4.4 数学归纳法课件-2026-2027学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦“数学归纳法”，系统讲解原理及两步规范，通过复习数列等与正整数相关知识导入，从基础概念到典例解析再到分层练习构建学习支架，帮助学生理解递推思想。 其亮点在于含思维导图和“归纳—猜想—证明”模式，分层训练对接高考，结合推理能力与模型观念，如证明恒等式时强调归纳假设的应用。学生提升逻辑思维，教师可实现一体化教学，提高效率。

高二数学●2024苏教版选择性必修一 第四章 数列 本节理解数学归纳法原理，掌握证明两步规范；会用数学归纳法证明简单与正整数有关的命题；体会递推思想，提升逻辑推理能力，养成严谨论证的习惯。 4.4 数学归纳法​∗ 致读者 1.使用：本课件为高质量课件，内容较为全面丰富，资源比较大，包括41张PPT。 2.应用：本课件包含梳理知识的基础部分，例题讲解，对点练习，对接高考的难度模式，依次按照：基础，中档，拔高难度训练 3.本课件包含思维导图，例题，最后的培优练习等方便老师一体化教学。 3 理知识 新知课丨必备知识解读 知识点 数学归纳法 1 数学归纳法 一般地，证明一个与正整数 有关的数学命题，可按如下两个步骤进行： （1）（归纳奠基）证明当 是命题成立的第一个正整数，并 不是所有的第一个值都是1 时命题成立； （2）（归纳递推）假设当时命题成立，证明当 时命题也成立. 根据就可以断定命题对于从开始的所有正整数 都成立. 上述证明方法叫作数学归纳法. . . . . . . 4 2 两个步骤之间的关系 记是一个正整数 的命题.我们可以把用数学归纳法证明的形式改写如下： 条件：（1）为真；（2）若为真，则 也为真. 结论： 为真. 在数学归纳法的两步中，第一步验证（或证明）了当 时结论成立，即命 题为真；第二步是证明一种递推关系，实际上是要证明一个新命题：若 为 真，则 也为真. 只要将这两步交替使用，就有真，真, ,真， 真……从而完成证明.#1.2.2 5 特别提醒 1.一般地，与正整数有关的恒等式、不等式、数的整除性、数列的通项及 前 项的和等问题都可以用数学归纳法证明，但并不是所有与正整数有关的问题都能 用数学归纳法解决. 2.步骤（2）是用数学归纳法证明命题的关键.归纳假设“当其中 时 命题成立”起着已知的作用，证明“当 时命题也成立”的过程中，必须用到归 纳假设，再根据有关的定理、定义、公式、性质等推证出当 时命题也成立. 而不能直接将代入归纳假设，因为此时 时命题成立也是假设，命 题并没有得证.#2.1 . . . . 6 学思用·典例详解 例1 用数学归纳法证明“凸边形的内角和等于 ”时，归纳奠基中 的取值 应为( ) C A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】根据凸边形至少有3条边，知，故 的取值应为3. 7 例2 一个关于自然数的命题，如果证得当 时命题成立，并在假设当 且时命题成立的基础上，证明了当 时命题成立，那么 综合上述，对于( ) B A.一切正整数命题成立 B.一切正奇数命题成立 C.一切正偶数命题成立 D.以上都不对 【解析】本题证明了当，3，5，7， 时，命题成立，即命题对一切正奇数成立． 8 例3 用数学归纳法证明“ ”在证 明 成立时，左边的项是( ) C A.1 B. C. D. 【解析】因为等式左边中的最高指数是，所以当时， 的最高指数为2，则 根据等式左边的规律可得，在验证等式成立时，左边计算的结果是 . 9 方法帮 解题课丨关键能力构建 题型1 证明恒等式 例4 ［教材改编P173 T3］用数学归纳法证明: . 10 【解析】（1）当时，左边，右边，左边 右边，等式 成立. （2）假设当 时,等式成立，即 . 那么当时， （此即归纳假设中左边 的式子） ，即当 时,等 式也成立. 根据（1）和（2），可知等式对任何 都成立. . . 11 易错警示 在书写是一个正整数的命题）时，一定要把包含 的 式子写出来，尤其是 中的最后一项.除此之外，多了哪些项，少了哪些项都要分 析清楚. 12 用数学归纳法证明与正整数有关的等式问题时，要“先看项”，即弄清等式两边的构 成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与的取值是否有关，由 到 时，等式两边会增加哪些项，减少哪些项. 13 题型2 证明不等式 例5 用数学归纳法证明: . 14 【解析】（1）当时，左边，右边，， 不等式成立. （2）假设当 时,不等式成立， 即 . 则当 时， . 当 时,不等式也成立. 根据（1）和（2）知，对任意 的正整数，不等式均成立. 15 例6 已知数列满足，， . （1）用数学归纳法证明： . 16 【解析】当 时，结论显然成立. 假设当时，结论成立，即，则 ， 又， . ， ， ， ， ， 当 时，结论成立. 综上， 成立. 17 （2）求证： . 【解析】 ， 由（1）可知， ， ， ． 18 证明不等式往往比证明恒等式难度更大些，方法更灵活些，除作差法、分析法、反 证法及放缩法外，数学归纳法也是常用的方法.用数学归纳法证明的第二步，即已知 ，求证 时，应注意灵活运用上述证明不等式的一般 方法.对于较简单的命题，基本格式为 . 19 题型3 证明与猜想归纳有关的问题 例7 若不等式对一切正整数 都成立. （1）猜想正整数 的最大值. 【解析】当时，，则，所以，而 是正 整数，所以猜想 的最大值为25. 20 （2）用数学归纳法证明你的猜想. 【解析】下面用数学归纳法证明 . ①当 时，已证. ②假设当时，不等式成立，即 . 那么当 时， + 21 + + ， 即当 时，不等式也成立. 根据①和②，可知对任何，都有 . 所以正整数 的最大值为25. 例8 已知数列的前项和为，且， ． （1）写出，，，，并猜想 的表达式. 【解析】，， ； 当时，，可得， ； 当时，，可得， ； 当时，，可得，.猜想 . （当发现不了规律时，可多列几项） . . 23 （2）用数学归纳法证明你的猜想，并求出 的表达式． 【解析】下面用数学归纳法证明猜想成立. ①当 时，猜想显然成立． ②假设当时，猜想成立，即 ， 则当时， ， ， . 故当 时，猜想也成立． 由①和②可知，对于任意的，都有 . 故猜想成立. ， . 24 “归纳—猜想—证明”的主要步骤与题型 1.主要步骤 25 2.主要题型 （1）已知数列的递推公式，求通项公式或前 项和. （2）由一些恒成立的等式、不等式改编的探究性问题，以及求使命题成立的参数值 问题. （3）给出一些简单的命题，猜想并证明对任意正整数 都成立的一般 性命题. 26 题型4 整除问题 例9 已知,，求证：能被 整除. 27 【解析】（1）当时， ，命题显然成立. （2）假设当时命题成立，即能被 整除. 那么，当 时， . 因为上式中与均能被 整除，所以 能被 整除. 这表明,当 时命题成立. 根据（1）和（2）可知，对于任意的正整数 命题都成立. 28 用数学归纳法证明整除问题时,先从要证明的式子中拼凑出假设成立的式子,然后证明 剩余的式子也能被某式（数）整除,这是用数学归纳法证明整除问题的一大技巧. 29 练习帮 习题课丨学业质量测评 1.用数学归纳法证明时，从到 ，不等 式左边需添加的项是( ) B A. B. C. D. 【解析】当时，左边的代数式为 ①， 当时，左边的代数式为 ②， 得， ,此即不等式左边需添加的项． 30 2.[多选题]对于不等式 ，某学生用数学归纳法的证明过程如 下： ①当时，，不等式成立,②假设 时，不等式成立， 即，则 时， ， 当 时,不等式成立． 关于上述证明过程的说法正确的是( ) BD A.证明过程全都正确 B.当 时的验证正确 C.归纳假设正确 D.从到 的推理不正确 31 【解析】用数学归纳法证明 的过程如下： ①当时，不等式成立;②假设 时，不等式成立， 即，两边平方得，，即 ，显然成立, 则 时， ，所以当时，不等式也成立．结合选项可知选． 32 3.用数学归纳法证明，则当 时 左端应在 的基础上加上的项为___________________. 【解析】当时， ，要证 时， ， 可得当时左端应在的基础上加上的项为 . 33 4.用数学归纳法证明“ ”， 第一步应验证的等式是_________，从“”到“ ”左边需增加的代数式是 _ _______________. 【解析】当时，,因此第一步应验证的等式为 . 当时，左边 ; 当时，左边 .因此从“ ”到“”左边需增加的代数式是 . 34 5.用数学归纳法证明： ． 【答案】①当时，左边，右边，左边 右边， 等式成立. ②假设当 时命题成立，即 ，则当时，左边 右边， 当 时，等式成立. 由①②知， 命题成立． 35 6.用数学归纳法证明：，且 . 【答案】（1）当时，左边 ，不等式成立. （2）假设当,且时，不等式成立，即 ,则 当 时， , 所以当 时，不等式成立. 根据（1）和（2），可知对任意,且， 成立. 36 7.已知数列中，， ． （1）求，，， ； 【答案】，， ， ． （2）猜想数列 的通项公式，并用数学归纳法加以证明． 【答案】猜想： .证明如下. 当时， ，猜想成立． 假设当时,猜想成立，即 ， 则当时， ， 故当 时，猜想成立． 综上可知，对任意, ． 37 8.已知，用数学归纳法证明 能被36整除. 【答案】（1）当时， ,能被36整除. （2）假设当时， 能被36整除， 则当 时， . 则当时，,能被36整除，当时，由于 是2的倍数， 故能被36整除，所以当时， 也能被36整除. 根据（1）和（2），可知对任何，都有 能被36整除. 38 9.设实数，整数， . （1）证明：当且时， . 【答案】用数学归纳法证明如下. ①当时， ，不等式成立. ②假设时，不等式 成立. 那么，当 时， . 所以当 时，不等式也成立. 根据①②可得，当且时，对一切整数，不等式 均成立. 39 （2）数列满足，.证明: . 【答案】先用数学归纳法证明： . ①当时， 成立. ②假设时，不等式 成立. 由,知 . 当时， . 由,得,,故 . 由（1）中的结论得 . 40 因此,即 . 所以当时，不等式 也成立. 根据①②可得，对一切正整数,不等式 均成立. 再由可得,即 . 综上所述， . $