21.3 一元二次方程与实际问题 复习讲义 2026-2027学年华东师大版九年级上册数学

本讲义聚焦一元二次方程与实际应用核心知识点，先梳理解决问题的审设列解验答步骤，再分变化率、利润、面积等七种题型，每种题型提供关键方法与公式，构建从步骤到具体应用的学习支架。 资料特色是紧密联系生活实际，如数字化改造、商品利润等实例，通过例题与变式练习培养数学眼光（发现数量关系）、数学思维（推理与运算）、数学语言（建立方程模型）。课中辅助教师系统教学，课后帮助学生巩固练习，查漏补缺。

第四讲 一元二次方程与实际应用 用一元二次方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：根据需要设未知数（可直接可间接）; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. 与一元二次方程有关应用题的常见类型： 题型一：变化率问题 解决这类问题的关键： ①确定是增长还是降低； ②确定增长或者降低的次数； ③确定变化前的量和变化后的量，特别是变化后的这个量是不是总量； 务必要记住公式a(1±x)n=b，其中a为增长(或降低)的基础数，x为增长(或降低)的变化率，n为增长(或降低)的次数，b为增长(或降低)后的数量.即： 第一类：（用直接开方法解方程） 第二类：（用配方法解方程） （b为三次总量） 例1．某市年数字化改造茶园面积亩，经过两年的继续改造，该项目年数字化改造茶园面积达到亩，那么该项目这两年的数字化改造茶园面积的年平均增长率为（     ） A． B． C． D． A 【分析】设该项目这两年的数字化改造茶园面积的年平均增长率为，根据增长规律列方程求解，舍去不符合题意的负根即可得到结果． 【详解】解：设该项目这两年的数字化改造茶园面积的年平均增长率为． 年改造面积为亩，经过两年增长后年改造面积为亩， ， 整理得 解得，（不符合题意，舍去）． 例2．2025年2月份，我国自主研发的软件一经发布，便占据各大应用市场下载榜首．据统计，该软件首日在某平台的下载量为40万次，第二天、第三天连续增长，这三天累计下载量达到了200万次．设这三天的日平均增长率为．根据题意，可列方程（   ） A． B． C． D． C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据日平均增长率x，分别计算三天的下载量：首日40万次，第二天万次，第三天万次，三天总和等于万次，进行作答． 【详解】解：∵首日下载量：40万次， ∴第二天下载量：万次， ∴第三天下载量：万次， ∴三天累计下载量：万次， 故选：C 变式练习 1．郑州某超市1月份的营业额为90万元，1月、2月和3月的总营业额为万元．设平均每月营业额的增长率为，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． D 【分析】根据月平均增长率分别表示2月、3月的营业额，结合三个月总营业额列方程 【详解】解：设平均每月营业额的增长率为x，2月份营业额为万元，3月份营业额为万元， ∵1月、2月、3月总营业额为万元， ∴ 2．小明通过刻苦的考前复习，最近三次数学模拟考试，每次考试成绩较前一次都有提高，若第一次模拟考试成绩为100分，三次考试总成绩为339分．若设每次考试成绩的平均增长率是，那么可列出的方程是（    ） A． B． C． D． A 【分析】根据：现在的=原来的×（1+增长率），可分别求得第二次、第三次模拟考试的成绩，根据三次考试总成绩为339分可得方程． 【详解】由题意得：第二次考试的成绩为100(1+x)，第三次考试的成绩为100(1+x)2 由于三次考试的总成绩为339，则可得方程： 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际实际应用，根据等量关系列出方程是关键，注意这里的总成绩是三次考试的成绩之和，部分同学错选B，注意仔细审题． 3．进入12月以来，某大型商场前三周的营业收入持续上涨，若12月第1周营业收入为3亿元，这三周的营业总收入为13亿元，若平均每周的增长率记为，则方程可以列为（    ） A． B． C． D． D 【分析】根据题意可知12月的第二周营业收入为，12月的第三周营业收入为，然后问题可求解． 【详解】解：由题意可列方程为； 故选D． 【点睛】本题主要考查增长率问题，熟练掌握一元二次方程增长率问题是解题的关键． 4．某工厂一月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，三月份的生产成本是289万元，假设每月生产成本的下降率相同．求每月生产成本的下降率． 每月生产成本的下降率为 【分析】设每月生产成本的下降率为，根据题意，得，解方程求解即可． 【详解】解：设每月生产成本的下降率为，根据题意，得， 故， 解得，（舍去）． 答：每月生产成本的下降率为． 5．解决问题 探究主题 黄河口大闸蟹产业发展综合探究 探究背景 为贯彻落实黄河流域生态保护和高质量发展重大战略，东营深耕生态文旅，打造了“观鸟浪、赏黄蓝交汇、品大闸蟹”等特色名片． 资料一 某大闸蟹养殖基地依托旅游产业优势，产能稳步提升．该养殖基地2024年大闸蟹产量约64吨，计划2026年产量达到100吨． 资料二 为满足市场需求，该养殖基地推出不同规格的大闸蟹．其中，某规格公蟹单只售价40元，母蟹单只售价45元． 问题解决： (1)该养殖基地大闸蟹产量平均每年增长的百分率是多少？ (2)若某游客计划购买该规格公蟹和母蟹共12只，且购买母蟹的数量不少于公蟹数量的．怎样购买费用最低，最低费用是多少？ (1) (2)购买公蟹9只、母蟹3只时费用最低，最低费用为495元． 【分析】（1）设平均每年增长的百分率为x，根据“该养殖基地2024年大闸蟹产量约64吨，计划2026年产量达到100吨．”列出方程，即可求解； （2）设购买该规格公蟹m只，则购买母蟹只，根据“购买母蟹的数量不少于公蟹数量的”列不等式求出m的取值范围，设购买费用为w元，列出w关于m的函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设平均每年增长的百分率为x， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：平均每年增长的百分率为； （2）解：设购买该规格公蟹m只，则购买母蟹只， 根据题意得：， 解得：， 设购买费用为w元，则 ， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∵m为整数， ∴m的最大值为9， 当时，w取得最小值，最小值为， 答：购买公蟹9只、母蟹3只时费用最低，最低费用为495元． 6．随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到5.07万辆．某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆，售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆，若该店计划下调售价，使平均每周的销售利润为96万元． (1)求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率； (2)为推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． (1) (2)万元 【分析】（1）由平均增长率问题的解法，列一元二次方程求解即可； （2）设下调后每辆汽车的售价为万元，由等量关系列一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为， 根据题意，得， 解得，（负值不符合题意，舍去）， 答：从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为； （2）解：设下调后每辆汽车的售价为万元，则每辆汽车的销售利润为万元，平均每周可售出辆， 根据题意，得， 解得，， 此次销售尽量让利于顾客， ， 答：下调后每辆汽车的售价为21万元． 7．“乒乓球”被称作我国的国球，一直代表着全世界的最高水平．据统计在伦敦世乒赛结束后的两个月内，我市从事乒乓球运动的人数从3.2万人快速增加到了5万人． (1)求我市参加乒乓球运动人数的月均增长率； (2)为支持市民参与乒乓球运动，市政府决定从某公司购买一批乒乓球台．该公司规定：若购买不超过100台，每台售价1600元；若超过100台，每增加10台，售价每台可降低40元，但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种乒乓球台的台数． (1) (2)购买的这种乒乓球台的台数为200台 【分析】（1）设该市参加乒乓球运动人数的年均增长率为，利用在世乒赛结束后的两个月参加健身运动的人数在世乒赛结束后的首月参加乒乓球运动的人数该市参加乒乓球运动人数的年均增长率，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设购买台这种乒乓球台，求出购买100台这种乒乓球台所需费用，由该值等于24万元，利用总价单价数量，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合每台售价不得少于1000元，即可确定结论． 【详解】（1）解：设我市参加乒乓球运动人数的月均增长率为x， 由题意得：， 解得（不符合题意，舍去）， 答：我市参加乒乓球运动人数的月均增长率为； （2）解：（元）元， ∴购买的乒乓球台数超过100台． 设购买的这种乒乓球台的台数为m台， 由题意得：， 解得， 又， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：购买的这种乒乓球台的台数为200台． 题型二：利润和利润率问题 在日常生活中，经常遇到有关商品利润的问题，解决这类问题的关键是利用其中已知量与未量之间的等量关系建立方程模型，并通过解方程来解决问题.要正确解答利润或利润率问题，首先要理解这些公式： ① ②单件利润=售价-进价=原来单利-降价=原来单利+涨价 ③销售量=原销量 （基数：题中每降低或者没涨价后面的数就是基数） ④总利润=单件利润销售量 例1．某商场将进货单价为40元的商品按50元售出时能卖出500个．经过市场调查发现，若这种商品售价每提高1元，其销售量就会少10个． (1)当售价定为54元时，求该商品销售的个数； (2)商场为了保证经营该商品赚得8000元的利润而又尽量兼顾顾客的利益，售价应提高多少元？ (1)460个 (2)售价应提高10元 【分析】（1）根据售价涨幅与销售量减少的对应关系，计算实际销售个数； （2）设提价金额为未知数，利用总利润的等量关系列方程，结合兼顾顾客利益的条件选取合适的解． 【详解】（1）解：售价提高金额为（元）， 销售量减少（个） 此时销售个数为（个）； （2）解：设售价应提高元，单个商品利润为元，销售量为个， 由总利润为8000元，得， 整理得， 解得，， ∵要尽量兼顾顾客的利益，即提价幅度尽可能小， ∴； 答：售价应提高10元． 例2．某超市以每个30元的价格购进A种商品，销售数据表明：当每个A种商品售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每下降1元，其月销售量就增加200个． (1)若售价下降5元，每月能售出 个A种商品，若售价下降元（），每月能售出 个A种商品； (2)若本月最多购进有1210个A种商品，经销商决定降价促销，预计月获利恰好为8400元，求每个A种商品的售价； (3)经销商月获利能否达到9600元？说明理由． (1)1600； (2)每个A商品的售价为37元 (3)解：月获利不能达到9600元，理由： 设每个A商品的售价为x元， 由题意得：， 整理得：， ∵， ∴方程无实数根，即月获利不能达到9600元． 【分析】（1）根据售价每下降1元，其月销售量就增加200个，分别计算即可； （2）设每个A商品的售价为x元，根据每个A商品的利润×销售数量＝总利润列出方程并解答； （3）根据题意列出方程，求出根的判别式，可得方程无实数根，即月获利不能达到9600元． 【详解】（1）解：∵售价每下降1元，其月销售量就增加200个， ∴若售价下降5元，每月能售出（个）A商品， 若售价下降x元()，每月能售出个A商品； （2）解：设每个A商品的售价为x元，由题意，得 ， 解得， 当时，（舍去）， 当时，（符合题意）， 答：每个A商品的售价为37元； （3）略 变式练习 1．综合与实践 【问题背景】国家对地下车库设计的核心标准是：过道的宽度不仅是为了“通过”，更是为了车辆安全、顺利地转弯、停入和驶出车位．为保证车辆交会时能安全通过，采取“宁宽勿窄”的原则，设计在条件允许的情况下，双向行驶车道的宽度标准为米． 【数据收集】我市某小区地下车库分为等多个区域，其中A区域为长40米，宽22米的标准矩形场地，规划如图所示，停车场内车道宽度均为x米．另据调查分析，该小区每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位，设小区每个车位月租金上涨金额为y元． 【建立模型】 (1)当车库A区域停车位（图中阴影）的占地面积为时，通过计算判断车道宽度是否符合标准？ (2)若该小区E区域共有停车位50个，当每个车位的月租金上涨多少元时，该区域停车场的月租金收入为10125元？ (1)车道宽度符合标准 (2)每个车位月租金上涨25元 【分析】（1）通过平移计算车库A区域停车位（图中阴影）的占地面积，再列方程求解即可； （2）设该区域每个车位月租金上涨y元，则租出的车位数量为个，再根据“该区域停车场的月租金收入为10125元”列方程求解即可． 【详解】（1）解：先将图形平移，如解图， 由题意，得， 或（不符合实际，舍去）， ， ∴车道宽度符合标准． （2）解：设该区域每个车位月租金上涨y元，则租出的车位数量为个， 由题意得． 解得， ∴每个车位月租金上涨25元． 2． 超市销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，在让顾客得到更大实惠的前提下，当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？ 当每件商品降价20元时，该商店每天销售利润为1200元． 【分析】设每件商品应降价元，根据“平均每天可售出20件，每件盈利40元，售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，每天销售利润为1200元”，列出方程，即可求解． 【详解】解：设每件商品应降价元． 由题意，得， 解得． 让顾客得到更大实惠， ． 故当每件商品降价20元时，该商店每天的销售利润为1200元． 3．随着气温的降低，某电器商场销售一批电暖器，平均每天可售出30台，每台可盈利50元，经调查发现，如果每降价1元，商场平均每天可多售出2台．为了增大利润，商场决定采取适当的降价措施． (1)商场每天要盈利2100元，每台电暖器应降价多少元？ (2)该商场平均每天盈利能达到2500元吗？如果能，求出此时应降价多少；如果不能，请说明理由． (1)每台电暖器应降价15元或20元 (2)不能．理由如下： 设每台电暖器降价元．根据题意，得 ， 整理，得． ∵， ∴该方程无实数根． ∴该商场平均每天盈利不能达到2500元． 【分析】（1）设每台电暖器降价元，则每台盈利元，每天可以售出台，利用总利润=每台的利润×销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出x的值； （2）由根的判别式可得出该方程无实数根，进而可得出商场平均每天盈利不能达到2500元． 【详解】（1）解：设每台电暖器降价元．根据题意，得 ， 解得． 答：每台电暖器应降价15元或20元． （2）略 4．陕西阎良是我国知名的“中国甜瓜之乡”，近年来通过电商平台，阎良甜瓜的线上销售规模持续扩大．某甜瓜种植户通过电商平台销售自家的优质甜瓜，平均每天可售出20箱，每箱可盈利30元．经市场调研发现：在每箱降价不超过15元的前提下，该甜瓜每箱降价1元，每天可多售出5箱．设该甜瓜每箱降价x元，每天的销售量为箱． (1)求与的函数表达式； (2)若此种植户某天销售该甜瓜共获得利润1200元，求这天该甜瓜的销量． (1) (2)50箱 【分析】（1）根据销售量随降价的变化关系，直接写出一次函数表达式，结合题干给出的降价限制确定自变量的取值范围； （2）利用“总利润每箱利润销售量”列一元二次方程求解，结合x的取值范围舍去不符合题意的解，再代入函数关系式求出最终的销售量即可． 【详解】（1）解：由题意可得，原本每天售出20箱，每箱降价x元后，每天可多售出箱， 因此， ∵每箱降价不超过15元， ∴， 即y与x的函数表达式为； （2）解：由题意，总利润为1200元，降价后每箱盈利为 元，每天销售量为y， 因此列方程得， 展开整理得 ， 解得 ，， ∵， ∴不符合要求，舍去， 将 代入，得， 答：这天该甜瓜的销量为50箱． 5．请完成“问题解决”中的任务1和任务2． “广西桂林三日游”调研分析 背景 10月份报名参加“广西桂林三日游”的人数为1000人，到12月份报名的人数将达到1440人． 素材1 该旅行社提供的“广西桂林三日游”旅行活动的初步方案为20人组团，每人的团费为800元． 素材2 经调查发现，若每人的团费每降低10元，平均每个团的报名人数会增加1人，但每人的团费不能低于600元． 问题解决： (1)任务1：求10月份至12月份“广西桂林三日游”旅行活动报名人数的月平均增长率； (2)任务2：若该旅行社要使平均每个团的总团费为24000元，求降低团费后每人的团费． (1)10月份至12月份报名人数的月平均增长率为； (2)降低团费后每人的团费为元. 【分析】（1）设月平均增长率为，10月人数为基础量1000人，连续增长两个月到12月1440人，根据平均增长率公式：列一元二次方程求解，舍去负增长率． （2）设每人团费降低元，则单人团费变为元；每降元多人，每组人数变为人．总团费=单人团费每组人数，列方程求解后，结合限制条件每人团费元筛选合理解． 【详解】（1）解：设10月份至12月份报名人数的月平均增长率为． 由题意得方程：， 两边同除以1000：， 解得或（增长率不能为负，舍去）， 月平均增长率为． （2）解：设每人团费降低元（为正整数）， 则降低后单人团费：，每组报名人数：． 由总团费元列方程： ， 解得：，． 根据限制条件每人团费不能低于600元检验： ①当时，单人团费元，符合要求； ②当时，单人团费元，，不符合要求，舍去． 降低团费后每人的团费为600元． 6．根据以下素材，探索完成任务． 13度的甜，14度的鲜，夏季的兰溪杨梅，不仅是自然的馈赠，更是交织成初夏最让人心动的味道，但由于“泡药风波”，使得杨梅的销售较往年增加了一些难度，为了促进销售，某农户决定采取网上和实体店同步销售，请你帮助一起设计兰溪杨梅的销售方案． 素材1 某农户在网上和实体店同时销售兰溪杨梅（以下简称杨梅），成本价为20元/千克． 素材2 杨梅的网上销售价定为30元/千克时，当天网上销售量是100千克，实体店的销售价定为40元/千克时，当天实体店销售量是50千克．一天内实体店的销售价保持不变，网上销售价可按实际情况进行适当调整，需确保网上销售价始终高于成本价． 素材3 据调查，网上销售价每降低1元，当天网上多售出20千克，实体店少售出2千克． 问题解决： (1)任务1：当杨梅网上销售价为25元/千克时，求农户在网上销售杨梅当天的毛利润（毛利润=销售总额-成本）与实体店销售该杨梅当天的毛利润各是多少元？ (2)任务2：杨梅的网上单价每千克降多少元时，农户一天的总毛利润（总毛利润=网上毛利润+实体店毛利润）为2040元？ (3)任务3：你觉得该农户一天的总毛利润能否达到3000元，若能，请求出杨梅的网上单价是每千克多少元？若不能，请说明理由． (1)网店毛利润为1000元，实体店毛利润为800元 (2)网店单价每千克降低1元或2元时，总毛利润为2040元 (3)不能，理由： 设网店售价每千克降低元，假设总毛利润能达到3000元， 根据任务2的计算可得： 整理得： 可得： 由根的判别式得方程无解 所以该农户一天的总毛利润不能达到3000元． 【分析】（1）根据毛利润单件毛利润销售数量求解即可； （2）设网店售价每千克降低元，分别求得网店毛利润和实体店毛利润，根据题意列方程，解方程，即可求解． （3）设网店售价每千克降低元，假设总毛利润能达到3000元，根据题意列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）当网店售价为25元时，相比初始价30元降低了元． 网店情况：销量（千克） 单件毛利润（元/千克） 网店毛利润（元） 实体店情况：销量（千克） 单件毛利润（元/千克） 实体店毛利润（元） 答：网店毛利润为1000元，实体店毛利润为800元． （2）解：设网店售价每千克降低元， 则网店毛利润； 实体店毛利润 根据题意列方程： 化简可得： ∴ 解得：， 答：网店单价每千克降低1元或2元时，总毛利润为2040元． （3）略 例3．某特产店在旺季购进一批礼盒装雪花梨膏进行售卖，已知雪花梨膏每盒的进价为30元，售价为50元，每星期可卖出100盒，经市场调研发现，每盒售价每下降1元，每星期可多卖10盒．现特产店进行降价销售，每盒售价下降x元． (1)降价后该特产店每星期卖出雪花梨膏__________盒（用含x的代数式表示）； (2)若该特产店想要实现每星期卖出雪花梨膏的利润为2240元的目标，同时尽可能的让利给顾客，求每盒雪花梨膏的售价； (3)求每盒售价下降多少元时，每星期卖出礼盒装雪花梨膏的利润最大？最大利润是多少？ (1) (2)44元 (3)每盒售价下降5元时，每星期卖出礼盒装雪花梨膏的利润最大，最大利润是2250元 【分析】本题主要考查一元二次方程与二次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据“每盒售价每下降1元，每星期可多卖10盒”可进行求解； （2）由（1）及利润单个利润数量可进行求解； （3）根据（2）可得，然后根据二次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：由题意得：降价后该特产店每星期卖出雪花梨膏盒； 故答案为； （2）解：由题意得： ， 解得． ∵要尽可能的让利给顾客， ∴， ∴（元）． 答：每盒雪花梨膏的售价为44元． （3）解：设每星期卖出礼盒装雪花梨膏的利润为w元．由题意得： ． ∵售价不低于进价， ∴， ∴． ∵， ∴当时，w有最大值为2250． 答：当每盒售价下降5元时，每星期卖出礼盒装雪花梨膏的利润最大，最大利润是2250元． 例4．“郜台板鸭”是安徽特产，产于王家坝蓄洪区内，历史悠久．某个体商户通过网络销售郜台板鸭，他购进郜台板鸭的进价是50元/只，根据市场调研发现售价是80元/只时，每周可卖出 160只，若销售单价每只降低1元，则每周可多卖出10只． （1）若设销售单价为x元，试用含x的代数式表示每周的销售量； （2）当销售单价定为多少元时，每周销售利润最大，最大利润是多少元？ （1）；（2）销售单价为73元时，每周销售利润最大，最大利润为5290元 【分析】（1）根据题意“售价是80元/只时，每周可卖出 160只，若销售单价每只降低1元，则每周可多卖出10只”，列出销售量的代数式； （2）设每周获得的利润为元，根据利润等于销量乘以单只的利润即可列出函数关系，进而根据二次函数的性质即可求得最大值 【详解】解：（1）由题意，得每周的销售量为（只）． （2）设每周获得的利润为元． 由题意，得 ． 由，可知当时，有最大值为5290． 即当销售单价为73元时，每周销售利润最大，最大利润为5290元． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键 变式练习 1．某店只销售某种进价为40元/kg的产品，已知该店按60元kg出售时，每天可售出100kg，后来经过市场调查发现，单价每降低1元，则每天的销售量可增加10kg． （1）若单价降低2元，则每天的销售量是_____千克，每天的利润为_____元；若单价降低x元，则每天的销售量是_____千克，每天的利润为______元；（用含x的代数式表示） （2）若该店销售这种产品计划每天获利2240元，单价应降价多少元？ （3）当单价降低多少元时，该店每天的利润最大，最大利润是多少元？ （1）120、2160、100+10x、（20﹣x）（100+10x）；（2）每千克应降价4元或6元．（3）当单价降低5元时，该店每天的利润最大，最大利润是2250元． 【分析】（1）由降低1元销量可增加10kg可知降低2元的销量，根据利润=单个利润数量计算列式即可；（2）根据（1）中所得关系式列方程计算出x的值即可；（3）根据总利润y与降价x元的函数关系式（20﹣x）（100+10x），配方求出最大值即可； 【详解】（1）若单价降低2元，则每天的销售量是100+2×10=120千克，每天的利润为（60﹣2﹣40）×120=2160元； 若单价降低x元，则每天的销售量是100+10x千克，每天的利润为（20﹣x）（100+10x）元； 故答案为120、2160、100+10x、（20﹣x）（100+10x）； （2）根据题意得：（60﹣40﹣x）（100+10x）=2240， 整理得：x2﹣10x+24=0， 解得：x1=4，x2=6． 答：每千克应降价4元或6元． （3）该店每天的总利润y与降价x元的函数关系式为： y=（60﹣x﹣40）（100+10x） =﹣10x2+100x+2000 =﹣10（x﹣5）2+2250， 当x=5时，y最大，最大值为2250， 答：当单价降低5元时，该店每天的利润最大，最大利润是2250元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用及二次函数的最大值，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程． 2．世纪华联超市准备进一批每个进价为35元的小家电，经市场调查预测，当每个售价定为45元时可售出360个：每个定价每增加1元，销售量将减少6个． （1）设每个定价增加x元，此时的销售量是多少？（用含x的代数式表示） （2）世纪华联超市若准备获得利润7200元，并且使进货量较少，则每个应定价为多少元？ （3）世纪华联超市若要获得最大利润，则每个应定价多少元？ （1）（个）； （2）由题意可得： 整理得： 解得， 使进货量较少，（舍去）， 每个定价元； （3）由题意可知，所获利润 当时， 所以每个定价为70元时，获得的最大利润为7350元． 【分析】（1）根据题意列出代数式即可； （2）根据总利润=单个利润销售量解一元二次方程，舍去较大值可计算得答案； （3）根据总利润=单个利润销售量，利用二次函数的性质即可得解． 【详解】解：（1）：定价每增加1元，销售量将减少6个 设每个定价增加x元，此时的销售量是（个）； （2）略 （3）略 【点睛】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用，二次函数的应用；解决本题的关键在于根据题干列出代数式，用总利润=单个利润销售量建立一元二次方程和二次函数，根据其相关的要求和性质准确作答． 题型三：面积问题 几何图形的面积问题是中考的热点问题，通常涉及三角形、长方形、正方形等图形的面积，需利用图形面积公式，从中找到等量关系解决问题.有关面积的应用题，均可借助图形加以分析，以便于理解题意. 常见类型：不管矩形图中有几条小路，均可以将小路平移到图2，这样只需要表示空白部分的长与宽即可。同时，中国园林中的小路很多就是弯曲或者不是直的，均可以看成直线形式。 例1．丹东草莓是丹东市的特产之一．请你运用数学知识，根据素材，帮果农解决问题． 信息及素材 素材一 在专业种植技术人员的正确指导下，果农对草莓种植技术进行了研究与改进，使产量得到了增长，根据果农们的记录，2023年草莓平均每株产量是10千克，2025年达到了16.9千克，每年的增长率基本相同． 素材二 草莓一般用长方体包装盒包装后进行售卖． (1)任务1：依题意列方程，求草莓产量的年平均增长率； (2)任务2：现有长，宽的长方形纸板，将四角各裁掉一个正方形（如图1），折成无盖长方体纸盒（如图2）．为了放下适当数量的草莓，需要设计底面积为的纸盒，设此时纸盒的高为，则可列方程为___________． (1)草莓产量的年平均增长率为 (2) 【分析】（1）设草莓产量的年平均增长率为x，根据“2023年草莓平均每株产量是10千克，2025年达到了16.9千克，每年的增长率基本相同”列出方程求解即可； （2）设此时纸盒的高为，根据长方体纸盒的底面积列方程求解即可． 【详解】（1）解：设草莓产量的年平均增长率为x，根据题意可得： ， 解得，（舍去）， 则草莓产量的年平均增长率为； （2）解：设此时纸盒的高为， 根据题意可得：． 例2．在“精准扶贫”工作中，某单位建议贫困户借助家里长的墙建造面积为的矩形区域来养鹌鹑，该单位准备修建长为的篱笆，并提供以下两种方案： (1)如图1，若选取墙的一部分作矩形的边，其他三边用篱笆围成，则在墙上借用的的长度为多少? (2)如图2，若全部借用的长度，并在的延长线上拓展，构成矩形，篱笆由、、和构成，求的长． (1) (2) 【分析】（1）设的长为，则，由矩形，得，解方程即可； （2）设长为，则，由矩形，得，,由题意，得，解方程即可； 【详解】（1）解：设的长为，则， 由矩形，得， 整理，得， 解得， ， 舍去； ， ． （2）解：设长为，则， 由矩形，得， 由题意，得， 整理，得， 解得， 由长度不能为负数， 故舍去， 故， 故的长为． 例3．新型科技广泛应用于智慧农业．为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进1台智能机器人采摘某种水果．如图，为了方便智能机器人和工人采摘水果，计划在一块长、宽的矩形果园上修建三条道路，道路的宽度都相等，道路将果园分成面积均为的个小矩形，求道路的宽度． 道路宽度为1m 【分析】设道路宽度为，则6个小矩形的合并在一起的长为，宽为，结合6个小矩形的面积之和为列出方程，求解即可． 【详解】解：设道路宽度为，依题意得 ， 解得，（不合实际，舍去）． 答：道路宽度为． 例4．今年朝阳区在老旧小区改造方面取得了巨大成就，人居环境得到了很大改善.某小区规划在如图宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪.要使草坪的面积为，求道路的宽.    道路的宽是2米 【分析】设道路宽为x米，利用平移把不规则的图形变为规则图形，如此一来，所有草坪面积之和就变为了米2，进而即可列出方程，求出答案． 【详解】解：设道路的宽x米， 则， 解得：（舍去）， 答：道路的宽是2米． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，这类题目体现了数形结合的思想，需利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而即可列出方程，求出答案，另外还要注意解的合理性，从而确定取舍． 变式练习 1．张叔叔家的后院是一个长20米，宽12米的矩形．他打算把它划分成如图中阴影部分所示的4个小矩形分别布置不同的景观，空白部分留成宽度相同的道路．已知布置景观的4个小矩形的面积总和为180平方米，求道路的宽度． 2米 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据图形正确列出方程成为解题的关键． 设道路的宽度为x米，根据题意列出一元二次方程求解并检验即可． 【详解】解：设道路的宽度为米． 由题意得． 解得：（不符合题意，舍去）， 道路的宽度为2米． 2．某农场要建一个大饲养场（矩形），两面靠墙，位置的墙最大可用长度为17米，位置的墙最大可用长度为12米，围成如图所示的矩形场地，每个场地各留一个1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长34米．设木栏的长为米． (1)①__________米（用含的代数式表示） ②若饲养场面积为160平方米时，求的长； (2) 饲养场面积能达到170平方米吗？若能，请求出的长，若不能，请说明理由． (1)①；②米； (2)解：不能，理由如下： 当饲养场面积为170平方米时，， 整理得， 判别式， 方程无实数根， 因此饲养场面积不能达到170平方米. 【分析】（1）①用总长加上两个门宽再减去2个的长，列出代数式即可；②根据矩形的面积公式列出方程进行求解即可； （2）根据矩形的面积公式列出方程，利用判别式判断方程的根的情况，即可. 【详解】（1）解：①由题意，（米）； ②由题意，得， 解得，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 故米； （2）略 3．综合与实践 【主题】“知耕园”生态农场田地设计 【情境】为了让同学们懂得劳动之义，知晓劳动之责，厚植劳动情怀；学校决定建立“知耕园”生态农场，开展种菜、采摘等劳动课程，老师请同学们参与一块长为60米，宽为40米的矩形菜地的方案设计，以下是同学们对菜地小路设计的研究过程． (1)【任务一】要求：设计的每一条小路都连接矩形菜地的一组对边．同学们设计的方案主要有如图1所示的甲、乙、丙三种典型的方案，三幅图中．为施工方便，学校选择甲方案设计，并要求菜地面积为2262平方米，则每条小路的宽度是______米． (2)【任务二】为了便于开展更多的劳动课程，学校打算在农场旁边建一个花圃．如图2，花圃一边利用水池，其它边用长为150米的篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃．若可利用的水池长70米，花圃的面积刚好为1800平方米，求矩形花圃的一边的长． (1)1 (2)30米 【分析】（1）设每条小路的宽度是米，根据除小路后菜地面积为2262平方米列方程，解方程即得答案； （2）设矩形花圃的一边的长为米，则的长为米，根据花圃的面积刚好为1800平方米列方程，解方程即得答案． 【详解】（1）解：设每条小路的宽度是米， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴每条小路的宽度是1米； （2）解：设矩形花圃的一边的长为米，则的长为米， ∵水池长70米， ∴，解得， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：的长为30米． 4．如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个宽的门，当所围矩形猪舍的长为_______m、宽为_______m时，猪舍面积为． 【分析】设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为，则平行于墙的一边的长为，再根据猪舍面积即可列出关于的一元二次方程，解方程再结合住房墙的长为对方程的解进行取舍，即可得解． 【详解】解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为，则平行于墙的一边的长为， 根据题意，得， 解得，． 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意． ∴所围矩形猪舍的长为，宽为时，猪舍面积为． 5．如图，是某庭院的平面示意图，小院的长为，宽为．院内从入口到出口的石板路宽度均相等，若水池的占地面积为，求石板路的宽度．设石板路的宽度为，根据题意所列方程为（     ） A． B． C． D． D 【分析】设石板路的宽度为，则水池拼合后的总宽度应为原宽减去石板路的宽度，即，水池拼合后的总长度应为原长减去石板路的总宽度，即，再根据长方形的面积公式列出方程即可． 【详解】解：设石板路的宽度为，则水池拼合后的总宽度应为原宽减去石板路的宽度，即，水池拼合后的总长度应为原长减去石板路的总宽度，即， ∵水池的占地面积为， ∴． 题型四：分裂（传播）问题 解决此类问题的关键是原细胞或传染源在不在总数中.其一般思路是先分析问题情境，明确是分裂问题还是传播问题，然后找出问题中的数量关系，再建立适当的数学模型求解. ①传播问题：传染源在传播过程中，原传染源的数量计入传染结果，若传染源数量为1，每一个传染源传染x个个体，则第一轮传染后，感染个体的总数为1+x，第二轮传染后感染个体的总数为 (1+x)2. ②分裂问题：细胞在分裂过程中，原细胞数目不计入分裂总数中，若原细胞数目为1，每一个细胞分裂为x 个细胞，则第一次分裂后的细胞总数为x，第二次分裂后的细胞总数为1+x+x2. 例1．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有人患流感，若每轮传染中，平均一人传染人，根据题意，可列方程是（     ） A． B． C． D． C 【分析】患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每轮传染中平均一个人传染了个人，则第一轮传染了个人，第二轮作为传染源的是人，则传染人，依题意列出方程即可． 【详解】解：∵初始有人患流感，每轮平均人传染人， ∴第一轮传染后总患病人数为， ∵第二轮中每名患者传染人， ∴第二轮新增患病人数为，两轮后总患病人数为， ∵两轮后共有人患流感， ∴可列方程． 变式练习 1．我国古代数学名著《九章算术》中记载有“一传十、十传百”的信息传播问题．今有1人获知一条政令，经过两轮传播后，共有人知晓．若每轮平均1人传播给x人，则可列方程为（     ） A． B． C． D． C 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，属于传播类问题，解题思路是按传播顺序计算两轮传播后的总知晓人数，再据此列出方程． 【详解】解：∵初始有1人知晓政令，每轮平均1人传播给人， ∴第一轮传播结束后，总共有人知晓， 第二轮传播中，所有已知晓的人都会传播给人，因此第二轮新增的知晓人数为， ∵两轮传播后总共有49人知晓， ∴可列方程为 ，故选C． 2．某位同学经过老师指点后学会了某道数学题，回到班级后第一节课他教会了若干个同学，第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这道数学题．设一人每次教会了x名同学，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． D 【分析】这道题考的是传播问题，将每一次的传播情况分析清楚，将初始人数和后两次的传播人数加起来就是最终的总人数． 【详解】解：初始会做这道题的人数为1人， ∵第一节课，原来会的1人教会 名同学，第一节课后会做的人数为人， ∵第二节课，所有会做的 人每人教会x名同学，第二节课新增会做的人数为， ∴全班会做的总人数为初始人数加上两节课新增的人数，列方程得: ． 3．某地有两人患了流感，经过两轮传染后共有98人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人? 每轮传染中平均一个人传染了6个人 【分析】设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，得，解方程即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人， 根据题意，得， ， 或 解方程，得（舍去）． 答：每轮传染中平均一个人传染了6个人． 题型五：碰面问题（循环）问题 ① 重叠类型（双循环）：n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m． ∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场 ∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场 ∵A与B比赛和B与A比赛是同一场比赛，∴上述求法有重叠部分． ∴m =n（n－1） ② 不重叠类型（单循环）：n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比赛场次为m． ∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场 ∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场． ∵A与B比赛在A的主场，B与A比赛在B的主场，不是同一场比赛，∴上述求法无重叠． ∴m = n（n－1） 例1．按要求完成下列各题： (1)南宁市某中学要在初中组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排场比赛，问应该邀请多少支球队参加比赛? (2)南宁市某中学要在高中篮球比赛中，规定所有球队直接进行双循环赛（即每两个队之间进行两场比赛），总共进行场比赛，求有多少支球队参加比赛． (1)应该邀请支球队参加比赛 (2)有支球队参加比赛 【分析】（1）设应该邀请支球队参加比赛，根据题意的数量关系列出一元二次方程即可； （2）根据题意的数量关系列出一元二次方程即可． 【详解】（1）解：设应该邀请支球队参加比赛， ∵赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排场比赛， ∴ 整理得，， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：应该邀请支球队参加比赛． （2）解：设有支球队参加比赛， ∵所有球队直接进行双循环赛，总共进行场比赛， ∴， 整理得，， 解得，，（不符合题意，舍去）， 答：有支球队参加比赛． 例2．某高铁交通路线从甲站出发，最终到达乙站，若共设计了56种往返车票（往返车票不同），这条线路共有多少个站点？若设这条线路共有x个站点，则可列方程为（     ） A． B． C． D． A 【详解】解：每个站点到其余个站点各有1种去程车票，往返车票不同， 总车票数为，结合共56种往返车票， 得方程. 变式练习 1．某学校九年级举办了一场乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（每两位参赛选手之间都赛1场）． 乐乐和淇淇针对这次比赛有如下对话： 乐乐：本次比赛一共进行了40场． 淇淇：你所说的并不正确，按照这个赛制，不应该是40场． 假设有x人报名参加比赛． (1)根据题意，乐乐列出的方程应该是：________．请利用乐乐所列的方程分析淇淇的说法是否正确； (2)乐乐补充道：本次比赛的确一共进行了40场，只是在比赛过程中遇到了特殊情况，有1人身体不适，只参加了4场比赛后就中途退赛．请直接写出此时x的值． ．(1) 解：根据题意列一元二次方程得，，整理得，解得，不是整数， ∴方程的解不符合实际，按这个赛制不应该是40场，故淇淇的说法正确； (2)10． 【分析】（1）设有x人报名参加比赛，根据采用单循环赛制，列方程，求解即可． （2）设有x人报名参加比赛，根据采用单循环赛制，有一人比赛了4场后退出比赛，还有人继续比赛，此时比赛的场数为，列方程求解即可； 【详解】（1）略 （2）解：设有x人报名参加比赛，根据采用单循环赛制，有一人比赛了4场后退出比赛，还有人继续比赛，其余人继续比赛的场数为， 由题意得， 解得（舍去）， ∴x的值为10． 2．某校组织篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了15场比赛，则这次参加比赛的球队个数为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 B 【分析】利用单循环赛制总场数与球队个数的等量关系，设未知数列方程求解． 【详解】解：设参加比赛的球队个数为个．由题意得 ， 整理得 ， 解得，（不符合题意，舍去）． 3．2026年的世界杯足球赛中，组委会将参赛球队平均分成了个小组，在小组赛中，每支球队都要和组内其他球队进行一场比赛．小莹了解到本届世界杯小组赛共有场，但不知道每个小组有几支球队．若设每个小组有支球队，则可列方程为（     ） A． B． C． D． D 【分析】先计算单个小组的比赛场数，再结合小组总数和总比赛场数列出方程即可． 【详解】解：∵每个小组有支球队，每支球队要和组内支球队各进行一场比赛，且甲对乙和乙对甲是同一场比赛， ∴ 一个小组的比赛总场数为， ∵ 一共有个小组，小组赛总场数为场， ∴ 可列方程为． 4．读诗词，列方程：大江东去浪淘尽，千古风流人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符．（诗词大意；周瑜英年早逝，逝世时的年龄是一个两位数，十位数字比个位数字小3，个位数字的平方刚好是周瑜逝世时的年龄），设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则列出的方程正确的是（　　） A． B． C． D． B 【分析】设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则周瑜逝世时的年龄的十位数字为，根据“个位数字的平方刚好是周瑜逝世时的年龄”，列出方程，即可得出答案． 【详解】解：设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则周瑜逝世时的年龄的十位数字为， 根据题意，可得：． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解本题的关键在理清题意，正确列出方程． 5． 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出______个小分支． 9 【分析】设每个支干长出x个小分支，主干为1个，支干为个，小分支为个，根据总数是91列出一元二次方程求解． 【详解】解：设每个支干长出x个小分支， 根据题意得， 解得，（舍去） ∴每个支干长出9个小分支． 题型六：数字问题 例1．（1）一个两位数，个位数字比十位数字少1，且个位数字与十位数字的乘积等于72，则这个两位数是_______； （2）三个连续整数两两相乘，再求和，结果为242，则这三个数分别是___________． 98 8，9，10或 【分析】（1）设个位数字为x，则得十位数字为，根据个位数字与十位数字的乘积等于72，列出一元二次方程，求解即可； （2）设三个连续整数里中间的整数为x，则可表示出两边的整数，列出方程即可求解． 【详解】解：（1）设个位数字为x，则得十位数字为， 由题意得， 整理得， 解得（舍去）， 则十位数字为，所求的两位数为98； （2）设三个连续整数里中间的整数为x，则较小的整数为，较大的整数为， 由题意得， 整理得， 解得， 所以三个连续整数分别为8，9，10或． 变式练习 1． 一个两位数，个位数字与十位数字的和为，并且个位数字的平方比十位数字大，求这个两位数． 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，根据题意，设这个两位数的个位数字为，则十位数字为，由此列式求解即可． 【详解】解：设这个两位数的个位数字为，则十位数字为， 根据题意，得，整理，得， 解得（不符合题意，舍去），， ， 这个两位数为． 题型七：几何问题 例1．如图，在中，，，．点从点出发向终点以的速度移动，点从点出发向终点以的速度移动，，两点同时出发，其中一点到达终点则两点同时停止运动．当的面积等于时，两点运动了（    ） A． B． C． D．或 A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设后，的面积等于，根据三角形面积公式列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：设后，的面积等于． 由题意，得，，则． ， ， 整理，得， 解得，（不合题意，舍去）． 故当的面积等于时，两点运动了． 故选：A． 例2．如图，在中，，点从点开始沿边向点以1厘米/秒的速度移动，点从点开始沿边向点以2厘米/秒的速度移动．如果两点分别从两点同时出发，当运动到点为止． (1)经过几秒钟，？ (2)经过几秒钟，的面积等于？ (1)3秒钟 (2)2秒钟或4秒钟 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用、三角形的面积、勾股定理等知识点，正确表示出线段和的长是解题的关键． （1）设时间为t秒，则，在中，根据勾股定理列方程求解即可； （2）根据的面积等于列方程求解即可． 【详解】（1）解：设时间为t秒，则 ∴， 由题意得：， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：经过3秒钟，． （2）解：由题意得：， 整理得：， 解得：，． 答：经过2秒钟或4秒钟，的面积等于． 变式练习 1．如图，在一个直角墙角处，两面墙互相垂直，即，已知，．甲机器人从点沿方向以每秒的速度爬行，同时乙机器人从点沿方向以每秒的速度爬行．设运动秒后，分别到达点的位置，这时的面积恰好为，由题意可列方程为（    ） A． B． C． D． D 【分析】本题考查一元二次方程的综合题，准确地理解题意并列出代数式是解题的关键．设运动秒后，分别到达点的位置，根据路程公式，可得、的长，继而得、的长，根据的面积恰好为，即可列出关于t的一元二次方程． 【详解】解：设运动秒后，分别到达点的位置， 由题意得，， 故选：D． 2．如图，在中，，，，点从点开始沿射线方向以的速度运动；同时点也从点开始沿射线方向以的速度运动．_______秒后以、、、为顶点的四边形的面积为． 或 【分析】先根据动点速度设运动时间为，得出、，依据点、所在线段位置划分为、、三种情况，每种情况结合图形形状选用对应割补法列出四边形面积方程求解，求出解后验证数值是否落在对应取值范围内，舍去取值范围内不符的解，即可得出所有符合条件的时间． 【详解】解：设运动时间为，由题意得，， 当点在线段上时，； 当点在线段上时，； 故分三种情况讨论： ①当时，如图， ， ∵， ∴， 解得 或（不合题意，舍去）； ②当时，如图， ， ∵， ∴， 解得； ③当时，如图， ， ∵， ∴， 解得（，不合题意，舍去）或（不合题意，舍去）； 综上所述， 或秒后以、、、为顶点的四边形的面积为． 3．如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，同时，点从点出发沿以的速度向点移动，则___________秒后的面积为？ 1或5 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设运动秒钟后的面积为，则，，，，利用分割图形求面积法结合的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设运动秒钟后的面积为，则，，，， ， ， ， ， 解得：，． 故运动1秒或5秒后的面积为． 故答案为：1或5． 4．如图所示，在中，厘米，厘米，，点P从点A开始沿边向点B以1厘米秒的速度移动（到达点B即停止运动），点Q从B点开始沿边向点C以2厘米秒的速度移动（到达点C即停止运动），如果P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒，的面积等于100平方厘米? 经过秒或秒，的面积等于100平方厘米 【分析】设运动时间为t秒，根据题意和三角形面积公式进行分类讨论求解即可． 【详解】解：设运动时间为t秒， 当时，依题意，得 解得，（不合题意，舍去）； 当时，依题意，得 解得． ∴经过秒或秒，的面积等于100平方厘米． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四讲 一元二次方程与实际应用 用一元二次方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：根据需要设未知数（可直接可间接）; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. 与一元二次方程有关应用题的常见类型： 题型一：变化率问题 解决这类问题的关键： ①确定是增长还是降低； ②确定增长或者降低的次数； ③确定变化前的量和变化后的量，特别是变化后的这个量是不是总量； 务必要记住公式a(1±x)n=b，其中a为增长(或降低)的基础数，x为增长(或降低)的变化率，n为增长(或降低)的次数，b为增长(或降低)后的数量.即： 第一类：（用直接开方法解方程） 第二类：（用配方法解方程） （b为三次总量） 例1．某市年数字化改造茶园面积亩，经过两年的继续改造，该项目年数字化改造茶园面积达到亩，那么该项目这两年的数字化改造茶园面积的年平均增长率为（     ） A． B． C． D． 例2．2025年2月份，我国自主研发的软件一经发布，便占据各大应用市场下载榜首．据统计，该软件首日在某平台的下载量为40万次，第二天、第三天连续增长，这三天累计下载量达到了200万次．设这三天的日平均增长率为．根据题意，可列方程（   ） A． B． C． D． 变式练习 1．郑州某超市1月份的营业额为90万元，1月、2月和3月的总营业额为万元．设平均每月营业额的增长率为，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 2．小明通过刻苦的考前复习，最近三次数学模拟考试，每次考试成绩较前一次都有提高，若第一次模拟考试成绩为100分，三次考试总成绩为339分．若设每次考试成绩的平均增长率是，那么可列出的方程是（    ） A． B． C． D． 3．进入12月以来，某大型商场前三周的营业收入持续上涨，若12月第1周营业收入为3亿元，这三周的营业总收入为13亿元，若平均每周的增长率记为，则方程可以列为（    ） A． B． C． D． 4．某工厂一月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，三月份的生产成本是289万元，假设每月生产成本的下降率相同．求每月生产成本的下降率． 5．解决问题 探究主题 黄河口大闸蟹产业发展综合探究 探究背景 为贯彻落实黄河流域生态保护和高质量发展重大战略，东营深耕生态文旅，打造了“观鸟浪、赏黄蓝交汇、品大闸蟹”等特色名片． 资料一 某大闸蟹养殖基地依托旅游产业优势，产能稳步提升．该养殖基地2024年大闸蟹产量约64吨，计划2026年产量达到100吨． 资料二 为满足市场需求，该养殖基地推出不同规格的大闸蟹．其中，某规格公蟹单只售价40元，母蟹单只售价45元． 问题解决： (1)该养殖基地大闸蟹产量平均每年增长的百分率是多少？ (2)若某游客计划购买该规格公蟹和母蟹共12只，且购买母蟹的数量不少于公蟹数量的．怎样购买费用最低，最低费用是多少？ 6．随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到5.07万辆．某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆，售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆，若该店计划下调售价，使平均每周的销售利润为96万元． (1)求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率； (2)为推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 7．“乒乓球”被称作我国的国球，一直代表着全世界的最高水平．据统计在伦敦世乒赛结束后的两个月内，我市从事乒乓球运动的人数从3.2万人快速增加到了5万人． (1)求我市参加乒乓球运动人数的月均增长率； (2)为支持市民参与乒乓球运动，市政府决定从某公司购买一批乒乓球台．该公司规定：若购买不超过100台，每台售价1600元；若超过100台，每增加10台，售价每台可降低40元，但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种乒乓球台的台数． 题型二：利润和利润率问题 在日常生活中，经常遇到有关商品利润的问题，解决这类问题的关键是利用其中已知量与未量之间的等量关系建立方程模型，并通过解方程来解决问题.要正确解答利润或利润率问题，首先要理解这些公式： ① ②单件利润=售价-进价=原来单利-降价=原来单利+涨价 ③销售量=原销量 （基数：题中每降低或者没涨价后面的数就是基数） ④总利润=单件利润销售量 例1．某商场将进货单价为40元的商品按50元售出时能卖出500个．经过市场调查发现，若这种商品售价每提高1元，其销售量就会少10个． (1)当售价定为54元时，求该商品销售的个数； (2)商场为了保证经营该商品赚得8000元的利润而又尽量兼顾顾客的利益，售价应提高多少元？ 例2．某超市以每个30元的价格购进A种商品，销售数据表明：当每个A种商品售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每下降1元，其月销售量就增加200个． (1)若售价下降5元，每月能售出 个A种商品，若售价下降元（），每月能售出 个A种商品； (2)若本月最多购进有1210个A种商品，经销商决定降价促销，预计月获利恰好为8400元，求每个A种商品的售价； (3)经销商月获利能否达到9600元？说明理由． 变式练习 1．综合与实践 【问题背景】国家对地下车库设计的核心标准是：过道的宽度不仅是为了“通过”，更是为了车辆安全、顺利地转弯、停入和驶出车位．为保证车辆交会时能安全通过，采取“宁宽勿窄”的原则，设计在条件允许的情况下，双向行驶车道的宽度标准为米． 【数据收集】我市某小区地下车库分为等多个区域，其中A区域为长40米，宽22米的标准矩形场地，规划如图所示，停车场内车道宽度均为x米．另据调查分析，该小区每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位，设小区每个车位月租金上涨金额为y元． 【建立模型】 (1)当车库A区域停车位（图中阴影）的占地面积为时，通过计算判断车道宽度是否符合标准？ (2)若该小区E区域共有停车位50个，当每个车位的月租金上涨多少元时，该区域停车场的月租金收入为10125元？ 2． 超市销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，在让顾客得到更大实惠的前提下，当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？ 3．随着气温的降低，某电器商场销售一批电暖器，平均每天可售出30台，每台可盈利50元，经调查发现，如果每降价1元，商场平均每天可多售出2台．为了增大利润，商场决定采取适当的降价措施． (1)商场每天要盈利2100元，每台电暖器应降价多少元？ (2)该商场平均每天盈利能达到2500元吗？如果能，求出此时应降价多少；如果不能，请说明理由． 4．陕西阎良是我国知名的“中国甜瓜之乡”，近年来通过电商平台，阎良甜瓜的线上销售规模持续扩大．某甜瓜种植户通过电商平台销售自家的优质甜瓜，平均每天可售出20箱，每箱可盈利30元．经市场调研发现：在每箱降价不超过15元的前提下，该甜瓜每箱降价1元，每天可多售出5箱．设该甜瓜每箱降价x元，每天的销售量为箱． (1)求与的函数表达式； (2)若此种植户某天销售该甜瓜共获得利润1200元，求这天该甜瓜的销量． 5．请完成“问题解决”中的任务1和任务2． “广西桂林三日游”调研分析 背景 10月份报名参加“广西桂林三日游”的人数为1000人，到12月份报名的人数将达到1440人． 素材1 该旅行社提供的“广西桂林三日游”旅行活动的初步方案为20人组团，每人的团费为800元． 素材2 经调查发现，若每人的团费每降低10元，平均每个团的报名人数会增加1人，但每人的团费不能低于600元． 问题解决： (1)任务1：求10月份至12月份“广西桂林三日游”旅行活动报名人数的月平均增长率； (2)任务2：若该旅行社要使平均每个团的总团费为24000元，求降低团费后每人的团费． 6．根据以下素材，探索完成任务． 13度的甜，14度的鲜，夏季的兰溪杨梅，不仅是自然的馈赠，更是交织成初夏最让人心动的味道，但由于“泡药风波”，使得杨梅的销售较往年增加了一些难度，为了促进销售，某农户决定采取网上和实体店同步销售，请你帮助一起设计兰溪杨梅的销售方案． 素材1 某农户在网上和实体店同时销售兰溪杨梅（以下简称杨梅），成本价为20元/千克． 素材2 杨梅的网上销售价定为30元/千克时，当天网上销售量是100千克，实体店的销售价定为40元/千克时，当天实体店销售量是50千克．一天内实体店的销售价保持不变，网上销售价可按实际情况进行适当调整，需确保网上销售价始终高于成本价． 素材3 据调查，网上销售价每降低1元，当天网上多售出20千克，实体店少售出2千克． 问题解决： (1)任务1：当杨梅网上销售价为25元/千克时，求农户在网上销售杨梅当天的毛利润（毛利润=销售总额-成本）与实体店销售该杨梅当天的毛利润各是多少元？ (2)任务2：杨梅的网上单价每千克降多少元时，农户一天的总毛利润（总毛利润=网上毛利润+实体店毛利润）为2040元？ (3)任务3：你觉得该农户一天的总毛利润能否达到3000元，若能，请求出杨梅的网上单价是每千克多少元？若不能，请说明理由． 例3．某特产店在旺季购进一批礼盒装雪花梨膏进行售卖，已知雪花梨膏每盒的进价为30元，售价为50元，每星期可卖出100盒，经市场调研发现，每盒售价每下降1元，每星期可多卖10盒．现特产店进行降价销售，每盒售价下降x元． (1)降价后该特产店每星期卖出雪花梨膏__________盒（用含x的代数式表示）； (2)若该特产店想要实现每星期卖出雪花梨膏的利润为2240元的目标，同时尽可能的让利给顾客，求每盒雪花梨膏的售价； (3)求每盒售价下降多少元时，每星期卖出礼盒装雪花梨膏的利润最大？最大利润是多少？ 例4．“郜台板鸭”是安徽特产，产于王家坝蓄洪区内，历史悠久．某个体商户通过网络销售郜台板鸭，他购进郜台板鸭的进价是50元/只，根据市场调研发现售价是80元/只时，每周可卖出 160只，若销售单价每只降低1元，则每周可多卖出10只． （1）若设销售单价为x元，试用含x的代数式表示每周的销售量； （2）当销售单价定为多少元时，每周销售利润最大，最大利润是多少元？ 变式练习 1．某店只销售某种进价为40元/kg的产品，已知该店按60元kg出售时，每天可售出100kg，后来经过市场调查发现，单价每降低1元，则每天的销售量可增加10kg． （1）若单价降低2元，则每天的销售量是_____千克，每天的利润为_____元；若单价降低x元，则每天的销售量是_____千克，每天的利润为______元；（用含x的代数式表示） （2）若该店销售这种产品计划每天获利2240元，单价应降价多少元？ （3）当单价降低多少元时，该店每天的利润最大，最大利润是多少元？ 2．世纪华联超市准备进一批每个进价为35元的小家电，经市场调查预测，当每个售价定为45元时可售出360个：每个定价每增加1元，销售量将减少6个． （1）设每个定价增加x元，此时的销售量是多少？（用含x的代数式表示） （2）世纪华联超市若准备获得利润7200元，并且使进货量较少，则每个应定价为多少元？ （3）世纪华联超市若要获得最大利润，则每个应定价多少元？ 题型三：面积问题 几何图形的面积问题是中考的热点问题，通常涉及三角形、长方形、正方形等图形的面积，需利用图形面积公式，从中找到等量关系解决问题.有关面积的应用题，均可借助图形加以分析，以便于理解题意. 常见类型：不管矩形图中有几条小路，均可以将小路平移到图2，这样只需要表示空白部分的长与宽即可。同时，中国园林中的小路很多就是弯曲或者不是直的，均可以看成直线形式。 例1．丹东草莓是丹东市的特产之一．请你运用数学知识，根据素材，帮果农解决问题． 信息及素材 素材一 在专业种植技术人员的正确指导下，果农对草莓种植技术进行了研究与改进，使产量得到了增长，根据果农们的记录，2023年草莓平均每株产量是10千克，2025年达到了16.9千克，每年的增长率基本相同． 素材二 草莓一般用长方体包装盒包装后进行售卖． (1)任务1：依题意列方程，求草莓产量的年平均增长率； (2)任务2：现有长，宽的长方形纸板，将四角各裁掉一个正方形（如图1），折成无盖长方体纸盒（如图2）．为了放下适当数量的草莓，需要设计底面积为的纸盒，设此时纸盒的高为，则可列方程为___________． 例2．在“精准扶贫”工作中，某单位建议贫困户借助家里长的墙建造面积为的矩形区域来养鹌鹑，该单位准备修建长为的篱笆，并提供以下两种方案： (1)如图1，若选取墙的一部分作矩形的边，其他三边用篱笆围成，则在墙上借用的的长度为多少? (2)如图2，若全部借用的长度，并在的延长线上拓展，构成矩形，篱笆由、、和构成，求的长． 例3．新型科技广泛应用于智慧农业．为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进1台智能机器人采摘某种水果．如图，为了方便智能机器人和工人采摘水果，计划在一块长、宽的矩形果园上修建三条道路，道路的宽度都相等，道路将果园分成面积均为的个小矩形，求道路的宽度． 例4．今年朝阳区在老旧小区改造方面取得了巨大成就，人居环境得到了很大改善.某小区规划在如图宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪.要使草坪的面积为，求道路的宽.    变式练习 1．张叔叔家的后院是一个长20米，宽12米的矩形．他打算把它划分成如图中阴影部分所示的4个小矩形分别布置不同的景观，空白部分留成宽度相同的道路．已知布置景观的4个小矩形的面积总和为180平方米，求道路的宽度． 2．某农场要建一个大饲养场（矩形），两面靠墙，位置的墙最大可用长度为17米，位置的墙最大可用长度为12米，围成如图所示的矩形场地，每个场地各留一个1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长34米．设木栏的长为米． (1)①__________米（用含的代数式表示） ②若饲养场面积为160平方米时，求的长； (2) 饲养场面积能达到170平方米吗？若能，请求出的长，若不能，请说明理由． 3．综合与实践 【主题】“知耕园”生态农场田地设计 【情境】为了让同学们懂得劳动之义，知晓劳动之责，厚植劳动情怀；学校决定建立“知耕园”生态农场，开展种菜、采摘等劳动课程，老师请同学们参与一块长为60米，宽为40米的矩形菜地的方案设计，以下是同学们对菜地小路设计的研究过程． (1)【任务一】要求：设计的每一条小路都连接矩形菜地的一组对边．同学们设计的方案主要有如图1所示的甲、乙、丙三种典型的方案，三幅图中．为施工方便，学校选择甲方案设计，并要求菜地面积为2262平方米，则每条小路的宽度是______米． (2)【任务二】为了便于开展更多的劳动课程，学校打算在农场旁边建一个花圃．如图2，花圃一边利用水池，其它边用长为150米的篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃．若可利用的水池长70米，花圃的面积刚好为1800平方米，求矩形花圃的一边的长． 4．如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个宽的门，当所围矩形猪舍的长为_______m、宽为_______m时，猪舍面积为． 5．如图，是某庭院的平面示意图，小院的长为，宽为．院内从入口到出口的石板路宽度均相等，若水池的占地面积为，求石板路的宽度．设石板路的宽度为，根据题意所列方程为（     ） A． B． C． D． 题型四：分裂（传播）问题 解决此类问题的关键是原细胞或传染源在不在总数中.其一般思路是先分析问题情境，明确是分裂问题还是传播问题，然后找出问题中的数量关系，再建立适当的数学模型求解. ①传播问题：传染源在传播过程中，原传染源的数量计入传染结果，若传染源数量为1，每一个传染源传染x个个体，则第一轮传染后，感染个体的总数为1+x，第二轮传染后感染个体的总数为 (1+x)2. ②分裂问题：细胞在分裂过程中，原细胞数目不计入分裂总数中，若原细胞数目为1，每一个细胞分裂为x 个细胞，则第一次分裂后的细胞总数为x，第二次分裂后的细胞总数为1+x+x2. 例1．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有人患流感，若每轮传染中，平均一人传染人，根据题意，可列方程是（     ） A． B． C． D． 变式练习 1．我国古代数学名著《九章算术》中记载有“一传十、十传百”的信息传播问题．今有1人获知一条政令，经过两轮传播后，共有人知晓．若每轮平均1人传播给x人，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 2．某位同学经过老师指点后学会了某道数学题，回到班级后第一节课他教会了若干个同学，第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这道数学题．设一人每次教会了x名同学，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 3．某地有两人患了流感，经过两轮传染后共有98人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人? 题型五：碰面问题（循环）问题 ① 重叠类型（双循环）：n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m． ∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场 ∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场 ∵A与B比赛和B与A比赛是同一场比赛，∴上述求法有重叠部分． ∴m =n（n－1） ② 不重叠类型（单循环）：n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比赛场次为m． ∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场 ∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场． ∵A与B比赛在A的主场，B与A比赛在B的主场，不是同一场比赛，∴上述求法无重叠． ∴m = n（n－1） 例1．按要求完成下列各题： (1)南宁市某中学要在初中组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排场比赛，问应该邀请多少支球队参加比赛? (2)南宁市某中学要在高中篮球比赛中，规定所有球队直接进行双循环赛（即每两个队之间进行两场比赛），总共进行场比赛，求有多少支球队参加比赛． 例2．某高铁交通路线从甲站出发，最终到达乙站，若共设计了56种往返车票（往返车票不同），这条线路共有多少个站点？若设这条线路共有x个站点，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 变式练习 1．某学校九年级举办了一场乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（每两位参赛选手之间都赛1场）． 乐乐和淇淇针对这次比赛有如下对话： 乐乐：本次比赛一共进行了40场． 淇淇：你所说的并不正确，按照这个赛制，不应该是40场． 假设有x人报名参加比赛． (1)根据题意，乐乐列出的方程应该是：________．请利用乐乐所列的方程分析淇淇的说法是否正确； (2)乐乐补充道：本次比赛的确一共进行了40场，只是在比赛过程中遇到了特殊情况，有1人身体不适，只参加了4场比赛后就中途退赛．请直接写出此时x的值． 2．某校组织篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了15场比赛，则这次参加比赛的球队个数为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．2026年的世界杯足球赛中，组委会将参赛球队平均分成了个小组，在小组赛中，每支球队都要和组内其他球队进行一场比赛．小莹了解到本届世界杯小组赛共有场，但不知道每个小组有几支球队．若设每个小组有支球队，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 4．读诗词，列方程：大江东去浪淘尽，千古风流人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符．（诗词大意；周瑜英年早逝，逝世时的年龄是一个两位数，十位数字比个位数字小3，个位数字的平方刚好是周瑜逝世时的年龄），设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则列出的方程正确的是（　　） A． B． C． D． 5．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出______个小分支． 题型六：数字问题 例1．（1）一个两位数，个位数字比十位数字少1，且个位数字与十位数字的乘积等于72，则这个两位数是_______； （2）三个连续整数两两相乘，再求和，结果为242，则这三个数分别是___________． 变式练习 1． 一个两位数，个位数字与十位数字的和为，并且个位数字的平方比十位数字大，求这个两位数． 题型七：几何问题 例1．如图，在中，，，．点从点出发向终点以的速度移动，点从点出发向终点以的速度移动，，两点同时出发，其中一点到达终点则两点同时停止运动．当的面积等于时，两点运动了（    ） A． B． C． D．或 例2．如图，在中，，点从点开始沿边向点以1厘米/秒的速度移动，点从点开始沿边向点以2厘米/秒的速度移动．如果两点分别从两点同时出发，当运动到点为止． (1)经过几秒钟，？ (2)经过几秒钟，的面积等于？ 变式练习 1．如图，在一个直角墙角处，两面墙互相垂直，即，已知，．甲机器人从点沿方向以每秒的速度爬行，同时乙机器人从点沿方向以每秒的速度爬行．设运动秒后，分别到达点的位置，这时的面积恰好为，由题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，，点从点开始沿射线方向以的速度运动；同时点也从点开始沿射线方向以的速度运动．_______秒后以、、、为顶点的四边形的面积为． 3．如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，同时，点从点出发沿以的速度向点移动，则___________秒后的面积为？ 4．如图所示，在中，厘米，厘米，，点P从点A开始沿边向点B以1厘米秒的速度移动（到达点B即停止运动），点Q从B点开始沿边向点C以2厘米秒的速度移动（到达点C即停止运动），如果P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒，的面积等于100平方厘米? 1 学科网（北京）股份有限公司 $