精品解析：广东深圳市南方科技大学附属中学2024-2025学年高三下学期第二次模拟考试数学试卷

2025年南科大附中高三年级第二次模拟考试 数学 （本试卷共6页，满分150分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场和座位号填写在答题卡上.将条形码粘贴在答题卡左上角“条形码粘贴处”. 2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效. 3．考试结束后，请将试卷妥善保管，答题卡统一交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数在复平面内对应的点位于第二象限，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】设（，），然后由复数除法运算得，结合复数的几何意义，即可求解. 【详解】设（，），则 . 因为，，所以在复平面内对应的点位于第三象限. 故选：C 2. 已知4个不全相等的正整数的平均数与中位数都是2，则这组数据的极差为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】利用平均数求得四个数总和，结合中位数得到中间两数之和，再依据正整数和不全相等的约束计算极差． 【详解】设4个不全相等的正整数为，不妨设，其中， 由平均数为2，得，即 由中位数为2，得，即， 所以，由于是正整数，故， 所以， 若，则，结合，得，四个数全相等，与题设矛盾， 所以，，所以极差为． 3. 在中，角A，B，C的对边a，b，c成公差为2的等差数列，若，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】使用余弦定理解出角，使用三角形的面积公式求解. 【详解】因为a，b，c成公差为2的等差数列，所以， ，即，解得， 由余弦定理可得，因为，所以， 所以的面积为：. 4. 若是偶函数，则（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据偶函数定义，列式运算得解. 【详解】由题，可得，即， ， ，即 因不恒为0，故. 故选：B. 5. 函数在上的零点个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】先结合“勾函数”的性质求出的取值范围，再结合正弦函数的图象求零点个数. 【详解】令函数，根据“勾函数”的性质可知：函数在上单调递减，在上单调递增， 且，. 所以当时，， 由，. 只有当时，的值分别对应. 又因为在上各有2个解， 所以在上有6个零点. 故选：C 6. 高考入场安检时，某学校在校门口并排设立三个检测点，进入考场的学生只需要在任意一个检测点安检即可进入．现有三男三女六位学生需要安检，则每个检测点通过的男生和女生人数相等的可能情况有（ ） A. 66种 B. 93种 C. 195种 D. 273种 【答案】B 【解析】 【分析】分①每个检测点均为一男一女通过、②三个检测点中，一个检测点通过0人，一个检测点通过一男一女，一个检测点通过两男两女、③六人均在同一个检测点通过三种情况进行讨论求解即可. 【详解】①每个检测点均为一男一女通过，共有种不同的结果； ②三个检测点中，一个检测点通过0人，一个检测点通过一男一女，一个检测点通过两男两女，共有种不同的结果； ③六人均在同一个检测点通过，共有种不同的结果. 则每个检测点通过的男学生人数与女学生人数均相等的情况有种. 故选：B. 7. 若函数在上恰有两个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简，结合的范围，求在轴右侧的相邻三根，根据题意可得的不等关系，求解的范围，从而求出的范围，根据正弦函数的单调性即可求出结果. 【详解】， 令得：， 因为，所以， 则在轴右侧方程的相邻三根依次为，解得， 由题意可知，即， 故得，即的取值范围是. 故选：B. 8. 若不等式（是自然对数的底数）对任意恒成立，则当取最大值时，实数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得，则分和两种情况讨论，当时，将条件转化为研究函数的图象是否在的图象的上方恒成立问题；当时，令，求导，从而根据单调性，及零点存在性定理得到，且，进而得解． 【详解】由题意可知，当时，研究函数与的图象， 因为，当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 所以当时，函数取得最小值，则最小值为， 又时，；时，， 而在上单调递减， 所以函数与的图象大致如下， 数形结合得函数的图象在的图象的上方不恒成立， 所以不恒成立，不符合题意； 当时，令，则， 令，则， 当时，，则在上单调递减，即在上单调递减； 当时，，则在上单调递增，即在上单调递增， 由时，，，，时，， 所以存在唯一，使得，即， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增， 所以， 又恒成立，即， 所以，当且仅当时取等号， 所以当时，取最大值，此时． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，是不共线的单位向量，其夹角为，则下列说法正确的是（ ） A. 存在，使得 B. 存在，使得 C. 存在，使得 D. 存在，使得 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用向量平行的条件对比系数发现矛盾判断A，利用向量垂直的条件求解参数判断B，利用特值法求解C，D即可. 【详解】对于A，若，则， 得到，对照系数得，，显然不成立，故A错误， 对于B，若，则，得到， 即，而，是不共线的单位向量， 故，得到，解得，故B正确， 对于C，当时，，， 显然满足，故C正确， 对于D，当时，，， 则，故D正确. 故选：BCD. 10. 如图所示，正方体棱长为2，正方形内（不含边界）一动点P在运动过程中始终满足．下列说法中正确的为（ ） A. 存在点P使得 B. 直线与点P的轨迹有公共点 C. 点P运动轨迹长为 D. 三棱锥P-BCD体积最大值为8 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意，由正弦定理结合轨迹方程即可判断AB，然后根据三棱锥体积公式以及点的运动轨迹，即可判断CD； 【详解】 由题意：，且，如图建系，设，， 所以，所以，， 所以，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆在正方形内部的弧， 且，点到该直线的距离为， 所以与圆无公共点，B错误； 若，设，所以，所以， 所以，即，联立，解得， 所以点满足条件，所以A正确； 若最大，则到距离最大，即为与圆的交点处，但不在正方形边界上，所以最大值取不到，故D错误； 令，得到点，又因为，所以，所以为等边三角形，所以， 因为为点的运动轨迹，所以，故C正确. 故选：AC 11. 函数的图象类似于汉字“囧”字，被称为“囧函数”，并把其与y轴的交点关于原点的对称点称为“囧点”，以“囧点”为圆心，凡是与“囧函数”有公共点的圆，皆称之为“囧圆”，则当，时，下列结论正确的是( ) A. 函数的图象关于直线对称 B. 当时，的最大值为－1 C. 函数的“囧点”与函数图象上的点的最短距离为 D. 函数的所有“囧圆”中，面积的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】A．根据函数是偶函数，进行判断即可． B．判断当时，函数的单调性即可． C．求函数的导数，利用导数的几何意义进行求解． D．利用两点间的距离公式进行判断求解． 【详解】当，时，函数. A．f(x)的定义域为，，且为偶函数，则函数关于对称，故A错误； B．其图象如图所示，当，为减函数，则当时，最大为，故B正确； C．当时，，即函数图象与轴的交点为，其关于原点的对称点为， 所以“囧点”为， 设，则，设切点为，， 切线的斜率， 当“囧点”与切点的连线垂直切线时，距离最短， ， 解得， 切点坐标为， 故函数的“囧点”与函数图象上的点的最短距离是，故C正确， D．“囧圆”的圆心为．要求“囧圆”的面积最小，则只需考虑轴及轴右侧的函数图象．当圆过点时，其半径为2，这是和轴下方的函数图象有公共点的所有“囧圆”中半径的最小值； 当圆和轴上方且轴右侧的函数图象有公共点时，设（其中， 则点到圆心的距离的平方为， 令，，则， 再令，（其中， 则， 所以当圆和轴上方且轴右侧的函数图象有公共点时，最小半径为． 又， 综上可知，在所有的“囧圆”中，半径的最小值为． 故所有的“囧圆”中，圆的面积的最小值为，故D正确， 故选：BCD． 【点睛】 本题主要考查抽象函数及其应用，其中根据“囧圆”的圆心坐标及“囧函数”的解析式，利用函数的奇偶性，单调性以及数形结合是解决本题的关键． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，，则集合的真子集个数为______. 【答案】7 【解析】 【分析】由，即为奇数，求得集合，即可得真子集的个数. 【详解】∵，∴为奇数，∴，∴集合中有3个元素，∴集合的真子集个数为：. 故答案为：7. 13. 设，分别是双曲线：的左、右焦点，为坐标原点，点在双曲线的渐近线上，，则的离心率为______. 【答案】## 【解析】 【分析】设，根据，结合余弦定理求得，进而求出，可得得解. 【详解】设， 由，则， ，解得， 在中，由余弦定理得， ，即， . 故答案为：. 14. 以间的整数为分子，以为分母组成分数集合，其所有元素和为；以间的整数为分子，以为分母组成不属于集合的分数集合，其所有元素和为，依次类推以间的整数为分子，以为分母组成不属于的分数集合，其所有元素和为；则__________. 【答案】 【解析】 【分析】先得出的规律，再根据等差数列的和求解. 【详解】由题意 【点睛】方法点睛：非常见数列的求和的突破在于找到规律，由特殊到一般是找规律的常用方法． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前项和满足为常数，且. （1）求的值； （2）证明：为等差数列； （3）若，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 由（1）可得，所以， 因此， 相减得， 得， 所以为等差数列. （3） 【解析】 【分析】（1）由关系式取可得，结合及条件求； （2）将关系式中的用替换，与原式相减，结合与关系可得递推式，再证明结论； （3）由（2）求，代入不等式可得恒成立，由此可求的取值范围. 【小问1详解】 因为， 所以，又， 所以. 又，所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）得， 由，得. 因为对恒成立， 所以. 16. 如图，在三棱锥中，，，，，、分别为、中点． （1）证明：平面与平面的交线平面； （2）若，二面角的正切值为，求的长． 【答案】（1）因为分别是的中点，所以， 因为平面，平面，则平面， 又因为平面，而平面平面，所以， 而平面，平面，所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定和性质定理即可证明； （2）延长，过作于点，连接，线线垂直，线面垂直的性质得出为二面角的平面角，且证明，设，再根据条件及三角形的性质得到，进而根据勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 延长，过作于点，连接，过作于点， 由， ，则 ， 又面，且，则面， 又平面，则， 所以为二面角的平面角， 又，，，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 设，又二面角的正切值为，则，得， 在中，，  则为等腰直角三角形， 又分别是的中点，则，所以， 在中，，代入得，解得． 所以. 17. 向“新”而行，向“新”而进，新质生产力能够更好地推动高质量发展.如人工智能中的大语言模型DeepSeek（以下简称DeepSeek）.为调查DeepSeek的应用是否会对相关从业人员的数量产生影响，某学校研究小组随机抽取了150名视频从业人员进行调查，结果如下表所示： DeepSeek的应用情况 相关从业人员 合计 减少 未减少 应用 54 72 没有应用 42 合计 90 150 （1）根据所给数据完成上表，并判断是否有95%的把握认为的应用与相关从业人员的减少有关？ （2）某公司视频部现有员工100人，公司拟开展DeepSeek培训，分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮相互独立，有二轮及以上获得“优秀”的员工才能应用DeepSeek. （ⅰ）求员工经过培训能应用DeepSeek的概率. （ⅱ）已知开展DeepSeek培训前，员工每人每年平均为公司创造利润6万元；开展DeepSeek培训后，能应用DeepSeek的员工每人每年平均为公司创造利润10万元；DeepSeek培训平均每人每年成本为1万元.根据公司发展需要，计划先将视频部的部分员工随机调至其他部门，然后剩余员工开展DeepSeek培训，现要求培训后视频部的年利润不低于员工调整前的年利润，则视频部最多可以调多少人到其他部门？ 附：其中，） 【答案】（1） DeepSeek的应用情况 视频从业人员 合计 减少 未减少 应用 没有应用 合计 ，有的把握认为的应用与视频从业人员的减少有关 （2）（i）；（ii）人 【解析】 【分析】（1）分析数据关系，完善列联表，提出零假设，计算，比较其与临界值大小，判断结论； （2）（i）设“员工第轮获得优秀”， “员工经过培训能应用”，则，结合互斥事件概率加法公式，独立事件概率乘法公式求结论； （ii）设视频部调人至其他部门，为培训后视频部能应用的人数，则，由条件列不等式可求结论. 【小问1详解】 依题意，列联表如下： DeepSeek的应用情况 视频从业人员 合计 减少 未减少 应用 没有应用 合计 零假设为：的应用与视频从业人员的减少独立，的应用前后视频从业人员无差异， 由列联表中数据得，. 根据小概率值的的独立性检验，推断不成立， 所以有的把握认为的应用与视频从业人员的减少有关. 【小问2详解】 （i）设“员工第轮获得优秀”，且相互独立. 设“员工经过培训能应用”，则 ， 所以员工经过培训能应用的概率是. （ii）设视频部调人至其他部门，为培训后视频部能应用的人数， 则，因此， 调整后视频部的年利润为 （万元）， 令，解得，又，所以. 所以视频部最多可以调人到其他部门. 18. 已知，函数在处取得极值． （1）求a； （2）证明：对任意的m，，都有； （3）若存在实数，使得成立，求k的最小整数值． 【答案】（1） （2） 对任意的m，，设，则， 由（1）知，则在上单调递增， 所以当时，，即，所以在上单调递增， 因为，所以，即， 故． （3）5． 【解析】 【分析】（1）先求导，由在处取得极值，得解出验证即可； （2）设，验证的单调递增，即有，即可得证； （3）存在实数，使得成立，即成立．构造函数，即求即可. 【小问1详解】 ， 因为在处取得极值， 所以，所以， 解得． 经验证当时，在处取得极小值，符合题意， 故． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 存在实数，使得成立，即成立． 令，，则，， 令，则在上恒成立， 故在上单调递增． 又，， 故存在唯一的，使得，即． 当时，，即，当时，，即， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故， 故，结合，得， 故k的最小整数值为5． 19. 已知椭圆的短轴长为2，且过点，设点为椭圆在第一象限内一点． （1）求椭圆方程； （2）设椭圆的左顶点为A，下顶点为，线段交轴于点，线段交轴于点，若的面积是的6倍，求点的坐标； （3）点关于原点的对称点为，点，点为中点，的延长线交椭圆于点S，当最大时，求直线方程． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意列出方程组求出得解； （2）根据三角形面积公式及面积比，利用相似转化为关于点的坐标的方程，求解即可； （3）利用直线斜率之积为常数，转化为斜率之间的关系，再由两角差的正切公式及基本不等式求解即可． 【小问1详解】 由题意，，则， 椭圆方程为： 【小问2详解】 如图， 设，则， 对，令， 所以由相似三角形可得：， 所以， 又因为，所以，， 解得或，所以对应的分别为或， 所以或． 【小问3详解】 设， 则， 则． 又因为， 所以，则， 设，直线倾斜角为，直线倾斜角为， 所以， 则， 因为，所以，此时， 所以直线方程为． 【点睛】关键点点睛：第二问关键将三角形面积比，利用相似转化为关于点的坐标的方程，求解即可；第三问关键是将最大问题转化为正切值的最值，结合基本不等式计算.综合性较强，属于中难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年南科大附中高三年级第二次模拟考试 数学 （本试卷共6页，满分150分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场和座位号填写在答题卡上.将条形码粘贴在答题卡左上角“条形码粘贴处”. 2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效. 3．考试结束后，请将试卷妥善保管，答题卡统一交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数在复平面内对应的点位于第二象限，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知4个不全相等的正整数的平均数与中位数都是2，则这组数据的极差为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 在中，角A，B，C的对边a，b，c成公差为2的等差数列，若，则的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 若是偶函数，则（ ） A. 0 B. C. D. 5. 函数在上的零点个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 6. 高考入场安检时，某学校在校门口并排设立三个检测点，进入考场的学生只需要在任意一个检测点安检即可进入．现有三男三女六位学生需要安检，则每个检测点通过的男生和女生人数相等的可能情况有（ ） A. 66种 B. 93种 C. 195种 D. 273种 7. 若函数在上恰有两个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若不等式（是自然对数的底数）对任意恒成立，则当取最大值时，实数（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，是不共线的单位向量，其夹角为，则下列说法正确的是（ ） A. 存在，使得 B. 存在，使得 C. 存在，使得 D. 存在，使得 10. 如图所示，正方体棱长为2，正方形内（不含边界）一动点P在运动过程中始终满足．下列说法中正确的为（ ） A. 存在点P使得 B. 直线与点P的轨迹有公共点 C. 点P运动轨迹长为 D. 三棱锥P-BCD体积最大值为8 11. 函数的图象类似于汉字“囧”字，被称为“囧函数”，并把其与y轴的交点关于原点的对称点称为“囧点”，以“囧点”为圆心，凡是与“囧函数”有公共点的圆，皆称之为“囧圆”，则当，时，下列结论正确的是( ) A. 函数的图象关于直线对称 B. 当时，的最大值为－1 C. 函数的“囧点”与函数图象上的点的最短距离为 D. 函数的所有“囧圆”中，面积的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，，则集合的真子集个数为______. 13. 设，分别是双曲线：的左、右焦点，为坐标原点，点在双曲线的渐近线上，，则的离心率为______. 14. 以间的整数为分子，以为分母组成分数集合，其所有元素和为；以间的整数为分子，以为分母组成不属于集合的分数集合，其所有元素和为，依次类推以间的整数为分子，以为分母组成不属于的分数集合，其所有元素和为；则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前项和满足为常数，且. （1）求的值； （2）证明：为等差数列； （3）若，求的取值范围. 16. 如图，在三棱锥中，，，，，、分别为、中点． （1）证明：平面与平面的交线平面； （2）若，二面角的正切值为，求的长． 17. 向“新”而行，向“新”而进，新质生产力能够更好地推动高质量发展.如人工智能中的大语言模型DeepSeek（以下简称DeepSeek）.为调查DeepSeek的应用是否会对相关从业人员的数量产生影响，某学校研究小组随机抽取了150名视频从业人员进行调查，结果如下表所示： DeepSeek的应用情况 相关从业人员 合计 减少 未减少 应用 54 72 没有应用 42 合计 90 150 （1）根据所给数据完成上表，并判断是否有95%的把握认为的应用与相关从业人员的减少有关？ （2）某公司视频部现有员工100人，公司拟开展DeepSeek培训，分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮相互独立，有二轮及以上获得“优秀”的员工才能应用DeepSeek. （ⅰ）求员工经过培训能应用DeepSeek的概率. （ⅱ）已知开展DeepSeek培训前，员工每人每年平均为公司创造利润6万元；开展DeepSeek培训后，能应用DeepSeek的员工每人每年平均为公司创造利润10万元；DeepSeek培训平均每人每年成本为1万元.根据公司发展需要，计划先将视频部的部分员工随机调至其他部门，然后剩余员工开展DeepSeek培训，现要求培训后视频部的年利润不低于员工调整前的年利润，则视频部最多可以调多少人到其他部门？ 附：其中，） 18. 已知，函数在处取得极值． （1）求a； （2）证明：对任意的m，，都有； （3）若存在实数，使得成立，求k的最小整数值． 19. 已知椭圆的短轴长为2，且过点，设点为椭圆在第一象限内一点． （1）求椭圆方程； （2）设椭圆的左顶点为A，下顶点为，线段交轴于点，线段交轴于点，若的面积是的6倍，求点的坐标； （3）点关于原点的对称点为，点，点为中点，的延长线交椭圆于点S，当最大时，求直线方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $