精品解析：广东汕尾市陆丰市2026-2027学年高三上学期第一次教学质量监测数学试卷

2026—2027学年度第一学期高三第一次教学质量监测 数 学 试 题 2026-9-1 温馨提示：请将答案写在答题卡上；考试时间为120分钟，满分150分． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先分别求出集合和集合，再找出它们的公共元素，从而得到. 【详解】因为集合，为自然数集， 所以，因为， 所以，变形可得：， 令，解得：或， 又因为二次函数的二次项系数大于，函数图象开口向上， 所以的解集为，即， 根据交集的定义可得：. 2. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以. 3. 在中，点在边上且，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意， 所以. 4. 某市统计某月上旬（1日至10日）10天的空气质量指数如下： 88，54，79，10，16，40，59，67，111，62 空气质量等级标准如下表： 空气质量等级 优 良 轻度污染 空气质量指数 则下列结论正确的是（ ） A. 该月上旬空气质量指数的中位数小于50 B. 该月上旬空气质量等级为良及以上的天数占比超过80% C. 该月上旬空气质量指数的极差介于90到100之间 D. 该月上旬空气质量指数的平均值介于30～50之间 【答案】B 【解析】 【分析】先将10天的空气质量指数从小到大排序，再逐项分析即可求解. 【详解】将10天的空气质量指数从小到大排序： 10，16，40，54，59，62，67，79，88，111， 对于A，10个数据的中位数是第5、6个数的平均值，即，A错误； 对于B，空气质量等级为良及以上对应天数为9天，占比，B正确； 对于C，极差为，不在90到100之间，C错误； 对于D， ，不在30～50之间，D错误. 5. 已知正项等比数列的前项和为，若，，则（ ） A. B. C. 15 D. 40 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列前项和公式，结合已知条件求出公比，再计算. 【详解】对于正项等比数列，其首项为，公比为， 前项和公式为，已知， 假设，则，那么，， 因为，所以，由可得： ，化简可得：， 根据立方差公式可得：， 因为且，所以，等式两边除以可得： ，化简可得：， 进一步化简得：，即，求解可得： 或，因为，所以，根据等比数列的前项公式可得： . 6. 已知是定义在上的奇函数且，当时，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由题意根据函数的奇偶性可推出函数的周期为，从而将转化为，再利用奇偶性以及已知即可求解. 【详解】由已知条件知是定义在上的奇函数，所以， 又，可得， 故， 则，即函数的周期为， 而，又因为是奇函数，故， 当时， 所以， 因此 ， 所以. 7. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上异于顶点的动点，的内切圆与轴相切于点，若点是以为圆心、半径为1的圆上的动点，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用双曲线的定义与切线长定理确定出切点为定点，进而将问题转化为求已知圆上的动点到定焦点的最短距离. 【详解】由题意得，则，所以， 设的内切圆与分别相切于两点，则有， 由双曲线定义可得，即， 进而，即， 因为，所以， 联立得，因为，所以， 所以点在以为圆心，半径的圆上移动，且， 所以. 8. 设集合，从集合中随机选取三个点，则这三个点能确定一个三角形的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将问题转化为从个点中任选个点能构成三角形的概率问题，先计算总数有组，再算不能构成三角形有组，从而可得所求事件的概率. 【详解】集合是由横、纵坐标均取自的二维点构成，总共有个点. 从个点中任选个点的总选法数为组合数：. 因为三点不能构成三角形的充要条件是三点共线，枚举所有共线的三点组： ①水平共线：行（纵坐标分别为），每行个点，共组； ②竖直共线：列（横坐标分别为），每列个点，共组； ③斜率为的斜线：，共组；斜率为的斜线：，共组；如图： 总计共组三点共线的情况，所以能构成三角形的三点组数量为总选法减去共线组：， 由古典概型的概率公式，因此所求概率为：. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分（多选题2个答案对1个得3分，3个答案对1个得2分，有选错的得0分）． 9. 若复数满足，为的共轭复数，则（ ） A. 的实部为1 B. 的虚部为 C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】使用平方差公式求得，结合复数的概念与共轭复数的运算即可求解. 【详解】由题意得， 即，因为，所以， 整理得，故其实部为，A错误，虚部为，B错误， ，所以C正确， ， 故D正确. 10. 如图，棱长为2的正方体中，点为线段上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 存在点，使平面 B. 平面平面 C. 三棱锥的体积不是定值 D. 若，则过，，三点的平面截正方体所得截面的面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据线面垂直的判定定理可得平面，判断A，对于B：可证平面，即可得面面垂直；对于C：根据平行关系可知点P到平面的距离相等，结合锥体的体积公式分析判断；对于D：作辅助线，分析可知所求截面即为四边形，进而可得结果. 【详解】对于A，连接，如图， 由于平面，平面，故; 又在正方形中，平面， 故平面，平面，故； 同理可证，而平面， 故平面，由于点为线段上的动点， 当P与B重合时，即有平面，A正确； 对于选项B：结合图可知平面即为平面， 因为为正方形，则， 又因为平面，平面，则， 且，平面，可得平面， 且平面，所以平面平面，故B正确； 对于选项C：因为平面平面，且平面， 则点P到平面的距离等于正方体棱长2，即三棱锥的高为定值， 又因为的面积为定值， 所以三棱锥的体积为定值，故C错误； 对于选项D：连接并延长交BC于点M， 因为，则，可知M为BC的中点， 取的中点，连接， 因为分别为的中点，则，， 且，，可得，， 可知四边形为平行四边形，则， 同理可得，所以， 可知所求截面即为四边形，可得， 即四边形为菱形，且， 所以所求截面面积为，故D正确. 11. 设计一条美丽的丝带，其造型可以看作图中的曲线的一部分．已知过坐标原点，且上的点满足：横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为9，则（ ） A. B. 点在上 C. 曲线在第一象限的点的纵坐标的最大值为1 D. 当点在上时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】设为曲线上任意一点，则.原点代入等式，结合，求解参数；把点代入等式判断等式是否成立；根据等式求出，根据点在曲线上，得到，特殊值（）代入，求得，判断曲线在第一象限的点的纵坐标的最大值大于1；根据等式求出，结合曲线方程中距离的非负性，对距离表达式进行放缩推导即可. 【详解】设为曲线上任意一点，则. 对于A，由曲线过坐标原点，得，解得，故A正确； 对于B，由得；当，时，， 点在上，故B正确； 对于C，由得. 由曲线在第一象限，得. 点在上，. 取，得，解得； 曲线在第一象限的点的纵坐标的最大值大于1，故C错误； 对于D，由点在上，得； ，，即，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 曲线在点处的切线方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先对函数进行求导，根据导数的几何意义求得切线的斜率，再根据直线方程的点斜式，即可求得切线方程. 【详解】由题意，令，则， 当时，，所以切线的斜率， 所以曲线在点处的切线方程为， 即. 13. 已知，且，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先由两角和的余弦公式可得，再由同角三角函数关系得，再由商数关系及两角和的正弦公式可得. 【详解】根据两角和的余弦公式：， 代入，，可得：， ​解得： 因为，所以，结合​​， 可得：. 由同角三角函数关系得， 因此. 14. 有甲、乙两道谜题，玩家猜对甲谜题的概率为，猜对乙谜题的概率为．规则如下：只有猜对第一道谜题，才有资格猜第二道谜题，每道题只猜1次，玩家可以自主选择猜谜顺序．记为玩家猜对谜题的总个数，若玩家选择最优猜谜顺序，则随机变量的数学期望__________． 【答案】 【解析】 【分析】分先猜甲、先猜乙两种情况，并确定对应随机变量的取值及其对应概率值，进而求出对应期望并比较大小，即可得. 【详解】情况一：先猜甲，猜对的概率为，猜错的概率为（直接结束）， 若猜对甲（概率），才有资格猜乙， 此时猜对乙的概率为，猜错的概率为， 故的可能取值为， 对应概率为，，， 期望； 情况二：先猜乙，猜对的概率为，猜错的概率为（直接结束）， 若猜对乙（概率），才有资格猜甲， 此时猜对甲的概率为，猜错的概率为， 故的可能取值为， 对应概率为，，， 期望； 因为，所以最优策略是先猜甲，再猜乙， 此时随机变量的数学期望为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在四棱锥中，平面，，，． （1）若为棱的中点，求证：平面； （2）求平面与平面所成二面角的余弦值． 【答案】（1）记的中点为，连，， 由、分别为、的中点，所以且， 又且，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，且平面，所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）先根据平行四边形的判定和性质得到，再根据线面平行的判定即可证明； （2）先建立空间直角坐标系，再利用面面角的向量求法求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由平面，，则、、两两垂直， 则以点为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 又， 则、、、， 所以，， 设面的法向量为， 由，取，则，，则， 易知平面的一个法向量为， 记平面与平面所成锐二面角为，则， 因此平面与平面所成锐二面角的余弦值为． 16. 已知数列中，，，． （1）证明：数列为等差数列； （2）求数列的前项和． 【答案】（1）证明：（1）由， 得， ， 又， 因此数列是首项为1，公差为1的等差数列. （2） 【解析】 【分析】（1）根据与的递推关系，对递推式两边同乘，推导与的差为常数，再验证首项符合等差数列定义即可； （2）根据（1）得到，进而得到，解法一：根据错位相减法求解；解法二：设，可得，再裂项相消求和即可. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 由（1）知数列首项，公差为1， 故 ，． 记的前项和为. 解法一： ①， ①两边同乘以得： ② ， 可得 得 解法二：设 则 . 17. 在中，，，点、、分别在、、边上且为等边三角形． （1）当点与点重合时，求等边的边长； （2）当点为中点时，求等边的边长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件及锐角三角函数即可求解； （2）根据已知条件及锐角三角函数，再利用内角和定理及正弦定理，结合同角三角函数的关系即可求解． 【小问1详解】 在中，，， 所以，即， 如图，当点与点重合时，， 又在等边中，有，故， 所以，即为直角三角形， 所以，即． 所以等边的边长为． 【小问2详解】 结合（1）得， 如图，当D为中点时，， 设，等边三角形的边长为， 在中，有，故，即 ①， 又在等边中，有，故， 在中，由，， 则由三角形内角和关系得， 则由正弦定理得， 代入，，，得 ②， 联立①②，对两式平方相加得， 故． 所以等边的边长为． 18. 已知椭圆：的左，右焦点分别为，，离心率，过的直线与椭圆交于，两点，且的周长为12，原点到短轴端点与焦点连线的距离为． （1）求椭圆的方程； （2）是否存在轴上的定点，使得的内心在轴上，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在定点 【解析】 【分析】（1）由椭圆的定义，可知的周长为，从而求得，再由点到直线的距离公式求出原点到短轴端点与焦点连线的距离，列出关于，的方程，然后结合离心率范围确定，的取值，从而求得椭圆方程； （2）由于可能存在定点在轴上，使得的内心在轴上，此时轴平分，则斜率满足，设出与直线方程，其与椭圆方程联立后，结合韦达定理代入，即可求得值，从而求得点坐标． 【小问1详解】 由椭圆的定义，可知的周长为，得． 取短轴端点，焦点，则直线：， 原点到该直线距离为． 由题意可得，则． 联立，解得或， 当时，离心率； 当时，离心率（舍去）． 故，椭圆的方程为． 【小问2详解】 若的内心在轴上，则轴平分，故斜率满足． 设定点，易知直线的斜率不为0． 设：，，， 联立， 消元整理，得． 恒成立， 由韦达定理，得，， 由，得， 代入，，整理，得， 所以，化简，得． 要对任意实数成立，则，解得， 综上，存在定点符合题意． 19. 已知函数，其中，定义域为 （1）当时，求在内的极值点； （2）讨论函数在上的单调性，并指出极值点个数； （3）若是在内的极大值点．证明：． 【答案】（1）极大值点，无极小值点 （2）当时，在单调递增，在单调递减；有且仅有1个极大值点，无极小值点．其中． （3）证明： 由极大值条件，得：， 结合，解得，， 所以 先证， 因为，，故，， 因此不等式得证． 因为 又，所以上式等价于（*） 下面证（*）式 由，得，所以， 所以要证证 方法一：构造函数，，所以， 已知对任意，，即，分母， 所以，在严格单调递减． 若， 当，，即 方法二：令， 在单调递增， 故恒成立，，．证毕 【解析】 【分析】（1）对函数求导，令导数等于0求出导数的零点，之后判断零点两侧导数的符号变化，确定是否为极值点； （2）对原函数求导整理，可得导数的符号由三角函数部分决定，求解三角函数部分等于0的根，根据的取值范围判断根是否在区间内，再根据导数在各子区间的符号判断单调性，进而确定极值点个数； （3）利用极大值点处导数为0，得到和与的关系，将用和表示可得，证明和，进而转化为证明.方法一：构造函数，求导分析函数单调性和极值即可；方法二：令，求导分析函数单调性和极值即可. 【小问1详解】 当，，， 因为，令，得， 在内解得． 当时，，单调递增； 当时，，单调递减． 故函数在内有唯一极大值点，无极小值点． 【小问2详解】 ，得，记， 因为，，所以， 所以， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减． 所以函数在上有极大值点为，无极小值点， 故函数只有1个极值点． 综上：当时，在单调递增，在单调递减； 有且仅有1个极大值点，无极小值点．其中． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度第一学期高三第一次教学质量监测 数 学 试 题 2026-9-1 温馨提示：请将答案写在答题卡上；考试时间为120分钟，满分150分． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 在中，点在边上且，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 4. 某市统计某月上旬（1日至10日）10天的空气质量指数如下： 88，54，79，10，16，40，59，67，111，62 空气质量等级标准如下表： 空气质量等级 优 良 轻度污染 空气质量指数 则下列结论正确的是（ ） A. 该月上旬空气质量指数的中位数小于50 B. 该月上旬空气质量等级为良及以上的天数占比超过80% C. 该月上旬空气质量指数的极差介于90到100之间 D. 该月上旬空气质量指数的平均值介于30～50之间 5. 已知正项等比数列的前项和为，若，，则（ ） A. B. C. 15 D. 40 6. 已知是定义在上的奇函数且，当时，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 7. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上异于顶点的动点，的内切圆与轴相切于点，若点是以为圆心、半径为1的圆上的动点，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 8. 设集合，从集合中随机选取三个点，则这三个点能确定一个三角形的概率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分（多选题2个答案对1个得3分，3个答案对1个得2分，有选错的得0分）． 9. 若复数满足，为的共轭复数，则（ ） A. 的实部为1 B. 的虚部为 C. D. 10. 如图，棱长为2的正方体中，点为线段上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 存在点，使平面 B. 平面平面 C. 三棱锥的体积不是定值 D. 若，则过，，三点的平面截正方体所得截面的面积为 11. 设计一条美丽的丝带，其造型可以看作图中的曲线的一部分．已知过坐标原点，且上的点满足：横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为9，则（ ） A. B. 点在上 C. 曲线在第一象限的点的纵坐标的最大值为1 D. 当点在上时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 曲线在点处的切线方程为__________． 13. 已知，且，则的值为__________． 14. 有甲、乙两道谜题，玩家猜对甲谜题的概率为，猜对乙谜题的概率为．规则如下：只有猜对第一道谜题，才有资格猜第二道谜题，每道题只猜1次，玩家可以自主选择猜谜顺序．记为玩家猜对谜题的总个数，若玩家选择最优猜谜顺序，则随机变量的数学期望__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在四棱锥中，平面，，，． （1）若为棱的中点，求证：平面； （2）求平面与平面所成二面角的余弦值． 16. 已知数列中，，，． （1）证明：数列为等差数列； （2）求数列的前项和． 17. 在中，，，点、、分别在、、边上且为等边三角形． （1）当点与点重合时，求等边的边长； （2）当点为中点时，求等边的边长． 18. 已知椭圆：的左，右焦点分别为，，离心率，过的直线与椭圆交于，两点，且的周长为12，原点到短轴端点与焦点连线的距离为． （1）求椭圆的方程； （2）是否存在轴上的定点，使得的内心在轴上，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 19. 已知函数，其中，定义域为 （1）当时，求在内的极值点； （2）讨论函数在上的单调性，并指出极值点个数； （3）若是在内的极大值点．证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $