精品解析：广东广州市第六中学、深圳红岭中学2026-2027学年高三上学期九月联考数学试题

2026年 广州市第六中学 深圳市红岭中学 九月联考 高三数学试题 命题学校：广州市第六中学（从化） 命题人：许华文 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时150分钟. 注意事项： 1．开考前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、班级、考号等相关信息填写在答题卡指定区域内. 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4．考生必须保持答题卡的整洁. 第一部分 选择题（共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知，，则（ ） A. B. C. 2 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的加法运算以及模长的定义求解即可. 【详解】因为，，所以， 所以. 2. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求解一元二次不等式，结合确定集合的元素，再根据交集定义计算.  【详解】首先求解一元二次不等式，因式分解可得， 因此不等式的解集为， 由于（正整数集），因此集合， 已知，根据交集的定义，取两个集合的公共元素， 可得. 3. 已知向量，，则“”是“”的（    ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以，， 所以，所以，故充分性成立； 因为，所以，又，， 所以，所以， 解得，故必要性不成立. 故“”是“”的充分不必要条件. 4. 已知是椭圆的左、右焦点，经过的直线与椭圆相交于两点，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三边长与椭圆相等，先求，再利用勾股定理求出，即可得离心率. 【详解】 由，可得，所以， 又由椭圆定义可知：， 所以， 则，所以， 故离心率为, 故选：C. 5. 已知曲线在点处的切线为，曲线在点处的切线为，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别计算两条曲线在对应点处的切线斜率，结合两直线垂直斜率乘积为，列方程求解. 【详解】对函数求导，得， 将代入导函数，得的斜率， 对函数求导，得， 将代入导函数，得的斜率， 由，得两直线斜率满足，代入斜率得，解得. 6. 某次考试共有4道单选题，某学生对其中3道题有思路，1道题完全没有思路．有思路的题目每道做对的概率为0.8，没有思路的题目，只好任意猜一个答案，猜对的概率为0.25．若从这4道题中任选2道，则这个学生2道题全做对的概率为（ ） A. 0.34 B. 0.37 C. 0.42 D. 0.43 【答案】C 【解析】 【分析】根据排列组合以及概率的乘法公式即可求解. 【详解】设事件表示“两道题全做对”， 若两个题目都有思路，则, 若两个题目中一个有思路一个没有思路，则， 故, 故选：C 7. 记各项均为正整数的等差数列的前项和为，且公差不为0，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，可得，由题意可得，进而求得，分类讨论可求得. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，得， 所以，所以，所以， 由题意知，则，解得（舍去）或， 又， 要使，则，解得，所以， 当时，得，不符合题意； 当时，得，不符合题意； 当时，得，不符合题意； 当时，得，符合题意，此时， 所以； 当时，得，不符合题意； 当时，得，不符合题意； 当时，得，不符合题意； 综上所述：. 8. 已知函数，若存在（）使得，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】问题转化为函数在同时存在两个（或以上）最大值点或两个（或以上）最小值点，再分情况讨论，最后合并答案即可. 【详解】因为，所以要想存在（）使得， 必须满足函数在同时存在两个（或以上）最大值点或两个（或以上）最小值点. ①设函数的周期为，当即时， 函数在上有两个以上周期，满足条件； ②当时，若在有两个最大值点，则，. 所以，. 由；由. 又，所以. 当时，得； 当时，得，又，所以. ③当时，若在有两个最小值点，则，. 所以，. 由；由. 又，所以. 当时，得.又，所以. 综上，的取值范围为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 记为正项等比数列的前项和，为的公比，若，，则（ ） A. B. C. 是递增数列 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据正项等比数列及可得数列的公比，再根据数列通项公式及求和公式即可求解. 【详解】因为数列为正项等比数列， 且， 所以，即,故选项A错误. 又因为， 所以,故选项B正确. 所以， ， 所以数列为递增数列，， 故选项C，D正确. 10. 已知正方体的棱长为2，为正方体的中心，点满足，则（ ） A. 平面 B. 平面 C. 点到平面的距离为 D. 二面角的余弦值为 【答案】AD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求出平面法向量和直线的方向向量，根据向量关系即可判断AB；由空间向量点到平面的向量公式可判断C；求出平面、平面的法向量，根据向量夹角公式可判断D. 【详解】以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图， 则, 所以, 设平面的法向量为， 则，令，则， 因为， 所以平面，故A正确； 因为， 所以不与平面平行，故B错误； 因为, 所以由点到平面的距离公式得，故C错误； 由题意可知平面的一个法向量为， 设二面角的大小为， 则，故D正确. 11. 已知抛物线的焦点为F，准线为l，O为坐标原点，平面内一直线过点F且与抛物线C交于A，B两点，过A，B分别作准线l的垂线的最小值为4，以下说法正确的是（ ） A. 抛物线C的方程为 B. C. 若为等边三角形，则直线AB的斜率为 D. 若则△BFN的面积与的面积的比值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】先由过焦点弦长的最小值确定抛物线参数，从而判断A项.再根据抛物线定义，将点到焦点的距离转化为点到准线的距离，并结合焦点弦中相关三角形的角度关系判断B项.对于C、D项，设直线方程代入抛物线方程，利用韦达定理得到一些关系式，再结合向量关系求出相关量，进而计算三角形面积并求出它们之间的比例关系. 【详解】选项A，因为，故，得，抛物线方程为， A正确. 选项B， 因为，所以， 同理，所以 ， 故，即，故B正确； 选项C，为等边三角形，由抛物线定义，故只需. 设，则，，由： 又，代入得，解得，. 直线过和，斜率为：， 题目只给出了，忽略了，故C错误. 选项D，设，，由，得： 设直线，与联立得，故. 代入，得，，. 所以，又，故， ，所以，D正确. 第二部分 非选择题（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 记数列的前n项和为，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用数列前项和与通项的关系，计算与的差即可得的值. 【详解】对于数列，其前项和为，则当且时，. 因此. 13. 设是定义域在上的奇函数，，当时，，则的值为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】转化条件得，进而可得，再利用条件与奇函数的性质即可得解. 【详解】因为，所以， 则是以为周期的周期函数， 又是定义在上的奇函数，且当时，， 所以. 故答案为：. 14. 甲、乙两人使用标有数字的四张卡片进行四轮“破冰”比赛．比赛开始前，将四张卡片随机洗匀，背面朝上叠放．甲、乙两人交替翻牌，初始“防守阈值”设定为0．每轮游戏中，若翻牌人翻开的数字大于当前的“防守阈值”，则翻牌人得1分，且“防守阈值”更新为该数字，否则非翻牌人得1分，“防守阈值”保持不变．第一轮由甲先翻牌，比赛结束后记乙的总得分为，则的数学期望为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设四张卡片翻开的顺序为，可得卡片数字的所有全排列共有种，每种情况发生的概率均为，进而按首张卡片的取值对种情况分别计算乙的得分，再结合期望定义求解. 【详解】设四张卡片翻开的顺序为， 卡片数字的所有全排列共有种，并且每种情况发生的概率均为. 按首张卡片的取值对种情况分类计算乙的得分， 当时，共种情况，初始阈值，：第2轮乙翻2，乙得1分，； 第3轮甲翻3，甲得1分，；第4轮乙翻4，乙得1分，乙总分2分, ：乙总分1分.：第2轮乙翻3，乙得1分，； 第3轮甲翻2，甲不得分，乙得1分，； 第4轮乙翻4，乙得1分，乙总分3分，：乙总分1分. ：第2轮乙翻4，乙得1分，； 第3轮甲翻2，乙得1分；第4轮乙翻3，甲得1分，乙总分2分，：乙总分2分， 所以此分类下乙得分总和为分. 当时，共6种情况，初始阈值. →乙总分1分，→乙总分0分. →乙总分3分，→乙总分1分. →乙总分2分，→乙总分2分. 所以此分类下乙得分总和为：分. 当时，共6种情况，初始阈值. →乙总分2分，→乙总分0分. →乙总分2分，→乙总分0分. →乙总分2分，→乙总分2分. 所以此分类下乙得分总和为分. 当时，共6种情况，初始阈值.由于最大数4已经被甲翻开， 阈值一直保持为4不变.因此后三轮翻开的数字都不可能大于阈值. 第2轮（乙翻），必定不大于阈值，非翻牌人甲得1分. 第3轮（甲翻），必定不大于阈值，非翻牌人乙得1分. 第4轮（乙翻），必定不大于阈值，非翻牌人甲得1分. 因此这6种情况下，乙的得分均固定为1分，此分类下乙得分总和为6分. 所有24种排列下乙的得分总和为， 因此乙得分的数学期望为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角所对的边分别为，． （1）求的值； （2）若，，求的周长． 【答案】（1） （2）周长为 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化简原式得到的关系，再代入中求解即可； （2）将第一问结果代入中求出，再利用余弦定理求出，进而求出，得到三角形周长. 【小问1详解】 根据正弦定理可化为， 因为，所以， 又，（是三角形内角）. 把代入：， ， 所以， 由，得， 所以. 【小问2详解】 . 代入：， 由余弦定理，已知： ， 所以， . 所以周长为 16. 近年来，我国无人机产业迅速发展，表1是我国某地区某品牌无人机的年销售量与年份的统计表． 表1 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码x 1 2 3 4 5 销量y（万台） 2 3.5 2.5 8 9 表2 学生 了解 不了解 合计 男生 m 20 100 女生 40 n 100 合计 120 80 200 （1）求销量y关于年份代码x的线性回归方程，并预测2027年该品牌无人机的销量； （2）为了研究不同性别的学生对无人机知识的了解情况，某校组织了一次有关无人机知识的竞赛活动，随机抽取了男生和女生各100名，得到如表2的2×2列联表．求m、n的值，并根据小概率值α＝0.005的独立性检验，判断该校学生对无人机知识的了解情况与性别是否有关联． 附：，， 0.05 0.005 0.001 3.841 7.879 10.828 【答案】（1）线性回归方程为，预测2027年该品牌无人机销量为12.4万台 （2），，依据小概率值的独立性检验，可判断该校学生对无人机知识的了解情况与性别有关联 【解析】 【分析】（1）分别求出及和，再代入回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式求出和，即可求出回归方程，进而可预测2027年该品牌无人机的销量； （2）计算出，然后根据卡方独立性检验的规则判断即可. 【小问1详解】 年份代码x的平均数， 销量y的平均数， 所以， ， 所以，所以， 所以销量y关于年份代码x的线性回归方程为， 当时，，所以预测2027年该品牌无人机的销量为12.4万台. 【小问2详解】 由2×2列联表可得，解得， 零假设：该校学生对无人机的了解情况与性别无关. 根据列联表中的数据，得. 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即可判断该校学生对无人机知识的了解情况与性别有关联. 17. 已知函数，． （1）求的极值； （2）设，记函数的最小值为，证明：； （3）若对于任意和，均有，求实数的取值范围． 【答案】（1）极小值为，无极大值. （2）因为，. 所以. 由；由. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以的极小值，也是最小值为. 又，所以. （3） 【解析】 【分析】（1）求导，分析函数单调性，可得函数的极值情况. （2）求导，分析函数的单调性，可求函数的极小值. （3）分离参数，得到，再结合（2）的结论，求式子的最小值即可. 【小问1详解】 因为，， 所以. 当时，；当时，. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 所以函数的极小值为，无极大值. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由， 因为，所以. 问题转化为求，时，求代数式的最小值. 由（2）知在上单调递减，在上单调递增，最小值为. 所以在上单调递减，在上单调递增，最小值为. 所以， 又，所以. 即实数的取值范围为. 18. 已知双曲线的离心率为2，其右焦点为． （1）求双曲线的标准方程； （2）过双曲线左焦点的直线交双曲线的左支于两点，其中在第三象限，直线交双曲线于另一点（为坐标原点）． （i）若，求四边形的面积； （ii）设分别为双曲线的左，右顶点，直线分别交直线于点，直线与相交于点，求的最小值． 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）由及离心率求解即可； （2）（i）先求点坐标，进而求得直线方程，得出点坐标，即可计算面积；（ii）设出直线方程，由韦达定理得出，再求出点的轨迹方程，化简即可求解最值． 【小问1详解】 由题意可知，双曲线右焦点为，所以半焦距， 离心率，即，解得， 根据，可得， 所以，双曲线的标准方程为：． 【小问2详解】 （i）设，因为在右支()， ， 同理可得， 由题意得：， 代入双曲线方程求：， 取（在第一象限），则， 因为与关于原点对称，所以， 直线过和，斜率， 直线方程：， 联立直线与双曲线方程：， 代入整理得，， 已知是一个根，由韦达定理， ，， 所以， 四边形的顶点为， ， ， ,, 所以， ，， 所以，所以， 所以， 所以． （ii）设直线方程为， 联立双曲线：， 设，则是上述方程的根， ， 直线方程：，令，得， 利用，得， ， 同理，， 则 ， 所以，， 设， 直线过，方程：， 直线过，方程：， 设，则，， 代入： ， 整理得， 配方得：， 这是一个椭圆，且， 设，直线为，， 到的距离，， 其中，， 令，则， ， 已知，， 计算和， ， ， 因为，所以， 所以， 又， 所以 ， 要使最小，需最大， 由椭圆方程，当时， 取最大值，， ， 所以的最小值为． 19. 已知函数的定义域为，对，定义集合． （1）若，求集合； （2）若满足对任意，集合均恰好含有一个元素． （i）证明：； （ii）求所有可能的． 【答案】（1） （2）（i）证明： 由题意知，对于任意，， 根据集合的定义，， 因为，所以①； 又， 所以是集合中唯一的元素， 根据的定义，， 由①得，所以， 因为已知恰好含有一个元素，即， 所以必然有． （ii） 【解析】 【分析】（1）根据定义得出不等式，进而得出集合，即可求解； （2）（i）根据定义由得出，再由已知得出是集合中唯一的元素，进而得出，即可证明；（ii）令，得出，再由不等式放缩得出，即可求解． 【小问1详解】 根据定义，， 整理不等式：， 因为对于任意实数，都有， 所以要使成立，必须有，即， 所以对于任意，集合， 当时，， 当时，． 【小问2详解】 （i）略； （ii）在不等式中，令，可得：， 所以②， 由对任意成立，移项得：， 所以大于等于函数族中的每一个值， 又因为当时，等号成立（即）， 所以恰好是这个函数族的最大值（上确界），记为， 利用②式，放缩上述最大值：， 因此， 右边的最大值：令， 当时取得最大值：， 所以：③， 由②式和③式，可得：， 综上所述，所有可能的为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年 广州市第六中学 深圳市红岭中学 九月联考 高三数学试题 命题学校：广州市第六中学（从化） 命题人：许华文 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时150分钟. 注意事项： 1．开考前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、班级、考号等相关信息填写在答题卡指定区域内. 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4．考生必须保持答题卡的整洁. 第一部分 选择题（共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知，，则（ ） A. B. C. 2 D. 8 2. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，则“”是“”的（    ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知是椭圆的左、右焦点，经过的直线与椭圆相交于两点，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知曲线在点处的切线为，曲线在点处的切线为，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 6. 某次考试共有4道单选题，某学生对其中3道题有思路，1道题完全没有思路．有思路的题目每道做对的概率为0.8，没有思路的题目，只好任意猜一个答案，猜对的概率为0.25．若从这4道题中任选2道，则这个学生2道题全做对的概率为（ ） A. 0.34 B. 0.37 C. 0.42 D. 0.43 7. 记各项均为正整数的等差数列的前项和为，且公差不为0，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若存在（）使得，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 记为正项等比数列的前项和，为的公比，若，，则（ ） A. B. C. 是递增数列 D. 10. 已知正方体的棱长为2，为正方体的中心，点满足，则（ ） A. 平面 B. 平面 C. 点到平面的距离为 D. 二面角的余弦值为 11. 已知抛物线的焦点为F，准线为l，O为坐标原点，平面内一直线过点F且与抛物线C交于A，B两点，过A，B分别作准线l的垂线的最小值为4，以下说法正确的是（ ） A. 抛物线C的方程为 B. C. 若为等边三角形，则直线AB的斜率为 D. 若则△BFN的面积与的面积的比值为 第二部分 非选择题（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 记数列的前n项和为，若，则______． 13. 设是定义域在上的奇函数，，当时，，则的值为_________． 14. 甲、乙两人使用标有数字的四张卡片进行四轮“破冰”比赛．比赛开始前，将四张卡片随机洗匀，背面朝上叠放．甲、乙两人交替翻牌，初始“防守阈值”设定为0．每轮游戏中，若翻牌人翻开的数字大于当前的“防守阈值”，则翻牌人得1分，且“防守阈值”更新为该数字，否则非翻牌人得1分，“防守阈值”保持不变．第一轮由甲先翻牌，比赛结束后记乙的总得分为，则的数学期望为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角所对的边分别为，． （1）求的值； （2）若，，求的周长． 16. 近年来，我国无人机产业迅速发展，表1是我国某地区某品牌无人机的年销售量与年份的统计表． 表1 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码x 1 2 3 4 5 销量y（万台） 2 3.5 2.5 8 9 表2 学生 了解 不了解 合计 男生 m 20 100 女生 40 n 100 合计 120 80 200 （1）求销量y关于年份代码x的线性回归方程，并预测2027年该品牌无人机的销量； （2）为了研究不同性别的学生对无人机知识的了解情况，某校组织了一次有关无人机知识的竞赛活动，随机抽取了男生和女生各100名，得到如表2的2×2列联表．求m、n的值，并根据小概率值α＝0.005的独立性检验，判断该校学生对无人机知识的了解情况与性别是否有关联． 附：，， 0.05 0.005 0.001 3.841 7.879 10.828 17. 已知函数，． （1）求的极值； （2）设，记函数的最小值为，证明：； （3）若对于任意和，均有，求实数的取值范围． 18. 已知双曲线的离心率为2，其右焦点为． （1）求双曲线的标准方程； （2）过双曲线左焦点的直线交双曲线的左支于两点，其中在第三象限，直线交双曲线于另一点（为坐标原点）． （i）若，求四边形的面积； （ii）设分别为双曲线的左，右顶点，直线分别交直线于点，直线与相交于点，求的最小值． 19. 已知函数的定义域为，对，定义集合． （1）若，求集合； （2）若满足对任意，集合均恰好含有一个元素． （i）证明：； （ii）求所有可能的． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $