河南省开封市杞县高中2024-2025学年高二宏志班上学期开学检测数学试卷

高二宏志班数学开学检测卷答案解析 第1题答案 D 第1题解析 因为z=2+i,所以z=2-i, 2025 i (- i(2+i) 所以 2-i 故选：D 第2题答案 D 第2题解析 因为cosB+cosC=cosB-cos(A+B) cos B-cos Acos B+sin Asin B=2sin Asin B, 所以cosB=cos Acos B+sin Asin B=cos(A-B), 因为0<A,B<π，所以B=A-B,或B=-A+B舍去可得2B=A, 因为a=√b,由正弦定理得sinA=√3sinB,所以sin2B=√3sinB=2 sin Bcos B, 0<8<x放9B问得8-名428-青所烈C=牙 2 故选D, 第3题答案 D 第3题解析 对于A如图当mCa,ncB,m//n时，a&与B相交，所以A错误 m n 对于B,如图，当m⊥a,m⊥B时，x/1B,所以B错误 m 对于C,如图当mca,ncB,m⊥n时，a11B,所以C错误 a m B 对于D,设a∩y=1,在平面a内作b⊥1，因为a⊥y,所以b⊥y, 因为B11y,所以b⊥B, 因为bcα，所以a⊥B,所以D正确. b 2 故选D 第4题答案 A 第4题解析 因为|aHb=l,a-b=cos20°cos10°+sin20°sinl0°=cos(20°-10)=cos10°， a.b cos10° 则c0s<a,b> =c0s10°，且0°≤<a,b>≤180°， lal.b 1x1 所以<a,b>=10°. 故选A. 第5题答案 第5题解析 这7个数从小到大排列为：1,2,4,5,6,8,10， 因为7×60%=4.2， 所以第60百分位数是第5个数6 故选：C 第6题答案 D 第6题解析 对于A若m/1a,n/a,则m,n可能相交，故A错误 对于B,若ml∥n,mCa,则可能nCa&故B错误 对于C,若m/1,m/1B,则可能a⊥B故C错误 对于D,若m//a,在平面c内能找到直线a,使得a//m, 由m⊥B,可得a⊥B,又因为aCa,则⊥B,故D正确 故选D, 第7题答案 B 第7题解析 抽取的样本的均值近似于总体的均值， 由题意可得：x=170,y=161,m=500,n=400, 抽取的样本的均值为而=m下+n 500 400 -×170+ ×161=166 m+n m+n 500+40 500+400 故选B 第8题笞案 D 第8题解析 此时灯亮由两个独立事件组成，即A,B开关同时闭合和C开关同时闭合， 由这两个独立事件至少有一组闭合，灯就一定亮， 而它的对立事件是这两个独立事件同时都不满足闭合， 所以灯亮的概率为 故选D, 第9题答案 A,B,D 第9题解析 A选项a+26=-(0,m+25), 因为(a+2b1a,所以(a+26)a=(0,m+25)-(2,m)=m(m+23)=0, 解得m=0或-2√5，A正确； B选项，a+b上V5两边平方得，a2+2a6+6=5 因为(a+2b)1a,所以(a+2b)a=a+2a-b=0,故6=5则165，B正确 c花a(a+2列1a(6+2a=d+2a6=015a6=8- 2 5 则向量6在向量a上的投影数星为b·a_ 2 √5.C错误 a √5 2 D选项，由C选项知，a·b= 1 a 2 b.aa 向量b在向量a上的投影狗量为 a 2D正确 故选ABD 第10题答案 AC 第10题解析 对于A,由频率分布直方图得10(0.002+a+0.035+0.025+0.020)=1, 解得a=0.018,所以A正确， 对于B,员工平均服务时长为25×0.02+35×0.18+45×0.35+55×0.25+65×0.2=49.3小 时，所以B错误 对于C,因为前2组的频率和为0.20<0.5，前3组的频率和为0.55>0.5， 所以中位数在第3组，设中位数为m,则0.20+0.035(m-40)=0.5, 解得m≈48.6，所以C正确， 对于D,因为服务时长超过50小时的频率为10×(0.025+0.020)=0.45， 所以本单位员工中服务时长超过50小时的约有800×0.45=360人，所以D错误 故选AC 第11题答案 AB,D 第11题解析 对于A连接BC,CA,则BC=AB=A,C,即△A,BC为正三角形，又E,F分别为BC,CC 的中点故EF/1BC,故直线AB与EF所成的角即为AB,BC,所成角或其补角，而 ∠ABC1=60°，故直线AB与EF所成的角的大小为60°，A正确； D B B 对于B,由于AB/1D,C,AB=D,C,故四边形ABC,D,为平行四边形， 故ADI/BC而EF/IBC,故EF /AD 又AD,￠平面DEF,EFC平面DEF,故AD1I/平面DEF,B正确： 对于C,取EF中点为M,连接DM,显然DE=DF,故DM⊥EF, 假设平面DEF⊥平面BCCB,而平面DEFO平面BCC,B,=EF, DMC平面DEF,则DM⊥平面BCC,B,又DC⊥平面BCC,B, 则DM/DC,这与二者交于D点矛盾，C错误； D A B M Di--- E ⊙ 对于D,不妨设正方体棱长为2，点C到平面DEF的距离为d, 万e-P-5-5v,59 3 2 为8,0°<6≤90°，则sin0=d-三=D正确故选ABD, ΓDC-23 第12题答案 万 第12题解析 因为向星a6的夹角为60°，al,b上2，所以a-b=1x2xc0s60=1, 所以a+6P=(a+=+2a-6+62=1+2+4=7, 所似a+bV7 故答案为：√万 ------------------------------------------------------------------------------------- 第13题答案 68 第13题解析 今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长不少于6小时的频率为 1-(0.04+0.12)×2=0.68, 故参加学校社团活动的时长不少于6小时的人数为0.68×100=68. 故答案为：68 第14题答案 85 第14题解析 设OP=h OP 在Rt△OPA中， =tan∠OAP=tan30°，OA=√3h OA OP 在Rt△OPB中， =tan ZOBP=tan60,OB= OB 3 OP 在Rt△OPC中， =tan∠OCP=tan45°，OC=h oc 在△0AB中，由余定理得coS∠0BA=OB+AB-0A_3 R2+402-3h2 2OB·AB 2x3 h×40 3 在A0BC中中余孩理得c0s∠0BC-0B+BC-0C_3 2+402- 20B.BC 2x3 h×40 3 因为∠OBA+∠OBC=π， 所以c0s∠0BA+c0s∠0BC=0,即？+402-3h+2+402-F=0.h=85 故答案为：8V15 第15题答案 见解析 第15题解析 (1)因为a=(2,1),b=(3,x), 又因为a16,所以2x=3,解得x=3 2 所以 +-35 (2)因为b-a=(1,x-1), 所以-(6-a=2+(x-1)=0解得x=-1. 所以b=(3,-1),a+b=(5,0), 所以cos<a+6,6>= (a+B).B 153V10 1a+bb5×V1010 第16题答案 见解析 第16题解析 (1)由正弦定理知 =a所以 b 3 =1解得sinA= sin B sin A sinl20°sinA 2 因为B为钝角，所以A=30° (2)油余弦定理得b2=a2+c2-2 accos B=a2+c2+ac=(a+c)2-ac, 又由a>0,c>0,则ac≤ 1-ae)-wz(arep-aze(a 所以a+c≤4，当且仅当a=C时，等号成立， 即a+c的最大值为4， 所以△4BC周长的最大值为4+2√3 第17题答案 见解析 第17题解析 (1)这些人的平均年龄为 x=15×0.05+25×0.35+35×0.3+45×0.2+55×0.1=34.5(岁) 由频率分布直方图可知，年龄在[10,40)的频率为0.05+0.35+0.3=0.7， 在[10,50)的频率为0.05+0.35+0.3+0.2=0.9， 则第80百分位数为七∈[40,50)，由0.7+(x-40)×0.02=0.8,解得x。=45 所以估计这些人的平均年龄为34.5岁，第80百分位数为45 (2)第三组第四组，第五组的频率分别为0.3,0.2,0.1. 若从这三组中分层抽取6人，则从第三组抽取3人，记为4,42,4第四组抽取2人， 记为b,b:第五组抽取1人，记为CG 对应的样本空间2={(a,a2),(a,a),(a,b),(a,b2),(a,c),(a,a3),(a2,b), (a,b),(a2,c),(a,b),(a,b2),(a,c),(,b2),(b,c),(b2,c}. 所以n(2)=15; 设事件A为“从6人中随机抽取两人，所抽取的2人年龄在不同组”， 则A={《a,b),(a,b2),(a,c),(a,b),(a,b2),(a,c),(a,b),(a,b2), (a,c),(b,c),(b2,c},所以n(A)=11. 所以P()= n()_11 n(2)15 (3)设第三组、第四组的年龄的平均数分别为x,x,方差分别为S,S则 x=36,x2=46,92=2,s=4 由第三组有30人，第四组有20人 设第三组和第四组所有人的年龄平均数为x,方差为s2, 则x=30x+20元_30×36+20×46=40 50 50 2=动30x+6-门+20x号+5-》 =0{30x[2+66-40]+20×[4+(46-402]}=268 所以这100人中第三组与第四组所有人的年龄的方差为26.8 第18题答案 见解析 第18题解析 (1) By C A B 连接AB,因为直三棱柱ABC-AB,C,BB⊥AB,BB⊥BC,又BB,=AA=BC ∴BB,CC是正方形狙O为线段B,C的中点又M为线段AC中点∴.MO/AB1, 又OMd平面ABBA,ABC平面ABB,A,.OM/平面ABBA: (2BB,⊥AB,B,C⊥AB,BB,∩B,C=B,B,CC平面BCCB,BBC平面BCCB, AB⊥平面BCCB, 又ABC平面ABC,平面ABC⊥平面BCC,B: (3)M为线段AC中点. 11 1 VB-BOM =VM-BBO= ×1× 2 62 2 ×21 12 1 即三棱锥B,-BOM的体积为 12 第19题答案 见解析 第19题解析 (1)△PBC中，点E,F分别为棱PC,PB的中点 :EF //BC 又四边形ABCD是正方形.·AD/BC, :EF /AD, 又EF丈平面PAD,ADC平面PAD, .EFI∥平面PAD (2)0在四棱锥P-ABCD中， PD⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形， .BC⊥PD,BC⊥CD :PD∩CD=D,PDC平面PCD,CDc平面PCD, ∴.BC⊥平面PCD ·DEC平面PCD .BC⊥DE 在△PCD中，PD=CD,E为PC中点 .DE⊥PC ·BC⊥DE,PC∩BC=C,PCc平面PBC,BCC平面PBC .DE⊥平面PBC PBC平面PBC .DE⊥PB 又EF⊥PB,DE∩EF=E,DEC平面DEF,EFC平面DEF .PB⊥平面DEF,又DFC平面DEF PB⊥DF. ()由0可知∠PDF即为直线PD与平面DEF所成的角， 在△PDB中，PD⊥DB,DF⊥PB,则∠PDF=∠PBD 又PD=CD,.BD=V2PD, tan∠PDF=tan∠PBD=PD=2 BD 2 故直线PD与平面DEF所成的角的正切值为 2 2 高二宏志班数学开学检测卷 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（每小题5分，共8小题40分） 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 2. 在中，角的对边分别为，已知，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，，∥，则∥ B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，∥，则 4. 向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 5. 数据1，2，5，4，8，10，6的第60百分位数是（ ） A. 4.5 B. 5.5 C. 6 D. 8 6. 已知两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，下列四个命题中正确的为（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 7. 某学校高一年级学生有900人，其中男生500人，女生400人，为了获得该校高一全体学生的身高信息，现采用样本量按比例分配的分层随机抽样方法抽取了容量为180的样本，经计算得男生样本的均值为170，女生样本的均值为161，则抽取的样本的均值为是（ ） A. 165.5 B. 166 C. 166.5 D. 168 8. 在如图所示的电路中，三个开关，，闭合与否相互独立，且在某一时刻，，闭合的概率分别为，，，则此时灯亮的概率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，共3小题18分） 9. 已知向量，满足，则以下说法正确的是（ ） A. 若，，则或 B. 若，则 C. 若，，则向量在向量上的投影数量为 D. 向量在向量上的投影向量为 10. 某单位为了解员工参与一项志愿服务活动的情况，从800位员工中抽取了100名员工进行调查，根据这100人的服务时长（单位：小时），得到如图所示的频率分布直方图．则（ ） A. a的值为0.018 B. 估计员工平均服务时长为45小时 C. 估计员工服务时长的中位数为48.6小时 D. 估计本单位员工中服务时长超过50小时的有45人 11. 如图，在正方体中，，分别为，的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 直线与所成的角的大小为 B. 直线平面 C. 平面平面 D. 直线与平面所成角的正弦值为 三、填空题（每小题5分，共3小题15分） 12. 已知向量的夹角为，且，则___________. 13. 某校为了解今年春季学期开学第一周，高二年级学生参加学校社团活动的时长，有关部门随机抽查了该校高二年级100名同学，统计他们今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长，并绘制成如图所示的频率分布直方图.其中这100名同学今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长（单位：小时）范围是，数据分组为.这100名同学中，今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长不少于6小时的人数为__________人. 14. 镇江西津渡的云台阁，是一座宋元风格的仿古建筑，始建于2010年，目前已成为镇江市的地标建筑之一.如图，在云台阁旁水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点P的仰角分别为30°，60°，45°，且米，则云台阁的高度为________米. 四、解答题（15小题13分，16-17小题15分，18-19小题17分，共5小题77分） 15. 已知平面向量，. （1）若，求； （2）若，求. 16. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，． （1）若，，求A； （2）若，求周长的最大值． 17. 某消防队为了了解市民对“消防基本常识”的认知程度，针对本市不同年龄的人举办了一次“消防之星”知识竞赛，满分100分（95分及以上为.“消防之星”），共有100人荣获“消防之星”称号，将其按年龄分成以下五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）根据频率分布直方图，估计这些人的平均年龄和第80百分位数； （2）若从第三组，第四组，第五组三组中分层抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求抽取的2人年龄在不同组的概率； （3）若第三组的年龄的平均数与方差分别为36和2，第四组的年龄的平均数与方差分别为46和4，据此计算这100人中第三组与第四组所有人的年龄的方差. 附： 18. 如图，直三棱柱中，与交于点O，M为线段AC的中点，，． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求三棱锥的体积． 19. 如图，在四棱锥中，侧棱底面，四边形为正方形，且，点为棱的中点，点为棱上一点. （1）若点为中点，求证：平面； （2）若点满足， （i）求证：； （ii）求直线与平面所成角的正切值. 高二宏志班数学开学检测卷 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（每小题5分，共8小题40分） 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】D 二、多选题（每小题6分，共3小题18分） 【9题答案】 【答案】ABD 【10题答案】 【答案】AC 【11题答案】 【答案】ABD 三、填空题（每小题5分，共3小题15分） 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】68 【14题答案】 【答案】 四、解答题（15小题13分，16-17小题15分，18-19小题17分，共5小题77分） 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1）平均年龄为34.5岁，第80百分位数为45. （2） （3）26.8. 【18题答案】 【答案】（1） 连接，因为直三棱柱，，，又 ∴是正方形且O为线段的中点， 又M为线段AC中点，∴， 又平面，平面， ∴平面； （2） ∵，，平面平面，∴平面， 又平面，∴平面平面； （3）． 【19题答案】 【答案】（1） 中，点，分别为棱，的中点， ∴ 又四边形是正方形，∴， ∴， 又平面，平面， ∴平面. （2） （i）在四棱锥中， 平面，四边形为正方形, ,, ,平面，平面， 平面 平面 在中，，为中点 ，，平面，平面 平面 平面 又，，平面，平面 平面，又平面 . （ii） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $