26.2.3 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质-【新课程能力培养】2026-2027学年九年级上册数学同步练习（人教版·新教材）

二次函数 第二十六章 26.2.3二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质（第一课时） 知识梳理@形成联系 +卡多 【知识点】二次函数y=a+bx+c的图象和性质 0一毅地，通过配方，将二次函数)=a2+bx化成=a+岛4 ,对称轴是 顶点是 将二次函数y=x2-2x+4化为y=(x-h)2+h的形式，结果为（） A.3y=(x+1)2+4 B.y=(x-1)2+4 C.y=(x+1)2+3 D.y=(x-1)2+3 例题点拨Q素养导向 【例】已知二次函数)=宁-2x+1 (1)将这个二次函数化成y=a(x-h)2+k的形式， (2)当x为何值时，二次函数有最大值？最大值是多少？ (3)抛物线)=2之-2+1可以由抛物线)=2+1经过怎样的平移得到？ 【点拨】根据配方法或公式法得到顶点式即可求解， 夯实四基U达标闯关 1.二次函数y=x2-2x+1的图象可能是() B 2.二次函数y=x2-5x+1的图象与y轴的交点坐标是() A.(0,1) B.(0,-1) C.(1,0) D.(-1,0) 3.二次函数y=x+2x-3的最小值为() A.2 B.3 C.-3 D.-4 43 数学 九年级上册（人教版） 4.关于抛物线y=-x2-2x+3,下列说法错误的是() A.开口向下 B.与y轴交于正半轴 C.对称轴在y轴左侧 D.不经过第一象限 5.用配方法将二次函数y=x2-4x-3化成y=a(x-h)2+k的形式为() A.y=(x-2)2-7 B.y=(x-2)2-1 C.y=(x-2)2-3 D.y=(x-2)2-4 6.把函数y=x2-2x+3的图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（) A.y=x2+2 B.y=(x-1)2+1 C.y=(x-2)2+2 D.y=(x-1)2-3 7.已知二次函数y=x2-2x-3, (1)求对称轴和顶点坐标 (2)求该二次函数图象与x轴、y轴的交点. (3)在平面直角坐标系x0y中，画出二次函数y=x2-2x-3的 图象 (4)结合函数图象，直接写出当-4≤y≤0时，x的取值范围， 第7题图 能力提升睡综合拓展 -ss多修多 8.二次函数y=a+bx+c的图象上部分点的坐标如表，下列说法错误的是（ -3 -2 -1 0 1 n -5 m -8 -13 A.对称轴是直线x=-2 B.抛物线开口向下 C.当>-2时，y随x的增大而减小 D.当x=-4时，y=-13 9.二次函数y=ax+bx+3(a<0)的部分图象如图所示，对称轴为直线 x=1,当y>3时，x的取值范围是() A.-1<x<0 B.x<0或x>2 0 C.0<x<2 D.2<x<3 第9题图 中考链接©真题演练 10.(2026山东)如图，点P是抛物线y=ax+bx+c(a≠0)的顶 点.下列结论正确的是（) A.2a+b=0 B.-<K 1 C.对任意实数t,at+bt<4a+2b总成立 D.若点A(1-m,y1),B(1+m,y2)在抛物线上，则y1<y2 第10题图 44 二次函数 第二十六章 26.2.3二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质（第二课时) 知识梳理①形成联系 【知识点】会求二次函数y=m2+bx+c的最大值和最小值 O一般地，二次函数y=ax2+bx+c可以通过配方化成y=a(x-h)2+k的形式，即y=ax2+bx+c= 如，若a0,当=多时，a-；若a0,当时，y= a x+2a _Aa Aac-b2 Aa y 已知二次函数的图象(0≤x≤4)如图，关于该函数在所给自变量 的取值范围内，下列说法正确的是() A.有最大值2，有最小值-2.5 B.有最大值2，有最小值1.5 C.有最大值1.5，有最小值-2.5 D.有最大值2，无最小值 图26.2-2 例题点拨Q素养导向 -年多多 【例】如图，点A(-1,0),B(2,-3)都在二次函数y=aa2+bx-3的 图象上 (1)求a,b的值. (2)若二次函数的图象经过点(-2，)，(0，)，号，⅓，比 较，2，的大小，并简述理由， 图26.2-3 【点拨】利用待定系数法和数形结合法是解答本题的关键.先利用待定系数法求得抛物线 的解析式，进而得到对称轴，再利用二次函数图象的性质和抛物线上点的坐标的特征解答， 即可得出结论. 45 数学 九年级上册（人教版） 夯实四基飞达标闯关 -多 1.一抛物线的形状、开口方向与=宁-4+3相同，顶点为(-2,1，则此抛物线的解 析式为( A=-241B.=7+21CJ+2+1D.7-21 2.已知y=(a-2)x2-2x+a2是关于x的二次函数，其图象经过(0,4)，则a的值为() A.±2 B.2 C.-2 D.无法确定 3.已知二次函数的图象以A(-1,4)为顶点，且过点B(2,-5),则该二次函数的表达 式为 4.若抛物线y=-x2+3x+c与y轴的交点坐标是(0,5)，则c的值为 5.已知抛物线y=ax2+bx+5经过点(1,4)，(2,7)· (1)求这个二次函数的解析式。 (2)写出这条抛物线的对称轴和顶点坐标， 能力提升坤综合拓展 6.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，根据图象解答下列问题. (1)求二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的解析式 (2)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围. 第6题图 中考链接©真题演练 7.(2026·广西)二次函数y=(x-20)2+26的最小值为 46参考答案 (2)抛物线的顶点坐标为(0,4)，形状、开口 V3)=23 方向与抛物线y=2x2+3相同，：.这个二次函数的解析 (5)令x=0,得y=-3,.该抛物线与y轴的 式为y=2(x-0)2+4,即y=2x2+4. (3):抛物线y=a2+c与x轴交于两点(2,0)， 交点坐标为(0，-3). (6)由y=-3x2的图象先向右平移2个单位长 (-2,0),与y轴交于点(0,2)，.代人得4+c=0, lc=2, 度，再向上平移9个单位长度得到。 解得了，6-2，即地物线的解析式是)广+2 【例】C 1.A2.A3.B4.B5.D6.C7.D 10.y=3x2-211.D 26.2.2二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 8解：()7=子-1月，抛物线开口向下， (第二课时) 对称轴为直线=1，顶点坐标为(1,0)· 【知识点1】B (2)y=2x2-7,.抛物线开口向上，对称轴为y 轴，顶点坐标为(0，-7)· 【知识点2】D (3)y=2(x+3)2+6,.抛物线开口向上，对称轴 【例】解：(1)：抛物线y=a(x-h)2的对称 为直线=-3，顶点坐标为(-3,6)· 轴是直线x=-2,∴h=-2,抛物线解析式为y= 9.解：(1)(2,5)· a(x+2)只抛物线过点(1，-3)，∴.-3=9a,解得 (2)由题意，知抛物线顶点为(2,5)，设y=a(x- 号抛物线解析式为=号（2 2)2+5,把点(6,0)代人解析式，可得16a+5=0, (2)抛物线为)y=号(+2只，抛物线的 66x-245.当-0时，y60-24 5=3.75.答：水管04的长度为3.75m. 开口向下，顶点为(-2,0) 10.-3≤y<111.B12.A13.B 1.C2.D 26.2.3二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 3.向下(1,0)x=1>11大0 (第一课时) 4.(2,0)(0,16)5.A6.y=3(+2) 【知识点】=名会 1b 4ac-b2 -2a D 7.解：如图，(1)抛物 线y=写(x-5P的顶点为A(5, 【例】解： x2-2x+1=-1x44x)+1= (1)=-2 2 0),由x=0,则y=5,抛物线 与y轴交于点B(0,5),:对 Grde422-2 称轴为直线=5，.点C的坐 (2)由(1)知，二次函数的解析式为 标为(10,5)· （2)5am7×105=-25. y=- 子(x+243,当=-2时，二次函数有最大 第7题答图 值，最大值是3 (3)AB=A C=5V2,BC=10..AB+AC=BC ∴，△ABC是等腰直角三角形 （3)抛物线)=子-2+1号(+23可以 8.A9.3 2 10.解：(1)抛物线y=a(x+1)2的顶点为A, 由抛物线=+1先向左平移2个单位长度， A(-1,0),则0A=1,0A=0B,B(0,-1),代人 y=a(x+1)2中，得-1=a(0+1)2,解得a=-1,.y=-(x+1)2= 再向上平移2个单位长度得到. 1.C2.A3.D4.D5.A6.C -x2-2x-1. (2)将C(-3,b)代入y=-(x+1)2中，得b=-(-3+ 7.解：(1)将抛物线解析式配方，得y=x2-2-3= 1)2,解得b=-4. (-1)2-4,.对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,4). (3)抛物线y=-(x+1)2的对称轴为直线x=-1, (2)当y=0时，2-2x-3=0,解得x1=-1,x2=3. 且开口向下，.当x>-1时，y随x的增大而减小， 抛物线与x轴的交点坐标为(-1,0)，(3,0).当 .2<3,y>y2 =0时，y=x2-2x-3=-3,.抛物线与y轴的交点坐标为 11.D12.-2≤h≤2 (0,-3. 26.2.2 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 （3)y=x2-2x-3=(x 1)2-4,.抛物线的顶点坐 3 (第三课时) 标为(1,4)，如图. 【知识点1】A (4)当y=-4时，x=1; 【知识点2】解：(1)开口向下，对称轴为 当y=0时，x=-1,=3. x=2,顶点坐标为(2,9). 当-4≤y≤0时，x (2)2;大；9.(3)<2，>2 的取值范围为-1≤x≤3. (4)令y=0,解得x=2+V3,=2-V3, 8.D9.C10.B 第7题答图 该抛物线与x轴的交点坐标为(2+V3,0), (2-V3,0),∴.两交点间的距离为2+V3-(2 49 数学 九年级上册（人教版） 26.2.3 二次函数y=ax+bx+c的图象和性质 (2)由函数图象，可得抛物线开口向上，故a>0 (第二课时) ①正确：抛物线与x轴有两个交点，故b2-4ac>0.② 【知识点】A 正确；由图象可得，当x=1时，y有最小值为-4，③ 【例】解：(1)点A(-1,0),B(2,-3) 正确；由图象可得，当x>1时，y的值随x值的增大而 都在二次函数y=2+bx-3的图象上 增大，④错误，·.正确的有①②③.故答案为①②③. (3)根据函数图象，可得顶点坐标为(1，-4) b-3=0解得2∴.a=1,b=-2. 4a+2b-3=-3, 故设表达式为y=(x-1)2-4,将点(0，-3)代人，得 a-4=-3,解得a=1,.抛物线表达式为y=(x-1)2-4, (2)a=1,b=-2,y=2-2x-3=(x-1)2-4,. 沿y轴向下平移6个单位长度后的抛物线表达式为y= 对称轴为直线x=1.:a=1>0,在对称轴的右侧y (x-1)2-4-6,即为y=(x-1)2-10,令y=0,则(x-1)2 随x的增大而增大，又(-2，y)关于对称轴 10=0,解得1=V10+1,2=-V10+1,∴.抛物线y=(x 的对称点为(4)，(0,2)关于对称轴的对 1)2-10与x轴的交点为(V10+1,0),(-V10+ 称点为(2，，2<号<4， 1,0),:AB=V10+1-(-V10+1)=2V10. 1.C2.C3.y=-x2-2x+34.5 26.3二次函数与一元二次方程 5.解：(1)将点(1,4)，(2,7)，代人y=2+ (第二课时) bx+5,得4+b+5,.ja=2, 7=4a+2b+5,0=3,-22-3+5. 【知识点1】D 【知识点2】(1)(3,0) (2)-1<x<3 2)y-2r3*524 ，这条抛物线的 (3)x≤-1，x≥3 【例】C 对称销为直线x一子，顶点坐标为子，裂 1.C2.C 6.解：(1)设二次函数的解析式为y=a(x-h)2+h, 3.(1)x=-1,x2=3(2)x=0,x2=2 由二次函数的图象，可知抛物线的顶点坐标是(2，-2)， (3)x==1(4)方程无解(5)x<-1或>3 (6)-1<x<3(7)x≤0或x≥2 ∴y=a(x-2)2-2,把坐标(3,0)代人解析式，得a(3- 2)2-2=0,解得a=2,.二次函数的解析式为y=2(x-2)2 4.<<>>> 2=2x2-8x+6,即二次函数的解析式为y=2x2-8x+6. 5.解：(1)，二次函数图象的对称轴为直线x= -1,与x轴的一个交点坐标为(1,0)，.二次函数图 (2)由图象，可知Y随x的增大而减小的自变量x 的取值范围是x<2, 象与x轴的另一交点为(-3,0)· 7.26 (2)设二次函数的表达式为y=a(x+1)2-4,把 26.3二次函数与一元二次方程 (1,0)代入解析式，得4a-4=0,解得a=1,.二次 函数的表达式为y=(x+1)2-4. （第一课时) (3)抛物线开口向上，顶点坐标为(-1，-4)， 【知识点1】A .抛物线的最小值为-4.-1-(-4)=3>0-(-1)=1，.当 【知识点2】B x=-4时，y=5,.当-4<x<0时，y的取值范围为 【例】A -4≤y<5. 1.(-4,0),(2,0)2.x=-3,x2=13.A 6.D 4.20265.(-3,0)6.D7.D 8.x=0,2=29.1110.D 7.(解：将(2，-1)代人y=-m+m-l, 11.(1)解：把点(1,2b)代人抛物线y=2x2+ 得-1=222-2m+m-l,解得m=2放答案为2 bx-1中，得2+b-1=2b,解得b=1. (2)证明：△=b2-4x2×(-1)=b2+8,无论b取何 (2)证明：由题意，可知4=(-m)2-4× 2×(m-1) 值，b2≥0，b2+8>0,.二次函数y=2x2+bx-1的图象 与x轴必有两个交点. m2-2m+2=(m-1)2+1,(m-1)2≥0，∴.(m-1)2+1>0, 12.解：(1)如图，二次函数图象即为所求」 :△>0，该二次函数的图象与x轴有两个不同的公共点」 (3)解：y=)-mm-1的对称轴为直线x= =m,:二次项系数0，二次函数图象开口 2x 向上，y<2,.点A(m+1,y)到对称轴的距离小于 点B(m+p,y2)到对称轴的距离，lm+l-ml<lm+p-ml, 即pl>1,p>1或p<-1. 26.4实际问题与二次函数（第一课时) 【知识点】12 【例】解：(1)由题意，可知CD=AB=xm, 则BC=(62-2x)m,∴y=x(62-2x)=-2x2+62x, 第12题答图 ,墙体的最大可用长度为30m,AB<BC≤30 50