18.2 分式的乘法与除法（预习讲义）2026-2027学年人教版数学八年级上册

本初中数学讲义聚焦分式的乘法与除法，系统梳理分式乘法法则（分子分母分别相乘）、除法法则（除式颠倒后相乘）、乘方法则（分子分母分别乘方）及含乘方的乘除混合运算，通过题型归纳形成从基础到综合的学习支架。 资料通过题型专练中的辨析题（如例1判断可约分的整式）、实际应用题（如试验田单位产量计算），培养学生的抽象能力和运算能力，渗透模型意识。分层设计的例题与巩固练习，课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺，提升数学思维与应用能力。

第十八章 分式 02讲 分式的乘法与除法 题型归纳 【题型1. 分式乘法 2】 【题型2. 分式除法 2】 【题型3. 分式乘方 3】 【题型4. 含乘方的分式乘除混合运算 4】 【巩固练习 5】 知识清单 知识点1 分式的乘法 1.乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母. 知识点2 分式的除法 1.除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘. 知识点3 分式的乘方 1.乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方. 【提示】分式的运算应注意： ① 运算结果应化为最简分式； ② 分子、分母是多项式时，通常先分解因式，再约分； ③ 乘除混合运算可以统一为乘法运算； ④ 分式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除. 题型专练 题型1. 分式乘法 【例1】若分式“”，可以进行约分化简，则“□“不可以是（   ） A．1 B．2 C．4 D．x 【例2】计算：_____________． 【变式1】已知，则与的积为1的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】计算：________． 【变式3】填空：_________． 【变式4】计算：________． 题型2. 分式除法 【例1】若的计算结果是整式，则“□”中的式子可能是(　　) A． B． C． D． 【例2】计算：____________． 【变式1】如图1，规定，按此规定图2中处的代数式是（   ） A． B． C． D． 【变式2】计算的结果是______． 【变式3】小明在做数学作业时，不小心将式子中除号后边的代数式污染，即，通过查看答案，答案为，则被污染的代数式为_____． 【变式4】如图①，“丰收1号”小麦试验田是边长为a米的正方形田地去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分．如图②，“丰收2号”小麦试验田是边长为a米的正方形田地去掉试验田上修建的两条宽为1米的通道后余下的部分．若两块试验田都收获了千克的小麦，则“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量是“丰收1号”小麦试验田的单位面积产量的_______． 题型3. 分式乘方 【例1】计算：_____． 【变式1】计算：_________． 【变式2】（1）( )；( )； （2）( )；( )． 【变式3】计算： (1)； (2)． 题型4. 含乘方的分式乘除混合运算 【例1】计算： 【例2】（1）计算：. （2）化简：. 【变式1】计算： (1)； (2)． 【变式2】计算： (1) (2)． 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)． 【变式4】计算下列各题： (1)； (2)． 【变式5】分式计算： (1)； (2)． 【变式6】计算： (1)； (2)； (3)． 巩固练习 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级下·河南鹤壁·月考）化简的结果为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）使式子有意义的的取值范围是（    ） A．且 B．且 C．且 D．，且 4．（25-26八年级上·福建福州·期末）已知大拖拉机m天耕地，小拖拉机n天耕地，大拖拉机的工作效率是小拖拉机工作效率的倍数为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·河北邯郸·一模）化简分式：，则“”部分的整式为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·河南鹤壁·月考）若运算的结果不是分式，则括号内的式子可能是（   ） A． B．b C． D．a 7．（2026·河南商丘·模拟预测）若的运算结果为整式，则“□”中的式子可能是（   ） A． B． C． D． 8．（2026·河北廊坊·一模）化简的结果是______． 9．（25-26八年级下·江苏常州·月考）计算：________ 10．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）如图，兰兰的作业纸被撕下来一部分，则被撕下部分的式子是________． 11．（25-26八年级上·福建福州·期末）在调配饮料时，需要考虑不同原料质量配比，如果一种由甲、乙两种原料配制成的饮料成品，甲、乙两种原料的配比是，那么甲原料需要__________kg． 12．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）并联电路中两个电阻的阻值分别为，电路的总电阻和满足，则可表示为______（用含，的代数式表示）． 13．（25-26九年级下·福建厦门·月考）某镇为发展工业经济，对的货物运输通道进行扩建和重修，某货车在该运输通道上行驶，平均速度从原来的提升到．计算该货车在该运输通道上行驶可节约的时间，结果为_________．（用含的代数式表示） 14．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）计算： (1) (2) 15．（25-26八年级上·河南周口·期末）计算 (1)； (2) 16．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）计算： (1)； (2)． 17．（25-26八年级上·湖北宜昌·期末）化简，再从，1，3中选择一个合适的数代入求值． 18．（25-26八年级上·河南安阳·期末）先化简，再选取一个合适的数作为a的值代入求值． 19．（25-26八年级上·甘肃临夏·期末）化简求值：，其中． 20．（25-26八年级下·河南安阳·期中）先化简，再求值：，其中． 21．（25-26九年级下·陕西宝鸡·月考）如图，“丰收1号”小麦试验田是边长为的正方形中减去一个边长为的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦试验田是边长为的正方形，两块试验田的小麦都收获了．求“丰收2号”小麦的单位面积产量是“丰收1号”小麦单位面积产量的多少倍． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十八章 分式 02讲 分式的乘法与除法 题型归纳 【题型1. 分式乘法 2】 【题型2. 分式除法 3】 【题型3. 分式乘方 6】 【题型4. 含乘方的分式乘除混合运算 8】 【巩固练习 13】 知识清单 知识点1 分式的乘法 1.乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母. 知识点2 分式的除法 1.除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘. 知识点3 分式的乘方 1.乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方. 【提示】分式的运算应注意： ① 运算结果应化为最简粉丝； ② 分子、分母是多项式时，通常先分解因式，再约分； ③ 乘除混合运算可以统一为乘法运算； ④ 分式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除. 题型专练 题型1. 分式乘法 【例1】若分式“”，可以进行约分化简，则“□“不可以是（   ） A．1 B．2 C．4 D．x 【答案】B 【分析】本题主要考查分式的乘法，分式可以进行约分化简，则分子与分母有公因式，据此分析即可． 【详解】解：A、分母为，分子有，可约分，结果为，故A不符合题意； B、分母为，无法在整数范围内分解，无法与分子约分，故B符合题意； C、分母为，分子有，可约分，结果为，故C不符合题意； D、分母为，分子有，可约分，结果为，故D不符合题意． 故选：B． 【例2】计算：_____________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘法运算，根据分式的乘法法则计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 【变式1】已知，则与的积为1的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式的乘法运算法则求解即可． 此题考查了分式的乘法，解题的关键是掌握以上运算法则． 【详解】解：∵， ∴与的积为1的是． 故选：A． 【变式2】计算：________． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的乘法计算，直接根据分式的乘法计算法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为；． 【变式3】填空：_________． 【答案】/ 【分析】本题考查了分式的乘法运算，分式相乘的法则是：用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，并将乘积化为既约分式或整式，作分式乘法时，也可先约分后计算． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式4】计算：________． 【答案】/ 【分析】本题考查了分式的乘法运算，分式相乘的法则是：用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，并将乘积化为既约分式或整式，作分式乘法时，也可先约分后计算． 【详解】解：． 故答案为：． 题型2. 分式除法 【例1】若的计算结果是整式，则“□”中的式子可能是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的除法运算；设“□”中的式子为，把除法运算化为乘法运算，约分得到原式，然后把各选项的式子分别代入即可得到答案． 【详解】解：设“口”中的式子为， 原式 ， 所以当时， 原式1，结果为整式． 故选：C． 【例2】计算：____________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的除法运算，解题的关键是掌握分式除法的运算法则． 先将除法转化为乘法，再进行约分计算． 【详解】解：   ， 故答案为：． 【变式1】如图1，规定，按此规定图2中处的代数式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列代数式，分式的乘除混合运算．根据题意，用除法即可计算出的代数式． 【详解】解： ， 故选：C． 【变式2】计算的结果是______． 【答案】 【分析】本题考查了分式除法计算，先分解因式，再把除法转化为乘法，最后约分即可． 【详解】解： ； 故答案为：． 【变式3】小明在做数学作业时，不小心将式子中除号后边的代数式污染，即，通过查看答案，答案为，则被污染的代数式为_____． 【答案】 【分析】本题考查了分式除法运算．熟练掌握利用平方差公式，提公因式法进行因式分解，分式的化简是解题的关键．利用平方差公式、提公因式法进行因式分解，然后进行除法运算可得化简结果． 【详解】解：由题意知， ∴被污染的代数式为， 故答案为：． 【变式4】如图①，“丰收1号”小麦试验田是边长为a米的正方形田地去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分．如图②，“丰收2号”小麦试验田是边长为a米的正方形田地去掉试验田上修建的两条宽为1米的通道后余下的部分．若两块试验田都收获了千克的小麦，则“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量是“丰收1号”小麦试验田的单位面积产量的_______． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的运算，掌握分式的运算法则是解题的关键．首先用代数式表示出“丰收1号”试验田和“丰收2号”试验田的面积，再用“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量除以“丰收1号”小麦试验田的单位面积产量即可． 【详解】由题意可知， “丰收1号”试验田的面积为：平方米， “丰收2号”试验田的面积为：平方米， “丰收1号”小麦试验田的单位面积产量为， “丰收2号”小麦试验田的单位面积产量为， ∵， ∴“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量是“丰收1号”小麦试验田的单位面积产量的， 故答案为：． 题型3. 分式乘方 【例1】计算：_____． 【答案】 【分析】此题考查了分式的乘方，根据分式的乘方法则：把分式的分子和分母分别乘方即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式1】计算：_________． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的乘法，熟练掌握分式的乘法运算是解题的关键；先计算的立方运算，然后与进行分式的乘法，进而问题可求解． 【详解】解：； 故答案为． 【变式2】（1）( )；( )； （2）( )；( )． 【答案】 【分析】本题考查分式的乘方运算，根据分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方，即可得到答案． 【详解】解：（1）；； （2）；． 故答案为：；；；． 【变式3】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用积的乘方与幂的乘方法则求解； （2）利用积的乘方与幂的乘方法则求解． 【详解】（1）解：． （2）解：． 【点睛】本题考查分式的乘方、积的乘方与幂的乘方，熟记运算法则是解题的关键．积的乘方：先把积中的每一个乘数分别乘方，再把所得的幂相乘；幂的乘方：底数不变，指数相乘． 题型4. 含乘方的分式乘除混合运算 【例1】计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了含乘方的分式乘法计算，先计算乘方，再计算分式乘法即可得到答案． 【详解】解： ． 【例2】（1）计算：. （2）化简：. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先计算分式的乘方，再计算分式的乘法； （2）先计算分式的乘方，再计算分式的乘除. 【详解】（1）原式 ； （2）原式 . 【点睛】本题考查了分式的运算，涉及分式的乘方和乘除，熟练掌握运算法则是解题关键. 【变式1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的乘除运算，掌握相应的运算法则、公式和运算顺序是解题的关键． （1）先计算分式的乘方，然后将分式的除法转化为分式乘法，最后进行约分化简； （2）先将分式分子、分母进行因式分解，同时将除法转化为乘法，最后进行约分化简； 【详解】（1）解： ； （2） ． 【变式2】计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了分式的混合运算，平方差公式和完全平方公式，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算乘方，然后计算分式的乘法即可求解； （2）首先计算平方差公式和完全平方公式，然后合并即可． 【详解】（1） ； （2） ． 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】此题考查了分式的乘除混合运算，关键是掌握运算法则． (1) 分子的积作积的分子，分母的积作积的分母再约分即可； (2)先算乘方，再把除法变为乘法同时进行因式分解，约分即可得到答案． (3) 先把除法运算转化成乘法运算，把分子分母分解因式再进行分式乘法运算即可． 【详解】（1）解：， （2）解： ； （3）解： ． 【变式4】计算下列各题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是分式的除法与乘法运算，掌握运算法则是解本题的关键； （1）先计算乘方运算，再把除法化为乘法运算，再约分即可； （2）先把分式的分子与分母先分解因式，再约分即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 【变式5】分式计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的运算，解题的关键是： （1）先把除法转换为乘法，同时因式分解，然后约分即可； （2）先计算分式的乘方，同时把除法转换为乘法，然后约分即可． 【详解】（1）解∶ 原式 ； （2）解：原式 ． 【变式6】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分式的混合运算，属于常考题型，熟练掌握分式的运算法则是解题关键． （1）先计算分式的乘方，再根据分式的乘除法则解答即可； （2）先计算分式的乘方，再根据分式的乘除法则解答即可； （3）先计算分式的乘方，再根据分式的乘除法则解答即可． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ． 巩固练习 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算分式的乘方，再计算分式的乘法即可． 【详解】解：． 2．（25-26九年级下·河南鹤壁·月考）化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的除法运算，先对原式分母因式分解，再根据分式除法法则将除法转化为乘法，约分后即可得到结果． 【详解】解： ， ∴化简结果为， 故答案为：A． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）使式子有意义的的取值范围是（    ） A．且 B．且 C．且 D．，且 【答案】D 【分析】本题考查分式有意义的条件，分式有意义要求分母不为0，且除法运算中除式不能为0，据此列出不等式即可得到x的取值范围． 【详解】解：依题意， 则，，， 解得，且， 故选：D． 4．（25-26八年级上·福建福州·期末）已知大拖拉机m天耕地，小拖拉机n天耕地，大拖拉机的工作效率是小拖拉机工作效率的倍数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的除法运算．工作效率定义为单位时间内完成的工作量，分别计算大拖拉机和小拖拉机的工作效率，再求倍数关系，即可作答． 【详解】解：∵大拖拉机m天耕地，小拖拉机n天耕地， ∴大拖拉机和小拖拉机的工作效率分别是 则大拖拉机的工作效率是小拖拉机工作效率的倍数为， 故选：B． 5．（2026·河北邯郸·一模）化简分式：，则“”部分的整式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 6．（25-26八年级下·河南鹤壁·月考）若运算的结果不是分式，则括号内的式子可能是（   ） A． B．b C． D．a 【答案】D 【分析】先设括号内的式子为，根据分式除法法则化简原式，分解因式后约分得到结果，再根据结果不是分式即可判断正确选项． 【详解】解：设括号内的式子为， 原式 ， 当时，原式，是分式，故A不符合题意； 当时，原式，是分式，故B不符合题意； 当时，原式，是分式，故C不符合题意； 当时，原式，不是分式，故D符合题意． 7．（2026·河南商丘·模拟预测）若的运算结果为整式，则“□”中的式子可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的化简，解题思路是先利用分式除法法则和平方差公式化简原式，再根据“结果为整式”的条件判断□内的式子． 【详解】解：设□中的式子为， ∵原式 ， ∵运算结果为整式，需要分子能约去分母， ∴需包含因式，将选项代入，只有当时，原式，是整式，符合要求． 8．（2026·河北廊坊·一模）化简的结果是______． 【答案】 【详解】解： 9．（25-26八年级下·江苏常州·月考）计算：________ 【答案】 【分析】根据分式除法运算法则，将除法转化为乘法，对多项式因式分解后约分即可得到结果． 【详解】解： ． 10．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）如图，兰兰的作业纸被撕下来一部分，则被撕下部分的式子是________． 【答案】 【分析】将题中要求的式子转化为，根据分式乘除运算法则计算即可． 【详解】解：， 所以被撕下部分的式子是． 11．（25-26八年级上·福建福州·期末）在调配饮料时，需要考虑不同原料质量配比，如果一种由甲、乙两种原料配制成的饮料成品，甲、乙两种原料的配比是，那么甲原料需要__________kg． 【答案】 【分析】本题考查列分式，分式的乘法．根据甲、乙两种原料的配比，得到甲原料在饮料成品中所占的比例，进而乘以总质量可求解． 【详解】解：由题意，甲、乙两种原料的配比为， 因此甲原料所占的比例为， 对于的饮料成品，需要甲原料的质量为． 故答案为：． 12．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）并联电路中两个电阻的阻值分别为，电路的总电阻和满足，则可表示为______（用含，的代数式表示）． 【答案】 【分析】根据已知等式移项得到的表达式，再利用异分母分式减法法则计算，最后取倒数即可得到的表达式． 【详解】解：∵， ∴， 根据异分母分式减法法则通分计算得：， 对等式两边取倒数得：． 13．（25-26九年级下·福建厦门·月考）某镇为发展工业经济，对的货物运输通道进行扩建和重修，某货车在该运输通道上行驶，平均速度从原来的提升到．计算该货车在该运输通道上行驶可节约的时间，结果为_________．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】用原行驶时间减去提速后的行驶时间计算即可. 【详解】解：. 14．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：； （2）解： ． 15．（25-26八年级上·河南周口·期末）计算 (1)； (2) 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）解：． （2）解： ． 16．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的乘法及分式的除法运算，掌握运算法则是关键； （1）利用完全平方公式展开即可； （2）按照分式的除法法则计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 17．（25-26八年级上·湖北宜昌·期末）化简，再从，1，3中选择一个合适的数代入求值． 【答案】，选择，式子的值为 【分析】本题考查了分式的化简求值、分式有意义的条件，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．先将分式的除法转化为乘法，再计算分式的乘法，然后根据分式有意义的条件选择的值，代入计算即可得． 【详解】解：原式 ， ∵，， ∴，， ∴选择代入得：原式． 18．（25-26八年级上·河南安阳·期末）先化简，再选取一个合适的数作为a的值代入求值． 【答案】；当时，原式（答案不唯一） 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算法则． 先对分子分母进行因式分解，然后将除法化为乘法，再进行分式的乘法计算，最后代入合适的数值求解即可． 【详解】解：原式 ， ∵时分式无意义， ∴a取2， 当时，原式（答案不唯一）． 19．（25-26八年级上·甘肃临夏·期末）化简求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题主要考查了分式化简求值，熟练掌握分式除法运算法则，是解题的关键．先根据分式除法运算法则进行化简，再代入求值即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 20．（25-26八年级下·河南安阳·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】根据分式的加减运算法则将异分母分式通分，将分式的除法运算转化为乘法运算，利用平方差公式进行因式分解并约分，得到化简后的分式，再代入字母的值，将含有二次根式的分母有理化，即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， 当时， 原式． 21．（25-26九年级下·陕西宝鸡·月考）如图，“丰收1号”小麦试验田是边长为的正方形中减去一个边长为的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦试验田是边长为的正方形，两块试验田的小麦都收获了．求“丰收2号”小麦的单位面积产量是“丰收1号”小麦单位面积产量的多少倍． 【答案】“丰收2号”小麦的单位面积产量是“丰收1号”小麦单位面积产量的倍 【详解】解：由题意得， ． 则“丰收2号”小麦的单位面积产量是“丰收1号”小麦单位面积产量的倍． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $