第二十五章 一元二次方程 作业-【新课程能力培养】2026-2027学年九年级上册数学同步练习（人教版·新教材）

第二十五章作业 数学九年级上册（人教版） 第二十五章作业 一、选择题 1.一元二次方程x2-5x+3=0的二次项系数、一次项系数和常数项分别为() A.1,-5,3 B.1,5,-3 C.-1,5,3 D.-1,-5,-3 2.下列方程中，是一元二次方程的是（) A.x+5=0 B.x3-x=0 C.x2-x-1=0 D.xy=1 3.已知x=2是关于x的方程x2-mx-8=0的一个根，则m的值为( A.-3 B.-1 C.2 D.-2 4.用配方法解方程x2-4x-11=0时，配方结果正确的是() A.(x-2)2=15 B.(x-2)2=7 C.(x-4)2=15 D.(x-4)2-7 5.一元二次方程2x2-4x+3=0根的情况是() A.有一个实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.没有实数根 6.两年前生产1kg甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1kg甲种药 品的成本为60元.设甲种药品成本的年平均下降率为x,根据题意，下列方程正确的是() A.80(1-x2)=60B.80(1-x)2=60 C.80(1-x)=60 D.80(1-2x)=60 7.有一个人患流感，经过两轮传染后共有64个人患流感.设每轮传染中平均一个人 传染x个人，则第三轮传染后，患流感的人数为( A.7 B.8 C.448 D.512 8.一元二次方程x2-4x+3=0的两个实数根为：，2，下列结论正确的是（) A.x1+x2=-4 B.x1+x2=3 C.xx2=4 D.x1比2=3 9.小聪解决了一道拓展题，并把解法教会了x名同学，然后所有会做该题的每名同 学又各自教会了x名同学，这样全班共有m人会做该题，则可列方程为() A.1+x+x2=m B.1+x+x(x+1)=mC.x+x(x+1)=m D.x+(x+1)2=m 10.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8cm,BC=6cm,动点 P,Q分别从点A,B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速 度为1cms,点Q的速度为2cm/s,点Q移动到点C后停止，点P也 随之停止运动，当△PBQ的面积为15cm2时，则点P运动的时间是 第10题图 A.2s B.3s C.4s D.5s 数学 九年级上册（人教版） 二、填空题 11.方程x2-3=0的根是 12.已知m是方程x2-x-6=0的一个根，则代数式2m2-2m-11的值是 13.如果关于x的方程x2+3x+a=0有两个相等的实数根，那么a的值是 14.如图是一个数值运算的程序，若输出y的值为2，则输人的值为 输入 7→平方→12 输出y 第14题图 15.元代数学家朱世杰的著作《算学启蒙》中有题：“今有直田，积三百步，长较阔 多七步.问长阔各几何.”其大意是：一块矩形田地面积为300平方步，长比宽多7步，问 长、宽各是多少步.设这个矩形田地的宽为x步，根据题意可列方程为 三、解答题 16.选择合适的方法解下列方程： (1）x2-x-1=0: (2)x(2x-1)=2(2x-1). 17.嘉嘉与淇淇两位同学解方程3(x-3)=(x-3)2的过程如下： 淇淇： 嘉嘉： 两边同除以(x-3), 移项，得3(x-3)-(x-3)2=0, 得3=x-3, 提取公因式，得(x-3)(3-x-3)=0 则x=6. 则x-3=0或3-x-3=0, 解得1=3，x2=0. (1)嘉嘉的解法 淇淇的解法 (两空均填“正确”或“不正确”) (2)请你选择合适的方法尝试解一元二次方程4x(2x+1)=3(2x+1). 18.已知关于x的方程x2-(m+2)x+2m-1=0(m为常数). (1)求证：不论m为何值时，方程总有两个不相等的实数根 (2)若方程有一个根是1，求方程的另一个根 2 第二十五章作业 19.某数学教师设计了这样一个问题：今有诸侯会盟，相见两两揖让.礼毕，共揖十 五次.问诸侯几何.其大意是：诸侯会盟，每两人相互行礼一次，行礼总次数为15次，问 诸侯有几人。 20.对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果方程有两个实数根为x1,x2,那么x+ 合，=。，一元二次方程的这种根与系数的关系，最早是由法国数学家韦达 (1540一1603)发现的，因此，我们把这个关系称为韦达定理，灵活运用这个定理有时可 以使解题更为简单.根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： 【材料理解】 已知一元二次方程x2-3x-2=0的两个实数根分别为m,n,求mn+mn2的值.小明给出 了一部分解题思路： 解：.·一元二次方程x2-3x-2=0的两个实数根分别为m,n, .∴.m+n三 ，.∴.mn三 ,∴.m2n+mn2=…. (1)请将过程补充完整， 【类比应用】 (2)一元二次方程-x2+mx+1=0的一个根为x=2,则m=, 另一个根为x= 【思维拓展】 (3)关于x的一元二次方程x+(2m+1)x+m2-2=0有两个实数根，且这两个实数根的平 方和是21，求m的值 21.某农场要建一个饲养场（矩形ABCD),两面靠墙(AD位置的墙最大可用长度为27m, AB位置的墙最大可用长度为15)，另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场 地及一处通道，并在如图所示的三处各留1m宽的门（不用木栏）.建成后木栏总长45m. (I)若饲养场（矩形ABCD)的一边CD长为8m,则另一边BC= m. (2)若饲养场（矩形ABCD)的面积为180m2,求边CD的长 (3)饲养场的面积能达到210m2吗？若能达到，求出边CD的长；若不能达到，请 说明理由. 第21题图 3 数学 九年级上册（人教版） 22.某地一种植户，2023年承包种植橙子树75亩，由于第一年收成不错，该种植户 每年都增加种植面积，到2025年共种植108亩.假设每年的增长率相同， (1)求该种植户这两年种植橙子亩数的平均增长率. (2)某水果店销售该种橙子，成本价是5元g,在销售中发现，当这种橙子的单价 定为7元/kg时，每天可卖出160kg,在此基础上，单价每提高1元，每天就少卖20kg, 若该水果店一天销售这种橙子所获得的利润是420元，为了让顾客得到实惠，单价应定 为多少元/千克？ 23.在学习一元二次方程时，我们把b2-4c叫作一元二次方程根的判别式，用△表 示，即△=b2-4ac.如果△的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数， 但是如果一元二次方程的根都为整数，△的值一定是一个完全平方数 例如：方程2x2-x-1=0,△=b2-4ac=(-1)2-4×2×(-1)=9=32,△的值是一个完全平方数， 但是该方程的根为=山，号，不都为整数.方程2-6+80的两根=2，=4都为整 数，此时△=b2-4ac=(-6)2-4x1x8=4=22,△的值是一个完全平方数.我们把两根都为整数的 一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)称为“全整根方程”，代数式4ac-b的值为该“全整根 方程”的“关爱码”，用Q(a,b,c)表示，即Q(a,b,c)=4c-b.若另一关于x的一元 二次方程px+gx+r=0(p≠0)也为“全整根方程”，其“关爱码”记为Q(p,9,r),当满 足Q(a,b,c)-Q(p,q,r)=c时，则称一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)是一元二次方 程px2+gx+r=0(p≠0)的“全整根伴侣方程”. (1)关于x的一元二次方程x2-(m+1)x+m=0是一个“全整根方程”. ①当m=2时，该全整根方程的“关爱码”是 ②若该全整根方程的“关爱码”是-1，则m的值为 (2)关于x的一元二次方程x2-(2m-3)x+m2-4m-5=0(m为整数，且4<m<15)是“全 整根方程”，请求出该方程的“关爱码” (3)若关于x的一元二次方程x2+(1-m)x+m+4=0是x2+(n-1)x-n=0(m,n均为正整 数)的“全整根伴侣方程”，求m-n的值.（直接写出答案）参考答案 360°1.B2.A 再有游客排队检票 (3)根据题意，开放n个检票窗口时，排队检票 【知识点2】半径R为半径半径为R 人数o与开园时间x之间的函数关系式为o=-?+ 正方形六 120x+160-14nx,整理，得w=-[x-(60-7n)2+(60-7n)2+ 【例】解：(1)如图所 160..该二次函数的对称轴为直线x=60-7m.由条件， 示，在弧CD上取一点P,连 可知60-7m≤15.解得m≥钙n的最小值为7， 接BP,AP,FP,FO,:六 B 边形ABCDEF是正六边形， 2.解：(1)∠A<∠B.证明如下：如图1，设AC 与⊙O交于点E,连接DE,则∠CED=∠B,∠CED= AF=AB,∠A0F=360 ∠A+∠ADE,∠CED>∠A,.∠B>∠A. 6 (2)将球传给乙，让乙射门好.理由如下：如图 0,∠APf=号∠A0F= 例题答图 2,连接AC,AD,BC,BD,同(1)理，得∠B>∠A, 球员对球门的视角越大，足球越容易被踢进，将 30°，AF=AB,AB=AF,∴∠APB=∠APF 球传给乙，让乙射门好 30°，∴.∠BPF=∠APB+∠APF=60°. (2)①∠A0F=60°，A0=F0,.△A0F是 A -- 等边三角形，∴，∠DAF=60°. ②.：∠DAF60,∠ADF∠APF30P,∴LAFD 180°-∠DAF-∠DAF=90°，在Rt△AFD中，根据 勾股定理AD2AFP+FD,AD=2AF,DFV3AF, D Saw=号AF-0FAF2=2V万，4F=2. 图1 图2 2 (3)设经过A,B,M三 40=AF=2,即⊙0的半径为2 点的圆的圆心为O,如图3， 1.B2.B3.A4.12V35.18V36.729 过点O作AB的垂线，分别 7.解：(1)如图，正方形MNPQ为所作. 交AB,DP于点E,F,则 (2):四边形MNPQ为正方形，∴.∠MON=90°， AE=BE=4m,∠AOB= .根据勾股定理，得MN=VOMP+ON严=V4+4平= 2∠AMB=60°，又·.：OA=OB」 4V2.故答案为4V2. .△OAB是等边三角形， C .OM=OA=AB=8m,.EF⊥ 图3 六0 AB,∠C=90°，EF∥CQ, 第2题答图 .∠OFM=∠FDQ=45°，DP与⊙0相切，.OM⊥DP .∠MFO=∠MOF=45°，.MF=OM=8m,过点F作FHL CQ于点H,则FH=4+11=15(m),.DF=V2FH= 15V2(m),:DM=DF-MF=(15V2-8)(m). 第二十五章作业 1.A2.C3.D4.A5.D6.B7.D8.D 9.B10.B 第7题答图 第8题答图 8.解：(1)90° 11.x=V3,x=-V312.113.9 (2)如图，过点F作FH⊥AE,H为垂足.六边 14.±V515.(x+7)x=300 形ABCDEF是正六边形，⊙0的半径为2cm,AF= 16.解：(1)a=1,b=-1,c=-1,△=(-1)2-4× EF=2cm,∠AFE=-120°，.∴.∠FAE=∠FEA=30°，..FH= 1 cm,.AH=VAF2-FIP=V3 cm...AE=2V3 cm. 1x-D5>0,=y5,1=+y5, 2 P是ED的中点，.EP=1cm,由(1)知∠AED=90°， 1-W5 AP=VAE2+EP=V12+1=V13 (cm). 2 9.D10.A (2)x(2x-1)=2(2x-1),.(x-2)(2x-1)=0,x1= 综合与实践 生活中的优化问题 2,7 1.解：(1)①由题意，开园xmin,6个检票窗 口已检票的人数为6x14x=84x.故答案为84x 17.解：(1)不正确；不正确. ②由题意，w=-x2+120x+160-84x=-x2+36x+160.故 (2)4x(2x+1)=3(2x+1),4x(2x+1)-3(2x+1)=0, 答案为w=-x2+36x+160. (2x+1)4-3)-0,2x+1=0或4-3-0，解得=号 (2)根据题意，不再有游客排队检票时，ω=0.将 0=0代人w=-x2+36x+160,得0=-x2+36x+160.解得= 40,2=-4(不符合题意，舍去).答：开园40min不 69 数学 九年级上册（人教版） 18.(1)证明：△=(m+2)2-4(2m-1)=m2+4m+4-或m=3时，该全整根方程的“关爱码”是-1.故答案 8m+4=m2-4m+8=(m-2)2+4,(m-2)2+4≥4，.(m-2)2+ 为-1或3. 4>0,即△>0，.不论m为何值时，方程总有两个不相 (2)x2-(2m-3)x+m2-4m-5=-0,∴.b2-4ac=[-(2m 等的实数根。 3)]2-4×1×(m2-4m-5)=4m+29..4<m<15,..45<4m+29< (2)解：设方程的另一个根为t,根据根与系数的 89,其中完全平方数有49,64和81，当4m+29=49 关系，得1+t=m+2,1t=2m-1,解得m=2,t=3,即方 程的另一个根为x=3. 时，m=5,当4m+29=64时，m=35(不合题意)，当 4 19.解：设诸侯有x人，则每人行礼(x-1)次， 4m+29=81时，m=13,当m=5时，原方程为x2-7x=0 由题意，得2x(-1)=15,整理，得-x-30=0,解得 则Qa,b,c)=4=,当m=13时，原方程为 =6,2=-5(不合题意，舍去).答：诸侯有6人. 20.解：(1)一元二次方程x2-3x-2=0的两个 -23x+12=0,则Q(a,b,c)=4cb2-4x1x112-23 4a 4x1 实数根分别为m,n,∴m+n=3,:mn=-2,∴m+mn2= 81.综上所述，该方程的“关爱码”为_49或81 4 4 m(m+n)=3×(-2)=-6. (2):一元二次方程-x2+mx+1=0的一个根为=2， (3)方程2+(1-m)x+m+4=0的“关爱码” 设另一个根为，2+场=m,2=-1,解得方 Q(a,b,c)=4x1x(m+4)-(1-m}2=-m2+6m+15 4×1 4 m子放答案为，子 方程x2+(n-1)x-n=0的“关爱码” 22 Qp,,r)=4x1x(-)-m-12=-2-2-l 4x1 4 (3)设关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2-2= 0有两个实数根为，， ,x+x=-(2m+1),这两 由题意，得-m246m+15_-2-2m-」=m+4, 4 4 x2=m2-2. 个实数根的平方和是21，.x+x号=21=(+地2-2x2, ∴.(m+n)(m-n-2)=0,.m+n=0或m-n=2.m,n 均为正整数，m+n=0不合题意，m-n=2 .[-（(2m+1)]2-2(m2-2)=21,解得m=-4,m2=2.4= （2m+14(m2-2)=4m+9≥0，m≥-头，m=-4不符 第二十六章作业 1.C2.D3.B4.D5.C6.A7.C8.B 合题意，则m=2. 9.D10.C 21.解：(1)BC=45-8-2×(8-1)+1=24(m).故 11.(0,-8) 答案为24. 12.41B=+4(2,2) (2)设CD=x(0<x≤15)m,则BC=45-x-2(x-1) 15.13.5 +1=(48-3x)m,依题意，得x(48-3x)=180,整理， 16.解：(1)顶点为(-1,2)，.设函数解析 得x2-16x+60=0,解得x1=6,x2=10.当x=6时，48-3x= 式为y=a(x+1)+2,函数图象过点(1，-3)，a(1+ 48-3×6=30(m),30>27,不合题意，舍去：当x=10 142=-3,4子抛物线的解新式为y=子叶 时，48-3x=48-3×10=18(m),符合题意.答：边CD 的长为10m. (3)不能.理由如下：设CD=y(0<y≤15)m,则 (2)由(1)的函数解析式，可得抛物线的图象开 BC=45-y-2(0y-1)+1=(48-3y）)m,依题意，得y(48-3y)= 口向下，对称轴为直线=-1. 210,整理，得y2-16y+70=0.4=(-16)2-4×1×70=256- 17.解：(1)令y=0,0=x2-2x-3,解得1=3， 280=-24<0,.该方程没有实数根，饲养场的面积不 2=-1,.它与x轴交点的坐标为(3,0)(-1,0)， 能达到210m2. 化为顶点式为y=(x-1)2-4,∴.顶点为(1,4). 22.解：(1)设该种植户这两年种植橙子亩数的 (2) 平均增长率为x,根据题意，得75(1+x)2=108,解得 x1=0.2=20%,x=-2.2（舍).答：该种植户这两年种植 0 橙子亩数的平均增长率为20%. (2)设单价应定为m元kg,根据题意，(m- 0 5)[160-20(m-7)]=420,整理，得m2-20m+96-0,解 得m=8,m=12,要让顾客得到实惠，∴m=8满足题 意.答：单价应定为8元kg 23.解：(1)①当m=2时，方程为x2-3x+2=0, 则。3》。寸，该全整程方程的 Aa 4×1. “关爱码是}放答案为- ②4ac-b=4x1xm-「-(m+1)2--m2+2m-1 ,由题 LL了 4×1 4 第17题答图 意，得-m+2m-l-1,解得m=-1,m=3,则当m=-1 4 (3)-4≤tK5. 0