广东深圳市南方科技大学附属中学2024-2025学年高三下学期第二次模拟考试数学试卷

2025年南科大附中高三年级第二次模拟考试 数学 （本试卷共6页，满分150分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场和座位号填写在答题卡上.将条形码粘贴在答题卡左上角“条形码粘贴处”. 2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效. 3．考试结束后，请将试卷妥善保管，答题卡统一交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数在复平面内对应的点位于第二象限，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知4个不全相等的正整数的平均数与中位数都是2，则这组数据的极差为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 在中，角A，B，C的对边a，b，c成公差为2的等差数列，若，则的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 若是偶函数，则（ ） A. 0 B. C. D. 5. 函数在上的零点个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 6. 高考入场安检时，某学校在校门口并排设立三个检测点，进入考场的学生只需要在任意一个检测点安检即可进入．现有三男三女六位学生需要安检，则每个检测点通过的男生和女生人数相等的可能情况有（ ） A. 66种 B. 93种 C. 195种 D. 273种 7. 若函数在上恰有两个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若不等式（是自然对数的底数）对任意恒成立，则当取最大值时，实数（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，是不共线的单位向量，其夹角为，则下列说法正确的是（ ） A. 存在，使得 B. 存在，使得 C. 存在，使得 D. 存在，使得 10. 如图所示，正方体棱长为2，正方形内（不含边界）一动点P在运动过程中始终满足．下列说法中正确的为（ ） A. 存在点P使得 B. 直线与点P的轨迹有公共点 C. 点P运动轨迹长为 D. 三棱锥P-BCD体积最大值为8 11. 函数的图象类似于汉字“囧”字，被称为“囧函数”，并把其与y轴的交点关于原点的对称点称为“囧点”，以“囧点”为圆心，凡是与“囧函数”有公共点的圆，皆称之为“囧圆”，则当，时，下列结论正确的是( ) A. 函数的图象关于直线对称 B. 当时，的最大值为－1 C. 函数的“囧点”与函数图象上的点的最短距离为 D. 函数的所有“囧圆”中，面积的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，，则集合的真子集个数为______. 13. 设，分别是双曲线：的左、右焦点，为坐标原点，点在双曲线的渐近线上，，则的离心率为______. 14. 以间的整数为分子，以为分母组成分数集合，其所有元素和为；以间的整数为分子，以为分母组成不属于集合的分数集合，其所有元素和为，依次类推以间的整数为分子，以为分母组成不属于的分数集合，其所有元素和为；则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前项和满足为常数，且. （1）求的值； （2）证明：为等差数列； （3）若，求的取值范围. 16. 如图，在三棱锥中，，，，，、分别为、中点． （1）证明：平面与平面的交线平面； （2）若，二面角的正切值为，求的长． 17. 向“新”而行，向“新”而进，新质生产力能够更好地推动高质量发展.如人工智能中的大语言模型DeepSeek（以下简称DeepSeek）.为调查DeepSeek的应用是否会对相关从业人员的数量产生影响，某学校研究小组随机抽取了150名视频从业人员进行调查，结果如下表所示： DeepSeek的应用情况 相关从业人员 合计 减少 未减少 应用 54 72 没有应用 42 合计 90 150 （1）根据所给数据完成上表，并判断是否有95%的把握认为的应用与相关从业人员的减少有关？ （2）某公司视频部现有员工100人，公司拟开展DeepSeek培训，分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮相互独立，有二轮及以上获得“优秀”的员工才能应用DeepSeek. （ⅰ）求员工经过培训能应用DeepSeek的概率. （ⅱ）已知开展DeepSeek培训前，员工每人每年平均为公司创造利润6万元；开展DeepSeek培训后，能应用DeepSeek的员工每人每年平均为公司创造利润10万元；DeepSeek培训平均每人每年成本为1万元.根据公司发展需要，计划先将视频部的部分员工随机调至其他部门，然后剩余员工开展DeepSeek培训，现要求培训后视频部的年利润不低于员工调整前的年利润，则视频部最多可以调多少人到其他部门？ 附：其中，） 18. 已知，函数在处取得极值． （1）求a； （2）证明：对任意的m，，都有； （3）若存在实数，使得成立，求k的最小整数值． 19. 已知椭圆的短轴长为2，且过点，设点为椭圆在第一象限内一点． （1）求椭圆方程； （2）设椭圆的左顶点为A，下顶点为，线段交轴于点，线段交轴于点，若的面积是的6倍，求点的坐标； （3）点关于原点的对称点为，点，点为中点，的延长线交椭圆于点S，当最大时，求直线方程． 2025年南科大附中高三年级第二次模拟考试 数学 （本试卷共6页，满分150分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场和座位号填写在答题卡上.将条形码粘贴在答题卡左上角“条形码粘贴处”. 2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效. 3．考试结束后，请将试卷妥善保管，答题卡统一交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】BCD 【10题答案】 【答案】AC 【11题答案】 【答案】BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】7 【13题答案】 【答案】## 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1） （2） 由（1）可得，所以， 因此， 相减得， 得， 所以为等差数列. （3） 【16题答案】 【答案】（1）因为分别是的中点，所以， 因为平面，平面，则平面， 又因为平面，而平面平面，所以， 而平面，平面，所以平面． （2） 【17题答案】 【答案】（1） DeepSeek的应用情况 视频从业人员 合计 减少 未减少 应用 没有应用 合计 ，有的把握认为的应用与视频从业人员的减少有关 （2）（i）；（ii）人 【18题答案】 【答案】（1） （2） 对任意的m，，设，则， 由（1）知，则在上单调递增， 所以当时，，即，所以在上单调递增， 因为，所以，即， 故． （3）5． 【19题答案】 【答案】（1） （2）或 （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $