2.3实数（分层作业练题型）数学新教材苏科版八年级上册

**基本信息** 以“概念辨析-技能应用-综合拓展”为梯度，覆盖实数核心知识点，通过真题情境与分层题型培养抽象能力、运算能力和模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知层|无理数概念、实数分类、性质|选择真题辨析概念，如无理数判断、相反数计算，夯实抽象能力| |技能应用层|无理数估算、数轴表示、大小比较|阶梯式训练估算（整数/小数部分）、数轴对应，提升几何直观与运算能力| |综合拓展层|实际应用、新定义运算、几何结合|结合刹车距离、裁剪问题等情境，设计新定义与跨学科综合题，发展模型意识与创新意识|

2.3实数 题型一 无理数的概念辨析 1．（2025·海州区·校级期末）下列实数是无理数的是（　　） A．﹣3.14 B． C．0.1010010001 D． 2．（2026·如皋市·校级期末）下列说法错误的是（　　） A．是分数 B．是有理数 C．是有理数 D．的平方根是 3．（2025·江阴市·校级月考）实数，，0，，1.010010001…中，无理数的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2026·南京·一模）给出下列实数：，，，，4.，，0.1，其中无理数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型二 无理数的估算 1．（2026·连云港·真题）已知，以下对p的值估算正确的是（　　） A．3＜p＜4 B．4＜p＜5 C．5＜p＜6 D．6＜p＜7 2．（2026·南通·期末）若n为正整数，且满足，则n的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（2025·沭阳县·校级期末）下列整数中，与的值最接近的是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（2025·赣榆区·期中）已知a为有理数，并且，请你写出一个满足条件的a的值　　． 题型三 无理数的估算——整数部分与小数部分 1．（2025·鼓楼区·校级月考）小数部分是　　． 2．（2025·南京·期末）a是的整数部分，b是的整数部分，则a﹣b＝　　． 3．（2025·无锡·月考）阅读下列材料： ∵， ∴， ∴的整数部分为3，小数部分为． 请你观察上述的规律后试解下面的问题： 如果9π的整数部分为a，的小数部分为b，求a+b的值． 4．（2025·江阴市·校级月考）已知：3a+1的立方根是﹣2，2b﹣1的算术平方根是3，c是的整数部分． （1）求a，b，c的值； （2）求2a﹣b的平方根． 题型四 无理数估算的实际应用 1．（2026·镇江·期末）根据刹车后车轮滑过的距离可以估计车辆行驶的速度，所用的经验公式是，其中v表示车速（单位：m/s），g表示重力加速度，g取10m/s2，d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：m），μ表示摩擦系数．在某次交通事故调查中，测得d＝25m，μ＝0.7，该汽车的车速（单位：m/s）最接近的数值为（　　） A．17 B．18 C．19 D．20 2．（2026·海安市·期中）小丽想用一块面积为400平方厘米的正方形纸片，沿着边的方向剪出一块面积为300平方厘米的长方形纸片，使它的长宽之比为3：2．她不知能否裁得出来，正在发愁．小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．”你同意小明的说法吗？小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？说明理由． 3．（2026·南通·期中）蓝印花布是中国传统镂空版白浆防染印花工艺品，被列入国家级非物质文化遗产名录，其以蓝白两色为主，图案朴素优雅，具有深厚的文化底蕴． 现有一块长方形蓝印花布面料，长和宽之比为4：3，面料面积为588cm2． （1）求这块长方形蓝印花布面料的长和宽； （2）某工人想用这块面料沿着与边平行的方向裁出一块面积为450cm2的正方形布料，他能裁出来吗？请通过计算说明理由． 题型五 实数的分类 1．（2025·南京·校级月考）下列说法：①在实数范围内，一个数如果不是有理数，则一定是无理数；②无限小数都是无理数；③无理数都是无限小数；④最小的实数是0；⑤带根号的数都是无理数．其中错误的共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2025·盐都区·期末）把下列各数进行分类：0，π，，，﹣2025，，0.． 负实数：　　　　　　　　　　　　　　； 正有理数：　　　　　　　　　　　　　　； 无理数：　　　　　　　　　　　　　　． 3．（2025·沛县·期末）把下列各数填在相应的横线上． ，，，，，，﹣π，． 有理数：　　　　　　　　　　　　　　； 无理数：　　　　　　　　　　　　　　． 4．（2025·姜堰区·期末）把下列各数分别填入相应的集合里． ﹣5，，0，﹣3.14，，﹣12.101001⋯（每两个1之间多增加1个0），+1.99，﹣（﹣6），π． （1）正数集合：{　　　　　　　　　　　　　　…} （2）整数集合：{　　　　　　　　　　　　　　…}； （3）无理数集合：{　　　　　　　　　　　　　　…}； （4）平方不大于本身的数的集合：{　　　　　　　　　　　　　　…}． 题型六 实数与数轴 1．（2025·姜堰区·期末）如图，在数轴上表示实数的点可能是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 2．（2025·沛县·月考）如图，数轴上表示2，的点分别为点C，点B，点C是线段AB的中点，则点A表示的数（　　） A． B． C． D． 3．（2023·沭阳县·校级月考）如图，面积为3的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为﹣1，若AD＝AE，则数轴上点E所表示的数为　　． 题型七 比较实数的大小 1．（2026·如皋市·校级期中）下列实数中，最大的是（　　） A． B． C．1 D． 2．（2025·东海县·模拟）请写出一个比1小的无理数：　　． 3．（2026·江都区·校级二模）比较大小：　　4．（填“＞”，“＜”或“＝”） 4．（2026·天宁区·校级期中）比较大小：　　．（填“＞”“＜”或“＝”） 5．（2026·海门区·校级模拟）已知a1，b，c2，那么a，b，c的大小关系是　　． 题型八 实数的性质 1．（2025·秦淮区·期末）的相反数是　　． 2．（2025·滨湖区·期末）3的相反数是　　． 3．（2025·常州·期末）||＝　　． 4．（2026·南京·三模）2的绝对值是　　． 5．（2025·玄武区·校级月考）的倒数是　　，16的平方根是　　． 题型九 实数的混合运算 1．（2026·海门区·校级模拟）计算：　　． 2．（2026·海门区·校级模拟）计算：　　． 3．（2026·南京三模）　　． 4．（2025·崇川区·校级月考）计算： （1）； （2）． 题型一 比较实数的大小的综合 1．（2025·鼓楼区·校级月考）（1）比较和0.6的大小，并说明理由． （2）若0＜m＜1，用＜号连接m2、m3、；四个数的大小，不用说明理由． 2．（2022·如东县·期中）数学课上，老师出了一道题：比较与的大小． 小华的方法是： 因为4，所以2　　2，所以　　（填“＞”或“＜”）； 小英的方法是： ，因为19＞42＝16，所以4　　0，所以　　0，所以　　（填“＞”或“＜”）． （1）根据上述材料填空； （2）请从小华和小英的方法中选择一种比较与的大小． 题型二 新定义运算 1．（2026·沭阳县·校级期末）规定一种新的定义：a★ba2，若a＝3，b＝49，则（a★b）★b＝　　． 2．（2025·苏州·期末）任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如，现对72进行如下操作：，这样对72只需进行3次操作后变为1．类似地，对81只需进行3次操作后变为1，那么只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是　　． 3．（2026·宿豫区·期末）对于实数a，b，定义min{a，b}的含义为：当a＜b时，min{a，b}＝a，例如：min{﹣1，﹣2}＝﹣2．已知，，且a和b为两个连续正整数，则的值为　　． 题型三 实数的运算综合 1．（2025·泗洪县·期中）根据如下表回答下列问题： x 17.1 17.2 17.3 17.4 17.5 17.6 17.7 17.8 17.9 x2 292.41 295.84 299.29 302.76 306.25 309.76 313.29 316.84 320.41 （1）295.84的算术平方根是　　，316.84的平方根是　　； （2）　　，　　； （3）若介于17.6与17.7之间，则满足条件的整数n为　　． 2．（2025·鼓楼区·校级月考）如图是一个数值转换器（|x|＜25）． （1）当输入的x为﹣14时．输出的y值是　　； （2）若输入实数x后，始终输不出y值，则所有满足要求的x的值为　　； （3）若输出的y是，求x的负整数值． 题型一 无理数的估算——整数部分与小数部分的综合 1．（2025·滨海县·校级期中）如图，已知点A表示的数为，点A向右平移3个单位长度到达点B． （1）点B表示的数为　　 ； （2）在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且有|2c﹣4|与互为相反数，求2c+d的平方根． （3）在（2）的条件下，若的整数部分是x，小数部分是y，求x﹣y的值． 2．（2026·海门区·期中）我们用[a]表示不大于a的最大整数，a﹣[a]的值称为数a的小数部分，如[2.13]＝2，2.13的小数部分为2.13﹣[2.13]＝0.13． （1）[]＝　　，[]＝　　，π的小数部分＝　　． （2）设的小数部分为a，则a+[]　　． （3）已知：10x+y，其中x是整数；且0＜y＜1，则x﹣y的相反数是　　． 3．（2025·扬中市·期中）阅读下面的文字，解答问题：我们知道是无理数，因此的小数部分不可能全部写出来．因为，即，所以的整数部分为2，将减去其整数部分，差就是小数部分，即的小数部分为． 根据以上材料请解答： （1）的整数部分是　　； （2）已知的小数部分是x，则x＝　　，的小数部分是y，则y＝　　； （3）在（2）的条件下，若m是数M的整数部分，且（m﹣1）2＝x+y，求出满足条件的m的值，并写出相应的M的范围． 题型二 无理数的估算——与几何结合 1．（2026·如皋市·期末）【结论初探】小谢利用数形结合的方式探究的近似值，过程如下： ∵面积为39的正方形的边长是，且67， ∴可以设为以下两种形式： ①6+a（0＜a＜1）； ②7﹣b（0＜b＜1）． 小谢展示了利用②探究近似值的过程． 通过数形结合，可画出正方形的面积示意图． S正方形＝39+2（7﹣b）b+b2＝72， 整理得：39+14b﹣b2＝49， ∵0＜b＜1， ∴b2较小，可忽略不计． ∴14b≈49﹣39，b． ∴6.29． 【方法运用】 （1）请写出在哪两个连续整数之间：　　　　； （2）类比上述方法，选择其中一种形式，画出示意图，探究的近似值． 2．（2026·南通·期中）小李同学探索的近似值的过程如下： ∵面积为10的正方形的边长是，且， ∴设，其中0＜x＜1，画出示意图，如图所示． 根据示意图，可得边长为的正方形的面积：． ∵S正方形＝10，∴42﹣2×4·x+x2＝10． 当0＜x＜1时，显然x2＜1，可忽略x2，得16﹣8x≈10，得到x≈0.75， ∴． （1）直接写出下列各数的整数部分的值：①；②； （2）仿照上述方法，探究的近似值（写出求解过程）； （3）结合上述具体实例，已知非负整数a，b，m，若，且m＝（a+1）2﹣b，直接写出的近似值（用含有a，b的式子表示）． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3实数 题型一 无理数的概念辨析 1．【答案】B 2．【答案】A 3．【答案】C 4．【答案】A 题型二 无理数的估算 1．【答案】C 2．【答案】C 3．【答案】D 4．【答案】1.5（答案不唯一） 题型三 无理数的估算——整数部分与小数部分 1．【答案】 2．【答案】﹣1 3． 【答案】a+b的值为25． 【详解】解：∵9π≈28.26， ∴a＝28， ∵27＜28＜64， ∴， ∴34， ∴b3， ∴a+b＝283＝25， ∴a+b的值为25． 4． 【答案】（1）a＝﹣3，b＝5，c＝6；（2）2a﹣b的平方根为±4． 【详解】解：（1）∵3a+1的立方根是﹣2， ∴3a+1＝﹣8，解得：a＝﹣3， ∵2b﹣1的算术平方根是3， ∴2b﹣1＝9，解得：b＝5， ∵， ∴67， ∴的整数部分为6，即c＝6； （2）当a＝﹣3，b＝5，c＝6时，2a﹣b6﹣56＝16， ∴2a﹣b的平方根为±±4． 题型四 无理数估算的实际应用 1．【答案】C 2． 【答案】不能，理由详见解析． 【详解】解：正方形的边长20（cm）， 设长方形的长为3x cm，宽为2x cm， 由题意可得：3x•2x＝300， ∴x2＝50，解得：x＝5或x＝﹣5（舍去）， ∴矩形的长为3×515（cm）， ∵15＞20， ∴小丽不能用这块纸片裁出符合要求的纸片． 3． 【答案】（1）长方形的长为28cm，宽为21cm；（2）不能，理由详见解析． 【详解】解：（1）设长方形的长为4x cm，则宽为3x cm， 由题意可得：4x•3x＝588，解得：x＝7（舍去负值）， ∴长方形的长为28cm，宽为21cm； （2）∵正方形布料的面积为450cm2， ∴正方形卡片的边长为cm， ∵202＝400，212＝441，222＝484，而441＜450＜484， ∴2122，即正方形布料的边长大于长方形布料的宽， ∴不能剪出符合条件的正方形布料． 题型五 实数的分类 1．【答案】C 2．【答案】，﹣2025；，0.；π，． 3．【答案】，，；，，，，﹣π． 4． 【答案】（1），，+1.99，﹣（﹣6），π； （2）﹣5，0，﹣（﹣6）； （3）﹣12.101001⋯（每两个1之间多增加1个0），π； （4），0． 【详解】解：（1），﹣（﹣6）＝6； 故正数集合：{，，+1.99，﹣（﹣6），π…}； 故答案为：，，+1.99，﹣（﹣6），π； （2）整数集合：{﹣5，0，﹣（﹣6）…}； 故答案为：﹣5，0，﹣（﹣6）； （3）无理数集合{﹣12.101001⋯（每两个1之间多增加1个0），π…}， 故答案为：﹣12.101001⋯（每两个1之间多增加1个0），π； （4）平方不大于本身的数的集合：{，0…}， 故答案为：，0． 题型六 实数与数轴 1．【答案】B 2．【答案】D 3．【答案】 题型七 比较实数的大小 1．【答案】A 2．【答案】（答案不唯一） 3．【答案】＞ 4．【答案】＞ 5．【答案】c＜b＜a． 题型八 实数的性质 1．【答案】2 2．【答案】3 3．【答案】 4．【答案】2 5．【答案】﹣2，±4 题型九 实数的混合运算 1．【答案】2 2．【答案】3 3．【答案】π﹣7 4． 【答案】（1）﹣1；（2）． 【详解】解：（1） ＝5+（﹣3）﹣3 ＝﹣1； （2） ． 题型一 比较实数的大小的综合 1． 【答案】（1）；（2）． 【详解】（1），理由如下： ∵2.236，所以， ∴； （2）0＜m＜1， 当m时，m2，m3，，， ∵0.5＞0.3535＞0.0156＞0.00195， ∴． 2． 【答案】（1）＞，＞，＞，＞，＞；（2）． 【详解】解：（1）小华的方法是：因为4，所以2＞2，所以， 小英的方法是：，因为19＞42＝16，所以4＞0，所以0，所以， 故答案为：＞，＞，＞，＞，＞； （2）如果选择小华的方法， ∵， ∴， ∴； 如果选择小英的方法， ， ∵6＜9， ∴3， ∴3＜0， ∴0， ∴． 题型二 新定义运算 1．【答案】3 2．【答案】255 3．【答案】 题型三 实数的运算综合 1． 【答案】（1）17.2，±17.8；（2）171，1.77；（3）310或311或312或313． 【详解】解：（1）x与x2的对应值可得：295.84的算术平方根是17.2， 316.84的平方根是±17.8， 故答案为：17.2，±17.8； （2）∵17.1，17.7， ∴17.1×10＝171， 1.77， 故答案为：171，1.77； （3）∵17.6，17.7，而介于17.6与17.7之间， ∴309.76＜n＜313.29， ∴整数n的值为310或311或312或313， 故答案为：310或311或312或313． 2． 【答案】（1）；（2）1，2，3；（3）﹣3或﹣23． 【详解】解：（1）当x＝﹣14时，|x﹣2|＝|﹣14﹣2|＝16，4，2，是无理数， ∴当输入的x为﹣14时，输出的y值是， 故答案为：； （2）∵0和1的算术平方根是它本身， ∴|x﹣2|＝0，解得：x＝2， |x﹣2|＝1，解得：x＝3或x＝1， ∴所有满足要求的x的值为1，2，3， 故答案为：1，2，3； （3）若第1次运算是， ∵5， ∴|x﹣2|＝5，解得：x＝7或x＝﹣3， ∵x为负整数， ∴输入的x值为﹣3； 若第2次运算是， ∵5，52＝25， ∴|x﹣2|＝25，解得：x＝27或x＝﹣23， ∵x为负整数， ∴输入的x值为﹣23； ∵|x|＜25， ∴x的负整数值为﹣3或﹣23． 题型一 无理数的估算——整数部分与小数部分的综合 1． 【答案】（1）3；（2）±3；（3）4． 【详解】解：（1）设点B表示的数为x，由题意可得：点B表示的数为：3， 故答案为：3； （2）∵|2c﹣4|与互为相反数， ∴|2c﹣4|0， ∴2c﹣4＝0且d﹣5＝0， ∴c＝2，d＝5， ∴2c+d＝9， ∴±±±3， ∴2c+d的平方根为±3； （3）由（2）可知：c+d＝7， ∴， ∵23， ∴的整数部分为2，小数部分为2， 即x＝2，y2， ∴x﹣y＝2﹣（2）＝4． 2． 【答案】（1）1，2，π﹣3；（2）1；（3）12． 【详解】解：（1）∵1＜3＜4， ∴12， ∴[]＝1， ∵4＜7＜9， ∴23， ∴[]＝2， π的小数部分为：π﹣3， 故答案为：1，2，π﹣3； （2）∵4＜5＜9， ∴23， ∴的整数部分为2， ∴的小数部分为：2， ∴a2， ∵9＜13＜16， ∴34， ∴[]＝3， ∴a+[]2+3＝1， 故答案为：1； （3）∵12， ∴11＜1012， ∵10x+y，x是整数，且0＜y＜1， ∴x＝11，y＝10111， ∴x﹣y＝11﹣（1） ＝111 ＝12， ∴x﹣y的相反数为：12， 故答案为：12． 3． 【答案】（1）4；（2），；（3）当m＝0时，0≤M＜1；当m＝2时，2≤M＜3． 【详解】解：（1）∵， ∴的整数部分是4， 故答案为：4； （2）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，； （3）由（2）可知：，． ∵（m﹣1）2＝x+y， ∴． ∴m﹣1＝±1， ∴m＝0或m＝2． ∵m是数M的整数部分， ∴当m＝0时，0≤M＜1． ∴当m＝2时，2≤M＜3． 题型二 无理数的估算——与几何结合 1． 【答案】（1）5；6；（2）方法一：示意图详见解析，；方法二：示意图详见解析，． 【详解】解：（1）∵25＜27＜36， ∴，即， 故答案为：5；6； （2）方法一：如图， ，整理得：25+10a+a2＝27， ∵0＜a＜1， ∴a2较小，可忽略不计， ∴10a≈27﹣25，， ∴； 方法二：如图， ， 整理得27+12b﹣b2＝36， ∵0＜b＜1， ∴b2较小，可忽略不计． ∴12b≈36﹣27，， ∴． 2． 【答案】（1）①3；②5；（2）5.75；（3）． 【详解】解：（1）①∵， ∴的整数部分是3； ②∵， ∴的整数部分是5； （2）∵面积为33的正方形的边长是，且， ∴设，其中0＜x＜1，画出示意图，如图所示： 根据示意图，可得边长为的正方形的面积：S正方形＝62﹣2×6·x+x2， ∵S正方形＝33， ∴62﹣2×6·x+x2＝33． 当0＜x＜1时，显然x2＜1，可忽略x2，得36﹣12x≈33，解得x≈0.25， ∴6﹣0.25＝5.75， ∴5.75； （3）的近似值为，理由如下： ∵面积为m的正方形的边长是且， ∴设＝（a+1）﹣x，其中0＜x＜1，画出示意图，如图所示： 根据示意图，可得图中正方形的面积S正方形＝（a+1）2﹣2（a+1）x+x2， 又∵S正方形＝m， ∴（a+1）2﹣2（a+1）x+x2＝m， 当0＜x＜1时，显然x2＜1，可忽略x2，得m≈（a+1）2﹣2（a+1）x， ∵m＝（a+1）2﹣b， ∴（a+1）2﹣b＝（a+1）2﹣2（a+1）x， ∴x， ∴a+1 ， ∴的近似值为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3实数 题型一 无理数的概念辨析 1．（2025·海州区·校级期末）下列实数是无理数的是（　　） A．﹣3.14 B． C．0.1010010001 D． 【答案】B 【详解】解：A．﹣3.14是有限小数，是有理数，不合题意； B． 是无理数，符合题意； C．0.1010010001是有理数，不合题意； D．是有理数，不合题意． 故选：B． 2．（2026·如皋市·校级期末）下列说法错误的是（　　） A．是分数 B．是有理数 C．是有理数 D．的平方根是 【答案】A 【详解】解：A、是无理数，选项说法错误，符合题意； B、是有理数，选项说法正确，不合题意； C、是有理数，选项说法正确，不合题意； D、的平方根是，选项说法正确，不合题意； 故选：A． 3．（2025·江阴市·校级月考）实数，，0，，1.010010001…中，无理数的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：无理数有，，1.010010001...，共3个． 故选：C． 4．（2026·南京·一模）给出下列实数：，，，，4.，，0.1，其中无理数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【详解】解：是分数，2，2是整数，4.是无限循环小数，0.1是有限小数，它们不是无理数， ，是无限不循环小数，它们是无理数，共2个． 故选：A． 题型二 无理数的估算 1．（2026·连云港·真题）已知，以下对p的值估算正确的是（　　） A．3＜p＜4 B．4＜p＜5 C．5＜p＜6 D．6＜p＜7 【答案】C 【详解】解：p3， ∵4＜5＜9， ∴23， ∴5＜36，即5＜p＜6． 故选：C． 2．（2026·南通·期末）若n为正整数，且满足，则n的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵n为正整数，满足， ∴n＝5． 故选：C． 3．（2025·沭阳县·校级期末）下列整数中，与的值最接近的是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【详解】解：∵42＝16，52＝25，而16＜17＜25， ∴45， 又∵4.52＝20.25＞17， ∴44.5， ∴4+11＜4.5+1，即51＜5.5， ∴1更接近整数5． 故选：C． 4．（2025·赣榆区·期中）已知a为有理数，并且，请你写出一个满足条件的a的值　　． 【答案】1.5（答案不唯一） 【详解】解：∵， ∴1.5． 故答案为：1.5（答案不唯一）． 题型三 无理数的估算——整数部分与小数部分 1．（2025·鼓楼区·校级月考）小数部分是　　． 【答案】 【详解】解：∵， ∴的整数部分为3，小数部分为． 故答案为：． 2．（2025·南京·期末）a是的整数部分，b是的整数部分，则a﹣b＝　　． 【答案】﹣1 【详解】解：∵32＜10＜42， ∴， ∴的整数部分a＝3， ∵42＜21＜52， ∴， ∴的整数部分b＝4， ∴a﹣b＝3﹣4＝﹣1． 故答案为：﹣1． 3．（2025·无锡·月考）阅读下列材料： ∵， ∴， ∴的整数部分为3，小数部分为． 请你观察上述的规律后试解下面的问题： 如果9π的整数部分为a，的小数部分为b，求a+b的值． 【答案】a+b的值为25． 【详解】解：∵9π≈28.26， ∴a＝28， ∵27＜28＜64， ∴， ∴34， ∴b3， ∴a+b＝283＝25， ∴a+b的值为25． 4．（2025·江阴市·校级月考）已知：3a+1的立方根是﹣2，2b﹣1的算术平方根是3，c是的整数部分． （1）求a，b，c的值； （2）求2a﹣b的平方根． 【答案】（1）a＝﹣3，b＝5，c＝6；（2）2a﹣b的平方根为±4． 【详解】解：（1）∵3a+1的立方根是﹣2， ∴3a+1＝﹣8，解得：a＝﹣3， ∵2b﹣1的算术平方根是3， ∴2b﹣1＝9，解得：b＝5， ∵， ∴67， ∴的整数部分为6，即c＝6； （2）当a＝﹣3，b＝5，c＝6时，2a﹣b6﹣56＝16， ∴2a﹣b的平方根为±±4． 题型四 无理数估算的实际应用 1．（2026·镇江·期末）根据刹车后车轮滑过的距离可以估计车辆行驶的速度，所用的经验公式是，其中v表示车速（单位：m/s），g表示重力加速度，g取10m/s2，d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：m），μ表示摩擦系数．在某次交通事故调查中，测得d＝25m，μ＝0.7，该汽车的车速（单位：m/s）最接近的数值为（　　） A．17 B．18 C．19 D．20 【答案】C 【详解】解：∵，g＝10m/s2，d＝25m，μ＝0.7， ∴2gμd＝2×10×0.7×25＝350， ∴， ∵18.52＝342.25＜350，192＝361， ∴， ∴最接近19． 故选：C． 2．（2026·海安市·期中）小丽想用一块面积为400平方厘米的正方形纸片，沿着边的方向剪出一块面积为300平方厘米的长方形纸片，使它的长宽之比为3：2．她不知能否裁得出来，正在发愁．小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．”你同意小明的说法吗？小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？说明理由． 【答案】不能，理由详见解析． 【详解】解：正方形的边长20（cm）， 设长方形的长为3x cm，宽为2x cm， 由题意可得：3x•2x＝300， ∴x2＝50，解得：x＝5或x＝﹣5（舍去）， ∴矩形的长为3×515（cm）， ∵15＞20， ∴小丽不能用这块纸片裁出符合要求的纸片． 3．（2026·南通·期中）蓝印花布是中国传统镂空版白浆防染印花工艺品，被列入国家级非物质文化遗产名录，其以蓝白两色为主，图案朴素优雅，具有深厚的文化底蕴． 现有一块长方形蓝印花布面料，长和宽之比为4：3，面料面积为588cm2． （1）求这块长方形蓝印花布面料的长和宽； （2）某工人想用这块面料沿着与边平行的方向裁出一块面积为450cm2的正方形布料，他能裁出来吗？请通过计算说明理由． 【答案】（1）长方形的长为28cm，宽为21cm；（2）不能，理由详见解析． 【详解】解：（1）设长方形的长为4x cm，则宽为3x cm， 由题意可得：4x•3x＝588，解得：x＝7（舍去负值）， ∴长方形的长为28cm，宽为21cm； （2）∵正方形布料的面积为450cm2， ∴正方形卡片的边长为cm， ∵202＝400，212＝441，222＝484，而441＜450＜484， ∴2122，即正方形布料的边长大于长方形布料的宽， ∴不能剪出符合条件的正方形布料． 题型五 实数的分类 1．（2025·南京·校级月考）下列说法：①在实数范围内，一个数如果不是有理数，则一定是无理数；②无限小数都是无理数；③无理数都是无限小数；④最小的实数是0；⑤带根号的数都是无理数．其中错误的共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：①在实数范围内，一个数如果不是有理数，则一定是无理数，正确； ②无限小数都是无理数，错误，无限循环小数是有理数； ③无理数都是无限小数，正确； ④最小的实数是0，错误，没有最小的实数； ⑤带根号的数都是无理数，错误，例如是有理数． 故选：C． 2．（2025·盐都区·期末）把下列各数进行分类：0，π，，，﹣2025，，0.． 负实数：　　　　　　　　　　　　　　； 正有理数：　　　　　　　　　　　　　　； 无理数：　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】，﹣2025；，0.；π，． 【详解】解：负实数：，﹣2025； 正有理数：，0.； 无理数：π，． 故答案为：，﹣2025；，0.；π，． 3．（2025·沛县·期末）把下列各数填在相应的横线上． ，，，，，，﹣π，． 有理数：　　　　　　　　　　　　　　； 无理数：　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】，，；，，，，﹣π． 【详解】解：有理数：，，； 无理数：，，，，﹣π． 故答案为：，，；，，，，﹣π． 4．（2025·姜堰区·期末）把下列各数分别填入相应的集合里． ﹣5，，0，﹣3.14，，﹣12.101001⋯（每两个1之间多增加1个0），+1.99，﹣（﹣6），π． （1）正数集合：{　　　　　　　　　　　　　　…} （2）整数集合：{　　　　　　　　　　　　　　…}； （3）无理数集合：{　　　　　　　　　　　　　　…}； （4）平方不大于本身的数的集合：{　　　　　　　　　　　　　　…}． 【答案】（1），，+1.99，﹣（﹣6），π； （2）﹣5，0，﹣（﹣6）； （3）﹣12.101001⋯（每两个1之间多增加1个0），π； （4），0． 【详解】解：（1），﹣（﹣6）＝6； 故正数集合：{，，+1.99，﹣（﹣6），π…}； 故答案为：，，+1.99，﹣（﹣6），π； （2）整数集合：{﹣5，0，﹣（﹣6）…}； 故答案为：﹣5，0，﹣（﹣6）； （3）无理数集合{﹣12.101001⋯（每两个1之间多增加1个0），π…}， 故答案为：﹣12.101001⋯（每两个1之间多增加1个0），π； （4）平方不大于本身的数的集合：{，0…}， 故答案为：，0． 题型六 实数与数轴 1．（2025·姜堰区·期末）如图，在数轴上表示实数的点可能是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】B 【详解】解：由数轴可知在：数轴上表示实数的点可能是点B． 故选：B． 2．（2025·沛县·月考）如图，数轴上表示2，的点分别为点C，点B，点C是线段AB的中点，则点A表示的数（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由条件可知：， ∴点A表示的数是：． 故选：D． 3．（2023·沭阳县·校级月考）如图，面积为3的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为﹣1，若AD＝AE，则数轴上点E所表示的数为　　． 【答案】 【详解】解：∵正方形ABCD的面积为3， ∴正方形ABCD的边长为， ∴AD＝AE， ∵A在数轴上，表示的数为﹣1， ∴数轴上点E所表示的数为． 故答案为：． 题型七 比较实数的大小 1．（2026·如皋市·校级期中）下列实数中，最大的是（　　） A． B． C．1 D． 【答案】A 【详解】解：∵，，，1＞0， ∴是最小的数， ∵，，12＝1，6.25＞3＞1， ∴， ∴最大的数是． 故选：A． 2．（2025·东海县·模拟）请写出一个比1小的无理数：　　． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：∵， ∴1． 故答案为：（答案不唯一）． 3．（2026·江都区·校级二模）比较大小：　　4．（填“＞”，“＜”或“＝”） 【答案】＞ 【详解】解：∵，2， ∴2， ∴22×2，2×2＝4， ∴4． 故答案为：＞． 4．（2026·天宁区·校级期中）比较大小：　　．（填“＞”“＜”或“＝”） 【答案】＞ 【详解】解：∵23， ∴11＜2， ∴． 故答案为：＞． 5．（2026·海门区·校级模拟）已知a1，b，c2，那么a，b，c的大小关系是　　． 【答案】c＜b＜a 【详解】解：∵，，， ∴，，． ∵0.41＞0.32＞0.23， ∴c＜b＜a． 故答案为：c＜b＜a． 题型八 实数的性质 1．（2025·秦淮区·期末）的相反数是　　． 【答案】2 【详解】解：的相反数是：2． 故答案为：2． 2．（2025·滨湖区·期末）3的相反数是　　． 【答案】3 【详解】解：3的相反数是：﹣（3）3． 故答案为：3． 3．（2025·常州·期末）||＝　　． 【答案】 【详解】解：||． 故答案为：． 4．（2026·南京·三模）2的绝对值是　　． 【答案】2 【详解】解：∵20， ∴2的绝对值是2． 故答案为：2． 5．（2025·玄武区·校级月考）的倒数是　　，16的平方根是　　． 【答案】﹣2，±4 【详解】解：的倒数是﹣2，16的平方根是±4． 故答案为：﹣2，±4． 题型九 实数的混合运算 1．（2026·海门区·校级模拟）计算：　　． 【答案】2 【详解】解：原式＝3﹣1 ＝2． 故答案为：2． 2．（2026·海门区·校级模拟）计算：　　． 【答案】3 【详解】解：原式＝1﹣（3﹣2）+1﹣24 ＝1﹣3+21﹣24 ＝3． 故答案为：3． 3．（2026·南京三模）　　． 【答案】π﹣7 【详解】解：原式 ＝π﹣7． 故答案为：π﹣7． 4．（2025·崇川区·校级月考）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）﹣1；（2）． 【详解】解：（1） ＝5+（﹣3）﹣3 ＝﹣1； （2） ． 题型一 比较实数的大小的综合 1．（2025·鼓楼区·校级月考）（1）比较和0.6的大小，并说明理由． （2）若0＜m＜1，用＜号连接m2、m3、；四个数的大小，不用说明理由． 【答案】（1）；（2）． 【详解】（1），理由如下： ∵2.236，所以， ∴； （2）0＜m＜1， 当m时，m2，m3，，， ∵0.5＞0.3535＞0.0156＞0.00195， ∴． 2．（2022·如东县·期中）数学课上，老师出了一道题：比较与的大小． 小华的方法是： 因为4，所以2　　2，所以　　（填“＞”或“＜”）； 小英的方法是： ，因为19＞42＝16，所以4　　0，所以　　0，所以　　（填“＞”或“＜”）． （1）根据上述材料填空； （2）请从小华和小英的方法中选择一种比较与的大小． 【答案】（1）＞，＞，＞，＞，＞；（2）． 【详解】解：（1）小华的方法是：因为4，所以2＞2，所以， 小英的方法是：，因为19＞42＝16，所以4＞0，所以0，所以， 故答案为：＞，＞，＞，＞，＞； （2）如果选择小华的方法， ∵， ∴， ∴； 如果选择小英的方法， ， ∵6＜9， ∴3， ∴3＜0， ∴0， ∴． 题型二 新定义运算 1．（2026·沭阳县·校级期末）规定一种新的定义：a★ba2，若a＝3，b＝49，则（a★b）★b＝　　． 【答案】3 【详解】解：∵a★ba2 32 ＝7﹣9 ＝﹣2， ∴（a★b）★b ＝7﹣4 ＝3． 故答案为：3． 2．（2025·苏州·期末）任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如，现对72进行如下操作：，这样对72只需进行3次操作后变为1．类似地，对81只需进行3次操作后变为1，那么只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是　　． 【答案】255 【详解】解：根据操作过程分别求出255和256进行几次操作如下： ∵，，， ∴对255只需进行3次操作后变为1， 从后向前推，找到需要4次操作得到1的最小整数， ∵，，，， ∴对256只需进行4次操作后变为1， ∴只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255． 故答案为：255． 3．（2026·宿豫区·期末）对于实数a，b，定义min{a，b}的含义为：当a＜b时，min{a，b}＝a，例如：min{﹣1，﹣2}＝﹣2．已知，，且a和b为两个连续正整数，则的值为　　． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵452＝2025，462＝2116， ∴， ∵a和b为两个连续正整数， ∴a＝45，b＝46， ∴． 故答案为：． 题型三 实数的运算综合 1．（2025·泗洪县·期中）根据如下表回答下列问题： x 17.1 17.2 17.3 17.4 17.5 17.6 17.7 17.8 17.9 x2 292.41 295.84 299.29 302.76 306.25 309.76 313.29 316.84 320.41 （1）295.84的算术平方根是　　，316.84的平方根是　　； （2）　　，　　； （3）若介于17.6与17.7之间，则满足条件的整数n为　　． 【答案】（1）17.2，±17.8；（2）171，1.77；（3）310或311或312或313． 【详解】解：（1）x与x2的对应值可得：295.84的算术平方根是17.2， 316.84的平方根是±17.8， 故答案为：17.2，±17.8； （2）∵17.1，17.7， ∴17.1×10＝171， 1.77， 故答案为：171，1.77； （3）∵17.6，17.7，而介于17.6与17.7之间， ∴309.76＜n＜313.29， ∴整数n的值为310或311或312或313， 故答案为：310或311或312或313． 2．（2025·鼓楼区·校级月考）如图是一个数值转换器（|x|＜25）． （1）当输入的x为﹣14时．输出的y值是　　； （2）若输入实数x后，始终输不出y值，则所有满足要求的x的值为　　； （3）若输出的y是，求x的负整数值． 【答案】（1）；（2）1，2，3；（3）﹣3或﹣23． 【详解】解：（1）当x＝﹣14时，|x﹣2|＝|﹣14﹣2|＝16，4，2，是无理数， ∴当输入的x为﹣14时，输出的y值是， 故答案为：； （2）∵0和1的算术平方根是它本身， ∴|x﹣2|＝0，解得：x＝2， |x﹣2|＝1，解得：x＝3或x＝1， ∴所有满足要求的x的值为1，2，3， 故答案为：1，2，3； （3）若第1次运算是， ∵5， ∴|x﹣2|＝5，解得：x＝7或x＝﹣3， ∵x为负整数， ∴输入的x值为﹣3； 若第2次运算是， ∵5，52＝25， ∴|x﹣2|＝25，解得：x＝27或x＝﹣23， ∵x为负整数， ∴输入的x值为﹣23； ∵|x|＜25， ∴x的负整数值为﹣3或﹣23． 题型一 无理数的估算——整数部分与小数部分的综合 1．（2025·滨海县·校级期中）如图，已知点A表示的数为，点A向右平移3个单位长度到达点B． （1）点B表示的数为　　 ； （2）在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且有|2c﹣4|与互为相反数，求2c+d的平方根． （3）在（2）的条件下，若的整数部分是x，小数部分是y，求x﹣y的值． 【答案】（1）3；（2）±3；（3）4． 【详解】解：（1）设点B表示的数为x，由题意可得：点B表示的数为：3， 故答案为：3； （2）∵|2c﹣4|与互为相反数， ∴|2c﹣4|0， ∴2c﹣4＝0且d﹣5＝0， ∴c＝2，d＝5， ∴2c+d＝9， ∴±±±3， ∴2c+d的平方根为±3； （3）由（2）可知：c+d＝7， ∴， ∵23， ∴的整数部分为2，小数部分为2， 即x＝2，y2， ∴x﹣y＝2﹣（2）＝4． 2．（2026·海门区·期中）我们用[a]表示不大于a的最大整数，a﹣[a]的值称为数a的小数部分，如[2.13]＝2，2.13的小数部分为2.13﹣[2.13]＝0.13． （1）[]＝　　，[]＝　　，π的小数部分＝　　． （2）设的小数部分为a，则a+[]　　． （3）已知：10x+y，其中x是整数；且0＜y＜1，则x﹣y的相反数是　　． 【答案】（1）1，2，π﹣3；（2）1；（3）12． 【详解】解：（1）∵1＜3＜4， ∴12， ∴[]＝1， ∵4＜7＜9， ∴23， ∴[]＝2， π的小数部分为：π﹣3， 故答案为：1，2，π﹣3； （2）∵4＜5＜9， ∴23， ∴的整数部分为2， ∴的小数部分为：2， ∴a2， ∵9＜13＜16， ∴34， ∴[]＝3， ∴a+[]2+3＝1， 故答案为：1； （3）∵12， ∴11＜1012， ∵10x+y，x是整数，且0＜y＜1， ∴x＝11，y＝10111， ∴x﹣y＝11﹣（1） ＝111 ＝12， ∴x﹣y的相反数为：12， 故答案为：12． 3．（2025·扬中市·期中）阅读下面的文字，解答问题：我们知道是无理数，因此的小数部分不可能全部写出来．因为，即，所以的整数部分为2，将减去其整数部分，差就是小数部分，即的小数部分为． 根据以上材料请解答： （1）的整数部分是　　； （2）已知的小数部分是x，则x＝　　，的小数部分是y，则y＝　　； （3）在（2）的条件下，若m是数M的整数部分，且（m﹣1）2＝x+y，求出满足条件的m的值，并写出相应的M的范围． 【答案】（1）4；（2），；（3）当m＝0时，0≤M＜1；当m＝2时，2≤M＜3． 【详解】解：（1）∵， ∴的整数部分是4， 故答案为：4； （2）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，； （3）由（2）可知：，． ∵（m﹣1）2＝x+y， ∴． ∴m﹣1＝±1， ∴m＝0或m＝2． ∵m是数M的整数部分， ∴当m＝0时，0≤M＜1． ∴当m＝2时，2≤M＜3． 题型二 无理数的估算——与几何结合 1．（2026·如皋市·期末）【结论初探】小谢利用数形结合的方式探究的近似值，过程如下： ∵面积为39的正方形的边长是，且67， ∴可以设为以下两种形式： ①6+a（0＜a＜1）； ②7﹣b（0＜b＜1）． 小谢展示了利用②探究近似值的过程． 通过数形结合，可画出正方形的面积示意图． S正方形＝39+2（7﹣b）b+b2＝72， 整理得：39+14b﹣b2＝49， ∵0＜b＜1， ∴b2较小，可忽略不计． ∴14b≈49﹣39，b． ∴6.29． 【方法运用】 （1）请写出在哪两个连续整数之间：　　　　； （2）类比上述方法，选择其中一种形式，画出示意图，探究的近似值． 【答案】（1）5；6；（2）方法一：示意图详见解析，；方法二：示意图详见解析，． 【详解】解：（1）∵25＜27＜36， ∴，即， 故答案为：5；6； （2）方法一：如图， ，整理得：25+10a+a2＝27， ∵0＜a＜1， ∴a2较小，可忽略不计， ∴10a≈27﹣25，， ∴； 方法二：如图， ， 整理得27+12b﹣b2＝36， ∵0＜b＜1， ∴b2较小，可忽略不计． ∴12b≈36﹣27，， ∴． 2．（2026·南通·期中）小李同学探索的近似值的过程如下： ∵面积为10的正方形的边长是，且， ∴设，其中0＜x＜1，画出示意图，如图所示． 根据示意图，可得边长为的正方形的面积：． ∵S正方形＝10，∴42﹣2×4·x+x2＝10． 当0＜x＜1时，显然x2＜1，可忽略x2，得16﹣8x≈10，得到x≈0.75， ∴． （1）直接写出下列各数的整数部分的值：①；②； （2）仿照上述方法，探究的近似值（写出求解过程）； （3）结合上述具体实例，已知非负整数a，b，m，若，且m＝（a+1）2﹣b，直接写出的近似值（用含有a，b的式子表示）． 【答案】（1）①3；②5；（2）5.75；（3）． 【详解】解：（1）①∵， ∴的整数部分是3； ②∵， ∴的整数部分是5； （2）∵面积为33的正方形的边长是，且， ∴设，其中0＜x＜1，画出示意图，如图所示： 根据示意图，可得边长为的正方形的面积：S正方形＝62﹣2×6·x+x2， ∵S正方形＝33， ∴62﹣2×6·x+x2＝33． 当0＜x＜1时，显然x2＜1，可忽略x2，得36﹣12x≈33，解得x≈0.25， ∴6﹣0.25＝5.75， ∴5.75； （3）的近似值为，理由如下： ∵面积为m的正方形的边长是且， ∴设＝（a+1）﹣x，其中0＜x＜1，画出示意图，如图所示： 根据示意图，可得图中正方形的面积S正方形＝（a+1）2﹣2（a+1）x+x2， 又∵S正方形＝m， ∴（a+1）2﹣2（a+1）x+x2＝m， 当0＜x＜1时，显然x2＜1，可忽略x2，得m≈（a+1）2﹣2（a+1）x， ∵m＝（a+1）2﹣b， ∴（a+1）2﹣b＝（a+1）2﹣2（a+1）x， ∴x， ∴a+1 ， ∴的近似值为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $