第14讲 分式运算与规律、新定义型问题 培优讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册

本讲义聚焦初中数学分式运算与规律、新定义型问题，系统梳理分式混合运算、化简求值、错解复原、规律探究、假分数拆分、倒数法及新定义问题，构建从基础运算到综合应用的递进学习支架。 通过规律探究培养抽象能力（数学眼光），新定义问题发展应用意识（数学语言），典型例题与变式训练提升运算能力（数学思维），课中辅助分层教学，课后练习助力学生查漏补缺，强化知识掌握。

第14讲 分式运算与规律、新定义型问题 典 型 例 题 题型 分式的混合运算问题 1 1.遵循运算顺序：和有理数混合运算一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减。如果有括号，要先算括号里面的。 2.灵活运用乘法公式：在计算过程中，要留意分子和分母是否能使用乘法公式，比如平方差公式或完全平方公式。用对公式可以大大简化计算。 3.及时化简：每一步运算完成后，都要检查分子和分母是否有公因式。能约分的一定要先约分，这样可以避免最后处理大数字，让计算更简单。 1 例 例1．化简： (1)； (2)． 1-1 变式变式 计算： (1)； (2)． 1-2 变式变式 计算： (1)； (2) 1-3 变式变式 化简： (1)； (2)． 题型 分式的混合运算先化简求值问题 2 1.先化简，再代入：这是最关键的一步。先把整个分式表达式化简到最简形式，再把字母的值代进去计算。千万不要直接代入，那样计算量会非常大。 2.化简时注意运算顺序：化简过程要遵循"先乘方，再乘除，最后算加减"的顺序。有括号的，要先算括号里面的。 3.代入前先检验：把字母的值代入原式的分母和除式中，检查是否会使它们等于0。如果等于0，这个值就不能用，题目可能需要你重新选择一个合适的值代入。 2 例 先化简，再求值：，其中． 2-1 变式变式 先化简，再求值：，其中． 2-2 变式变式 先化简：，再从，1，2中选择一个合适的值代入求值． 2-3 变式变式 化简求值：，从不等式中选择一个适当的整数，代入求值． 题型 分式的混合运算错解复原问题 3 1. 顺着错解，倒推条件：仔细阅读题目，找出"小明"或"小红"是在哪一步、因为什么规则用错了。然后，顺着他的错误步骤和得到的错误结果，反向推算出题目中隐藏的关键信息，比如某个字母的值。 2. 回到正轨，正确化简：拿到正确的条件后，把它当作一道全新的"先化简再求值"问题。完全忘掉之前的错误解法，按照正确的运算顺序和分式化简规则，重新把原式化简到最简形式。 3. 代入计算，得出正解：最后，将之前推算出的正确条件代入到化简好的式子中，进行计算，得出正确的最终答案。 3 例 下面是小华化简分式的过程： 解：原式．第一步 第二步 第三步 (1)小华的化简过程从第______步开始出现错误； (2)请你写出正确的化简过程，并从2，3，4，5中选择一个合适的数代入求值． 3-1 变式变式 先化简，再求值：，其中． 小文的部分解答过程如下： 原式……① ……② ……③ 当时，原式． 请指出小文解答过程中最早出现错误步骤的序号，并写出正确的解答过程． 3-2 变式变式 下面是小聪同学进行分式运算的过程，请仔细阅读并完成任务． 解： ……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 (1)任务一：小聪同学的求解过程从第________步开始出现错误； (2)任务二：请你写出正确的计算过程． 3-3 变式变式 以下是小明同学完成课本129页计算的解答过程． 解： ① ② ③ ④ ⑤ 小明的解答过程对吗？如果正确，请写出每一步运用的数学知识；如果不对，请写出错误步骤的序号，并写出正确的解答过程． 题型 分式的混合运算规律探究问题 4 1.先算前几项，寻找规律：题目通常会让你计算 n=1, n=2, n=3... 时的结果。你先把这几项的结果算出来，写在一起。 2.观察结果，总结通项：仔细看一下你算出来的这几个结果，看看分子、分母和序号 n 之间有什么联系。试着用 n 把这个规律表示出来，这就是通项公式。 3.验证规律，确保正确：找到规律后，最好再用 n=4 或 n=5 验证一下。把值代入你总结的公式，看结果是否和直接计算的一样。 4 例 观察下列一组等式，根据你所发现的规律解答问题： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：；… (1)第5个等式是_______________； (2)用含（为正整数）的代数式表示第个等式，并证明等式的正确性． 4-1 变式变式 观察以下等式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：； 第5个等式：；．．． 按照以上规律，解决下冽问题： (1)写出第7个等式； (2)写出你猜想的第个等式：_______________________（用含的等式表示），并证明． 4-2 变式变式 观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照以上规律，回答下列问题： (1)写出第5个等式：________________________； (2)猜想：用含的等式表示第个等式：________________，并说明理由． 4-3 变式变式 观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式_____； (2)猜想并写出第n个等式_____（用含n的式子表示）； (3)通过代数运算说明（2）中猜想正确． 题型 分式的混合运算假分数问题 5 1.拆分假分数：当分式的分子次数大于或等于分母次数时，就可以把它拆成一个整式加上一个真分数。 例如，(x² + 2x + 3)/(x+1) 可以拆成 (x+1) + 2/(x+1)。 2.拆分后再通分：拆分后，原式通常会变成几个整式和简单分式的加减。 这时候再进行通分，计算量会比直接对假分数通分小得多。 3.利用拆分求最值：在一些求最值的题目中，拆分假分数后可能会出现可以使用基本不等式的形式。 这能帮你快速找到最大值或最小值。 5 例 分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式，例如：分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如：． (1)将假分式化为一个整数与一个真分式的和； (2)若x是整数，且假分式的值为正整数，求x的值； (3)若假分式化为一个整式与一个真分式的和的形式为，A，B均为关于x的多项式，若，，求的最小值． 5-1 变式变式 阅读：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，这样的分式就是真分式，我们知道，假分数可以化为带分数，例如：．类似的，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如： ； ． 请根据上述材料，解答下列问题： (1)填空：①分式是______分式（填“真”或“假”）． ②把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式： ______+______． (2)把分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式，并求x取何整数时，这个分式的值为整数． 5-2 变式变式 阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：这样的分式就是假分式；再如：这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式） 如：； 再如：． 解决下列问题： (1)分式是_______（填“真分式”或“假分式”）； (2)如果分式的值为整数，求出所有符合条件的整数x的值． (3)把分式化成一个带分式（即：整式与真分式的和的形式），体现化简过程． 题型 分式的混合运算“倒数法”求值问题 6 1. 取倒数，化繁为简：如果题目给的条件或要求的式子看起来很复杂，像是一个分式套分式，就可以尝试对它取倒数。取倒数后，复杂的分式结构常常会变得非常简单。 2. 结合已知条件：取倒数后，得到的新等式通常能和题目给的已知条件联系起来。你可以把已知条件代入，快速求出这个倒数的值。 3. 再倒回来，得到答案：求出倒数的值后，再取一次倒数，就能得到原来那个复杂式子的值了。 6 例 阅读下面的解题过程： 已知：，求的值． 解：由，可知， ，即① ②， 故的值为． (1)第②步运用了公式：______；（要求：用含a、b的式子表示） (2)上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题： 已知：，求的值； (3)已知：，求的值． 6-1 变式变式 （一）操作发现：阅读下列解题过程：已知，求的值． 解：由，知，所以，即． ， 的值为7的倒数，即． 以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”， （二）实践探索：请你利用“倒数法”解决下面问题： 已知，求的值． （三）问题解决： 已知：．求代数式的值． 6-2 变式变式 阅读下面的解题过程： 已知，求的值． 解：由知，所以，即 所以： 所以的值为 该题的解法叫“倒数法”，请你也利用“倒数法”解决下列问题： (1)已知，求的值； (2)若，求的值； (3)拓展：已知，，，求的值． 6-3 变式变式 阅读下面的解题过程：已知，求的值． 解：由知，所以，即． 因此，所以的值为． 该题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题： 已知，求的值． 题型 分式的混合运算新定义型问题 7 1. 仔细审题，吃透定义：这是最关键的一步。题目会用一个新的符号（比如※、⊕、△等）来定义一种新的运算。你需要仔细阅读这个定义，弄清楚它到底代表什么样的计算过程。 2. 套用公式，代入计算：理解新定义后，把题目给出的具体数字或字母，严格按照定义的运算顺序代入进去。这就像套用一个新的数学公式一样。 3. 结合已有知识，综合求解：在套用新定义的同时，别忘了分式运算的基本法则。在新定义的运算过程中，可能还会涉及到分式的化简、通分等，这些都需要用我们已经学过的知识来解决。 7 例 定义：如果一个分式能够化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和美分式”， 如： (1)下列分式中，属于“和美分式”的是 （填序号）； ①②③④ (2)请将“和美分式”化为一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (3)若为整数，且“和美分式”的值也为整数，求符合条件的整数x的所有取值． 7-1 变式变式 定义：若分式与分式的差等于它们的积．即，则称分式是分式的“友好分式”．如与．因为，．所以是的“友好分式”． (1)填空：分式______分式的“友好分式”．（填“是”或“不是”） (2)已知分式是分式A的“友好分式”． ①求分式A的表达式； ②若整数x使得分式A的值是正整数，求分式A的值． 7-2 变式变式 定义：如果两个分式A与B的差为1，则称A是B的“最友好分式”，如分式，则A是B的“最友好分式”． (1)已知分式，请判断C是否为D的“最友好分式”，并说明理由； (2)已知分式，且E是F的“最友好分式”． ①求P（用含x的式子表示）； ②若为定值，求m与n之间的数量关系． 7-3 变式变式 定义：若分式A与分式B的和等于它们的积的倍（为常数，），即，则称分式互为“n倍和积分式”．例如与，因为，，所以与互为“2倍和积分式”． (1)下列每组两个分式互为“倍和积分式”的是______；（填序号） ①与，②与，③与，④与． (2)已知与互为“n倍和积分式”，则n的值为______； (3)若分式与分式互为“倍和积分式”，则分式为______； (4)若关于x的分式与（为常数）互为“n倍和积分式”，则的值为______． 课 后 练 习 1 练 计算的结果为（   ） A． B． C． D． 2 练 下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3 练 已知，则M等于（   ） A． B． C． D． 4 练 若，则（   ） A．， B．， C．， D．， 5 练 定义运算：（，且为正整数）．若，；；…，化简：（   ） A． B． C． D． 6 练 当 时，代数式的值是 7 练 已知，则的值为 ． 8 练 正数范围内定义一种运算“”，其规律是，则 ． 9 练 根据，，，，…所蕴含的规律可得等于 ． 10 练 观察以下等式：第1个等式：；第2个等2式；第3个等式；第4个等式；……按照以上规律，写出第10个等式 ． 11 练 计算： (1)； (2)． 12 练 计算： (1)； (2)； (3)． 13 练 下面是嘉嘉进行分式化简求值的过程． 先化简，再求值：，其中． 解：原式…第一步 …第二步 …第三步 当时，原式．…第四步 (1)嘉嘉的解题过程中，从第______步开始出现错误； (2)请你写出正确的解题过程． 14 练 已知分式，分式，分式． (1)为何值时，分式A和分式B的值相等？ (2)当时，求分式的值． 15 练 （1）已知：，，，若，求． （2）先化简，再求值：，且为满足−的整数． 16 练 【观察】观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： 【类比】（1）写出第5个等式． 【猜想、验证】（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． 17 练 阅读理解题．我们定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“和谐式”，这个常数称为A关于B的“和谐值”．例：分式，，，则A是B的“和谐式”，A关于B的“和谐值”为2． (1)已知分式，，判断C是否为D的“和谐式”．若不是，请说明理由：若是，请求出C关于D的“和谐值”． (2)已知分式，，M是N的“和谐式”，M关于N的“和谐值”是1，x为整数，且M的值也为整数， ①求E所表示的代数式． ②求所有符合条件的x的值． 18 练 观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式： …． 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式：_______； (2)写出你猜想的第n个等式：_______（用含n的等式表示），并证明． 19 练 定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”． 如，，则和都是“和谐分式”． (1)下列各式中，属于“和谐分式”的是： （填序号）； ①②③④ (2)将“和谐分式”和化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：＝，＝． (3)和谐分式的最大值为． (4)如果和谐分式的值为整数，求出所有符合条件的正整数x的值． 20 练 在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来化简式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一、所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分进行化简，以达到计算目的．例：已知，求代数式的值． 解：，，即．，． 材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个值为的等式，这样就可以通过适当变形解决问题．例：若，且，求的值． 解：令，则，，． 原式． 根据材料回答以下问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 课 后 练 习 1 练 下列各式：，，，，，其中分式共有（    ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 2 练 分式，，，中最简分式的个数是（   ） A． B． C． D． 2 练 如果把分式中的和的值都扩大为原来的倍，那么分式的值（   ） A．扩大为原来的倍 B．扩大为原来的倍 C．缩小为原来的 D．不变 4 练 若分式有意义，则的取值范围是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且且 5 练 式子：（1）；（2）；（3）．其中正确的是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6 练 若是整数，分式的值也是整数，则满足条件的的个数是（      ） A．3个 B．4个 C．5个 D．8个 7 练 当x 时，分式有意义．当 时，分式的值为0． 8 练 若分式的值为负，则的范围是 ． 9 练 分式的值为整数，则所有符合条件的整数x的值为 ． 10 练 不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数． （1） ； （2） ． 11 练 不改变分式的值，使下列分式的分子和分母中的最高次项的系数为正数． （1） ； （2） ； （3） ． 12 练 利用分式的基本性质填空： （1），括号内应填入 ；            （2），括号内应填入 ； （3），括号内应填入 ；         （4），括号内应填入 ． 13 练 当为何值时，下列分式的值为0？ (1) (2) (3) 14 练 不改变分式的值，将下列分式的分子和分母中各项系数都化为整数，且分子与分母的首项系数都不含“”号： (1)； (2)． 15 练 不改变分式的值，将下列各式的分子和分母的各项系数都化为整数． (1)； (2)． 16 练 已知． (1)若y的值为正数，求x的取值范围； (2)若y的值为整数，求整数x的所有可能值． 17 练 阅读材料：我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”：分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如：、这样的分式就是假分式；如：、这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的；假分式也可以化为带分式（即整式与真分式相加）． 如：；． 根据上面材料回答下列问题： (1)分式是______；（填“真分式”或“假分式”） (2)假分式可化为带分式形式______；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x是______； (3)将假分式化为带分式． 18 练 阅读下面例题解法： 例：已知，求分式的值． 解：方法一：由，得①，由，得②，把①和②代入原式，得 原式． 方法二：设，则，把它们代入原式，得 原式． 根据以上解题方法解答下题： 已知，试求分式的值． 第14讲 分式运算与规律、新定义型问题 典 型 例 题 题型 分式的混合运算问题 1 1.遵循运算顺序：和有理数混合运算一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减。如果有括号，要先算括号里面的。 2.灵活运用乘法公式：在计算过程中，要留意分子和分母是否能使用乘法公式，比如平方差公式或完全平方公式。用对公式可以大大简化计算。 3.及时化简：每一步运算完成后，都要检查分子和分母是否有公因式。能约分的一定要先约分，这样可以避免最后处理大数字，让计算更简单。 1 例 例1．化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：； （2）解：． 1-1 变式变式 计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 1-2 变式变式 计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式． 1-3 变式变式 化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：； （2）解：． 题型 分式的混合运算先化简求值问题 2 1.先化简，再代入：这是最关键的一步。先把整个分式表达式化简到最简形式，再把字母的值代进去计算。千万不要直接代入，那样计算量会非常大。 2.化简时注意运算顺序：化简过程要遵循"先乘方，再乘除，最后算加减"的顺序。有括号的，要先算括号里面的。 3.代入前先检验：把字母的值代入原式的分母和除式中，检查是否会使它们等于0。如果等于0，这个值就不能用，题目可能需要你重新选择一个合适的值代入。 2 例 先化简，再求值：，其中． 【答案】2 【详解】解：，，， ，，当时，原式． 2-1 变式变式 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解： ，∵， ∴原式． 2-2 变式变式 先化简：，再从，1，2中选择一个合适的值代入求值． 【答案】， 【详解】解： ，∵，，，原式． 2-3 变式变式 化简求值：，从不等式中选择一个适当的整数，代入求值． 【答案】，当时值为3 【详解】解：， 因为，，，所以，，， 因为，且为整数，所以不等式组中符合条件的整数有，0,或2， 所以当时，原式．（答案不唯一）…… 题型 分式的混合运算错解复原问题 3 1. 顺着错解，倒推条件：仔细阅读题目，找出"小明"或"小红"是在哪一步、因为什么规则用错了。然后，顺着他的错误步骤和得到的错误结果，反向推算出题目中隐藏的关键信息，比如某个字母的值。 2. 回到正轨，正确化简：拿到正确的条件后，把它当作一道全新的"先化简再求值"问题。完全忘掉之前的错误解法，按照正确的运算顺序和分式化简规则，重新把原式化简到最简形式。 3. 代入计算，得出正解：最后，将之前推算出的正确条件代入到化简好的式子中，进行计算，得出正确的最终答案。 3 例 下面是小华化简分式的过程： 解：原式．第一步 第二步 第三步 (1)小华的化简过程从第______步开始出现错误； (2)请你写出正确的化简过程，并从2，3，4，5中选择一个合适的数代入求值． 【答案】(1)二 (2)，7 【详解】（1）解：小华的化简过程中，小华的化简过程从第二步开始出现错误， 故答案为：二； （2）解：， ∵，∴，当时，原式． 3-1 变式变式 先化简，再求值：，其中． 小文的部分解答过程如下： 原式……① ……② ……③ 当时，原式． 请指出小文解答过程中最早出现错误步骤的序号，并写出正确的解答过程． 【答案】最早出现错误步骤的序号是①，见解析 【详解】解：第①步不应该乘以，即最早出现错误步骤的序号是①， 原式 当时，原式 3-2 变式变式 下面是小聪同学进行分式运算的过程，请仔细阅读并完成任务． 解： ……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 (1)任务一：小聪同学的求解过程从第________步开始出现错误； (2)任务二：请你写出正确的计算过程． 【答案】(1)二 (2) 【详解】（1）小聪同学的求解过程从第二步开始出现错误； （2）． 3-3 变式变式 以下是小明同学完成课本129页计算的解答过程． 解： ① ② ③ ④ ⑤ 小明的解答过程对吗？如果正确，请写出每一步运用的数学知识；如果不对，请写出错误步骤的序号，并写出正确的解答过程． 【答案】小明的解答过程错误，错误出现在第③步，见解析 【详解】解：小明的解答过程错误，错误出现在第③步， 正确的解题过程如下： ． 题型 分式的混合运算规律探究问题 4 1.先算前几项，寻找规律：题目通常会让你计算 n=1, n=2, n=3... 时的结果。你先把这几项的结果算出来，写在一起。 2.观察结果，总结通项：仔细看一下你算出来的这几个结果，看看分子、分母和序号 n 之间有什么联系。试着用 n 把这个规律表示出来，这就是通项公式。 3.验证规律，确保正确：找到规律后，最好再用 n=4 或 n=5 验证一下。把值代入你总结的公式，看结果是否和直接计算的一样。 4 例 观察下列一组等式，根据你所发现的规律解答问题： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：；… (1)第5个等式是_______________； (2)用含（为正整数）的代数式表示第个等式，并证明等式的正确性． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【详解】（1）解：(1) 第1个等式：；  第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：；…… 根据此规律，第5个等式为：.故答案为：. （2）由题目中给定的规律，第n个等式为：. 下面证明：等式左边=右边∴. 4-1 变式变式 观察以下等式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：； 第5个等式：；．．． 按照以上规律，解决下冽问题： (1)写出第7个等式； (2)写出你猜想的第个等式：_______________________（用含的等式表示），并证明． 【答案】(1)；(2)，证明见解析 【详解】（1）解：由题意可知，第7个等式为． （2）解：猜想的第个等式：， 证明：∵左边右边， ∴等式成立． 4-2 变式变式 观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照以上规律，回答下列问题： (1)写出第5个等式：________________________； (2)猜想：用含的等式表示第个等式：________________，并说明理由． 【答案】(1)； (2)；理由见解析； 【详解】（1）解：∵第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：； ……∴第5个等式： （2）解：用含的等式表示第个等式：， 理由：左边，右边． ∴左边右边，即猜想的等式成立． 4-3 变式变式 观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式_____； (2)猜想并写出第n个等式_____（用含n的式子表示）； (3)通过代数运算说明（2）中猜想正确． 【答案】(1)； (2)；(3)见解析 【详解】（1）解：根据材料提示方法得到，， 故答案为：； （2）解：根据材料的计算方法得到，， 故答案为：； （3）解：说明如下， 左边 ，∴左边右边，∴等式成立，即猜想正确． 题型 分式的混合运算假分数问题 5 1.拆分假分数：当分式的分子次数大于或等于分母次数时，就可以把它拆成一个整式加上一个真分数。 例如，(x² + 2x + 3)/(x+1) 可以拆成 (x+1) + 2/(x+1)。 2.拆分后再通分：拆分后，原式通常会变成几个整式和简单分式的加减。 这时候再进行通分，计算量会比直接对假分数通分小得多。 3.利用拆分求最值：在一些求最值的题目中，拆分假分数后可能会出现可以使用基本不等式的形式。 这能帮你快速找到最大值或最小值。 5 例 分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式，例如：分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如：． (1)将假分式化为一个整数与一个真分式的和； (2)若x是整数，且假分式的值为正整数，求x的值； (3)若假分式化为一个整式与一个真分式的和的形式为，A，B均为关于x的多项式，若，，求的最小值． 【答案】(1) (2)或4或6 (3)75 【详解】（1）解：； （2）解：∵为正整数，，∴，∴， ∵，又，且为整数，为正整数， ∴或2或4，∴或4或6； （3）解：， ，，，， ，，，， ， ，当，即时，有最小值75，的最小值为75． 5-1 变式变式 阅读：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，这样的分式就是真分式，我们知道，假分数可以化为带分数，例如：．类似的，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如： ； ． 请根据上述材料，解答下列问题： (1)填空：①分式是______分式（填“真”或“假”）． ②把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式： ______+______． (2)把分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式，并求x取何整数时，这个分式的值为整数． 【答案】(1)①真；②x，；(2)，或或或 【详解】（1）①分式中，分子2可看作，最高次数是；分母的最高次数是 ，分子的最高次数低于分母的最高次数，∴分式是真分式； ②； 故答案为：真；x，； （2）解：， ∵这个分式的值为整数，∴或或或，或或或. 5-2 变式变式 阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：这样的分式就是假分式；再如：这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式） 如：； 再如：． 解决下列问题： (1)分式是_______（填“真分式”或“假分式”）； (2)如果分式的值为整数，求出所有符合条件的整数x的值． (3)把分式化成一个带分式（即：整式与真分式的和的形式），体现化简过程． 【答案】(1)假 (2)或 (3) 【详解】（1）解：由题意，∵当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”， ∴分式是假分式．故答案为：假； （2）由题意得：，分式的值为整数，． 或； （3）． 题型 分式的混合运算“倒数法”求值问题 6 1. 取倒数，化繁为简：如果题目给的条件或要求的式子看起来很复杂，像是一个分式套分式，就可以尝试对它取倒数。取倒数后，复杂的分式结构常常会变得非常简单。 2. 结合已知条件：取倒数后，得到的新等式通常能和题目给的已知条件联系起来。你可以把已知条件代入，快速求出这个倒数的值。 3. 再倒回来，得到答案：求出倒数的值后，再取一次倒数，就能得到原来那个复杂式子的值了。 6 例 阅读下面的解题过程： 已知：，求的值． 解：由，可知， ，即① ②， 故的值为． (1)第②步运用了公式：______；（要求：用含a、b的式子表示） (2)上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题： 已知：，求的值； (3)已知：，求的值． 【答案】(1)或 (2) (3) 【详解】（1）解：或； （2） ； （3） ． 6-1 变式变式 （一）操作发现：阅读下列解题过程：已知，求的值． 解：由，知，所以，即． ， 的值为7的倒数，即． 以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”， （二）实践探索：请你利用“倒数法”解决下面问题： 已知，求的值． （三）问题解决： 已知：．求代数式的值． 【答案】实践探索：；问题解决：6 【详解】实践探索：解：由，知，∴，∴， ∴，∴， ∴的值为61的倒数，即． 问题解决：由可知：，，， ∴，，， ∴，∴，∴， ∴，， ∴，，，∴． 6-2 变式变式 阅读下面的解题过程： 已知，求的值． 解：由知，所以，即 所以： 所以的值为 该题的解法叫“倒数法”，请你也利用“倒数法”解决下列问题： (1)已知，求的值； (2)若，求的值； (3)拓展：已知，，，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【详解】（1）解：，可知，，， ，； （2）解：，可知，，，， ，； （3）解：，，，可知，，， ，，，，，， ，，，． 6-3 变式变式 阅读下面的解题过程：已知，求的值． 解：由知，所以，即． 因此，所以的值为． 该题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题： 已知，求的值． 【答案】 【详解】解：由知，即， ． 题型 分式的混合运算新定义型问题 7 1. 仔细审题，吃透定义：这是最关键的一步。题目会用一个新的符号（比如※、⊕、△等）来定义一种新的运算。你需要仔细阅读这个定义，弄清楚它到底代表什么样的计算过程。 2. 套用公式，代入计算：理解新定义后，把题目给出的具体数字或字母，严格按照定义的运算顺序代入进去。这就像套用一个新的数学公式一样。 3. 结合已有知识，综合求解：在套用新定义的同时，别忘了分式运算的基本法则。在新定义的运算过程中，可能还会涉及到分式的化简、通分等，这些都需要用我们已经学过的知识来解决。 7 例 定义：如果一个分式能够化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和美分式”， 如： (1)下列分式中，属于“和美分式”的是 （填序号）； ①②③④ (2)请将“和美分式”化为一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (3)若为整数，且“和美分式”的值也为整数，求符合条件的整数x的所有取值． 【答案】(1)①②③ (2) (3)，，， 【详解】（1）解：①，②，③， ④不能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式， 上列分式中，属于“和美分式”的是①②③，故答案为：①②③； （2）； （3）为整数，也为整数， ，或，或或或． 7-1 变式变式 定义：若分式与分式的差等于它们的积．即，则称分式是分式的“友好分式”．如与．因为，．所以是的“友好分式”． (1)填空：分式______分式的“友好分式”．（填“是”或“不是”） (2)已知分式是分式A的“友好分式”． ①求分式A的表达式； ②若整数x使得分式A的值是正整数，求分式A的值． 【答案】(1)是 (2)①；② 1​, 3​ 或 4​ 【详解】（1）解：设． ，， ，故​ 是的“友好分式”，故答案为： ​是； （2）​​​①​分式是分式A的“友好分式”， 设分式． 则移项，得，， ，， 分式A为 ​​． ​②​，要求A为正整数，x为整数且 ．令（k正整数），则：， ，，，x整数，故 k−2 整除2，即： 当时，当时，，当时， 当时（舍去，非正整数）A的值为 1​, 3​ 或 4​． 7-2 变式变式 定义：如果两个分式A与B的差为1，则称A是B的“最友好分式”，如分式，则A是B的“最友好分式”． (1)已知分式，请判断C是否为D的“最友好分式”，并说明理由； (2)已知分式，且E是F的“最友好分式”． ①求P（用含x的式子表示）； ②若为定值，求m与n之间的数量关系． 【答案】(1)C是D的“最友好分式”，理由见解析 (2)①，② 【详解】（1）解：C是D的“最友好分式”，理由： ∵ ∴C是D的“最友好分式”； （2）①∵分式，且E是F的“最友好分式”， ∴，解得； ②当时，， 设，∴，∴， ∵为定值，∴且， 由解得， 把代入，得∴． 7-3 变式变式 定义：若分式A与分式B的和等于它们的积的倍（为常数，），即，则称分式互为“n倍和积分式”．例如与，因为，，所以与互为“2倍和积分式”． (1)下列每组两个分式互为“倍和积分式”的是______；（填序号） ①与，②与，③与，④与． (2)已知与互为“n倍和积分式”，则n的值为______； (3)若分式与分式互为“倍和积分式”，则分式为______； (4)若关于x的分式与（为常数）互为“n倍和积分式”，则的值为______． 【答案】(1)②④ (2) (3) (4) 【详解】（1）解：对于①，，，所以与不是互为“n倍和积分式”； 对于②，， ，所以与互为“4倍和积分式”； 对于③，，，所以与不是互为“n倍和积分式”； 对于④，，，， 所以与互为“倍和积分式”；故答案为：②④； （2）解：因为与互为“n倍和积分式”， 所以，， ，所以与互为“倍和积分式”， n的值为，故答案为：； （3）解：分式与分式互为“倍和积分式”， 所以，即，所以， 所以，，故答案为：； （4）解：若关于x的分式与（为常数）互为“n倍和积分式”， 所以， ， 所以可得：，， 即，． 故答案为：． 课 后 练 习 1 练 计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：．故选：B． 2 练 下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，故A项错误，不符合题意； ，故B项正确，符合题意； ，故C项错误，不符合题意； ，故D项错误，不符合题意；故选：B． 3 练 已知，则M等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，∴， 4 练 若，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】解：， ，，解得．故选：． 5 练 定义运算：（，且为正整数）．若，；；…，化简：（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：当时，，， ，∴， ∴；故选A． 6 练 当 时，代数式的值是 【答案】4 【详解】解： ，∵，∴原式， 故答案为：4． 7 练 已知，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：原式 ∵，∴原式的值为．故答案为：． 8 练 正数范围内定义一种运算“”，其规律是，则 ． 【答案】 【详解】解：根据题意得：．故答案为：． 9 练 根据，，，，…所蕴含的规律可得等于 ． 【答案】 【详解】解：，，， ，每3个数为一周期循环，，， 10 练 观察以下等式：第1个等式：；第2个等2式；第3个等式；第4个等式；……按照以上规律，写出第10个等式 ． 【答案】 【详解】解：第1个等式：；第2个等2式；第3个等式； 第4个等式；……， 第n个等式， 当时，．． 11 练 计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12 练 计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式 ． （3）解：原式． 13 练 下面是嘉嘉进行分式化简求值的过程． 先化简，再求值：，其中． 解：原式…第一步 …第二步 …第三步 当时，原式．…第四步 (1)嘉嘉的解题过程中，从第______步开始出现错误； (2)请你写出正确的解题过程． 【答案】(1)一 (2)，原式的值为 【详解】（1）解：嘉嘉的解题过程中，从第一步开始出现错误，故答案为：一； （2）解：正确的解题过程如下： 原式， 当时，原式． 14 练 已知分式，分式，分式． (1)为何值时，分式A和分式B的值相等？ (2)当时，求分式的值． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）解：由题意得： 去分母得：解得：经检验：是原分式方程的解． 所以，当时，分式和分式的值相等. （2）由题意得： ， 当时，原式．所以当时，求分式的值为． 15 练 （1）已知：，，，若，求． （2）先化简，再求值：，且为满足−的整数． 【答案】（1）（2）−；−； 【详解】解：（1）∵，，，， ∴，，； （2）原式； ∵且且，且为整数，∴， 原式． 16 练 【观察】观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： 【类比】（1）写出第5个等式． 【猜想、验证】（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． 【答案】（1）（2），证明见解析 【详解】解：（1）． （2）第n个等式为．证明：∵， ∴猜想成立． 17 练 阅读理解题．我们定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“和谐式”，这个常数称为A关于B的“和谐值”．例：分式，，，则A是B的“和谐式”，A关于B的“和谐值”为2． (1)已知分式，，判断C是否为D的“和谐式”．若不是，请说明理由：若是，请求出C关于D的“和谐值”． (2)已知分式，，M是N的“和谐式”，M关于N的“和谐值”是1，x为整数，且M的值也为整数， ①求E所表示的代数式． ②求所有符合条件的x的值． 【答案】(1)C不是D的“和谐式”，理由见解析 (2)①；②0，2，4，6 【详解】（1）解：C不是D的“和谐式”，理由如下：， ∵不是正数，∴C不是D的“和谐式”； （2）解：①∵M是N的“和谐式”，且M关于N的“和谐值”是1，∴， ，∴，∴； ②由①知．∵M的值也为整数，且分式有意义，∴或， ∴x的值为：0，2，4，6． 18 练 观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式： …． 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式：_______； (2)写出你猜想的第n个等式：_______（用含n的等式表示），并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【详解】（1）解：第6个等式：，故答案为：． （2）解：猜想第n个等式： 证明：∵左边 右边右边， ∴．故答案为：． 19 练 定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”． 如，，则和都是“和谐分式”． (1)下列各式中，属于“和谐分式”的是： （填序号）； ①②③④ (2)将“和谐分式”和化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：＝，＝． (3)和谐分式的最大值为． (4)如果和谐分式的值为整数，求出所有符合条件的正整数x的值． 【答案】(1)①③ (2)； (3)3 (4)2或8 【详解】（1）解：①，是“和谐分式”． ②，不是“和谐分式”（分子不是常数）． ③，是“和谐分式”． ④，不是“和谐分式”（分子不是常数）． 故答案为①③． （2）解：． ． （3）解：．因为，则，， 所以，最大值为． （4）解：．因为值为整数，所以是的因数， 或（正整数），解得或． 20 练 在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来化简式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一、所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分进行化简，以达到计算目的．例：已知，求代数式的值． 解：，，即．，． 材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个值为的等式，这样就可以通过适当变形解决问题．例：若，且，求的值． 解：令，则，，． 原式． 根据材料回答以下问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1)5 (2) 【详解】（1）解：，， ，； （2）解：设，则，． 课 后 练 习 1 练 下列各式：，，，，，其中分式共有（    ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】解：对于，分母是a，a是字母，所以是分式； 对于，分母是，是一个常数，也是常数，不含有字母，所以不是分式； 对于，分母是2，2是常数，不含字母，所以不是分式； 对于，的分母是x，x是字母，所以是分式； 对于，分母是，x是字母，所以是分式． 综上所述，其中分式有：，，，共3个．故选：B． 2 练 分式，，，中最简分式的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：的分子、分母都不能再分解，且不能约分，是最简分式； ，即不是最简分式； ，即不是最简分式； 的分子、分母都不能再分解，且不能约分，是最简分式．综上，最简分式的个数是个． 2 练 如果把分式中的和的值都扩大为原来的倍，那么分式的值（   ） A．扩大为原来的倍 B．扩大为原来的倍 C．缩小为原来的 D．不变 【答案】A 【详解】解：把分式中的和的值都扩大为原来的倍， 则分式变为，分式的值扩大为原来的倍．故选：． 4 练 若分式有意义，则的取值范围是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且且 【答案】D 【详解】解：∵分式有意义∴，解得且且，故选：D． 5 练 式子：（1）；（2）；（3）．其中正确的是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【详解】解：（1）．故（1）错误； （2）．故（2）错误； （3）分子、分母同时乘以，分式的值不变，即．故（3）正确． 综上所述，正确的变形有1个．故选：B． 6 练 若是整数，分式的值也是整数，则满足条件的的个数是（      ） A．3个 B．4个 C．5个 D．8个 【答案】D 【详解】解：， 若要的值为整数，只需为整数即可，可以是， 当时，，当时，，当时，， 当时，，当时，，当时，， 当时，，当时，， 综上分析可知，分式的值为整数．满足条件的的个数共有8个， 故答案为：D． 7 练 当x 时，分式有意义．当 时，分式的值为0． 【答案】 【详解】解：（1）依题意得：，解得． （2）依题意得：，且，∴，且， 解得．故答案为：，． 8 练 若分式的值为负，则的范围是 ． 【答案】且 【详解】解：由题意得：，且，解得：且， 故答案为：且． 9 练 分式的值为整数，则所有符合条件的整数x的值为 ． 【答案】或0或2或8 【详解】解：， 要使分式的值是整数，则是7的因数，∴或，∴或0或2或8， 故答案为：或0或2或8． 10 练 不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数． （1） ； （2） ． 【答案】 【详解】解：（1）故答案为： （2）故答案为： 11 练 不改变分式的值，使下列分式的分子和分母中的最高次项的系数为正数． （1） ； （2） ； （3） ． 【答案】 【详解】（1）故答案为： （2）故答案为： （3）故答案为： 12 练 利用分式的基本性质填空： （1），括号内应填入 ；            （2），括号内应填入 ； （3），括号内应填入 ；         （4），括号内应填入 ． 【答案】 x 【详解】解：，故答案为：； ，故答案为：； ，故答案为：； ，故答案为：． 13 练 当为何值时，下列分式的值为0？ (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3)没有使分式的值为0的值 【详解】（1）解：∵的值为，∴且，解得：． （2）解：∵的值为，∴且，解得：． （3）解：∵的值为，∴且，∴没有使分式的值为0的值． 14 练 不改变分式的值，将下列分式的分子和分母中各项系数都化为整数，且分子与分母的首项系数都不含“”号： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：； （2）解：． 15 练 不改变分式的值，将下列各式的分子和分母的各项系数都化为整数． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：； （2）解：． 16 练 已知． (1)若y的值为正数，求x的取值范围； (2)若y的值为整数，求整数x的所有可能值． 【答案】(1) (2)或或或或或 【详解】（1）解：的值为正数，，； （2），y的值为整数， 或或或或或， 或或或或或． 17 练 阅读材料：我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”：分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如：、这样的分式就是假分式；如：、这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的；假分式也可以化为带分式（即整式与真分式相加）． 如：；． 根据上面材料回答下列问题： (1)分式是______；（填“真分式”或“假分式”） (2)假分式可化为带分式形式______；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x是______； (3)将假分式化为带分式． 【答案】(1)真分式 (2)；或或或； (3) 【详解】（1）解：由题意得，分式是真分式； （2）解：；∵的值是整数，∴是整数， ∴是整数，∴或，∴或或或； （3）解：． 18 练 阅读下面例题解法： 例：已知，求分式的值． 解：方法一：由，得①，由，得②，把①和②代入原式，得 原式． 方法二：设，则，把它们代入原式，得 原式． 根据以上解题方法解答下题： 已知，试求分式的值． 【答案】 【详解】解：∵，∴，， ∴； 1 学科网（北京）股份有限公司 $