个十位数写作1030200400。 40．a和b都是非零自然数，且a÷b＝20，那么a和b的最大公因数是( )。 【答案】b 【分析】当两个数为倍数关系时，它们的最大公因数为较小的数。 【详解】已知a和b都是非零自然数，且a÷b＝20，说明a是b的倍数，所以a和b的最大公因数是b。 四、计算题 41．求下列各组数的最大公因数。 88和121        91和13 【答案】11；13 【分析】求最大公因数，可以先观察两个数是不是倍数关系。如果是倍数关系，最大公因数就是较小的数；如果不是倍数关系，就用分解质因数法，找出所有公有质因数，公有质因数的乘积就是最大公因数。 【详解】（1）88＝2×2×2×11 121＝11×11 最大公因数：11 （2）91÷13＝7，91是13的倍数，两数为倍数关系。 较小数是13，最大公因数：13 42．求下面每组数的最大公因数。 15和21    18和48    17和51 【答案】3；6；17 【分析】将每组的两个数都分解质因数，找出它们公有的质因数并相乘，就是两个数的最大公因数。 【详解】15＝3×5 21＝3×7 15和21的最大公因数是3。 18＝2×3×3 48＝2×2×2×2×3 18和48公有的质因数是2和3，它们的最大公因数是2×3＝6。 17是质数 51＝17×3 17和51的最大公因数是17。 43．找出下面各组数的最大公因数。 6和24     8和16    5和7    48和18 【答案】6；8；1；6 【分析】（1）6和24，因为24是6的倍数，当两个数存在倍数关系时，最大公因数是较小的数，所以6和24的最大公因数是6； （2）8和16，因为16是8的倍数，同理，它们的最大公因数是较小数8； （3）5和7，5和7都是质数，且除了1以外没有其他公因数，即它们是互质数，互质数的最大公因数是1，所以5和7的最大公因数是1。 （4）48和18，先对这两个数分解质因数，48分解质因数为2×2×2×2×3，18分解质因数为2×3×3。两个数公有质因数的乘积就是它们的最大公因数，公有质因数是2和3，所以最大公因数为2×3＝6。 【详解】（1）6和24最大公因数是6； （2）8和16最大公因数是8； （3）5和7的最大公因数是1； （4）48和18的最大公因数是6。 五、解答题 44．学校数据中心需要布置网线，现有两种规格的网线：一种长28米，另一种长42米。工程师需要将它们剪成同样长度的网线段，每段要尽可能长，且不能有剩余。 (1)每段网线最长多少米？ (2)一共可以剪成多少段？ 【答案】(1)14米 (2)5段 【分析】要把两种长度的网线剪成无剩余且等长的最长段，所以每段长度是28和42的最大公因数，可使用短除法或质因数分解法求解最大公因数。 得到每段长度后，如果要计算总段数，那么分别用两种网线的原长除以每段长度，得到各自能剪的段数后相加即可。 【详解】【小题1】 28和42的最大公因数是：（米） 答：每段网线最长14米。 【小题2】 （段） 答：一共可以剪成5段。 45．鹏鹏家的厨房地面需用相同规格的正方形地砖铺设，现有多种规格的地砖可供选择，边长都是整分米数。鹏鹏家选择了其中一种地砖，正好铺满厨房地面，且没有剩余。已知厨房地面长36dm，宽48dm。 (1)鹏鹏家选择的地砖边长可能是多少分米？（写出所有可能） (2)若鹏鹏家选择的地砖是上述最大边长的地砖，那么铺设厨房地面需要多少块？ 【答案】(1)1分米、2分米、3分米、4分米、6分米、12分米 (2)12块 【分析】正方形地砖正好铺满地面无剩余，说明地砖边长需同时整除地面的长和宽，即边长是36和48的公因数；最大边长对应两者的最大公因数，分别计算长、宽方向能铺的地砖数，相乘即可得到总块数。 【详解】（1）列举36的因数：1、2、3、4、6、9、12、18、36 列举48的因数：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48 36和48的公因数为：1、2、3、4、6、12 答：地砖边长可能是1分米、2分米、3分米、4分米、6分米、12分米。 （2）最大地砖边长为12分米。 36÷12＝3（块） 48÷12＝4（块） 3×4＝12（块） 答：铺设厨房地面需要12块。 46．学校布置文化墙，需要用彩带来做装饰线条。现有两根彩带，一根长36分米，一根长48分米，老师要求把它们截成同样长的若干段，方便同学们分组制作，且不能有剩余。每段最长是多少分米？一共可以截成多少段？ 【答案】12分米；7段 【分析】要将两根彩带截成同样长的小段且无剩余，每段长度是36和48的公因数；求每段最长的长度，就是求这两个数的最大公因数，再分别计算两根彩带的段数，相加得到总段数。 【详解】36的因数：1、2、3、4、6、9、12、18、36； 48的因数：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48； 36和48的最大公因数是12，所以每段最长是12分米。 36÷12＋48÷12 ＝3＋4 ＝7（段） 答：每段最长是12分米，一共可以截7段。 47．五（1）班去植树，男生有24人，女生有18人。如果要分成若干个小组且没有剩余，每个小组的男生人数相同，女生人数也相同。最多可以分成多少个小组？每个小组有男生、女生各多少人？ 【答案】 最多可以分成6个小组，每个小组有男生4人，女生3人。 【分析】要使分组后没有剩余，且每组男生人数相同、女生人数相同，小组的数量必须同时是24和18的因数；求最多能分多少组，就是求24和18的最大公因数。先用分解质因数法求出最大公因数，再用男、女生总人数分别除以最大公因数，即可求出每组的男、女生人数。 【详解】24＝2×2×2×3 18＝2×3×3 24和18的最大公因数是2×3＝6 即最多可以分成6个小组 每组男生人数：24÷6＝4（人） 每组女生人数：18÷6＝3（人） 答：最多可以分成6个小组，每个小组有男生4人，女生3人。 48．实验小学组织五年级的64名优秀少先队员到甘蔗种植园参加劳动实践活动，其中男生24人，女生40人。现在要把男、女生分别分成若干个小组，且每个小组的人数都相等，每个小组最多有多少人？此时，男、女生各有几个小组？ 【答案】 每个小组最多有8人；此时男生有3个小组，女生有5个小组。 【分析】要使男、女生分组后每组人数相等且最多，需求24和40的最大公因数，再用各自总人数除以每组人数得到小组数。 【详解】分解质因数： 24和40的最大公因数是： 即每组最多8人。 男生小组数：24÷8＝3（组） 女生小组数：40÷8＝5（组） 答：每个小组最多有8人；此时男生有3个小组，女生有5个小组。 49．兵团某连队收获葵花籽48吨、棉花36吨，现将两种农产品分别装箱，每箱质量相等且都是整吨数，无剩余。每箱最重多少吨？一共可以装多少箱？ 【答案】 12吨；7箱 【分析】每箱质量需同时整除48和36，求每箱最重的质量就是求48和36的最大公因数；再分别计算两种农产品的箱数，求和得到总箱数。 【详解】 36＝2×2×3×3 48和36的最大公因数是：2×2×3＝12，所以每箱最重12吨。 葵花籽可以装：48÷12＝4（箱） 棉花可以装：36÷12＝3（箱） 一共装：4＋3＝7（箱） 答：每箱最重12吨，一共可以装7箱。 50．把两根分别长63米和98米的绳子截成长度相等的小段，且正好用完无剩余。每段最长是多少米？一共可以截成多少段？ 【答案】7米；23段 【分析】截成相等小段且无剩余，每段长度是63和98的公因数，求每段最长，即求两数的最大公因数。用两根绳子的长度分别除以最大公因数，计算出两根绳子的段数，再相加得到总段数。 【详解】分解质因数求最大公因数： 63和98的最大公因数是7，即每段最长7米。 答：每段最长是7米。 计算段数： （段） （段） （段） 答：一共可以截成23段。 51．小明家装修房间，需要铺满一块长32分米、宽24分米的长方形地面。为了美观，他计划使用边长为整分米的正方形地砖，且要求地砖刚好铺满地面，没有剩余。那么，正方形地砖的边长最大可以是多少分米？此时需要多少块这样的地砖？ 【答案】8分米；12块 【分析】要使正方形地砖刚好铺满长方形地面且无剩余，地砖的边长必须是32和24的公因数，求最大边长就是求这两个数的最大公因数；再分别用长、宽除以最大边长，得到长和宽方向的地砖数，相乘即为总块数。 【详解】 32和24的最大公因数是：2×2×2＝8 （32÷8）×（24÷8） ＝4×3 ＝12（块） 答：正方形地砖的边长最大可以是8分米，此时需要12块这样的地砖。 52．某校组织128名学生参加志愿服务，服务活动需要分组，如果每组至少2人，最多10人，那么要保证每组人数一样多，可以怎样分？ 【答案】每组2人，能分64组。 每组4人，能分32组。 每组8人，能分16组。 【分析】要保证每组人数一样多，每组人数需是128的因数。先找出128的所有因数，再筛选出2到10之间的因数，最后计算对应组数，用学生人数除以每组的人数。 【详解】128的因数有：1、2、4、8、16、32、64、128。符合每组2到10人要求的因数是2、4、8。每组2人时，组数：128÷2＝64（组）；每组4人时，组数：128÷4＝32（组），每组8人时，组数：128÷8＝16（组）。 答：每组2人，能分64组；每组4人，能分32组；每组8人，能分16组。 53．五（1）班买来25本笔记本和32支中性笔奖励给本学期的三好学生，每个学生得到的笔记本和中性笔同样多，最后余下1本笔记本和2支中性笔，五（1）班本学期最多有多少名三好学生？ 【答案】6名 【分析】先用笔记本总数25减去余下的1本，中性笔总数32减去余下的2支，求出实际分出去24本笔记本和30支中性笔。因为每个学生分得同样多，三好学生人数是24和30的公因数，要求人数最多，就是求24和30的最大公因数，用分解质因数法计算。 【详解】25－1＝24（本） 32－2＝30（支） 24＝2×2×2×3 30＝2×3×5 最大公因数：2×3＝6 答：五（1）班本学期最多有6名三好学生。 54．一张A3手工纸长42厘米、宽30厘米，然然想用它来折千纸鹤，需要把这张手工纸裁成同样大小的正方形而且没有剩余。裁成的正方形边长最大是多少厘米？一张A3手工纸能裁成多少张这样的正方形纸？（写出计算或思考过程） 【答案】 42和30的最大公因数： （张） 所以，裁成的正方形边长最大是6厘米，一张A3手工纸能裁成35张这样的正方形纸。 【分析】裁成同样大小且无剩余的正方形，最大边长是手工纸长和宽的最大公因数；用长、宽分别除以最大边长，得到长、宽方向的正方形个数，相乘即为总张数。 【详解】 42和30的最大公因数： 即正方形边长最大是6厘米。 （张） 答：裁成的正方形边长最大是6厘米；一张A3手工纸能裁成35张这样的正方形纸。 55．孙悟空回花果山给小猴子带来一些桃子。如果把110个桃子平均分给小猴子，则多5个；如果把240个桃子平均分给小猴子，则还少5个。花果山最多有多少只小猴子？ 【答案】35只 【分析】先将桃子数量调整为正好能被小猴子平均分的数量，小猴子的最多数量就是这两个调整后数量的最大公因数。 【详解】110－5＝105（个）     240＋5＝245（个） 105＝3×5×7     245＝5×7×7 105和245的最大公因数是：5×7＝35，所以最多有35只小猴子。 答：花果山最多有35只小猴子。 56．智慧老人家的客厅是一个长120分米，宽是88分米的长方形，由于房子年久破旧，智慧老人打算维修翻新，准备给客厅换上美观耐用的方砖。 (1)要想客厅的长与宽都正好用整块方砖铺成，边长至多是多少分米？ (2)如果每块这样的方砖售价32元，智慧老人购买方砖一共需要花多少元？ 【答案】(1)8分米 (2)5280元 【分析】（1） 要使客厅的长和宽都正好用整块方砖铺成，方砖的边长必须同时是长和宽的公因数，求最大的边长，就是求120和88的最大公因数。 （2）先用除法分别算出沿长、宽方向需要的方砖块数，相乘得到总块数，再用总块数乘每块方砖的售价，即可求出总花费。 【详解】（1）120＝2×2×2×3×5，88＝2×2×2×11 120和88的最大公因数是2×2×2＝8 答：边长至多是8分米。 （2）沿长需要的方砖块数：120÷8＝15（块） 沿宽需要的方砖块数：88÷8＝11（块） 总块数：15×11＝165（块） 总花费：165×32＝5280（元） 答：智慧老人购买方砖一共需要花5280元。 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $