精品解析：广东省深圳市福田某校2025届高三五模数学试题

2024～2025学年度第二学期高三年级考试 数学学科试题 答题注意事项： 1．本试卷满分150分；考试用时120分钟． 2．本试卷分二卷，不按要求答卷不得分． 一、单选题 1. 若，则（ ） A. B. C. 10 D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合共轭复数与复数的基本运算直接求解. 【详解】由，则. 故选：A 2. 设全集,集合，（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出． 【详解】因为整数集，，所以，． 故选：A． 3. 已知向量与的夹角为，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平面向量数量积的运算性质可得出关于的方程，解之即可. 【详解】因为向量与的夹角为，，， 所以，，即， 整理可得，解得（负值已舍去）. 故选：C. 4. 下列函数中，在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可. 【详解】对于A，因为在上单调递增，所以在上单调递减，故A错误； 对于B，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，故B错误； 对于C，因为在上单调递减，在上单调递减， 所以在上单调递增，故C正确； 对于D，因为，， 显然在上不单调，D错误. 故选：C. 5. 函数的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平方关系结合二倍角的正弦公式及降幂公式化简，再根据余弦函数的周期性即可得解. 【详解】解： ， 因为函数的最小正周期. 故选：B. 6. 若，则（ ） A. 64 B. C. 16 D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接由二项式定理计算即可. 【详解】因为展开式的通项为， 所以. 故选：A. 7. 在正方体中，E，F分别为的中点，则（ ） A. 平面平面 B. 平面平面 C. 平面平面 D. 平面平面 【答案】A 【解析】 【分析】证明平面，即可判断A；如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，设，分别求出平面，，的法向量，根据法向量的位置关系，即可判断BCD. 【详解】解：在正方体中， 且平面， 又平面，所以， 因为分别为的中点， 所以，所以， 又， 所以平面， 又平面， 所以平面平面，故A正确； 选项BCD解法一： 如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，设， 则， ， 则，， 设平面的法向量为， 则有，可取， 同理可得平面的法向量为， 平面的法向量为， 平面的法向量为， 则， 所以平面与平面不垂直，故B错误； 因为与不平行， 所以平面与平面不平行，故C错误； 因为与不平行， 所以平面与平面不平行，故D错误， 故选：A. 选项BCD解法二： 解：对于选项B，如图所示，设，，则为平面与平面的交线， 在内，作于点，在内，作，交于点，连结， 则或其补角为平面与平面所成二面角的平面角， 由勾股定理可知：，， 底面正方形中，为中点，则， 由勾股定理可得， 从而有：， 据此可得，即， 据此可得平面平面不成立，选项B错误； 对于选项C，取的中点，则， 由于与平面相交，故平面平面不成立，选项C错误； 对于选项D，取的中点，很明显四边形为平行四边形，则， 由于与平面相交，故平面平面不成立，选项D错误； 故选：A. 8. 是定义在上的非负可导函数，且满足．对任意正数a，b，若，则必有（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，再分类讨论即可求解. 【详解】解：令，， 所以在上为常函数或递减, 若在上为单调递减，所以， 即①，② ①②两式相乘得： 所以， 若在上为常函数，且，则， 即③，④， ③④两式相乘得： 所以， 综上所述， 故选：A 二、多选题 9. 有一组样本数据，，…，，由这组数据得到新样本数据，，…，，其中(为非零常数，则（ ） A. 两组样本数据的样本平均数相同 B. 两组样本数据的样本中位数相同 C. 两组样本数据的样本标准差相同 D. 两组样本数据的样本极差相同 【答案】CD 【解析】 【分析】A、C利用两组数据的线性关系有、，即可判断正误；根据中位数、极差的定义，结合已知线性关系可判断B、D的正误. 【详解】A：且，故平均数不相同，错误； B：若第一组中位数为，则第二组的中位数为，显然不相同，错误； C：，故方差相同，正确； D：由极差的定义知：若第一组的极差为，则第二组的极差为，故极差相同，正确； 故选：CD 10. 若函数既有极大值也有极小值，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】求出函数的导数，由已知可得在上有两个变号零点，转化为一元二次方程有两个不等的正根判断作答. 【详解】函数的定义域为，求导得， 因为函数既有极大值也有极小值，则函数在上有两个变号零点，而， 因此方程有两个不等的正根， 于是，即有，，，显然，即，A错误，BCD正确. 故选：BCD 11. 已知函数的图像关于点中心对称，则（ ） A. 在区间单调递减 B. 在区间有两个极值点 C. 直线是曲线的对称轴 D. 直线是曲线的切线 【答案】AD 【解析】 【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出． 【详解】由题意得：，所以，， 即， 又，所以时，，故． 对A，当时，，由正弦函数图象知在上是单调递减； 对B，当时，，由正弦函数图象知只有1个极值点，由，解得，即为函数的唯一极值点； 对C，当时，，，直线不是对称轴； 对D，由得：， 解得或, 从而得：或, 所以函数在点处的切线斜率为， 切线方程为：即． 故选：AD． 三、填空题 12. 已知圆的圆心与抛物线的焦点重合，且两曲线在第一象限的交点为，则原点到直线的距离为______． 【答案】## 【解析】 【分析】先求出圆心坐标，从而可求焦准距，再联立圆和抛物线方程，求及的方程，从而可求原点到直线的距离. 【详解】圆的圆心为，故即， 由可得，故或（舍）， 故，故直线即， 故原点到直线的距离为， 故答案为： 13. 直线是曲线的一条切线，则实数___________． 【答案】 【解析】 【详解】本小题考查导数的几何意义、切线的求法．，令得，故切点为，代入直线方程，得，所以． 14. 已知数列，满足，，则的通项． 【答案】 【解析】 【分析】已知和的形式求，用作差法得出递推公式，用累乘法得到的通项公式. 【详解】当时，有 两式作差可得， 即 则 两边同时相乘可得，， 整理，得 当时，可化为 所以.显然，时，满足，时，不满足 所以 故答案为：. 四、解答题 15. 记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， （1）求B； （2）若的面积为，求c． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出，最后结合已知得的值即可； （2）首先求出，然后由正弦定理可将均用含有的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解. 【小问1详解】 由余弦定理有，对比已知， 可得， 因为，所以， 从而， 又因为，即， 注意到， 所以. 【小问2详解】 由（1）可得，，，从而，， 而， 由正弦定理有， 从而， 由三角形面积公式可知，的面积可表示为 ， 由已知的面积为，可得， 所以. 16. （1）计算：． （2）利用0，1，2，4，5，7这六个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数有多少个？ （3）甲乙丙丁戊五个同学，分配到三个城市参加活动，每个城市至少去一人，共有多少种不同分配方法？ 【答案】（1）35；（2）48；（3）150 【解析】 【分析】（1）根据组合数的性质求解即可； （2）分不选0和选0两种情况，结合分类加法和分步乘法原理求解； （3）把5人按1，1，3或2，2，1分组，再把每一种分组方法安排到三个城市即可求解. 【详解】（1）； （2）不选0时，先从1，5，7中选一个数放在个位， 然后剩下的4个数中选2个排在十位和百位，则有个奇数； 选0时，先把0放在十位，然后从1，5，7中选一个数放在个位， 再从剩下的4个数中选1个放百位，则有个奇数； 所以共有个奇数； （3）由题意，先把5人按1，1，3分组，有种分组方法， 按2，2，1分组，有种分组方法，因此不同分组方法数为， 再把每一种分组安排到三个城市，有种方法， 所以不同分配方法种数是. 17. 已知函数f(x)=ex-ax，其中a＞0. （1）若对一切x∈R，f(x) 1恒成立，求a的取值集合； （2）在函数f(x)的图像上取定点A（x1, f(x1)）,B(x2, f(x2))(x1<x2)，记直线AB的斜率为k，证明：存在x0∈（x1,x2）,使恒成立. 【答案】（1） （2）由题意知，令则 令，则.当时，单调递减；当时，单调递增.故当，即 从而，又 所以因为函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在使即成立. 【解析】 【小问1详解】 解：令. 当时单调递减；当时单调递增，故当时，取最小值 于是对一切恒成立，当且仅当.　　　　　　　　① 令则 当时，单调递增；当时，单调递减. 故当时，取最大值.因此，当且仅当时，①式成立. 综上所述，的取值集合为. 【小问2详解】 略 【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等，考查运算能力，考查分类讨论思想、函数与方程思想等数学方法.第一问利用导函数法求出取最小值对一切x∈R，f(x) 1恒成立转化为从而得出求a的取值集合；第二问在假设存在的情况下进行推理，然后把问题归结为一个方程是否存在解的问题，通过构造函数，研究这个函数的性质进行分析判断. 18. 设椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上的一点，，原点到直线的距离为． （Ⅰ）证明； （Ⅱ）设为椭圆上的两个动点，，过原点作直线的垂线，垂足为，求点的轨迹方程． 【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）点的轨迹方程为 【解析】 【详解】（Ⅰ）证法一：由题设及，，不妨设点，其中．由于点在椭圆上，有，即． 解得，从而得到． 直线的方程为，整理得． 由题设，原点到直线的距离为，即， 将代入上式并化简得，即． 证法二：同证法一，得到点的坐标为． 过点作，垂足为，易知，故． 由椭圆定义得，又， 所以， 解得，而，得，即． （Ⅱ）解法一：设点的坐标为． 当时，由知，直线的斜率为，所以直线的方程为，或，其中，． 点的坐标满足方程组 将①式代入②式，得， 整理得， 于是，． 由①式得 ． 由知．将③式和④式代入得， ． 将代入上式，整理得． 当时，直线的方程为，的坐标满足方程组 所以，． 由知，即， 解得． 这时，点的坐标仍满足． 综上，点的轨迹方程为　． 解法二：设点的坐标为，直线的方程为，由，垂足为，可知直线的方程为． 记（显然），点的坐标满足方程组 由①式得．　　　　　　③ 由②式得．　　　④ 将③式代入④式得． 整理得， 于是．　　　⑤ 由①式得．　　　⑥ 由②式得．　　⑦ 将⑥式代入⑦式得， 整理得， 于是．　　　⑧ 由知．将⑤式和⑧式代入得， ． 将代入上式，得． 所以，点的轨迹方程为． 19. 在正三棱台中，，，分别是，的中点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值； （3）若一只电子猫从点出发，每次等可能地沿着棱去向相邻的另一个顶点，设在次运动后电子猫仍停留在下底面的概率为，求. 【答案】（1） 证明：延长，，交于点，过点作平面，垂足为，连结. 在正三棱台中，，是正三角形， 因为，分别是，的中点， 所以，且， 又，且， 所以，且，四边形是平行四边形. 因为几何体是正三棱台， 所以三棱锥是正三棱锥，是底面正的中心，所以. 又平面，平面，所以. 因为，，平面，所以平面， 又平面，所以，所以. 在正三棱台中，，是的中点， 所以，且， 所以四边形是平行四边形，. 所以. 所以四边形是矩形. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）延长，，交于点，过点作平面，垂足为，接着依次证明四边形是平行四边形和即可得证； （2）法一：根据线面角定义作出直线与平面所成角的平面角，求得正弦值即可； 法二：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量求法直接计算即可； （3）记电子猫在次运动后“在下底面”为事件，由全概率公式可得，再由等比数列定义证明数列是首项为，公比为的等比数列，可求得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 法一：延长交于点，连结，过点作，垂足为，连结. 由（1）可知，平面，即平面， 因为平面，所以， 又，，，平面， 所以平面. 所以为直线与平面所成角. 在正三棱台中，，，不妨设， 则，，. 在等腰中，. 在中，. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 法二： 过作. 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 在正三棱台中，，，不妨设， 则，，，. 设上底面的中心为，在直角梯形中，， ，，所以. 故，又， 所以,. 设为平面的法向量， 即，取，得，， 所以是平面的一个法向量. 又， 所以， 设直线与平面所成角为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 记电子猫在次运动后“在下底面”为事件，“在上底面”为事件. 显然，当，时，，. 由全概率公式，当，时， 可得， 即，整理得. 所以当，时，， 又，，， 所以当，时，为定值， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 故， 可得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年度第二学期高三年级考试 数学学科试题 答题注意事项： 1．本试卷满分150分；考试用时120分钟． 2．本试卷分二卷，不按要求答卷不得分． 一、单选题 1. 若，则（ ） A. B. C. 10 D. 2. 设全集,集合，（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量与的夹角为，，，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 下列函数中，在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 5. 函数的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 6. 若，则（ ） A. 64 B. C. 16 D. 7. 在正方体中，E，F分别为的中点，则（ ） A. 平面平面 B. 平面平面 C. 平面平面 D. 平面平面 8. 是定义在上的非负可导函数，且满足．对任意正数a，b，若，则必有（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 有一组样本数据，，…，，由这组数据得到新样本数据，，…，，其中(为非零常数，则（ ） A. 两组样本数据的样本平均数相同 B. 两组样本数据的样本中位数相同 C. 两组样本数据的样本标准差相同 D. 两组样本数据的样本极差相同 10. 若函数既有极大值也有极小值，则（ ）． A. B. C. D. 11. 已知函数的图像关于点中心对称，则（ ） A. 在区间单调递减 B. 在区间有两个极值点 C. 直线是曲线的对称轴 D. 直线是曲线的切线 三、填空题 12. 已知圆的圆心与抛物线的焦点重合，且两曲线在第一象限的交点为，则原点到直线的距离为______． 13. 直线是曲线的一条切线，则实数___________． 14. 已知数列，满足，，则的通项． 四、解答题 15. 记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， （1）求B； （2）若的面积为，求c． 16. （1）计算：． （2）利用0，1，2，4，5，7这六个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数有多少个？ （3）甲乙丙丁戊五个同学，分配到三个城市参加活动，每个城市至少去一人，共有多少种不同分配方法？ 17. 已知函数f(x)=ex-ax，其中a＞0. （1）若对一切x∈R，f(x) 1恒成立，求a的取值集合； （2）在函数f(x)的图像上取定点A（x1, f(x1)）,B(x2, f(x2))(x1<x2)，记直线AB的斜率为k，证明：存在x0∈（x1,x2）,使恒成立. 18. 设椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上的一点，，原点到直线的距离为． （Ⅰ）证明； （Ⅱ）设为椭圆上的两个动点，，过原点作直线的垂线，垂足为，求点的轨迹方程． 19. 在正三棱台中，，，分别是，的中点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值； （3）若一只电子猫从点出发，每次等可能地沿着棱去向相邻的另一个顶点，设在次运动后电子猫仍停留在下底面的概率为，求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $