精品解析：广东省深圳市高级中学高中园2024-2025学年高三下学期第二次模拟考试数学试题

深圳市高级中学高中园2025届高三下学期第二次模拟考试 （数学） 注意事项： 1、答第一卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上. 2、每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动用橡皮擦干净后，再涂其它答案，不能答在试题卷上. 3、考试结束，监考人员将答题卡收回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合， ，则=（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数z＝a＋i(a∈R)，若z＋＝4，则复数z的共轭复数＝（ ） A. 2＋i B. 2－i C. －2＋i D. －2－i 3. 已知向量，若，则实数（ ） A. B. 4 C. D. 4. 已知高为 4的圆台存在内切球，其下底半径为上底半径的 4 倍，则该圆台的表面积为（ ） A. B. C. D. 5. 奇函数的单调减区间可以是（ ） A. B. C. D. 6. 若，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 随着我国铁路的发展，列车的正点率有了显著的提高．据统计，途经某车站的只有和谐号和复兴号列车，且和谐号列车的列次为复兴号列车的列次的2倍，和谐号的正点率为0.98，复兴号的正点率为0.99，今有一列车未正点到达该站，则该列车为和谐号的概率为（ ） A. 0.2 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.8 8. 已知双曲线C：的右焦点为F，过F作直线分别与双曲线的两渐近线相交于A、B两点，且，，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列四个命题是真命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 10. 随机变量，分别服从正态分布和二项分布，且，，则（ ） A. B. C. D. 11. 设函数的定义域为为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 为奇函数 C. 在上为减函数 D. 方程仅有6个实数解 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则________. 13. 已知是等差数列，是公比为2的等比数列，且，则______． 14. 设函数，若的图象过点，且曲线在处的切线也过点，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在梯形中，，，. （1）若，求的长； （2）若，求. 16. 如图，三棱柱的底面是边长为2的等边三角形，为的中点，，侧面底面. （1）证明：； （2）当时，求平面与平面夹角的余弦值. 17. 已知点，，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是. （1）求动点的轨迹方程； （2）直线与曲线交于，两点，直线，的斜率之和为0，且，求的面积. 18. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）若，求函数在区间上的零点个数. 19. 某公园有两条散步路线，分别记为路线A和路线B.附近的居民经常来此散步，经过一段时间的统计发现，前一天选择路线A的居民第二天选择路线A和路线B的概率均为；前一天选择路线B的居民第二天选择路线A和路线B的概率分别为和，已知居民第一天选择路线A的概率为，选择路线B的概率为. （1）若有4位居民连续两天去公园散步，记第二天选择路线A散步的人数为Y，求Y的分布列及期望； （2）若某居民每天都去公园散步，记第n天选择路线A的概率为. （i）请写出与的递推关系； （ii）设，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳市高级中学高中园2025届高三下学期第二次模拟考试 （数学） 注意事项： 1、答第一卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上. 2、每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动用橡皮擦干净后，再涂其它答案，不能答在试题卷上. 3、考试结束，监考人员将答题卡收回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合， ，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 化简集合，，再求交集即可． 【详解】＝＝， ， 故＝， 故选：D 【点睛】本小题主要考查交集的概念和运算，考查对数不等式的解法，属于基础题. 2. 已知复数z＝a＋i(a∈R)，若z＋＝4，则复数z的共轭复数＝（ ） A. 2＋i B. 2－i C. －2＋i D. －2－i 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的加法可求，再由共轭复数的定义可求. 【详解】∵z＝a＋i， ∴z＋＝2a＝4，得a＝2． ∴复数z的共轭复数＝2－i． 故选：B． 【点睛】本题考查复数的加减法，共轭复数的定义，属于基础题. 3. 已知向量，若，则实数（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由向量平行的坐标表示求解． 【详解】由题意， 又，所以，解得， 故选：B． 4. 已知高为 4的圆台存在内切球，其下底半径为上底半径的 4 倍，则该圆台的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】借助圆台轴截面及内切圆的性质，求出圆台的两底半径及母线长，进而求得表面积. 【详解】依题意，圆台的轴截面截其内切球得球的大圆，且该大圆是圆台轴截面等腰梯形的内切圆， 等腰梯形为圆台轴截面，其内切圆与梯形切于点， 其中分别为上、下底面圆心，如图， 设圆台上底半径为，则下底半径为，， 而等腰梯形的高，因此，解得， 所以该圆台的表面积为. 故选：D 5. 奇函数的单调减区间可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】奇函数条件确定φ的值,化简后利用正弦函数的单调性求得. 【详解】由题 为奇函数，需满足 . 代入得：, 利用余弦函数的性质，当且仅当  时等式对所有  成立. . 令. 解得：. 当  时，减区间为 ， 故选: A. 6. 若，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，，，结合函数的单调性可得，可比较大小. 【详解】，，， 又在上单调递增，，所以， 所以，所以，所以. 故选：B. 7. 随着我国铁路的发展，列车的正点率有了显著的提高．据统计，途经某车站的只有和谐号和复兴号列车，且和谐号列车的列次为复兴号列车的列次的2倍，和谐号的正点率为0.98，复兴号的正点率为0.99，今有一列车未正点到达该站，则该列车为和谐号的概率为（ ） A. 0.2 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.8 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用全概率公式及条件概率公式计算即得. 【详解】令事件A：经过的列车为和谐号；事件B，经过的列车为复兴号；事件C，列车未正点到达， 则， 于是， 所以该列车为和谐号的概率为. 故选：D 8. 已知双曲线C：的右焦点为F，过F作直线分别与双曲线的两渐近线相交于A、B两点，且，，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知得，，，利用，借助正切值列方程求双曲线的离心率. 【详解】双曲线的右焦点为，渐近线方程为， ，则有，到渐近线的距离， ，，∴，， 则，，， 由，有，即， 解得，则有，所以离心率. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列四个命题是真命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用空间直线与平面，平面与平面的位置关系逐项判断即可. 【详解】对于A，若，，则或与相交，故A错误； 对于B，由，，，则，又，又，所以，故B正确； 对于C，因为，，则的方向向量分别为的法向量， 因为，所以，所以，故C正确； 对于D，由，，，则，又，， 所以，又，，所以，所以，故D正确. 故选：BCD. 10. 随机变量，分别服从正态分布和二项分布，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】先计算出正态分布与二项分布的期望与方差可判断AB；再分别计算正态分布与二项分布对对应随机变量的概率可判断CD. 【详解】对于正正态分布，可得其期望，， 对于二项分布，可得，， 所以，，故A正确；B错误； 由于正态分布具有对称性，由，可得，故C正确； 对于，可得 ， 所以，所以，故D正确. 故选：ACD. 11. 设函数的定义域为为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 为奇函数 C. 在上为减函数 D. 方程仅有6个实数解 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据为偶函数和为奇函数可得即可判断A；利用函数的奇偶性建立方程，证明为一个周期函数，即可判断B；根据函数的单调性、对称性和周期性即可判断C；利用数形结合的思想，结合图形即可判断D. 【详解】A：为偶函数，故， 令，得， 为奇函数，故， 令，得，其中， 所以，故A正确； B：因为为奇函数，则,得， 又为偶函数，则，得， 所以，令得， 即，则， 即，所以8为函数的一个周期. 故，所以， 从而为奇函数，故B正确； C：在区间上是增函数，且的图象关于点对称， 所以在上单调递增，又周期为8，故在上单调递增，故C错误； D：作出与的大致图象，如图所示， 其中单调递减且，所以两函数图象有6个交点， 故方程仅有6个实数解，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则________. 【答案】 【解析】 【分析】利用两角和与差的余弦公式和同角的商数关系即可求解. 【详解】由，可得， 所以，所以，所以. 故答案为：. 13. 已知是等差数列，是公比为2的等比数列，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意和等差数列、等比数列的通项公式可得、，进而得，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 由，得， 即①； 由，得， 即②， 由①②，得， 所以. 故答案为：. 14. 设函数，若的图象过点，且曲线在处的切线也过点，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用导数的几何意义求出切线方程，建立方程组求出. 【详解】函数，求导得，则，而， 因此曲线在处的切线方程为， 依题意，，所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在梯形中，，，. （1）若，求的长； （2）若，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理进行求解即可； （2）利用余弦定理进行求解即可. 【小问1详解】 在中，由正弦定理得， 则. 【小问2详解】 因为，所以. 由余弦定理得， 则， 所以. 16. 如图，三棱柱的底面是边长为2的等边三角形，为的中点，，侧面底面. （1）证明：； （2）当时，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明如下： 等边三角形中，为中点，， 侧面底面，侧面底面， 又平面平面， 又平面. （2） 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直求证平面即可； （2）求证即可建立坐标系，再分别求两个平面的法向量. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在中，， ， . 由（1）知，平面， 又平面， 两两垂直， 以分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为， 则不妨取，则， 平面的一个法向量为. 设平面的法向量为， 则不妨取，则， 平面的一个法向量为. 记平面与平面的夹角为， 则， 平面与平面夹角的余弦值为. 17. 已知点，，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是. （1）求动点的轨迹方程； （2）直线与曲线交于，两点，直线，的斜率之和为0，且，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，由斜率公式根据，进而可得； （2）由题意可得，，进而可得直线，，分别联立椭圆方程可得点，，进而可得，，即可得的面积. 【小问1详解】 设，由题意有：， 化简得：，又， 故所求动点的轨迹方程为：. 【小问2详解】 设直线的倾斜角为，由，得， 得，故，，即，， 联立，解得或2（舍），故， 联立，解得或2（舍），故， 又，， ， 故. 18. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）若，求函数在区间上的零点个数. 【答案】（1）当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为； （2）当或时，在上有1个零点； 当时在上有2个零点； 当时在上无零点. 【解析】 【分析】（1）求导，再分和两种情况讨论即可得解； （2）结合（1）分，和两种情况讨论，求出函数的单调区间及极值，再结合零点的存在性定理即可得解. 【小问1详解】 定义域为，由题意得， 当时，恒成立，所以在上单调递增. 当时，由，得，由，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 综上所述，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为； 【小问2详解】 ， 由（1）知当时，在上恒成立， 所以在上单调递增， 因为，， 所以由零点存在性定理知，函数在上有1个零点； 当时，若，则，若，则， 所以在上单调递减，在上单调递增， 可得， 当时，，此时在上有1个零点， 当时，， 因为当时，，， 所以此时在上有2个零点， 当时，，此时在上无零点， 综上，当或时，在上有1个零点； 当时在上有2个零点； 当时在上无零点. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 19. 某公园有两条散步路线，分别记为路线A和路线B.附近的居民经常来此散步，经过一段时间的统计发现，前一天选择路线A的居民第二天选择路线A和路线B的概率均为；前一天选择路线B的居民第二天选择路线A和路线B的概率分别为和，已知居民第一天选择路线A的概率为，选择路线B的概率为. （1）若有4位居民连续两天去公园散步，记第二天选择路线A散步的人数为Y，求Y的分布列及期望； （2）若某居民每天都去公园散步，记第n天选择路线A的概率为. （i）请写出与的递推关系； （ii）设，求证：. 【答案】（1）分布列： 0 1 2 3 4 （2）（i） （ii）证明：由（i）知，则，而， 于是数列是首项为，公比为的等比数列， 因此，即，， 当时，，而， 所以； 当时，， 而， 所以， 所以. 【解析】 【分析】（1）先求居民第二天路线的概率，然后根据二项分布的概率公式求出概率，可得分布列，利用二项分布期望公式可得期望； （2）（ⅰ）分析第天选择路线，和路线情况下第天选择路线的概率，再由全概率公式列式，利用构造法求出关系式；（ⅱ）由（ⅰ）构造法求出通项公式，再借助放缩法及等比数列前和公式推理得证. 【小问1详解】 记附近居民第天选择路线分别为事件， 依题意，，，， 则由全概率公式，得居民第二天选择路线散步的概率； 记第二天选择路线散步的人数为，则， 则，， ，， ， 则的分布列为： 0 1 2 3 4 故的数学期望． 【小问2详解】 （i）当第天选择路线时，第天选择路线的概率； 当第天选择路线时，第天选择路线的概率， 所以. （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $