2.3 实数 题型专练 2026-2027学年苏科版数学八年级上册

**基本信息** 以“典例引领+分层变式”构建实数知识巩固体系，通过13类题型实现从概念理解到综合应用的递进，培养抽象能力与运算能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础理解层|无理数定义、实数分类等核心概念|典例示范+辨析题（如无理数识别），强化概念辨析| |技能应用层|无理数估算、实数运算等基本技能|阶梯式变式（如估算整数部分到实际应用），提升运算能力| |综合拓展层|新定义运算、跨情境应用等复杂问题|情境化问题（如魔方棱长估算）与新运算设计，发展应用意识|

苏科版（2024）八年级上册 2.3 实数 题型专练 【题型1】无理数的定义 【典例】下列各数中，是无理数的是(　　) A.    B.    C.   D.0.131 33 【举一反三1】有理数和无理数的区别在于(　　) A.有理数是有限小数，无理数是无限小数 B.有理数能用分数表示，而无理数不能 C.有理数是正的，无理数是负的 D.有理数是整数，无理数是分数 【举一反三2】数，3.14，，-，0.，-0.101 001 000 1…(相邻两个1之间的0的个数逐渐加1)，中，无理数的个数为 A.5 B.2 C.3 D.4 【举一反三3】写出一个无理数x，使得1<x<4，则x可以是　　　　.(只要写出一个满足条件的x即可) 【举一反三4】数学课堂上，老师让同学们从下列数中找出一个无理数：，，||，0，π，﹣0.6，．其中，甲说“”，乙说“”，丙说“π”． （1）甲、乙、丙三个人中，说错的是 　　． （2）请将老师所给的数字按要求填入相应的区域内． 【举一反三5】“形如，的数是无理数”，这个说法对吗？为什么？ 【题型2】无理数的估算 【典例】估计的值在（　　） A.0和1之间 B.1和2之间 C.2和3之间 D.3和4之间 【举一反三1】估计的值在(　　) A.4和5之间   B.3和4之间 C.2和3之间   D.1和2之间 【举一反三2】已知2的整数部分等于a，则a等于（　　） A.4 B.3 C.2 D.1 【举一反三3】满足的整数x有 　　个． 【举一反三4】定义[x]为不大于x的最大整数，如[2]＝2，，[4.1]＝4，若满足，则n的最大整数为 　　． 【举一反三5】已知． （1）求x，y的值； （2）求的整数部分． 【举一反三6】阅读下面的文字，解答问题： ∵，即， ∴的整数部分是2，小数部分是， （1）试求：的整数部分与小数部分； （2）已知小数部分是n，且，求x的值． 【题型3】无理数估算的应用 【典例】一个正方体的水晶砖的体积为100，它的棱长大约在（　　） A.4和5之间 B.5和6之间 C.6和7之间 D.7和8之间 【举一反三1】一个物体自由下落时，它所经过的距离h（米）和时间t（秒）之间的关系我们可以用来估计．如图，上海金茂大厦观光厅离地面高度340米，若一物体从观光厅自由下落到地面上，则该物体所经过的时间秒数与下列哪个数最接近．你的选项是（　　） A.6 B.7 C.8 D.9 【举一反三2】若一个边长为a正方形的面积为30，则a的取值范围是（　　） A.5.0＜a＜5.2 B.5.2＜a＜5.5 C.5.5＜a＜5.7 D.5.7＜a＜6.0 【举一反三3】如图，正方形的面积为12，则与该正方形的边长最接近的整数是 　　． 【举一反三4】如图，标准魔方是魔方比赛中最常见的类型．标准魔方的一个面的面积约为32cm2，若它的棱长为a cm，a在两个连续的整数之间，则这两个连续整数中，较小的整数是 　　． 【举一反三5】在一次活动课中，虹烨同学用一根绳子围成一个长宽之比为3：1，面积为75 cm2的长方形． （1）求长方形的长和宽； （2）她用另一根绳子围成一个正方形，且正方形的面积等于原来围成的长方形面积，她说：“围成的正方形的边长与原来长方形的宽之差大于3cm”，请你判断她的说法是否正确，并说明理由． 【举一反三6】小明将一个长为10cm，宽为8cm的长方形纸片按与边平行的方向进行裁剪，裁剪出两个大小不一的正方形，使它们的边长之比为4：3，面积之和为75cm2，小明能否裁剪出这两个正方形？若能，请说明理由并求出这两个正方形的面积；若不能，也说明理由． 【题型4】实数的概念与分类 【典例】下列各数中，是有理数的是（　　） A. B. C. D.2π 【举一反三1】如图，中国南北朝时期著名的数学家、天文学家祖冲之采用刘徽的“割圆术”将圆周率π精确到小数点后第七位，还得到了π的两个近似值：（约率）和（密率），这个记录在世界上保持了1100多年．其中，约率是（　　） A.整数 B.有限小数 C.有理数 D.无理数 【举一反三2】公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”，意思是一切量都可以用整数或整数的比（分数）表示．后来，这一学派的希帕索斯发现，边长为1的正方形的对角线的长度不能用整数或整数的比表示（如图），由此引发了第一次数学危机．这里“不能用整数或整数的比表示的数”是指（　　） A.正数 B.负数 C.有理数 D.无理数 【举一反三3】把下列各数分别填入相应的集合中. -5，，3.141，0，-1.232 332 333 2…(每相邻两个2之间依次多一个3)，. 有理数集合； 无理数集合； 正实数集合； 负实数集合. 【举一反三4】把下列各数填入相应的集合内. 7.5，，4，，0.31，-π，0.. 有理数集合； 无理数集合； 正实数集合； 负实数集合. 【举一反三5】将下列各数对应的序号填在相应的集合里． ①﹣|﹣2.5|，②0，③﹣（﹣52），④+（）2，⑤1.2121121112…，⑥，⑦﹣π 正数集合：{ 　　…} 整数集合：{  　…} 负分数集合：{ 　　…} 无理数集合：{ 　　…} 【举一反三6】升入初中后，我们相继学习了一些新的数，数就扩充到了实数．以下是数学乐园中的“实数家族”，请给该“实数家族”分分家吧．（★将各数的序号填入相应的家族里） 【题型5】实数与数轴 【典例】如图，面积为5的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且点A表示的数为1，若AD＝AE，则数轴上点E所表示的数为（　　） A. B. C. D. 【举一反三1】如图，将实数-1表示在数轴上为 A.点R B.点Q C.点S D.点T 【举一反三2】如图，在数轴上表示数-的点可能是(　　) A.点E B.点F C.点P D.点Q 【举一反三3】如图所示，为了在数轴上找到表示无理数π的点，小王同学制作了一个以A为圆心，m为半径的圆，并在此圆上标记一个点B，将点B与原点重合．若让此圆在数轴上向右滚动一周后，点B就是数轴上表示无理数π的点，则m＝　　． 【举一反三4】如图，数轴上与，对应的点分别是A，B，点C也在数轴上，且AB＝AC，设点C表示的数为x．求x的值． 【题型6】实数的性质 【典例】的绝对值是（　　） A. B. C. D. 【举一反三1】已知x是整数，当取最小值时，x的值是（　　） A.5 B.6 C.7 D.8 【举一反三2】下列各组数中互为相反数的一组是 A.-|-2|与 B.-4与- C.-与 D.-与 【举一反三3】的相反数是　　　；-的绝对值是　　　　. 【举一反三4】如图，在数轴上点A表示的实数是　　　　. 【举一反三5】实数a，b所对应的点如图所示，化简|a|+|b|﹣|a﹣b|． 【举一反三6】求下列各数的相反数、倒数和绝对值. (1)-；(2)；(3)；(4)-1. 【题型7】利用计算器开方 【典例】某同学在用计算器估算6的算术平方根时，需要用到以下哪个键（　　） A. B. C. D. 【举一反三1】在计算器上按键显示的结果是（　　） A.﹣3 B.3 C.17 D.33 【举一反三2】用计算器计算某个运算式，若正确的按键顺序是，则此运算式应是（　　） A.43 B.34 C. D. 【举一反三3】利用计算器进行如下操作，屏幕显示的结果为5.625，那么进行如下操作，那么屏幕显示的结果为 　　． 【举一反三4】若用初中数学课本上使用的科学计算器进行计算，则以下按键的结果为 　　． 【举一反三5】利用计算器，比较下列各组数的大小： (1)； (2). 【举一反三6】（2023春•香洲区期中）利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： （1）分析发现：被开方数扩大100倍，它的算术平方根扩大 　　倍； （2）若一块长方形纸片的面积是400cm2，长与宽之比为2：1，求这块长方形纸片的长与宽（精确到0.1， 1.414， 1.732）． 【题型8】利用估算比较实数大小 【典例】比较2，，的大小，正确的是（　　） A. B. C. D. 【举一反三1】k、m、n为三整数，若，，，则下列有关于k、m、n的大小关系正确的是（　　） A.k＜m＝n B.m＝n＜k C.m＜n＜k D.m＜k＜n 【举一反三2】下列各数中最小的实数是(　　) A.5 B.- C.0 D.π 【举一反三3】已知m，n为两个连续的整数，且m<<n，则m＋n＝　　　　. 【举一反三4】将下列各数按从小到大的顺序排列，并用“＜”号连接起来：3；；0；；﹣1.8． 【题型9】利用数轴比较实数的大小 【典例】实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示．把a，b，﹣a，﹣b按照从小到大的顺序排列，正确的是（　　） A.b＜﹣a＜﹣b＜a B.﹣a＜﹣b＜a＜b C.﹣b＜a＜﹣a＜b D.b＜﹣a＜a＜﹣b 【举一反三1】实数a、b、c、d在数轴上对应的位置如图所示，这四个数中绝对值最大的是（　　） A.a B.b C.c D.d 【举一反三2】已知实数a，b，c，满足|a|＞|b|＞|c|，这三个数在数轴上的位置可能是（　　） A. B. C. D. 【举一反三3】实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，则a，b，﹣c的大小关系是 　　（用“＜”连接） 【举一反三4】在数轴上，介于和之间的整数是　　　　　. 【举一反三5】把下列各数在数轴上表示出来：－，，|－1.5|，(－2)2.并用“<”连接起来. 【举一反三6】小云的作业中有这样一道题： 请画出数轴并把实数，-，-4，在数轴上表示出来，再把这几个数按照从小到大的顺序排列. (1)你认为表示的点在　　　　到　　　　之间(填整数)； (2)如图是小云所画的数轴，请你帮助小云完成剩下的任务. 【题型10】作差法比较实数的大小 【典例】若M，N，则M，N的大小关系是（　　） A.M＞N B.M＜N C.M＝N D.无法比较 【举一反三1】若的整数部分为x，小数部分为y，则x－y的值在(　　) A.2和3之间   B.1和2之间 C.0和1之间   D.－1和0之间 【举一反三2】5，2，2的大小关系是（　　） A.225 B.522 C.252 D.522 【举一反三3】比较大小： 　　． 【举一反三4】如果的整数部分为a，的小数部分为b，求a－b＋＝　　　　. 【举一反三5】比较实数与的大小． 【举一反三6】大家都知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用－1来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分. 请解答： (1)的整数部分为　　　　，小数部分可以表示为　　　　　； (2)已知：10＋＝x＋y，其中x是整数，且0<y<1，请你帮忙确定一下x－y的相反数的值. 【题型11】实数的运算 【典例】实数a、b在数轴上的位置如图，则化简的结果是（　　） A.﹣2b B.2a﹣2b C.2b﹣2a D.0 【举一反三1】设x，y是有理数，且x，y满足等式，则的平方根是（　　） A.±1 B.±2 C.±3 D.±4 【举一反三2】设x、y是有理数，且x，y满足等式，则x﹣y＝  　． 【举一反三3】计算：． 【题型12】根据运算程序计算 【典例】按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值是64，则输出的y的值是（　　） A. B. C.2 D.3 【举一反三1】根据以下程序，当输入x＝2时，输出的y值为（　　） A.0.5 B.2 C. D. 【举一反三2】有一个数值转换机，原理如下： 当输入的x＝81时，输出的y＝　　． 【举一反三3】有一个数值转换器，原理如图： 当输入的x＝4时，输出的y等于 　　． 【题型13】新定义运算 【典例】现对实数a，b定义一种运算：a※b＝ab＋a－b.则※等于(　　) A.－6   B.－2   C.2   D.6 【举一反三1】对任意两个实数a，b定义两种运算：a⊕b，a⊗b，并且定义运算顺序仍然是先做括号内的，例如：（﹣2）⊕3＝3，（﹣2）⊗3＝﹣2，（（﹣2）⊕3）⊗2＝3⊗2＝2，则等于（　　） A. B.3 C. D.2 【举一反三2】定义新运算：对于a，b有a☆b，如4☆2+3＝5，根据定义新运算，计算：9☆（﹣125）＝　　． 【举一反三3】现定义一个新运算“※”，规定对于任意实数x，y，都有x※y，则7※9的值为 　　． 【举一反三4】计算：定义新运算：对于任意实数a，b，都有a※b＝a+b2． 例如：7※4＝7+42＝23． （1）求5※3的值； （2）求13※（1※）的平方根． 苏科版（2024）八年级上册 2.3 实数 题型专练（参考答案） 【题型1】无理数的定义 【典例】下列各数中，是无理数的是(　　) A.    B.    C.   D.0.131 33 【答案】A 【解析】 A项，是无理数，符合题意； B项，是有理数，不符合题意； C项，＝3是有理数，不符合题意； D项，0.131 33是有理数，不符合题意. 【举一反三1】有理数和无理数的区别在于(　　) A.有理数是有限小数，无理数是无限小数 B.有理数能用分数表示，而无理数不能 C.有理数是正的，无理数是负的 D.有理数是整数，无理数是分数 【答案】B 【解析】 A项，有理数可以是无限循环小数，故此选项不符合题意； B项，有理数都可以用分数表示，无理数不能，故此选项符合题意； C项，有理数和无理数都可以是正数和负数，故此选项不符合题意； D项，有理数可以是分数，无理数不能写成分数，故此选项不符合题意. 【举一反三2】数，3.14，，-，0.，-0.101 001 000 1…(相邻两个1之间的0的个数逐渐加1)，中，无理数的个数为 A.5 B.2 C.3 D.4 【答案】A 【解析】，-0.101 001 000 1…(相邻两个1之间的0的个数逐渐加1)，是无理数. 【举一反三3】写出一个无理数x，使得1<x<4，则x可以是　　　　.(只要写出一个满足条件的x即可) 【答案】 (答案不唯一) 【举一反三4】数学课堂上，老师让同学们从下列数中找出一个无理数：，，||，0，π，﹣0.6，．其中，甲说“”，乙说“”，丙说“π”． （1）甲、乙、丙三个人中，说错的是 　　． （2）请将老师所给的数字按要求填入相应的区域内． 【答案】解：（1）是无理数； ，||，是分数，属于有理数； 0，，是整数，属于有理数； 0.6是有限小数，属于有理数； π是无理数； 所以甲、乙、丙三个人中，说错的是乙， 故答案为：乙； （2）整数有0，； 负分数有：，﹣0.6． 故答案为：0，；，﹣0.6． 【举一反三5】“形如，的数是无理数”，这个说法对吗？为什么？ 【答案】解：“形如，的数是无理数”，说法错误，理由如下： 如， 2，2是整数，属于有理数． 【题型2】无理数的估算 【典例】估计的值在（　　） A.0和1之间 B.1和2之间 C.2和3之间 D.3和4之间 【答案】B 【解析】∵4＜7＜9， ∴， ∴， 故选：B． 【举一反三1】估计的值在(　　) A.4和5之间   B.3和4之间 C.2和3之间   D.1和2之间 【答案】C 【解析】 ∵<<， ∴2<<3. 【举一反三2】已知2的整数部分等于a，则a等于（　　） A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】C 【解析】∵16＜17＜25， ∴， ∴， ∴2的整数部分为2，即a＝2． 故选：C． 【举一反三3】满足的整数x有 　　个． 【答案】4 【解析】∵﹣21，23， ∴满足x的整数x有﹣1，0，1，2共4个， 故答案为：4． 【举一反三4】定义[x]为不大于x的最大整数，如[2]＝2，，[4.1]＝4，若满足，则n的最大整数为 　　． 【答案】35 【解析】由题意得： ∵56， ∴25≤n＜36， ∴n的最大整数为35． 故答案为：35． 【举一反三5】已知． （1）求x，y的值； （2）求的整数部分． 【答案】解：（1）， 3﹣x＝0，y﹣5＝0， x＝3，y＝5； （2）， ∵9＜15＜16 ∴， ∴的整数部分是3． 【举一反三6】阅读下面的文字，解答问题： ∵，即， ∴的整数部分是2，小数部分是， （1）试求：的整数部分与小数部分； （2）已知小数部分是n，且，求x的值． 【答案】解：（（1）∵，即， ∴的整数部分是3，小数部分是． （2）∵16＜17＜25，即， ∴，即， ∴的小数部分为； ∵小数部分是n， ∴， ∵， ∴x2＝1， ∴x＝1或﹣1． 【题型3】无理数估算的应用 【典例】一个正方体的水晶砖的体积为100，它的棱长大约在（　　） A.4和5之间 B.5和6之间 C.6和7之间 D.7和8之间 【答案】A 【解析】由题意可得正方体的棱长为，然后进行估算即可． ∵一个正方体的水晶砖的体积为100， ∴其棱长为， ∴64＜100＜125， ∴45， 即它的棱长大约在4和5之间， 故选：A． 【举一反三1】一个物体自由下落时，它所经过的距离h（米）和时间t（秒）之间的关系我们可以用来估计．如图，上海金茂大厦观光厅离地面高度340米，若一物体从观光厅自由下落到地面上，则该物体所经过的时间秒数与下列哪个数最接近．你的选项是（　　） A.6 B.7 C.8 D.9 【答案】C 【解析】根据题意列式计算后进行无理数的估算即可． 由题意可得t， ∵82＝64，8.52＝72.25， ∴88.5， 即该物体所经过的时间秒数与8接近， 故选：C． 【举一反三2】若一个边长为a正方形的面积为30，则a的取值范围是（　　） A.5.0＜a＜5.2 B.5.2＜a＜5.5 C.5.5＜a＜5.7 D.5.7＜a＜6.0 【答案】B 【解析】根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可． ∵边长为a正方形的面积为30， ∴边长a， ∵52＝25，62＝36，而25＜30＜36， ∴56， ∵5.52＝30.25＞30，5.42＝29.16＜30， ∴5.45.5， 故选：B． 【举一反三3】如图，正方形的面积为12，则与该正方形的边长最接近的整数是 　　． 【答案】3 【解析】由于正方形的面积为12，利用算术平方根的定义可得到正方形的边长为，根据9＜12＜16可得到与最接近的整数为3． ∵正方形的面积为12， ∴正方形的边长为， ∵9＜12＜16， ∴34， ∵9＜12＜12.25， ∴33.5， ∴最接近的整数为3． 故答案为：3． 【举一反三4】如图，标准魔方是魔方比赛中最常见的类型．标准魔方的一个面的面积约为32cm2，若它的棱长为a cm，a在两个连续的整数之间，则这两个连续整数中，较小的整数是 　　． 【答案】5 【解析】先计算出魔方的棱长，再确定在那两个整数之间，最后得结论． 因为魔方的一个面的面积约为32cm2， 所以魔方的棱长acm． ∵25＜32＜36， ∴56． 故答案为：5． 【举一反三5】在一次活动课中，虹烨同学用一根绳子围成一个长宽之比为3：1，面积为75 cm2的长方形． （1）求长方形的长和宽； （2）她用另一根绳子围成一个正方形，且正方形的面积等于原来围成的长方形面积，她说：“围成的正方形的边长与原来长方形的宽之差大于3cm”，请你判断她的说法是否正确，并说明理由． 【答案】解：（1）根据题意设长方形的长为3xcm，宽为xcm， 则3x•x＝75， 即x2＝25， ∵x＞0， ∴x＝5， ∴3x＝15， 答：长方形的长为15cm，宽为5cm． （2）设正方形的边长为y cm，根据题意可得， y2＝75， ∵y＞0， ∴， ∵原来长方形的宽为5cm， ∴正方形的边长与长方形的宽之差为：， ∵， 即， ∴， 所以她的说法正确． 【举一反三6】小明将一个长为10cm，宽为8cm的长方形纸片按与边平行的方向进行裁剪，裁剪出两个大小不一的正方形，使它们的边长之比为4：3，面积之和为75cm2，小明能否裁剪出这两个正方形？若能，请说明理由并求出这两个正方形的面积；若不能，也说明理由． 【答案】解：不能，理由如下： 设较大的正方形的边长为4x，则较小的正方形的边长为3x， 由于两个正方形的面积和为75cm2， 所以有16x2+9x2＝75， 解得x， 即大正方形的边长为4cm，小正方形的边长为3cm， 因为43710， 所以不能裁剪出两个大小不一的正方形，使它们的边长之比为4：3，面积之和为75cm2． 【题型4】实数的概念与分类 【典例】下列各数中，是有理数的是（　　） A. B. C. D.2π 【答案】C 【解析】A、是无理数，故此选项不符合题意； B、是无理数，故此选项不符合题意； C、是有理数，故此选项符合题意； D、2π是无理数，故此选项不符合题意； 故选：C． 【举一反三1】如图，中国南北朝时期著名的数学家、天文学家祖冲之采用刘徽的“割圆术”将圆周率π精确到小数点后第七位，还得到了π的两个近似值：（约率）和（密率），这个记录在世界上保持了1100多年．其中，约率是（　　） A.整数 B.有限小数 C.有理数 D.无理数 【答案】C 【解析】是分数，也是无限循环小数， 那么它是有理数， 故选：C． 【举一反三2】公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”，意思是一切量都可以用整数或整数的比（分数）表示．后来，这一学派的希帕索斯发现，边长为1的正方形的对角线的长度不能用整数或整数的比表示（如图），由此引发了第一次数学危机．这里“不能用整数或整数的比表示的数”是指（　　） A.正数 B.负数 C.有理数 D.无理数 【答案】D 【解析】不能用整数或整数的比表示的数”是指无理数． 故选：D． 【举一反三3】把下列各数分别填入相应的集合中. -5，，3.141，0，-1.232 332 333 2…(每相邻两个2之间依次多一个3)，. 有理数集合； 无理数集合； 正实数集合； 负实数集合. 【答案】解　有理数集合； 无理数集合； 正实数集合； 负实数集合. 【举一反三4】把下列各数填入相应的集合内. 7.5，，4，，0.31，-π，0.. 有理数集合； 无理数集合； 正实数集合； 负实数集合. 【答案】解　有理数集合； 无理数集合； 正实数集合； 负实数集合. 【举一反三5】将下列各数对应的序号填在相应的集合里． ①﹣|﹣2.5|，②0，③﹣（﹣52），④+（）2，⑤1.2121121112…，⑥，⑦﹣π 正数集合：{ 　　…} 整数集合：{  　…} 负分数集合：{ 　　…} 无理数集合：{ 　　…} 【答案】解：﹣|﹣2.5|＝﹣2.5，﹣（﹣52）＝25，+（）2． 正数集合：{③④⑤…} 整数集合：{②③…} 负分数集合：{①⑥…} 无理数集合：{⑤⑦…}． 【举一反三6】升入初中后，我们相继学习了一些新的数，数就扩充到了实数．以下是数学乐园中的“实数家族”，请给该“实数家族”分分家吧．（★将各数的序号填入相应的家族里） 【答案】解：无理数：②④⑦；整数：①⑤；分数：③⑥ 【题型5】实数与数轴 【典例】如图，面积为5的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且点A表示的数为1，若AD＝AE，则数轴上点E所表示的数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵正方形ABCD的面积为5， ∴边长为， 即AD， ∵AD＝AE， ∴AE， ∵点A表示的数为1， ∴数轴上点E所表示的数为1， 故选：B． 【举一反三1】如图，将实数-1表示在数轴上为 A.点R B.点Q C.点S D.点T 【答案】D 【解析】观察数轴可知，点R表示的数大于-3且小于-2，点T表示的数是大于2且小于3，点Q表示的数是大于3且小于4，点S表示的数是大于4且小于5， ∵3<<4， ∴3-1<-1<4-1，即2<-1<3， ∴实数-1表示在数轴上，对应的点可能是点T. 【举一反三2】如图，在数轴上表示数-的点可能是(　　) A.点E B.点F C.点P D.点Q 【答案】B 【解析】∵-3<-<-2， ∴由数轴可知点F所表示的数大于-3而小于-2. 【举一反三3】如图所示，为了在数轴上找到表示无理数π的点，小王同学制作了一个以A为圆心，m为半径的圆，并在此圆上标记一个点B，将点B与原点重合．若让此圆在数轴上向右滚动一周后，点B就是数轴上表示无理数π的点，则m＝　　． 【答案】 【解析】根据圆的周长公式即可得到结论． 根据题意得，2mπ＝π， ∴m， 故答案为：． 【举一反三4】如图，数轴上与，对应的点分别是A，B，点C也在数轴上，且AB＝AC，设点C表示的数为x．求x的值． 【答案】解：∵数轴上A、B两点表示的数分别为和，且AB＝AC， ∴x，解得x＝2． 【题型6】实数的性质 【典例】的绝对值是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】∵1.414， ∴1.50． ∴1.5的绝对值是它本身． 故选：A． 【举一反三1】已知x是整数，当取最小值时，x的值是（　　） A.5 B.6 C.7 D.8 【答案】A 【解析】∵，， ∴，且 ∴x＝5时，值最小． 故选：A． 【举一反三2】下列各组数中互为相反数的一组是 A.-|-2|与 B.-4与- C.-与 D.-与 【答案】C 【解析】A项，-|-2|=-2，=-2，故A错误； B项，-4=-，故B错误； C项，=，只有符号不同的两个数互为相反数，故C正确； D项，-与不是相反数，故D错误. 【举一反三3】的相反数是　　　；-的绝对值是　　　　. 【答案】-　 【解析】的相反数是-，-的绝对值是=. 【举一反三4】如图，在数轴上点A表示的实数是　　　　. 【答案】 2－ 【解析】 在直角三角形中，由勾股定理可得斜边长＝， ∴点A表示的实数是2－. 【举一反三5】实数a，b所对应的点如图所示，化简|a|+|b|﹣|a﹣b|． 【答案】解：由数轴可得到：a0，b0，a﹣b＞0， 故原式＝ab（a﹣b） ＝aba+b ＝2b． 【举一反三6】求下列各数的相反数、倒数和绝对值. (1)-；(2)；(3)；(4)-1. 【答案】解　(1)-的相反数是，倒数是-，绝对值是. (2)的相反数是-，倒数是，绝对值是. (3)因为=2，所以的相反数是-2，倒数是，绝对值是2. (4)-1的相反数是-(-1)=1-，倒数是，绝对值是-1. 【题型7】利用计算器开方 【典例】某同学在用计算器估算6的算术平方根时，需要用到以下哪个键（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】根据计算器的相关知识，可知答案为A． 故选：A． 【举一反三1】在计算器上按键显示的结果是（　　） A.﹣3 B.3 C.17 D.33 【答案】A 【解析】首先要求同学们熟悉每个键的功能，才能熟练应用计算器，这样才能使用科学计算器进行计算． 在计算器上按键 是在计算8，结果为﹣3． 故选：A． 【举一反三2】用计算器计算某个运算式，若正确的按键顺序是，则此运算式应是（　　） A.43 B.34 C. D. 【答案】C 【解析】首先要求同学们能熟练应用计算器，能够按照按键顺序利用计算器计算即可求解． 根据题意，进行计算的是， 故选：C． 【举一反三3】利用计算器进行如下操作，屏幕显示的结果为5.625，那么进行如下操作，那么屏幕显示的结果为 　　． 【答案】0.5625 【解析】∵， ∴， 故屏幕显示的结果为0.5625， 故答案为0.5625． 【举一反三4】若用初中数学课本上使用的科学计算器进行计算，则以下按键的结果为 　　． 【答案】-5 【解析】计算器按键转为算式＝4﹣9＝﹣5， 故答案为：﹣5． 【举一反三5】利用计算器，比较下列各组数的大小： (1)； (2). 【答案】解　(1)按键顺序为：，显示结果为：2.236 067 977， 按键顺序为：，显示结果为：2.223 980 091， ∴<. (2)按键顺序为：， 显示结果为：0.559 016 994. ∵=0.625， ∴>. 【举一反三6】（2023春•香洲区期中）利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： （1）分析发现：被开方数扩大100倍，它的算术平方根扩大 　　倍； （2）若一块长方形纸片的面积是400cm2，长与宽之比为2：1，求这块长方形纸片的长与宽（精确到0.1， 1.414， 1.732）． 【答案】解：（1）被开方数扩大100倍，它的算术平方根扩大10倍； 故答案为：10． （2）设这块长方形的纸片的宽为 cmx，则长为2x cm， ∴2x•x＝400， 即x2＝200， ∴， ∵1.414， ∴，14.1×2＝28.2cm， 答：这块长方形纸片的长为28.2cm，宽为14.1cm． 【题型8】利用估算比较实数大小 【典例】比较2，，的大小，正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵26＝64，，，而49＜64＜125， ∴， ∴． 故选：C． 【举一反三1】k、m、n为三整数，若，，，则下列有关于k、m、n的大小关系正确的是（　　） A.k＜m＝n B.m＝n＜k C.m＜n＜k D.m＜k＜n 【答案】A 【解析】，，， ∴k＝2，m＝5，n＝5， ∴k＜m＝n， 故选：A． 【举一反三2】下列各数中最小的实数是(　　) A.5 B.- C.0 D.π 【答案】B 【解析】根据实数比较大小的方法可得，-<0<π<5， 故各数中最小的是-. 【举一反三3】已知m，n为两个连续的整数，且m<<n，则m＋n＝　　　　. 【答案】 7 【解析】 ∵9<13<16， ∴3<<4， ∴m＝3，n＝4， ∴m＋n＝3＋4＝7. 【举一反三4】将下列各数按从小到大的顺序排列，并用“＜”号连接起来：3；；0；；﹣1.8． 【答案】解：3， ∵5＜18， ∴3， ∵π＜3.6， ∴1.8， ∴﹣1.8， ∴按照从小到大的顺序排列为：﹣1.803． 【题型9】利用数轴比较实数的大小 【典例】实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示．把a，b，﹣a，﹣b按照从小到大的顺序排列，正确的是（　　） A.b＜﹣a＜﹣b＜a B.﹣a＜﹣b＜a＜b C.﹣b＜a＜﹣a＜b D.b＜﹣a＜a＜﹣b 【答案】D 【解析】根据图示，可得0＜a＜1，b＜﹣1， ∴﹣1＜﹣a＜0，﹣b＞1， ∴b＜﹣a＜a＜﹣b． 故选：D． 【举一反三1】实数a、b、c、d在数轴上对应的位置如图所示，这四个数中绝对值最大的是（　　） A.a B.b C.c D.d 【答案】D 【解析】首先根据数轴的特征，以及绝对值的含义和性质，判断出实数a，b，c，d的绝对值的取值范围，然后比较大小，判断出这四个数中，绝对值最大的是哪个数即可． 根据图示，可得 2＜|a|＜3，1＜|b|＜2，0＜|c|＜1，3＜|d|＜4， 所以这四个数中，绝对值最大的是d． 故选：D． 【举一反三2】已知实数a，b，c，满足|a|＞|b|＞|c|，这三个数在数轴上的位置可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】根据绝对值的意义：表示这个数的点到原点的距离叫这个数的绝对值，观察数轴上表示a，b，c的点的位置，进行解答即可． ∵|a|＞|b|＞|c|， ∴表示a，b，c三个实数的点到原点的距离最大的是表示a的点，其次是表示b的点，最近的是表示c的点， ∴这三个数在数轴上的位置可能是：， 故选：A． 【举一反三3】实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，则a，b，﹣c的大小关系是 　　（用“＜”连接） 【答案】b＜﹣c＜a 【解析】根据数轴上的点的位置判断出b＜0＜c＜a，且|b|＞|c|，进而得出答案． 由数轴可得b＜0＜c＜a，且|b|＞|c|， 则b＜﹣c＜0＜a， 故答案为：b＜﹣c＜a． 【举一反三4】在数轴上，介于和之间的整数是　　　　　. 【答案】 3 【解析】 ∵<<，即2<<3， <<，即3<<4， ∴介于和之间的整数是3. 【举一反三5】把下列各数在数轴上表示出来：－，，|－1.5|，(－2)2.并用“<”连接起来. 【答案】 解　|－1.5|＝1.5，(－2)2＝4， 各数在数轴上表示如图. ∴－<|－1.5|<<(－2)2. 【举一反三6】小云的作业中有这样一道题： 请画出数轴并把实数，-，-4，在数轴上表示出来，再把这几个数按照从小到大的顺序排列. (1)你认为表示的点在　　　　到　　　　之间(填整数)； (2)如图是小云所画的数轴，请你帮助小云完成剩下的任务. 【答案】解　(1)∵4<6<9， ∴2<<3. (2)=. ∵9<12<16， ∴3<<4， ∴-4<-<-3. 将4个实数在数轴上表示出来如图所示. 由图可知-4<-<<. 【题型10】作差法比较实数的大小 【典例】若M，N，则M，N的大小关系是（　　） A.M＞N B.M＜N C.M＝N D.无法比较 【答案】A 【解析】， ∵10＞9， ∴3， ∴3＞0， ∴0， ∴． ∴M＞N． 故选：A． 【举一反三1】若的整数部分为x，小数部分为y，则x－y的值在(　　) A.2和3之间   B.1和2之间 C.0和1之间   D.－1和0之间 【答案】B 【解析】 ∵4<8<9， ∴<<，即2<<3， ∵的整数部分为x，小数部分为y， ∴x＝2，y＝－2， ∴x－y＝2－(－2)＝4－， ∵2<<3， ∴1<4－<2， 即x－y的值在1和2之间. 【举一反三2】5，2，2的大小关系是（　　） A.225 B.522 C.252 D.522 【答案】D 【解析】∵5＜8， ∴， ∴， ∴22， ∵（5）﹣（2）＝3﹣20， ∴52； 故选：D． 【举一反三3】比较大小： 　　． 【答案】< 【解析】， ∵5， ∴0， ∴， 故答案为：＜． 【举一反三4】如果的整数部分为a，的小数部分为b，求a－b＋＝　　　　. 【答案】 6 【解析】 ∵9<11<16， ∴3<<4， ∴的整数部分为3，的小数部分为－3， ∴a＝3，b＝－3， ∴a－b＋＝3－(－3)＋ ＝3－＋3＋ ＝6. 【举一反三5】比较实数与的大小． 【答案】解：， 因为94＞81，所以， 所以， 所以， 所以． 【举一反三6】大家都知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用－1来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分. 请解答： (1)的整数部分为　　　　，小数部分可以表示为　　　　　； (2)已知：10＋＝x＋y，其中x是整数，且0<y<1，请你帮忙确定一下x－y的相反数的值. 【答案】 解　(1)∵4<7<9， ∴2<<3， ∴的整数部分为2，小数部分可以表示为－2. (2)∵的整数部分是1，小数部分是－1， ∴10＋的整数部分是10＋1＝11，小数部分是－1， ∴x＝11，y＝－1， ∴x－y的相反数y－x＝－12. 【题型11】实数的运算 【典例】实数a、b在数轴上的位置如图，则化简的结果是（　　） A.﹣2b B.2a﹣2b C.2b﹣2a D.0 【答案】B 【解析】由题意知，﹣1＜a＜0＜b＜1， ∴a﹣b＜0， ∴， 故选：B． 【举一反三1】设x，y是有理数，且x，y满足等式，则的平方根是（　　） A.±1 B.±2 C.±3 D.±4 【答案】A 【解析】∵x，y是有理数，且x，y满足等式， ∴， 解得：， ∴， ∴的平方根是±1， 故选：A． 【举一反三2】设x、y是有理数，且x，y满足等式，则x﹣y＝  　． 【答案】9或﹣1 【解析】由x2+2yy＝17﹣4， 得到x2+2y＝17，y＝﹣4， 解得：x＝±5， 则x﹣y＝9或﹣1． 故答案为：9或﹣1． 【举一反三3】计算：． 【答案】解： ． 【题型12】根据运算程序计算 【典例】按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值是64，则输出的y的值是（　　） A. B. C.2 D.3 【答案】A 【解析】由所给的程序可知，当输入64时， 8， ∵8是有理数， ∴取其立方根可得到， 2， ∵2是有理数， ∴取其算术平方根可得到， ∵是无理数， ∴y． 故选：A． 【举一反三1】根据以下程序，当输入x＝2时，输出的y值为（　　） A.0.5 B.2 C. D. 【答案】D 【解析】根据题意可知x＝2＞1，确定要使用的关系式为，再代入求值即可． ∵x＝2＞1， ∴． 故选：D． 【举一反三2】有一个数值转换机，原理如下： 当输入的x＝81时，输出的y＝　　． 【答案】 【解析】当x＝81时，算术平方根为9， 再输入9，9的算术平方根为3， 再输入3，3的算术平方根为，为无理数， 所以y． 故答案为：． 【举一反三3】有一个数值转换器，原理如图： 当输入的x＝4时，输出的y等于 　　． 【答案】 【解析】4的算术平方根为： 2， 则2的算术平方根为：． 故答案为：． 【题型13】新定义运算 【典例】现对实数a，b定义一种运算：a※b＝ab＋a－b.则※等于(　　) A.－6   B.－2   C.2   D.6 【答案】B 【解析】 ※ ＝4※(－2) ＝4×(－2)＋4－(－2) ＝－8＋4＋2 ＝－2. 【举一反三1】对任意两个实数a，b定义两种运算：a⊕b，a⊗b，并且定义运算顺序仍然是先做括号内的，例如：（﹣2）⊕3＝3，（﹣2）⊗3＝﹣2，（（﹣2）⊕3）⊗2＝3⊗2＝2，则等于（　　） A. B.3 C. D.2 【答案】C 【解析】由题意得： ⊗ ⊗3 ， 故选：C． 【举一反三2】定义新运算：对于a，b有a☆b，如4☆2+3＝5，根据定义新运算，计算：9☆（﹣125）＝　　． 【答案】8 【解析】由题意得： 9☆（﹣125） ＝3﹣（﹣5） ＝3+5 ＝8， 故答案为：8． 【举一反三3】现定义一个新运算“※”，规定对于任意实数x，y，都有x※y，则7※9的值为 　　． 【答案】8 【解析】7※9 ＝4+4 ＝8． 故答案为：8． 【举一反三4】计算：定义新运算：对于任意实数a，b，都有a※b＝a+b2． 例如：7※4＝7+42＝23． （1）求5※3的值； （2）求13※（1※）的平方根． 【答案】解：（1）∵a※b＝a+b2， ∴5※3＝5+32 ＝5+9 ＝14； （2）∵a※b＝a+b2， ∴1※ ＝1+5 ＝6， ∴13※（1※） ＝13※6 ＝13+62 ＝13+36 ＝49． 学科网（北京）股份有限公司 $