25.3 实际问题与一元二次方程-【新课程能力培养】2026-2027学年九年级上册数学同步练习（人教版·新教材）

一元二次方程 第二十五章 25.3实际问题与一元二次方程（第一课时) 例题点拨Q素养导向 【例】用一条长40cm的绳子围成一个矩形ABCD,若围成的矩形面积 为75cm2. (1)设AB长为xcm,则BC边长为 cm,矩形ABCD的面积 图25.3 为 2.请你求出该矩形的长与宽.（均用含有x的代数式表示） (2)若设AB边长为(10+x)cm,则BC边长为 cm,可列方程为 (3)矩形ABCD的面积能否是101cm?若能，求出它的长和宽；若不能，说明理由 【点拨】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，合理设未知数，找准等量关 系，正确列出一元二次方程是解决问题的关键 夯实四基达标闯关 1.如图，在宽为20m、长为30m的矩形地面上修建两条宽均 a m 为xm的小路（阴影），余下部分作为草地，草地面积为551m2, x m 20m 根据图中数据，求得小路宽x的值为() A.1 B.1.5 30m C.2 D.2.5 第1题图 2.如图是一张长8cm、宽5cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去 一个同样的正方形，可制成底面积是18cm的一个无盖长方体纸盒，设 剪去的正方形边长为xcm,那么x满足的方程是() A.40-4x2=18 B.(8-2x)(5-2x)=18 第2题图 C.40-2(8x+5x)=18 D.(8-2x)(5-2x)=9 3.《九章算术》中有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈.问户高、广 各几何.”大意是说：已知矩形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和 宽各是多少？设门高x尺，根据题意可列方程为（)（注：1丈=10尺，1尺=10寸） 19 口数学 九年级上册（人教版） A.x2+(x-6.8)2=102 B.x2+(x+6.8)2=102 C.x2+102=(x-6.8)2 D.102+(x+6.8)2=x2 4.如图，学校将一面积为110m2的矩形空地一边增加4m,另一边增加5m后，建成 了一个正方形训练场，则此训练场的面积为 m 110m 消 4 m 第4题图 第5题图 5.如图，某校准备在艺术节期间举办学生绘画展览，为美化画面，在长为30cm、宽为 20cm的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使美化后整个图形的面积恰好是原画面面积 的2倍，若设彩纸的宽度为xcm,根据题意，可列方程为() A.(30+x)(20+x)=600 B.(30+2x)(20+2x)=600 C.(30-2x)(20-2x)=1200 D.(30+2x)(20+2x)=1200 6.如图，某农家乐老板计划在一块长130m、宽60m的空地开挖两块形状、大小均相 同的垂钓鱼塘，它们的面积之和为57502，两块垂钓鱼塘之间及周边留有宽度相等的垂钓 通道，则垂钓通道的宽度为多少米？ 130m 第6题图 7.某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入，购买了33的铁栅栏，准备用这些铁栅栏 为贫困户靠墙（墙长15m)围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场（如图所示）· (1)若要建的矩形养鸡场面积为90m2,求鸡场的长(AB)和宽(BC)· (2)该扶贫单位想要建一个100的矩形养鸡场，这一想法能实现吗？请说明理由. 第7题图 西 一元二次方程 第二十五章 能力提升肿综合拓展 8.如图1所示，A,B,C,D是矩形的四个顶点，AB=16cm,AD=6cm,动点P,Q分 别从点A,C同时出发，点P以3cms的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以 2cm/s的速度向点D移动， (1)P,Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm? (2)P,Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离第一次是10cm? (3)连接PD,PC,点P出发几秒，使得∠DPC为直角？ 图 图2 第8题图 中考链接©真题演练 9.(2025·辽宁)中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六 十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何.”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方 步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步.设这个矩形田地的宽为x步，根据 题意可列方程为() A.x(60-x)=864 B.x(x-60)=864 C.x(60+x)=864 D.2[x+(x+60)]=864 10.(2025·福建)为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用 总长为5m的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6m 的矩形菜地作为实践基地，如图所示.设矩形的一边长为x,根据题 第10题图 意可列方程为() A.5x2=6 B.5(1+x2)=6 C.x(5-x)=6 D.5(1+x)2=6 数学 九年级上册（人教版） 25.3 ,实际问题与一元二次方程（第二课时) 例题点拔Q素养导向 下下多 【例】每年的6月6日是全国爱眼日，每个人都要注意用眼卫生.假设有一人患了红眼 病，经过两轮传染后，共有64人患病. (1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)若不及时控制，按这样的传染速度，三轮传染后患病的共有多少人？ 解：(1)设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮传染中有 人被传 染，第二轮传染中有 人被传染， 根据题意，得 【点拨】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程中的传播问题，根据两轮传染后总 人数=传染源+第一轮被传染人数+第二轮被传染人数，从而列出一元二次方程是解题的关键. 夯实四基)达标闯关 1.有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有196人患病，则每轮传染中平均一个 人传染的人数为() A.13 B.14 C.15 D.16 2.某传染性疾病如果有一人患病，经过两轮传染后有64人患病，设每轮传染中平均一 个人传染了x个人，下列列式正确的是() A.x+x(1+x)=64 B.1+x+x2=64 C.(1+x)2=64 D.x(1+x)=64 3.有一人患了流感，经过两轮传染后，共有121人患了流感，每轮传染中平均每人传染 了x个人，下列结论错误的是( A.一轮后有(x+1)个人患了流感 B.第二轮又增加(x+1)x个人患流感 C.依题意可得方程(x+1)2-121 D.不考虑其他因素，经过三轮一共会有1210人感染 22 一元二次方程 第二十五章 4.鸡瘟是一种传播速度很快的传染病，一轮传染为一天时间，某养鸡场某日发现一例， 两天后发现共有169只鸡患有这种病.若每1只病鸡传染健康鸡的只数相同，均为x只，根 据题意可列方程为 5.某校研学活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每 个支干又长出相同数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，这种植物每个支干长 出的小分支个数是x,可列方程为 6.电脑病毒传播快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有121台电脑被感染， 则每轮感染中平均一台电脑会感染多少台电脑？ 能力提升坤综合拓展 7.某种病毒传播速度非常快，若最初有两个人感染这种病毒，经过两轮传染后，一共有 288人被感染，设每轮传染中平均一人传染了x人 (1)经过第一轮传染后，共有 人感染了病毒.（用含x的式子直接写出答案） (2)在每轮传染中，平均一人传染了几个人？ 中考链接©真题演练 卡多多 8.(2023·衢州)某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感.设每一轮传染中 平均每人传染了x人，则可得到方程() A.x+(1+x)=36 B.2(1+x)=36 C.1+x+x(1+x)=36 D.1+x+x2=36 23 数学 九年级上册（人教版） 25.3 实际问题与一元二次方程（第三课时) 例题点拨Q素养导向 下下多 【例】为了丰富大课间活动，某学校抽出部分资金购买了若干副羽毛球拍.已知2023年该 校用于购买羽毛球拍的费用为2000元，计划在2025年用于购买羽毛球拍的费用是2880元. (1)求2023一2025年购买羽毛球拍费用的年平均增长率. (2)如果按照这样的速度，逐年增加投入，预计2026年需要抽出多少资金用于购买羽 毛球拍？ 【点拨】本题考查了实际问题与一元二次方程中的增长率问题，根据变化前数量×(1+x)2= 变化后数量，从而列出一元二次方程是解题的关键， 夯实四基LU达标闯关 1.某书店今年3月盈利6000元，5月盈利6200元.设该书店每月盈利的平均增长率为 x.根据题意，下列方程正确的是() A.6000(1+x)2=6200 B.6000(1-x)2=6200 C.6000(1+2x)=6200 D.6000x2=6200 2.某种品牌手机经过两次降价，每部售价由2000元降到1620元，则平均每次降价的 百分率为（) A.10% B.11% C.20% D.19% 3.俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼 看”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘.假设 每天遗忘的百分比为x,根据“两天不练丢一半”，可列方程为() A.(1-x)2=50% B.(1+x)2=50% C.1-2x=50% D.(1-x)(1+x)=50% 29 一元二次方程 第二十五章 4.公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定.某头盔经销商 统计了某品牌头盔4月到6月的销量，该品牌头盔4月销售150个，6月销售216个，且从 4月到6月销售量的月增长率相同.若该品牌头盔销售量的月增长率为x,可列方程为 5.为了振兴乡村经济，某村委会干部带领村民在网上直播推销农产品.8月销售蜂蜜400 瓶，9月、10月这种蜂蜜销售量持续增加，10月的销售量达到576瓶. (1)设9月、10月的销售量的月平均增长率为x,则9月销售量为 10月销售量为 (均用含x的式子表示) (2)列方程求9月、10月的销售量月平均增长率. 能力提升螂综合拓展 6.哈尔滨冰雪大世界受到广大游客的喜爱，游玩人数剧增.2025年元旦三天假期，第一 天游客数量a万人，第二天人数比第一天增长了200%，第三天在第二天的基础上回落了 25%,则第二天和第三天这两天的平均增长率为】 7.某钢铁厂一月份生产钢铁560t,月平均增长率相同，第一季度共生产钢铁1860t, 若设月平均增长率为x,那么可列出的方程是() A.560(1+x)2=1860 B.560+560(1+x)+560(1+2x)=1860 C.560+560(1+x)+560(1+x)2=1860 D.560+560(1+2x)2=1860 中考链接©真题演练 8.(2025·重庆)某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区 2024年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为() A.10% B.20% C.22% D.44% 25 数学 九年级上册（人教版） 25.3 实际问题与一元二次方程（第四课时) 例题点拨Q素养导向 卡下多 【例】某班举行乒乓球赛，球赛采用单循环赛制（即每位参赛者与其他参赛者各比赛1 场)，如图是小芳和小诚对比赛总场数的统计. 我发现本次比 你说得不对， 赛共进行了32场. 按这个赛制，总局 数不应该是32场 小芳 小诚 (1)小诚的说法有道理吗？请通过计算说明， (2)赛后经查询，小芳的统计正确.因为有一人身体不适，参与4场比赛后中途退赛，求 原来有多少人参加比赛」 【点拔】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次 方程是解题的关键。 夯实四基U达标闯关 1.毕业典礼后，九年级(1)班有若干人，若每人给全班的其他成员赠送一张纪念卡， 则全班送贺卡共1892张，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（) A.x(x+1)=1892 B.x(-1=-1892 C.2x(x+1)=1892 D.x(x-1)=1892 26 一元二次方程 第二十五章 2.在一次乒乓球比赛中，每两人都进行一次比赛，如果一共比赛36场，设有x个人参 加比赛，根据题意，可列方程为() A号x(x-1)=36 B.6x+1)=36 C.x(x-1)=36 D.x(x+1)=36 3.某校九年级举行篮球赛，比赛采用单循环赛制（每两队之间都赛一场），共进行了45 场比赛，设这次有x个队参加比赛，则列方程为 4.某次商品交易会上，所有参加会议的两个商家之间都签订了一份合同，共签订合同 45份，则共有 个商家参加了交易会， 5.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支 干和小分支的总数是91，求每个支干长出多少小分支.设每个支干长出x小分支，那么根据 题意可以列方程为 6.两个数的和为28，积为195，则这两个数是 能力提升睡综合拓展 -多 7.如图，线段AB上的一点P把AB分割为两条线段PA,PB,当满足PA=PB时，则称 AB PA 点P是线段AB的黄金分割点.主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上 去感觉最好，若舞台长18m,主持人从舞台一侧进入，设她至少走xm时恰好站在舞台的 黄金分割点上(PB的长为xm),则x满足的方程是() A.(18-x)2=18x B.x2=18(18-x) 第7题图 C.x(18-x)=182 D.(18-x)2=18x 8.数学趣题解答：某阿拉伯数学著作记载着一道颇受阿拉伯人喜爱的数学题，其大意为 一群人走进果园去摘石榴，第一个人摘了1个石榴，第二个人摘了2个石榴，第三个人摘了 3个石榴，以此类推，后进果园的人都比前面那个人多摘一个石榴，这群人刚好把果园的石 榴全部摘下来了，如果平均分配，每个人可以得到10个石榴，问这群人共有 人 9.小茗同学改编了苏轼的诗词《念奴娇·赤壁怀古》，改编后的大意为周瑜去世时年龄为 两位数，该数的十位数字比个位数字小3，个位数字的平方恰好等于该数.若设周瑜去世时 年龄的个位数字为x,则可列方程为 中考链接©真题演练 10.(2023·黑龙江)毕业前夕，班主任王老师让每一名同学为班级的其他同学发送祝福 短信，全班一共发送870条，这个班级的学生总人数是() A.40 B.30 C.29 D.39 20参考答案 山.22D13.C14号 8+2Y7s或8-2Y7s时，可使得∠DPC为直角。 3 15.(1)证明：原方程为x2-(2k+1)x+k2+k-2=0 9.A10.C .△=[-(2k+1)]2-4×1×(k2+k-2)=4k2+4+1-42-4+8=9> 253 实际问题与一元二次方程（第二课时) 0,方程有两个不相等的实数根」 (2)解：由条件，可知+2=2k+1,2=k2+k-2, 【例】解：(1)x,x(1+x),1+x+x(1+)= x1=2,2+=2k+1,=2+,1=2(2+l 64,解得=7,2=-9（不符合题意，舍去）· 3 3 答：每轮传染中平均一个人传染了7个人. 代入=2+h-2,得2(2+1=k2+h-2,整理，得2+ (2)根据题意，得64+64×7=512（人）.答： 9 三轮传染后患病的共有512人 k-20=0,解得k=4或k=-5, 1.A2.C3.D 25.3实际问题与一元二次方程（第一课时) 4.x+1+x(x+1)=1695.1+x+x2-43 【例】解：(1)(20-x),x(20-x).x(20-x)月 6.解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电 75,x2-20x+75=0,∴x1=5,=15,当x=5时， 脑，列方程，得1+x+x(1+x)=121,解得x1=-12(不合 20-x=20-5=15(cm),当x=15时，20-x=20-15= 题意，舍去)，2=10.答：每轮感染中平均一台电脑会 5(cm).答：矩形的长为l5cm,宽为5cm. 感染10台电脑. (2)(10-x);(10+x)(10-x)=75. 7.解：(1)(2+2x). (3)不能围成一个面积为101cm2的矩形， (2)设每轮传染中平均一人传染了x人，则第一轮 会传染给2x人，第二轮会传染给x(2+2x)人，依题意， 理由如下：设矩形的长为ncm,则宽为(20-)cm, 得2+2x+x(2+2x)=288,解得x=11,x2=-13(不合题意， ∴n(20-n)=101,n2-20n+101=0,:4=b2-4ac 舍去).答：在每轮传染中，平均一人传染了11个人 (-20)2-4×1×101=-4<0,∴.m2-20n+101=0没有实 8.C 数根，.不能围成一个面积为101cm的矩形. 253实际问题与一元二次方程（第三课时) 1.A2.B3.A4.2255.D 【例】解：(1)设2023年到2025年该校购 6.解：设垂钓通道的宽度为xm,根据题意，可 得(130-3x)(60-2x)=5750,整理，得3x2-220x+1025= 买羽毛球拍费用的年平均增长率为x,则2000(1+ 0,第得=5,295当29时，60-2-60-0 x)2=2880,解得x1=0.2,x2=-2.2(不合题意，舍 3 去).答：2023年到2025年该校购买羽毛球拍费 0,不合题意，舍去.答：垂钓通道的宽度为5m. 用的年平均增长率为20%. 7.解：(1)设BC=xm,则AB=(33-3x)m,依 (2)2880×(1+20%)=3456(元).答：预计 题意，得x(33-3x)=90,解得1=6,2=5.当x=6时， 2026年需要抽出3456元资金用于购买羽毛球拍. 33-3x=15,符合题意；当x=5时，33-3x=18,18>15, 1.A2.A3.A 不合题意，舍去.答：鸡场的长(AB)为15m,宽 4.150(1+x)2=216 (BC)为6m. 5.解：(1)400(1+x):400(1+x)2. (2)不能.设BC=ym,则AB=(33-3y)m,依题 (2)根据题意，得400(1+x)2=576,解得x,=0.2= 意，得y(33-3y)=100,整理，得3y2-33y+100=0.4=b2 20%,2=-2.2(不合题意，舍去).答：9月、10月的 4ac=(-33)2-4×3×100=-111<0,该方程无实数根，即该 销售量月平均增长率为20% 扶贫单位不能建成一个100m的矩形养鸡场. 6.50%7.C8.B 8.解：当运动时间为ts时，PB=(16-3t)cm, 253实际问题与一元二次方程（第四课时） CO=2t cm 【例】解：(1)小诚的说法有道理.理由如 （)依题意，得分×16-3+2)×6=33，解得15. 下；设有x人报名参赛，由题意，得(1) 2 答：P,Q两点从出发开始到5s时，四边形PBCQ的 面积为33cm2. 32,解得=1257，=1Y27.x与 (2)过点Q作QM⊥AB于 2 2 点M,如图所示.，PM=PB-CQ=16- 都不是整数，·方程的解不符合实际，故小诚的 5tl cm,QM=6 cm,..POP=PM+OM, 说法有道理。 即10=(16-5月46，解得=号， (2)设原来有x人参加比赛，则x==2) 2 4(不合题意，舍去).答：P,Q +432,解得x=9,2=-6(不符合题意，舍去). 原来有9人参赛比赛。 两点从出发开始到氵s时，点P和 第8题答图 1D2A3.7-1=45410 点Q的距离第一次是10cm. 5.1+x+x2=916.13,157.A8.19 (3)PD2+PC=DC,即62+(3x)2+(16-3x)2+62=162, 9.x2=10(x-3)+x10.B 解得=8+2Y7,=8-2Y7,答：点P出发 3 3