第2章 圆与方程 本章总结提升(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册配套课件（苏教版）

该高中数学单元复习课件系统梳理了圆的方程、直线与圆及圆与圆的位置关系、综合运用和实际应用，通过知识网络将圆的标准方程与一般方程、位置关系的判定及应用等核心内容串联，帮助学生构建完整的圆与方程知识体系。 其亮点在于采用“题型分类-例题解析-变式训练”的复习模式，如通过对称圆方程求解培养数学抽象能力，结合军事演习船只航行问题发展数学建模意识，分层设计的多选题和综合题满足不同学生需求。这种设计能有效巩固知识，帮助教师精准开展复习教学。

本章总结提升 1 题型一 求圆的方程 题型二 直线与圆的位置关系 题型三 圆与圆的位置关系 题型四 直线与圆、圆与圆的综合运用 题型五 圆的实际应用 2 知 识 网 络 3 题型一 求圆的方程 ［类型总述］（1）圆的标准方程;（2）圆的一般方程. 例1（1）［2025·江苏泰州高二期中］已知圆 与圆 关于直线 对称，则圆 的方程为( ) A. B. C. D. √ 素 养 提 升 4 [解析] 由，得 ， 设圆的圆心为，因为圆与圆关于直线 对 称，即圆心与关于直线 对称，所以 解得 所以圆的方程为 . 素 养 提 升 5 （2）过，两点，且与直线 相切的圆的方程可 以是( ) A. B. C. D. √ 素 养 提 升 6 [解析] 因为，，所以线段 的垂直平分线所在直线的 方程为，设圆心为，则圆的半径 ， 又因为，所以 ，整 理可得，解得或. 当 时，，此时圆的方程为； 当 时，,此时圆的方程为 . 综上所述，满足条件的圆的方程为 或 .故选C. 素 养 提 升 7 变式（1）若圆心为的圆与直线 相切，则该圆的 标准方程为( ) A. B. C. D. [解析] 因为圆心为的圆与直线 相切，所以圆心 到直线的距离等于半径，即 ，所以该圆的标准方 程是 .故选A. √ 素 养 提 升 8 （2）过点,，且圆心在直线 上的圆的标 准方程为( ) A. B. C. D. [解析] 设所求圆的圆心为，由圆过点， ， 可得 ，即 ，解得 ， 可得圆心坐标为 ，半径为5，则所求圆的方程为 .故选D. √ 素 养 提 升 9 （3）［2025·山东菏泽一中高二期中］已知圆经过点 ，且圆 心在直线 上运动，则当圆的半径最小时，圆的标准方程为 _ ___________________. [解析] 设圆心坐标为 ，则半径 ，故当时，取得最小值 ， 此时圆心坐标为 ，故当半径最小时，圆的方程为 . 素 养 提 升 10 题型二 直线与圆的位置关系 ［类型总述］（1）直线与圆相交问题;（2）直线与圆相切问题. 例2（1）（多选题）［2025·江苏镇江实验中学高二期末］ 已知圆 ,是直线上一动点，过点作直线 , 分别与圆相切于点, ，则下列说法正确的为( ) A.圆上恰有一个点到的距离为 B.直线恒过点 C.的最小值是 D.四边形面积的最小值为 √ √ √ 素 养 提 升 11 [解析] 易知圆的圆心为，半径. 对于A，圆心 到直线的距离，可得圆 上的点到直线 距离的最小值为,圆上的点到直线距离的最 大值为 ，因为，所以圆上恰有两个 点到 的距离为，故A错误. 对于B，设,, ,可得,， 易知 , ，由 ，整理得. 素 养 提 升 12 上， 所以直线的方程为 ，即 ，令解得 所以直线恒过定点，故B正确. 对于C，由直线 恒过定点可知，当点与圆心的连线 垂直于时， 取得最小值，易知点与圆心之间的距离 ，所以，故C正确. 素 养 提 升 ， 因为，所以当 取得最小值时， 也取得最小值，易知 ，所以， 故四边形的面积的最小值为 ，故D正确. 故选 . 素 养 提 升 （2）［2023· 新课标Ⅰ卷］过点与圆 相 切的两条直线的夹角为 ，则 ( ) A.1 B. C. D. [解析] 由可得 ，可得圆心坐 标为，半径. 又点到圆心的距离 ， 所以， ，故 . √ 素 养 提 升 15 变式（1）［2024·全国甲卷］直线 与圆 交于，两点，则 ( ) A. B. C.5 D.10 [解析] 圆 的标准方程为 ,则圆心为 ，半径为5,显然直线 过圆心，所以 ，故选D. √ 素 养 提 升 16 （2）（多选题）［2025·福建泉州一中高二期末］ 已知直线 与圆 ，则下列说法正确 的是( ) A.直线过定点 B.直线与圆 相离 C.圆心到直线距离的最大值是 D.直线被圆 截得的弦长最小值为4 √ √ 素 养 提 升 17 [解析] 对于A，，即 ，令 ，得，此时，所以直线过定点 ,故A正确； 对于B，因为，所以定点 在圆 内，所以直线与圆 相交，故B错误； 对于C，由，得 ，则该圆的圆心为 ，当圆心与定点的连线垂直于直线时，圆心到直线 的距离取得最大值，最大值为 ，故C错误； 对于D，由弦长可知，当圆心到直线 的距离最大 时，弦长取得最小值，所以直线被圆 截得的弦长的最小值为 ，故D正确. 故选 . 素 养 提 升 18 题型三 圆与圆的位置关系 ［类型总述］（1）圆与圆相交；（2）圆与圆相切；（3）圆与圆相 离；（4）垂径定理. 素 养 提 升 19 例3 （多选题）［2025·江苏如皋中学高二期末］ 已知圆 ，圆,, 分别是 圆与圆 上的动点，则下列说法正确的为( ) A.若圆与圆无公共点，则 B.当时，两圆公共弦所在直线方程为 C.当时，的取值范围为 D.当时，过点作圆的两条切线，切点分别为,，则 不可能等于 √ √ 素 养 提 升 20 [解析] 易知圆的圆心为，半径 ；圆 的圆心为，半径为 . 对于A，因为圆与圆无公共点，所以或 ， 可得或，可得或 ，故A错误； 对于B，当 时，公共弦所在直线的方程为 ，整理可得 ，故B正确； 对于C，当 时，可知两圆外离，则， 即的取值范围为 ,故C正确； 素 养 提 升 21 对于D，若，则易知四边形 为正方形，则可得 ，又，即 的取值范围为 ，且，所以存在点满足 ，即D错误. 故选 . 素 养 提 升 22 变式 （多选题）［2025·安徽安庆一中月考］ 已知圆 与圆 相 交于， 两点，则下列说法正确的为( ) A.线段所在直线的方程为 B.公共弦的长为 C.圆与圆的公切线长为 D.线段的中垂线方程为 √ √ √ 素 养 提 升 23 [解析] 由，得 ， 则圆的圆心为，半径.由 ， 得，则圆的圆心为，半径 . 对于A，公共弦 所在直线的方程为 ，即 ，故A正确； 对于B，到直线 的距离，所以公共弦 的长 为 ，故B错误； 素 养 提 升 24 ，，， 所以圆 与圆的公切线长为 ， 故C正确； 对于D，根据题意可知，线段的中垂线就是直线 ，因为 ，所以直线的方程为 ，即 ，故D正确. 故选 . 素 养 提 升 题型四 直线与圆、圆与圆的综合运用 ［类型总述］ 直线与圆、圆与圆位置关系的综合问题研究. 例4 ［2025·江苏南师附中高二期中］已知圆 ，圆 ， 过点作圆的切线，切点为（ 在第二象限）， 如图. 素 养 提 升 26 （1）求 的正弦值. 解:连接，因为与圆相切于点 ，所以 . 又， ， 所以在中， . 素 养 提 升 27 （2）已知点，过点 分别作两圆的切线， 若切线长相等，求, 关系. 解:过点 作两圆的切线，因为切线长相 等，所以 ，整 理得，故, 的关系为 . 素 养 提 升 28 （3）是否存在定点，使过点有无数对相互垂直的直线, 满足，且它们分别被圆、圆 所截得的弦长相等？若存在， 求出所有的点 ；若不存在，请说明理由. 素 养 提 升 29 解:设的斜率为，且 ， 则的方程为, 的方程为 . 因为它们分别被圆、圆 所截得的弦长相等且 两圆半径相等，所以到直线的距离等于 到 直线的距离，故 对任意 ,且恒成立，即 对任意 ,且 恒成立， 素 养 提 升 30 所以对任意且 恒成立, 故解得 或故满足题意的点 存在且其坐标为 或 . 素 养 提 升 变式 ［2025·江苏淮阴高二期中］ 已知圆 的方程为 ，直线的方程为，点在直线上，过 作圆的切线，，切点分别为， . （1）若点的坐标为，求 . 解:因为点的坐标为，所以 ， 又因为，所以 ,故 . 素 养 提 升 32 （2）经过，，三点的圆是否经过异于点 的定点？若经过，求 出定点坐标；若不经过，请说明理由. 解:设,则线段的中点为 ， 因为为圆 的切线， 所以经过，，三点的圆是以为圆心， 为半径的圆， 变式 ［2025·江苏淮阴高二期中］ 已知圆 的方程为 ，直线的方程为，点在直线上，过 作圆的切线，，切点分别为， . 素 养 提 升 33 故其方程为 ，化简得 ， 由解得（舍）或 所以经过，，三点的圆经过异于点的定点 . 素 养 提 升 34 题型五 圆的实际应用 例5 在一次重大军事联合演习中,以点 为中心的5海里以内海域被设 为警戒区域,任何船只不得经过该区域.已知点的正北方向 海里 处有一个雷达观测站,某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点 的北偏东 方向,且与点相距100海里的位置 ,经过4小时又测得 该船已行驶到位于点的北偏东 方向,且与点相距 海里的 位置 . 素 养 提 升 35 （1）求该船的行驶速度（单位:海里/时）. 解:设一个单位长度为10海里,以 为坐标原点,以正东、正北方向分别 为, 轴的正方向建立平面直角坐标系, 则在平面直角坐标系中,,, ,且 , , 则,,, , 所以 , 所以,两地间的距离为 海里, 所以该船的行驶速度为 （海里/时）. 素 养 提 升 36 （2）该船能否不改变方向继续直线航行?请说明理由. 解:直线的斜率为 , 所以直线的方程为,即 , 所以点到直线的距离为 , 所以直线会与以为圆心,以 为半径的圆相交,因此该船应改变航 行方向,否则会进入警戒区域. 素 养 提 升 37 变式 （多选题）［2025·江苏启东实验中学高二期 末］ 如图，是连接河岸与 的一座古桥， 因保护古迹与发展的需要，现规划建一座新桥 ， 同时设立一个圆形保护区.规划要求： ①新桥与河岸 垂直； ②保护区的边界为一个圆，该圆与相切，且圆心在线段 上； ③古桥两端和到该圆上任意一点的距离均不少于 . 经测量，点，分别位于点正北方向、正东方向 处， ，则下列结论正确的是( ) A.新桥的长为 B.圆心可以在点 处 C.圆心到点的距离至多为 D.当长为 时，圆形保护区的面积最大 √ √ 素 养 提 升 38 [解析] 如图，分别以,所在直线为, 轴建立平面 直角坐标系，则， ，依题意得，直线 的斜率，则直线 方程为 ，直线的斜率 ， 则直线方程为，由 解得 即 ，故 ，A正确. 素 养 提 升 39 ，直线 的一般方程为，圆的半径 ，显然 由，得 ，则 解得，即，B错误，C正确； 当，即 长为时，圆的半径 最大，圆形保护区的面积 最大，D错误. 故选 . 素 养 提 升 $