26.2.2 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质-【新课程能力培养】2026-2027学年九年级上册数学同步练习（人教版·新教材）

数学 九年级上册（人教版） 26.2.2二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质（第一课时) 知识梳理@形成联系 【知识点1】二次函数)y=x2+k的图象 O抛物线y=ax2向上(k>0)或向下(k<0)平移1k丨个单位长度，就得到抛物线 y=ax2+h. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+1的图象由y=x2 平移1个单位长度得到 【知识点2】二次函数y=ax2+k的性质 y=ax2+k a>0 a<0 开口方向 向上 向下 对称轴 y轴 y轴 顶点坐标 (0,k) (0,k) 最值 当x=0时，y小值=k 当x=0时，y孩大值= 当x<0时，y随x的增大而减小； 当x<0时，y随x的增大而增大； 增减性 当x>0时，y随x的增大而增大 当x>0时，y随x的增大而减小 对于二次函数y=3x2+2,下列说法错误的是( A.最小值为2 B.其图象为y=3x2向下平移2个单位长度 C.当x<0时，y随x的增大而减小 D.其图象的对称轴是y轴 例题点拨Q素养导向 -卡s多多 【例】在同一坐标系中，画出函数y=-x2和y=-x+1的图象，根据图象回答： (1)抛物线y=-x2+1经过怎样的平移得到抛物线y=-x2? (2)对于函数y=-x2+1: ①当x为何值时，y随x的增大而减小？ ②当x为何值时，函数y有最大值？最大值是多少？ ③求y=-x2+1的图象与x轴、y轴的交点坐标 【点拔】作出函数图象即可得到平移方向和距离；再利用二次函数y=x+k的性质求解 即可. 函 二次函数 第二十六章 夯实四基飞U达标闯关 L.在平面直角坐标系中，二次函数y=-x+3的图象大致是() A B 2.关于抛物线y=-x+2,下列说法正确的是() A.开口向上 B.对称轴是y轴 C.有最小值 D.当x<0时，函数y随x的增大而减小 3.抛物线y=3x2+2的顶点坐标是（ A.(0,2) B.(-2,0) C.(2,0) D.(0,-2) 4.将抛物线y=-2x2向下平移3个单位长度后，得到的新抛物线表达式为() A.y=-2x2+3 B.y=-2x2-3 C.y=-2(x+3)2 D.y=-2(x-3)2 5.二次函数)=32-3的开口 ，对称轴是 顶点坐标是 当 x<0时，y随x的增大而 当x= ,y有最 值为 若该抛 物线过点(2，y),(-2,2),则y y2(填“>”、“<”或“=”) 6.已知二次函数y=x+2的图象经过点(1，-1) (1)求二次函数的解析式。 (2)在直角坐标系中画出该函数图象 (3)写出此函数的开口方向、对称轴及顶点坐标， (4)已知点(-2，y),(-1,y2)都在此函数图象上，试比较y,y2的大小 第6题图 35 数学 九年级上册（人教版） 能力提升睡综合拓展 年B多色 7.在同一平面直角坐标系中，一次函数y=kx-1与二次函数y=x2+3的大致图象可以是 B 8.已知二次函数y=-x+3,当-2<x<3时，y的取值范围是 9.求下列各抛物线的解析式. (1)已知一条抛物线的顶点在y轴上，且经过(1，-2)，(2,3)两点 (2)已知某抛物线与抛物线y=2x2+3的形状、开口方向都一样，顶点为(0,4)· (3)已知抛物线y=ax2+c与x轴交于两点(2,0)，(-2,0)，与y轴交于点(0,2)· 中考链接©真题演练 10.(2025·上海)抛物线y=3x2向下平移两个单位长度所得的抛物线解析式为 11.(2023·安微)下列函数中，y的值随x值的增大而减小的是（) A.y=x2+1 B.y=-x2+1 C.y=2x+1 D.y=-2x+1 6 二次函数 第二十六章 26.2.2二次函数y=a(x-h)2+h的图象和性质（第二课时) 知识梳理@形成联系 【知识点1】二次函数)y=a(x-h)2的图象 O把抛物线y=ax向左(h<0)或向右(h>0)平移1hI个单位长度，就可以得到抛物 线y=a(x-h). 在正比例函数y=kx中，y随x的增大而减小，则二次函数y=(x-1)2的图象大致是( 招高， 【知识点2】二次函数y=a(x-h)2的性质 y=a(x-h)2 a>0 a<0 开口方向 向上 向下 对称轴 直线x=h 直线x=h 顶点坐标 (h,0) (h,0) 最值 当x=h时，y最小位=0 当x=h时，y大值=0 当x<h时，y随x的增大而减小； 当x<h时，y随x的增大而增大； 增减性 当x>h时，y随x的增大而增大 当>h时，y随x的增大而减小 抛物线y=2(x-1)2过(-2，y), (0,,(月，为三点，则，为的大小关系是 A.y2>y3>y1 B.y1>y2>y3 C.y2>y1>y3 D.y>Y3>Y2 例题点拨Q素养导向 【例】已知抛物线y=a(x-h)2的对称轴为直线x=-2,且过点(1，-3). (1)求抛物线对应的函数表达式 (2)写出抛物线的开口方向及顶点坐标. 【点拨】若想求得抛物线解析式，可以由对称轴求得h的值，再把(1，-3)代入求得a 的值，再直接根据抛物线解析式写出顶点坐标即可. 3 数学 九年级上册（人教版） 夯实四基达标闯关 1.关于二次函数y=-2(x-1)2的图象，下列说法正确的是() A.开口向上 B.经过原点 C.对称轴右侧的部分是下降的 D.顶点坐标是(-1,0) 2.在平面直角坐标系中，二次函数y=2(x-1)2的图象可能是(） A 3.抛物线y=-2(x-1)2的开口 ,顶点坐标为 ， 对称轴是直线 当x 时，y随x的增大而减小；当= 时，y有最 值为 4.抛物线y=4(x-2)2与x轴的交点坐标是 与y轴的交点坐标是 5.在下列二次函数中，其图象的对称轴是直线x=-2的是() A.y=(x+2)2 B.y=-(x-2)2 C.y=2x2-2 D.y=-2x2+2 6.将抛物线y=3x2向左平移2个单位长度，所得抛物线的解析式是 7.已知抛物线)=(x-5)P的顶点为A,抛物线与y轴交于点B,过点B作x轴的平行线 交抛物线于另外一点C. (1)求A,B,C三点的坐标. (2)求△ABC的面积， (3)试判断△ABC的形状并说明理由. 38 二次函数 第二十六章 能力提升映综合拓展 8.平行于x轴的直线与抛物线=a(x-1)2的一个交点坐标为(-1,2)，则另一个交点坐标 是() A.(3,2) B.(1,2) C.(1,-2) D.(-1,1) 9.已知二次函数y=-2(x+b)2,当x<-3时，y随x的增大而增大，当x>-3时，y随x的 增大而减小，则b= 10.如图，抛物线y=a(x+1)2的顶点为A,与y轴的负半轴交于点B,且OA=OB. (1)求抛物线的解析式. (2)若点C(-3,b)在该抛物线上，求b的值. (3)若点D(2,y),E(3,y2)均在此抛物线上，比较y1与y2的大小. 第10题图 中考链接⊙真题演练 11.(2023·南充)若点P(m,n)在抛物线y=ax2(a≠0)上，则下列各点在抛物线y= a(x+1)2上的是( A.(m,n+1) B.(m+1,n) C.(m,n-1) D.(m-1,n) 12.(2023·长春)如图，在平面直角坐标系中，点0是边长为2的正 方形ABCD的中心，函数y=(x-h)P的图象与正方形ABCD有公共点，则 h的取值范围是 第12题图 39 数学 九年级上册（人教版） 26.2.2二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质（第三课时) 知识梳理@形成联系 【知识点1】二次函数y=a(x-h)2+k的图象 ⊙一般地，抛物线y=a(x-h)P+k与y=ax2形状相同，位置不同.把抛物线y=ar2向上（或 向下)、向左（或向右）平移，可以得到抛物线y=a(x-h)P+k,平移的方向、距离要根据h, k的值决定， 将抛物线y=-5x2先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得抛物线的解 析式是() A.y=-5(x+1)2+2 B.y=-5(x-1)2+2 C.y=-5(x+2)2+1 D.y=-5(x-1)2+1 【知识点2】二次函数=a(x-h)2+h的性质 y=a(x-h)2+k a>0 a<0 开口方向 向上 向下 对称轴 直线x=h 直线x=h 顶点坐标 (h,k) (h,k) 最值 当=h时，y小值=水 当x=h时，y最大值= 当<h时，y随x的增大而减小； 当x<h时，y随x的增大而增大； 增减性 当x>h时，y随x的增大而增大 当>h时，y随x的增大而减小 已知函数y=-3(x-2)2+9 (1)确定该抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标 (2)当x= 时，函数有最 值，是 (3)当x 时，y随x的增大而增大；当x 时，y随x的增大而减小 (4)求出该抛物线与x轴的交点坐标及两交点间的距离， (5)求出该抛物线与y轴的交点坐标 (6)该函数图象可由=-3x2的图象经过怎样的平移得到？ 二次函数 第二十六章 例题点拨Q、素养导向 一多多多 【例】如图，二次函数y=a(x+2)2+k的图象与x轴交于A,B(-1,0) 两点，则下列说法正确的是() A.a>0,k>0 B.点A的坐标为(-4,0) C.图象对称轴为直线x=-2 D.当x<0时，y随x的增大而减小 图26.2-1 夯实四基L心达标闯关 1.二次函数y=2(x+1)2+7的图象的顶点坐标是() A.(-1,7) B.(-1,-7) C.(1,7) D.(1,-7) 2.抛物线y=(x-3)2-5的对称轴是（) A.直线=3 B.直线=-3 C.直线x=5 D.直线=-5 3.二次函数y=-(x+1)2+2的图象大致是（) B C D 4将二次函数=7平移得到二次函数)=(x+1)-1,下列选项正确的是() A.向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度 B.向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度 C.向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度 D.向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度 5顶点为(-5，-1)，且开口方向、形状与函数)=}2的图象相同的抛物线是() A=3-5 Bg-5041 C3x-52 D.=g+5-1 6.关于二次函数y=-(x-1)2+2的最值，下列说法正确的是（) A.最大值为1 B.最小值为-1 C.最大值为2 D.最小值为2 7.已知抛物线y=-3(x-2)245,若-1≤x≤3，则下列说法正确的是() A.当x=3时，y有最大值2 B.当x=0时，y有最小值7 C.当=-1时，y有最大值32 D.当x=2时，y有最大值5 41 数学 九年级上册（人教版） 8.写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标 (1)y=-1(x-1)2;(2)y=22-7:(3)y=2(x+3)2+6. 4 9.如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端A点安一 个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为2m处达到最高，高度为5m, 水柱落地处离池中心距离为6m, (1)此抛物线的顶点坐标为 (2)求水管OA的长度. 5 0 2 6 第9题图 能力提升睡综合拓展 10.已知二次函数y=(x-1)2-3,当0<<3时，y的取值范围是 11.已知点A(-2,y),B(2,y2),C(3,y3)在抛物线y=-3(x-1)2+m(m为常数)上， 则下列结论正确的是() A.y1>y2>y3 B.y2>y3>Y C.y1>y3>y2 D.yy2>y 中考链接©真题演练 一卡多多 12.(2025:哈尔滨)抛物线)=-2(344的顶点坐标是() A.(3,4) B.(-3,4) C.(-3,-4) D.(3,-4) 13.(2026·甘孜州)对于抛物线y=3(x-5)2-4,以下说法正确的是()】 A.开口向下 B.对称轴为直线x=5 C.顶点坐标为(5,4) D.当x>5时，y随x的增大而减小 42数学 九年级上册（人教版） 第二十六章 二次函数 m=1,把点A(1,1),B(-2,4)代人一次函数y=kx+ 26.1二次函数的概念 b. 得+6解得三1，故一次函数的解析式为 【知识点1】C -2k+b=4. 1b=2. 【知识点2】解：设宽为xcm,由题意，得矩 1=-x+2. (2)一次函数y=-x+2与y轴交于点C(0,2), 形的周长为800cm,矩形的长为800-2x 2 cm, SFS.wtSomw-2x1+]x2x2-3. y=x800-2x=-r2+400e(0<r200).y是x的二次 14.A 2 26.2.2 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 函数 (第一课时) 【例】解：(1)矩形的长为4cm,宽为 【知识点1】向上 3cm,.矩形的面积=4×3=12(cm)..矩形的 【知识点2】B 长与宽都增加xcm,.增加后矩形的面积=(4+x) 【例】解：y=-x2和 (3+x)cm2,y=(4+x)(3+)-12,即y=x2+7x, =-x2+1的图象如图所示. y与x之间的函数关系式为y=+7x. (2)y=x2+7是二次函数. (1)抛物线y=-x2+1 向下平移1个单位长度得 (3)x为矩形增加的长与宽，∴自变量x的 到抛物线=-2 取值范围为x≥0. (2)对于函数y=-x+ 1.D2.B3.A4.D5.B 6.解：(1)y=9+2x是二次函数，二次项是9， 1:①当x>0时，y随x的 次项是2x,常数项是0. 增大而减小；②当x=0 (2)y=(x+2)(1-x)是二次函数，二次项是-x2,一 时，函数y有最大值，最 例题答图 次项是-x,常数项是2. 大值是1；③令y=-x2+1=0,解得=±1，·与x轴 (3)s=3-2是二次函数，二次项是-22，一次项 的交点坐标为(-1,0)，(1,0)，令x=0,解得 是0，常数项是3. =1,.与y轴交于点(0,1). (4)y=2x(x2+3x-1)不是二次函数」 1.C2.B3.A4.B 7.解：(1)由条件，可得m2-2m-l-2, 5.向上y轴(0，-3)减小0小-3= .m=3. lm2+m≠0， 6.解：(1)二次函数的图象经过点(1，-1)， (2)二次函数解析式为y=122-2,故二次项系数 ∴.a+2=-1,解得a=-3,.二次函数的解析式为y=-3x242. 是12，一次项系数是0，常数项为-2. (2)y=-3x2+2,令y=0,则-3x2+2=0,解得x= 8.C 26.2二次函数的图象和性质 ±5，…二次函数与x轴的交点为5,0和 26.2.1二次函数y=2的图象和性质 Y6,0,令x=0,则)=2，二次函数与y轴的交 【知识点1】D 3 【知识点2】B 点为(0,2)，且为顶点，该函数图象如下 【例】解：(1)抛物线对称轴是y轴，顶 V 点是原点，可设y=a2(a≠0)，把点(1，-3) 代入，得a=-3,y=-3x2. (2)a=-3<0,∴.在对称轴右侧部分，y随x 的增大而减小. (3)a=-3<0,.函数有最大值，即当x=0 时，函数最大值为0. 1.C2.A3.D4.B5.B6.C 7.抛物线y轴(0,0)向下第三、第四> 第6题答图 8.解：(1)二次函数y=a2的图象与直线y=2x-1 (3)由(2)函数图象，可知此函数的开口方向向 交于点P(1,m),把点P代人y=2x-1,得m=2×1-1= 下、对称轴为y轴，顶点坐标为(0,2)· 1,则P(1,1),把点P代入y=x2,得1=ax1,.a=1. (4)当x=-2时，y=-3×(-2)2+2=-10,当x=-1 (2)由(1)知y=x2,a=1>0,开口向上，.当 时，y=-3×(-1)242=-1,-10<-1,1<2. >0时，y随x的增大而增大. 7.C8.-6<y≤3 (3)由y=2,可得抛物线的顶点坐标为(0,0)， 9.解：(1)：抛物线的顶点在y轴上，.设抛物 对称轴为直线x=0(或y轴). 线的解析式是y=a2+h,把(1，-2)，(2,3)代入， 9.810.<11.412.123120 13.解：(1)二次函数y=x2的图象过点A(1, 得二：解得a号，=号，即抛物线的解新式 4a+k=3, m)和B(-2,4),∴.4a=4,解得a=1,.二次函数的解 析式为y=2.把点A(1,m)代人二次函数解析式，得 3 48 参考答案 (2)抛物线的顶点坐标为(0,4)，形状、开口 V3)=23 方向与抛物线y=2x2+3相同，：.这个二次函数的解析 (5)令x=0,得y=-3,.该抛物线与y轴的 式为y=2(x-0)2+4,即y=2x2+4. (3):抛物线y=a2+c与x轴交于两点(2,0)， 交点坐标为(0，-3). (6)由y=-3x2的图象先向右平移2个单位长 (-2,0),与y轴交于点(0,2)，.代人得4+c=0, lc=2, 度，再向上平移9个单位长度得到。 解得了，6-2，即地物线的解析式是)广+2 【例】C 1.A2.A3.B4.B5.D6.C7.D 10.y=3x2-211.D 26.2.2二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 8解：()7=子-1月，抛物线开口向下， (第二课时) 对称轴为直线=1，顶点坐标为(1,0)· 【知识点1】B (2)y=2x2-7,.抛物线开口向上，对称轴为y 轴，顶点坐标为(0，-7)· 【知识点2】D (3)y=2(x+3)2+6,.抛物线开口向上，对称轴 【例】解：(1)：抛物线y=a(x-h)2的对称 为直线=-3，顶点坐标为(-3,6)· 轴是直线x=-2,∴h=-2,抛物线解析式为y= 9.解：(1)(2,5)· a(x+2)只抛物线过点(1，-3)，∴.-3=9a,解得 (2)由题意，知抛物线顶点为(2,5)，设y=a(x- 号抛物线解析式为=号（2 2)2+5,把点(6,0)代人解析式，可得16a+5=0, (2)抛物线为)y=号(+2只，抛物线的 66x-245.当-0时，y60-24 5=3.75.答：水管04的长度为3.75m. 开口向下，顶点为(-2,0) 10.-3≤y<111.B12.A13.B 1.C2.D 26.2.3二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 3.向下(1,0)x=1>11大0 (第一课时) 4.(2,0)(0,16)5.A6.y=3(+2) 【知识点】=名会 1b 4ac-b2 -2a D 7.解：如图，(1)抛物 线y=写(x-5P的顶点为A(5, 【例】解： x2-2x+1=-1x44x)+1= (1)=-2 2 0),由x=0,则y=5,抛物线 与y轴交于点B(0,5),:对 Grde422-2 称轴为直线=5，.点C的坐 (2)由(1)知，二次函数的解析式为 标为(10,5)· （2)5am7×105=-25. y=- 子(x+243,当=-2时，二次函数有最大 第7题答图 值，最大值是3 (3)AB=A C=5V2,BC=10..AB+AC=BC ∴，△ABC是等腰直角三角形 （3)抛物线)=子-2+1号(+23可以 8.A9.3 2 10.解：(1)抛物线y=a(x+1)2的顶点为A, 由抛物线=+1先向左平移2个单位长度， A(-1,0),则0A=1,0A=0B,B(0,-1),代人 y=a(x+1)2中，得-1=a(0+1)2,解得a=-1,.y=-(x+1)2= 再向上平移2个单位长度得到. 1.C2.A3.D4.D5.A6.C -x2-2x-1. (2)将C(-3,b)代入y=-(x+1)2中，得b=-(-3+ 7.解：(1)将抛物线解析式配方，得y=x2-2-3= 1)2,解得b=-4. (-1)2-4,.对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,4). (3)抛物线y=-(x+1)2的对称轴为直线x=-1, (2)当y=0时，2-2x-3=0,解得x1=-1,x2=3. 且开口向下，.当x>-1时，y随x的增大而减小， 抛物线与x轴的交点坐标为(-1,0)，(3,0).当 .2<3,y>y2 =0时，y=x2-2x-3=-3,.抛物线与y轴的交点坐标为 11.D12.-2≤h≤2 (0,-3. 26.2.2 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 （3)y=x2-2x-3=(x 1)2-4,.抛物线的顶点坐 3 (第三课时) 标为(1,4)，如图. 【知识点1】A (4)当y=-4时，x=1; 【知识点2】解：(1)开口向下，对称轴为 当y=0时，x=-1,=3. x=2,顶点坐标为(2,9). 当-4≤y≤0时，x (2)2;大；9.(3)<2，>2 的取值范围为-1≤x≤3. (4)令y=0,解得x=2+V3,=2-V3, 8.D9.C10.B 第7题答图 该抛物线与x轴的交点坐标为(2+V3,0), (2-V3,0),∴.两交点间的距离为2+V3-(2 49