精品解析：广东工业大学北附教育港澳台联考2025届高三下学期第三次模拟考试文科数学试卷

中华人民共和国普通高等学校 联合招收华侨、港澳地区、台湾省学生 广工大北附2025届第三次模拟考文科数学试卷 一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用并集的定义可得正确的选项. 【详解】， 故选：D. 2. 复数的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 计算出即可. 【详解】因为 所以其共轭复数是 故选：A 【点睛】本题考查的是复数的计算及其概念，较简单. 3. 函数的一条对称轴为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由正弦、余弦二倍角公式，和辅助角公式得到，再通过整体代换即可求解. 【详解】 ， 令，， 可得， 即函数的对称轴为， 当时，， 当时，， 当时，， 结合选项只有B符合， 故选：B 4. 已知双曲线的离心率为，则点到的渐近线的距离为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】分析：由离心率计算出，得到渐近线方程，再由点到直线距离公式计算即可． 详解： 所以双曲线的渐近线方程为 所以点（4，0）到渐近线的距离 故选D 点睛：本题考查双曲线的离心率，渐近线和点到直线距离公式，属于中档题． 5. 已知向，，若向量与垂直，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】计算出、的值，由已知可得，结合平面向量数量积的运算性质可求得的值. 【详解】因为，，则，， 因为向量与垂直，则，解得. 故选：C. 6. 已知函数，若函数是奇函数，则实数a的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 3 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据奇函数的定义求解． 【详解】由函数 是奇函数可得: 对定义域内的任意x都成立, 故选：C． 7. 在二项式的展开式中，含项的二项式系数为（ ） A. 5 B. C. 10 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由二项式定理可得展开式通项为，即可求含项的二项式系数. 【详解】解：由题设，， ∴当时，. ∴含项的二项式系数. 故选：A. 8. 圆与圆的公共弦长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程，再根据垂径定理和点到直线的距离公式可得. 【详解】 圆的圆心为，半径为， 联立与得公共弦所在直线为， 圆心到直线的距离为， 故弦长为， 故选：C 9. 已知函数（）的一个零点为，一条对称轴为，，则的最小值是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】结合三角函数的性质求解即可. 【详解】由题意可知，，，所以，，即，. 又，所以，，所以，. 因为，所以当时，取得最小值：. 故选：B. 10. 已知拋物线的焦点是，点在抛物线上，则（ ） A. B. C. 5 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】利用抛物线的定义即可求解. 【详解】因为拋物线的焦点是，所以， 因为点在抛物线上，所以． 故选：C． 11. 已知底面边长为，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为，则实数的值为 A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题易知，正四棱柱的体对角线是外接球的直径，可求得球半径，再利用球的体积公式，求得答案即可. 【详解】由题，几何体为正四棱柱，故其外接球的直径为正四棱柱的体对角线， 正四棱柱的体对角线为： 所以外接球的半径： 其体积为 解得 故选A 【点睛】本题考查了几何体的外接球的知识，熟悉正四棱柱的外接球直径是其体对角线是解题的关键所在，属于中档题. 12. 设是定义在上的周期为的偶函数，已知当时，，则当 时，的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】当时，由可得出的表达式；当时，由函数的周期性和奇偶性可得出.综合可得结果. 【详解】当时，，， 当时，，， 因为函数为偶函数，则， 综上所述，当时，. 故选：C. 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分. 13. 用数字0，1，2，3，4可组成 __________ 个无重复数字的偶数三位数. 【答案】 【解析】 【分析】 先从0，2，4中任选一个数作为个位数，然后从剩下的4个数字中任选2个排在十位和百位，这里还含有百位为0的数字，再减去百位为0的偶数可得答案. 【详解】排除法（个位是偶数的情况下，去掉百位是零的情况）：. 故答案为：. 【点睛】此题考查排列组合，对于这类题目先要认真审题，根据题目的要求合理选择方法，同时要区别排列与组合的不同，属于基础题. 14. 已知等比数列的前n项和为，且，，则______． 【答案】121 【解析】 【分析】求出公比和首项，利用等比数列求和公式求出答案. 【详解】设公比为，故，解得， 所以， 故. 故答案为：121 15. 不等式的解集是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用分式的运算性质，结合一元二次不等式的解法进行求解即可. 【详解】 ， 所以原不等式的解集为. 故答案为： 16. 已知函数在处取得极小值，则的极大值为__________ 【答案】 【解析】 【分析】求导函数，求出极大值点，最后代入原函数可求得极大值. 【详解】由题意得，， ，解得， ， ， 在上单调递增，在上单调递减， 的极大值为. 故答案为： 17. 已知定义在R上的函数满足 ，且在为递增函数，若不等式成立，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】定义在上的函数满足，可得函数关于直线对称，在为递增函数，则在为递减函数，不等式成立，即，对分类讨论即可得出． 【详解】解：∵函数满足， 函数关于直线对称， ∵在为递增函数， ∴在为递减函数， 不等式成立，即， ， 则当时，在为递增函数，不成立，舍去； 当，即时，在为递减函数，则恒成立，因此满足条件； 当时，即．要使恒成立，必须点到直线的距离大于点到直线的距离，即， 解得，； 综上，实数的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查抽象函数的单调性、对称性解不等式，考查分类讨论的数学方法，考查推理能力与计算能力，属于中档题． 18. 在正四面体中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】取的中点，连接，则与所成的角为异面直线与所成角，结合余弦定理可求得结果. 【详解】取的中点，连接如图所示： ， 因为点分别是的中点，所以， 即与所成的角为异面直线与所成角， 设正四面体的棱长为， 则， 在中，， 所以异面直线与所成角的余弦值为， 故答案为：. 三、解答题：本题共4小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 19. 在中，记角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求角； （2）若，且的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2）12 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理以及三角恒等变换可得，即可求角； （2）利用三角形面积公式以及余弦定理计算可得，即可得的周长. 【小问1详解】 由正弦定理知， 在中，， 所以. 又，，可得， 所以. 【小问2详解】 由题意可知的面积. 因为，所以. 由余弦定理， 可得，即， 所以，所以， 故的周长为12. 20. 甲乙两人独立破译一份密码，已知各人能破译的概率分别是，，求： （1）两人中只有一人成功破译的概率； （2）密码被成功破译的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据独立事件乘法概率公式和互斥事件的概率公式进行求解即可； （2）根据独立事件乘法概率公式和对立事件的概率公式进行求解即可. 【小问1详解】 记“甲破译出密码”为事件A，“乙破译出密码”为事件B， 则，， 设“甲乙只有一人破译出密码”为事件C，则， 故两人中只有一人破译出密码的概率为. 【小问2详解】 密码未被破译的概率为， 密码被成功破译的概率为． 21. 已知数列的前项和为，，. （1）证明：为等比数列； （2）求. 【答案】（1）证明:, ，即 ， 故为等比数列. （2）. 【解析】 【分析】（1）由递推关系化简，根据等比数列的定义得证； （2）由（1）求出，根据错位相减法求和. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知， ， ， ， 22. 已知直线过椭圆的右焦点，且交于两点． （1）求的离心率； （2）设点，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意，结合题目所给信息以及，，之间的关系，可得椭圆的方程，再根据离心率公式即可求解； （2）先得到直线的方程，将直线的方程与椭圆方程联立，利用弦长公式、点到直线的距离公式以及三角形面积公式进行求解即可． 【小问1详解】 由题，， 且在上有， 解得． 故椭圆的标准方程为， 离心率． 【小问2详解】 因为直线经过，两点， 可得直线的方程为， 联立， 解得或， 所以直线与椭圆的另一交点为， 则， 又点到直线的距离． 故的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 中华人民共和国普通高等学校 联合招收华侨、港澳地区、台湾省学生 广工大北附2025届第三次模拟考文科数学试卷 一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 3. 函数的一条对称轴为（ ） A. B. C. D. 4. 已知双曲线的离心率为，则点到的渐近线的距离为 A. B. C. D. 5. 已知向，，若向量与垂直，则实数（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，若函数是奇函数，则实数a的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 3 D. 5 7. 在二项式的展开式中，含项的二项式系数为（ ） A. 5 B. C. 10 D. 8. 圆与圆的公共弦长为（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数（）的一个零点为，一条对称轴为，，则的最小值是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 10. 已知拋物线的焦点是，点在抛物线上，则（ ） A. B. C. 5 D. 3 11. 已知底面边长为，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为，则实数的值为 A. 2 B. C. D. 12. 设是定义在上的周期为的偶函数，已知当时，，则当 时，的解析式为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分. 13. 用数字0，1，2，3，4可组成 __________ 个无重复数字的偶数三位数. 14. 已知等比数列的前n项和为，且，，则______． 15. 不等式的解集是________． 16. 已知函数在处取得极小值，则的极大值为__________ 17. 已知定义在R上的函数满足 ，且在为递增函数，若不等式成立，则的取值范围是________. 18. 在正四面体中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为_______． 三、解答题：本题共4小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 19. 在中，记角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求角； （2）若，且的面积为，求的周长. 20. 甲乙两人独立破译一份密码，已知各人能破译的概率分别是，，求： （1）两人中只有一人成功破译的概率； （2）密码被成功破译的概率． 21. 已知数列的前项和为，，. （1）证明：为等比数列； （2）求. 22. 已知直线过椭圆的右焦点，且交于两点． （1）求的离心率； （2）设点，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $